(t), t < v2 t1 t2. (t), t. v3 t2 t3. Im Beispiel oben wäre und konstant, (Geradenstück) wobei so zu bestimmen ist, dass v3 t3 ist.

Transkript

1 Zurück Integrtion von Funktionen einer reellen Vriblen Stnd Kurzskript Integrtion in R Regeln Nvigtion Einfche Integrtionsregeln Prtielle Integrtion Substitutionsregel Integrtion über komplexwertige Funktion einer reellen Vriblen Prtilbruchzerlegung gebrochen rtionler Integrnden Trnsformtionen uf einen gebrochen rtionlen Integrnden. Beispiel us der Physik Mrkus fährt morgends mit dem Moped zur Arbeit. Wir betrchten eine kurze Etppe seines Weges. Er strtet sein Moped, beschleunigt konstnt in 5s uf eine Geschwindigkeit von m/s, behält diese konstnte Geschwindigkeit genu 50s lng bei, bremst dnn (mit konstnter Bremskrft) vor den nächsten Ampel in 5 s uf Null b. Beschleunigung und Abbremsen sollen jeweils mit konstnter Krft erfolgen. Frgen: () Stelle Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg jeweils ls explizite Funktion der Zeit dr und skizziere diese drei Funktionen in einem Digrmm über der Zeitchse. Der Strtszeitpunkt sei t0 = 0. (b) Wie lnge ist die Wegstrecke von Mrkus Strtpunkt bis zur Ampel? Wie lnge ist der Bremsweg? (c) Würde Mrkus ein Auto vor der Ampel einholen können, ds ihn zum Strtzeitzeitpunkt überholt und mit konstnter Geschwindigkeit von m/s fährt? Die Aufgbe soll hier nicht konkret gerechnet werden ds ist eine Leserübung. Es soll hier nur die Struktur des Problems und die Verbindung zur Integrlrechnung geklärt werden. Zwischen Weg s(t) und Monentngeschwindigkeit v(t) eines Mssenpunktes, der sich entlng einer Gerden bewegt, besteht der Zusmmenhng s(t) = s0 + t v(τ)dτ t0 wenn mn die Bewegung eines Mssenpunktes zum Zeitpunkt t0 betrchtet und sich dieser dnn bei s0 uf der Ortschse befindet. Ds heißt: Integriert mn die Momentngeschwindigkeit über die Zeit uf, so erhält mn den zurückgelegten Weg. Umgekehrt ist die momentne Änderung des Weges (lso seine zeitliche Ableitung) genu die Momentngeschwindigkeit. Die im obigen Beispiel beschriebene Bewegung ht lso 3 unterschiedliche Phsen, einml (positive) konstnte Beschleunigung linere Geschwindigkeit, dnn eine konstnte Geschwindigkeit und dnn Abbremsen (negtive konstnte Beschleunigung). Beispielbild Geschwindigkeits Zeitdigrmm. Bechte, dss die Zhlen im Bild nicht mit den Dten des Beispiels übereinstimmen! Allgemein hingeschrieben ist die (stetige) Momentngeschwindigkeit in diesem Beispiel dnn eine bschnittweise definierte Funktion: v(t) = v (t), t0 t < t (t), t < (t), t v t t v3 t t3 t0 = 0, v(t) = t v (t) = c v3(t) = d + t d ( ) = 0 Im Beispiel oben wäre und konstnt, (Gerdenstück) wobei so zu bestimmen ist, dss v3 t3 ist. v3( t3) = d + t3 = 0 d = t3 v3(t) = (t t3) Ferner > 0 > wegen der Beschleunigungsvorgben. Mthemtisch gesehen ist v(t) eine stückweise linere, stetige Funktion. und knn mn nun us den Beispieldten berechnen, t0 = 0, t = 5s, t = 55s, t3 = 60s v(t) m m = = 5s 5s s(t) Dmit liegt dnn uch fest und mn knn die Wegfunktion durch stückweise Integrtion ermitteln und so die gestellten Frgen bentworten. (Mechnik, 3. Semester). Es ist klr, dss s(t) eine stückweise qudrtische Funktion ist mit linerem Teilstück zwischen t und t.

2 In unserem Fll unserer konstnter Beschleunigungen und durch Einsetzen der v v v3 erhlten wir lso: Die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesmte Strecke Einfche Integrtionsregeln Linerität Beispiel ist berechnet sich dnn so: Uneigentliche Integrle sind Grenzwerte f(x) = lim f(x), b f(x) = lim f(x), f(x) = lim f(x), Prtielle Integrtion us der Produktregel der Differentition ls unbestimmtes Integrl geschrieben: Beispiel: Die Stmmfunktion des Hier wählten wir: Beispiel: Trigonometrische Funktion oder Exponentilfunktion ml Polynom Gnz nlog verf"hrt mn mit und entsprechend uch h"oheren Potenzen von x. Beispiel: Produkte trigonometrischer Funktionen Mit der Beziehung s(t) = (t) = + v (τ)dτ, t0 t0 t < t (t) = + ( ) + v (τ)dτ, t t t < t (t) = + ( ) + ( ) + (τ)dτ, t s s0 t s s0 s t t s3 s0 s t s t t v t 3 t t3 t0 = s0 = 0,, s(t) = (t) = s t, t0 t < t s(t) = t + c(t t), t t < t s3(t) = + c( ) + ( ) (t ), t t t t s( ) t3 s( t3) s0 t3 t0 t t t3 t t t3 = s( ) t3 t3, b reell : f(x) + bg(x) = f(x) + b g(x) b c b : f(x) = f(x) + f(x) b f(x) = c b f(x) b 3sin(x) + = 3 sin(x) + = 3cos(x) + 4 x x + C b b b u(s) v (s)ds = u(x)v(x) u()v() c 3 x3/ u (s)v(s)ds u(x) v (x) = u(x) v(x) u (x)v(x) + C ln soll bestimmt werden ln(s)ds = ln(s) ds = xln(x) ln() sds = xln(x) ln() (x ) = xln(x) x + C u(s) = ln(s) u (s) = /s, v (s) = v(s) = s s xsin(x) ssin(s)ds = x(cos(x)) (cos(x)) cos(s)ds = xcos(x) + cos() + sin(x) sin() = xcos(x) + sin(x) + C exp(x) = xexp(x) exp(x) + c = xexp(x) + exp(x) + C sin (x) = sin(x)sin(x) = cos(x)sin(x) ( cos (x)) + C

3 (Stz des Pythgors) knn mn ds Integrl uf der rechten Seite in eines über sin umschreiben und ht dnn ein Integrl vom Typ der linken Seite vorliegen. Also Entsprechend behndelt mn. Höhere Potenzen wie usw. knn mn rekursiv durch Schreiben der Funktion ls Produkt sin 3 = sin sin usw. uf Integrle über die niedrigeren Potenzen zurückführen. In den Formelsmmlungen findet mn entsprechende Rekursionsformeln. D die Rechnungen umständlich sind, benutzt mn dzu besser ein CAS. Integrtion durch Substitution Herleitung der Substitutionsregel Vorussetzung: g sei im Integrtionsintervll umkehrbr und f und g seien differenzierbr. Wir differenzieren mit der Kettenregel die verkettete Funktion f g, uch geschrieben ls oder Durch Integrtion über f(g)(x) (,x) In umgekehrter Reihenfolge geschrieben: g(x) f g() bestimmen wir uf beiden Seiten der Gleichung die Stmmfunktion, wir schreiben dies von rechts nch links uf. f (g(s)) g (s)ds = (f(g(s)) ds = f(g(x)) f(g()) = g(x) f (z)dz g() Wir hben dbei offenbr die Funktion g durch eine neue Vrible z substituiert (ersetzt) wobei der Wert des Integrls sich nicht geändert ht. Etws bgekürzt geschrieben: f (g(s)) g (z=g(x)) (s)ds = g(x) f (z)dz = f(g(x)) f(g()) g() In der noch kürzeren Stmmfunktionsschreibweise hier sind bei einer Auswertung des Integrls ber die geänderten Integrtionsgrenzen zu bechten! In der bei Ingenieuren beliebten Schreibweise mit Differentilen schreibt sich die Substitutionsregel so: dg Mn sollte sich dbei immer die Bedeutung der Umformungen und Rechnungen vergegenwärtigen ist ein fester Ausdruck für die Ableitung von g nch der Vriblen x usw. Mn knn lso diesen Term nicht einfch durch Multipliktion mit kürzen, uch wenn ds uf formler Ebene durch den Integrtionsprozess so wirkt. Die unterschiedlichen Grenzen der Integrtion in den Integrlen sind uch zu bechten. Rechnen mit der Substitutionsregel f (g(s)) g (z=g(x)) (s)ds = g(x) f g() bzw. ls unbestimmtes Integrl = sin (x) + cos (x) cos (x) = sin (x) = x sin (x) + C cos,sin cos sin 3, sin 4 f(g(x)) sin (x) = cos(x)sin(x) + x + C (f(g(x)) = f (g(x)) g (x) (z)dz = f(g(x)) f(g()) = (f(g(s)) ds = f (g(s)) g (s)ds f (g(s)) g (z=g(x)) (s)ds = f (z)dz = f(g) + C. df(g(x)) dg df(g) = dg = f(g(x)) + C dg (g(x)) (x) f g (z=g(x)) = dg (z)dz = f(g(x)) f(g()) f (z)dz = f(g(x)) + C Beispiel: Linere Trnsformtion im Argument Substitution hier : cos(3s + 4)ds = cos(3s + 4) 3ds = 3x+4 cos(z)dz = (sin(3x + 4) sin(3 + 4)) z = g(x) = 3x + 4, g (x) = 3 Zum Vergleich: Rechnung in der Physikernottion mit Rücksubstitution zum Schluss: 3+4

4 Anlog für ndere Funktionen Verkettung mit ffin linerer Trnsformtion : Probe jeweils durch Differenzieren. Beispiel Exponentilfunktionen /Logrithmus Stmmfunktion des Tngens Integrle die enthlten umgekehrte Anwendung der Substitution Setze in einem pssenden Intervll, in dem die Sinusfunktion umkehrbr ist ( z.b., genue Diskussion im pdf Skript Beispiel). Zum Beispiel x dz z = 3x + 4, = 3 cos(3x + 4) = cos(z) = sin(z) + C = sin(3x + 4) + C (7s 5) 3 ds = (7x 5 ) + C f (x) = x 0,,g(x) = x + 77 : (s + 77) 0, ds = (x + 77 ) + C (,), cos(0,5x + 5) = sin(0,5x + 5) + C Im Intervll ist sodss mn im Integrl den Betrg uch weglssen knn, der Integrnd ist dnn gerde, seine Stmmfunktion somit t + C. Logrithmische Integrtion ls Sonderfll der Substitutionsregel 3t + dt = 3 (3t + ) 3 + C 46 (r + ) dr = ln x + + C exp( x ) = xexp( x ) = exp(z)dz = exp( ) + C, Substitution: z = x x 4 exp( x 5 ) = 5 exp( ) = exp( ) + C, 5 x4 x 5 x 5 Substitution: z = x 5 cos(x)exp(sin(x)) = exp(z)dz = exp(sin(x)) + C, Substitution: z = sin(x) sin(exp(x)) exp(x) = sin(z)dz = cos(exp(x)) + C, Substitution: z = exp(x) cos(x) ln(sin(x)) (z=exp(x) = dz 3 3 ln(z)dz = zln(z) z + C = sin(x)(ln(sin(x)) ) + C sin(x) tn(x) = (z=cos(x)) = dz = ln(z) + C = ln(cos(x)) + C cos(x) z [π/;π/[ x(t) = sin(t) x (t) = cos(t), x = sin (t) = cos (t), t = rcsin(x) = x cos(t) (t)dt = dt = t + C = rcsin(x) + C x x(t) cos(t) [π/;π/[ 0 cos(t) = cos(t) g (x) (z=g(x)) = dz = ln(z) + C = ln g(x) + C g(x) z 3 Beispiele Zunächst Polynomdivision, dnn Substitution /logrithmische Integrtion. Allgemeinere Probleme dieses Typs werden weiter unten unter Prtilbruchzerlegung behndelt. Kombintion von prtieller Integrtion und Substitution. 6 x5 + x (z= x 6 + x +4 dz = ln( x 6 + x + 4) + C x 6 x = = + = ( + ln ) + C x 5 x 3 x x z x 3 3 x3 x 3

5 3 exp( x ). exp( ) Beispiel Gesucht ist Wir schreiben den Integrnden x 3 x ls Produkt der Funktionen u(x) =, v (x) = xexp( x ), x 3 exp( x ) = u(x) v (x), v(x) = v (x) = exp( x ) Hier hben wir zur Bestimmung von v die Substitutionsregel mit z = x ngewndt. Nun erhlten wir mit prtieller Integrtion Bei der Berechnung des letzten Integrls wurde noch einml die Substitutionsregel verwendet. Ähnliche Beispiele /Aufgben nch demselben Muster: x 3 exp( x x ) = xexp( x x ) = exp( x ) exp( x ) = Hier muss mn sich immer überlegen: Wie zerlege ich den Integrnden so in ein Produkt, dss ich einen Fktor (nämlich v ) mit der Substitutionsregel ufintegrieren knn. Zur Lösung von Aufgben dieses Typs muss mn sowohl prtielle Integrtion ls uch Substitutionsregel gut beherrschen, dmit mn den Zerlgungsnstz schnell findet. Übungen zum formlen Integrieren Substitutionsregel nwenden! (wird uch für ds Kpitel Differentilgleichungen benötigt!) Geben Sie jeweils eine Stmmfunktion n. z,u,v,g seien bzgl x IR differenzierbre Funktionen. Buen Sie sich selber nch diesen Mustern Aufgben mit konkreten Funktionen! x Integrtion über komplexwertige Funktionen sttt prtieller Intergrtion bei sin, cos, exp Produkten = exp( ) exp( ) + C = ( )exp( ) + C x x x Funktionen, die Produkte von Exponentil und trigonometrischen Funktionen sind, lssen sich schnell über die komplexwertige Exponentilfunktion einer reellen Vriblen integrieren. x (x + ) 3 sin((x + ) ), exp(x)sin(exp(x)), 5 exp( x ) sin(z(x)) z (x) (x),, (x)exp(z(x)), z + z z z (x)z(x)exp( z (x)), u (x) g, (x) + 7 u(x) + 7 g(x) + 7x u u u 3 (x) + 7 u (x), (x)3 (x) = u(x) + 7 exp : R C, exp(λx),x R, λ = α + jβ, e λx = e αx (cos(βx) + jsin(βx)) Denn einerseits ist e αx cos(βx) = Re( e λx ) e αx sin(βx) = Im( e λx ) ndererseits rechnet mn nch, dss die komplexwertige Exponentilfunktion einer reellen Vriblen sich nlog zur reellwertigen differenzieren und integrieren lässt. ( e λx ) = λ( e ) λx ds+ = ( ) = + C λ eλx λ = α jβ cos(βx) = Re( ) = Re( e αx e λx ) + C = Re( λ eλx ) e ) + C = αx (αcos(βx) + βsin(βx)) + C λ eλx λ α + β e λs λ eλx e λ Also erhält mn z.b. (bechte: Teilen durch eine komplexe Zhl durch Erweitern mit der konjugiert komplexen ) sowie sin(βx) = Im( e αx e ) = αx (αsin(βx) βcos(βx)) + C λ eλx α + β Die Alterntive zur komplexen lgebrischen Rechnung wäre eine zweimlige prtielle Integrtion gewesen. Bechte Differentition und Integrtion werden hier nur bezüglich einer reellen Vriblen x durchgeführt. Die Integrtion über eine komplexe Vrible muss nders gerechnet werden! Beispiel: us der ermittelten Formel oder mit eigenen Zwischenschritten α =,β = 5,λ = + 5j sin(5x) = Im( e ) x e = x (sin(5x) 5cos(5x)) λ eλx + 5 Prtilbruchzerlegung

6 Prtilbruchzerlegung Vorbereitung einführende Beispiele, einfche Grundintegrle. Hier geht es um die Integrtion von gebrochen rtionlen Funktionen f (x) = P(x) Q(x) P,Q Polynome Die Grundidee bei der Integrtion ist, die gebrochen rtionle Funktion zunächst in eine Summe von reltiv einfch integrierbrer Funktionen die Prtilbrüche zu zerlegen. Wir strten mit einem einfchen Beispiel. Beispiel PZ P = konstnt, Q vom Grd mit zwei einfchen Nullstellen. Ds Nennerpolynom muss fktorisiert werden. Dzu sind zunächst dessen Nullstellen zu bestimmen. Zu den rechts stehenden Funktionen und kennen wir die Stmmfunktionen. Zu bestimmen sind lso lediglich die Unbeknnten Diese erhält mn, indem mn die Gleichung mit den Nennerfktoren und durchmultipliziert und dnn einfch die Nullstellen einsetzt. Somit ergibt sich ls Stmmfunktion (x) = = = + 3x + (x )(x ) (x ) f x Treten die Fktoren oder in höheren Potenzen uf, so ist ein nderer Zerlegungsnstz zu wählen. Beispiel PZ konstnt und Q vom Grd 3 mit einer einfchen und einer doppelten Nullstelle. P = Hier knn mn nur B,C mit dem Trick des ersten Beispiels bestimmen. Multipliktion der Gleichung mit den jeweils höchsten Potenzen, Die verbleibende Konstnte ermittelt mn us der Gleichung durch Einsetzen eines beliebigen nderen Wertes von (u\3er. ) Z.B. ergibt sich für A B (x ) /(x ) /(x ) A,B. (x ) (x ) = A(x ) + B(x ) ergibt fürx = : A =, und für x = : B = (x ) (x ) f(x) = f (x) = + + c = ln x + ln x + C (x ) x ) A B C (x) = = + + (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) f = A(x )(x ) + B(x ) + C(x ) ergibt fürx = : B =, und für x = : C = (x ) (x ) A x, x = 0 Die Stmmfunktionen dürften dmit klr sein. = A()() + ()() + () und somit A = + + = ln x + + ln x + (x ) (x ) (x ) (x ) In diesem Beispiel ist bereits der Fll enthlten, dss ein Polynom vom Grd mit doppelter Nullstelle ist (Term zu ). Beispiel PZ3: keine reellen Nennernullstellen Wir betrchten nun den Fll, dss ds Nennerpolynom keine reellen Nullstellen besitzt. somit keine reellen Nullstellen. Dies ist kein Kndidt für die Prtilbruchzerlegung, sondern für eine Substitution wie wir gleich sehen werden! Zunächst erinnern wir uns, dss die Stmmfunktion von x gerde der ist Ds folgende, etws llgemeinere Integrl berechnen wir nun mit der Substitutionsregel: Q B,(x ) P =, Q = x + px + q, p 4q < 0 /( + ) rctn(x) = rctn(x) + + x C = = rctn(x/d) + x d d (x/d) + d Den llgemeinen Nenner Q können wir uf diesen Fll durch qudrtische Ergänzung zurückführen (umschreiben in Scheitelpunktsform) C Mit der Abkürzung Q = x + px + q = x p + px + + q = (x + + q 4 ) p 4 p 4 p

7 = + q > 0 d p 4 erhlten wir dnn us der vorigen Integrtion (x ist lediglich verschoben siehe Beispiele zur Substitution ) x + = rctn( + q) p + + px + q x d Q = x + bx + c, p = b/,q = c/. Den etws llgemeineren Fll führt mn durch Ausklmmern von uf den behndelten Fll zurück: PZ4: Einfchstes Beispiel zum Fll: Q mit konjugiert komplexer Nullstelle, Zerlegung in log und rctn Integrl x + x = + x + x + x + x + = ln( + ) + rctn(x) + C x x + d C Diese vier Beispiele enthlten nun schon lle wesentlichen Zutten und Techniken für die llgemeine Prtilbruchzerlegung. Je nch vorliegendem Integrnden müssen sie nur noch geschickt miteinnder kombiniert werden. Grundlegendes zur Methode der Prtilbruchzerlegung Gesucht sind Stmmfunktionen von gebrochen rtionlen Funktionen. Schritt: Wenn Grd(P) Grd(Q) vorliegt, so wird zunächst eine Polynomdivision durchgeführt um folgende Sitution zu erzeugen: wobei P gnzrtionl und Grd(P_) < Grd(Q), somit P/Q echt gebrochen rtionl ist. Wir gehen lso im folgenden immer von einer echt gebrochen rtionlen Funktion f = P/Q us. Wenn Grd(P) Grd(Q) erübrigt sich die Polynomdivision. Die Prtilbruchzerlegung ist ein eine lgebrische Methode um diese Funktion in eine Summe von elementr integrblen Funktionen die Prtilbrüche zu zerlegen: P(x) f = = c (x) Q(x) k f k k Wir werden sehen: Ds ist so relisierbr, dss die Funktionen f k immer mindestens eine der folgenden Funktionen ls Stmmfunktion besitzen: Eine Potenzfunktion, eine Logrithmusfunktion oder eine rctn Funktion, wie in den drei Einführungsbeispielen. Ausgngspunkt der Zerlegung ist wieder eine Fktorisierung des Nenners Q nch Nullstellen. Zwei zentrle Sätze dzu: Huptstz der Algebr: Jedes Polynom (über dem Körper der komplexen Zhlen) vom Grd n besitzt genu n Nullstellen (drin die reellen enthlten, mehrfche uch mehrfch gezählt). Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten, ds eine (echt) komplexe Zhl ls Nullstelle besitzt, ht uch die konjugiert komplexe Zhl ls Nullstelle. Die Konsequenz: Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten lässt sich fktorisieren in ein Produkt us lineren und reellen qudrtischen Fktoren, nämlich: Linerfktoren für die reellen Nullstellen x l : (x x l ) ml, m l sei dbei die Vielfchheit der Nullstelle x l Qudrtische Fktoren für nichtreelle Nullstellen ergeben multipliziert qudrtische Terme : sowie Potenzen dvon, bei mehrfchen nichtreellen Nullstellen. f(x) = P(x) Q(x) f(x) = + P P,Q Polynome Sie sollten zuvor die einfchen Beispiele des verlinkten Kurzskripts zum Them Prtilbruchzerlegung gelesen und verstnden hben. Ds Folgende but druf uf! P(x) Q(x) (x )(x ) = x Re( x l ) + x l x l x l Ein großes Beispiel ds bereits lle wesentlichen Fälle enthält: = = = j, = + j, (x )(x ) = ( + 4x + 5) Q(x) = x 4 + x 3 x 6x + 5 = (x ) ( x + 4x + 5) Q besitzt lso eine doppelte reelle Nullstelle x x und die konjugiert komplexen x3 x4 x3 x4 x Ht mn nun ein Polynom P vom Grd höchstens 3 ls Zähler gegeben, so würde mn für f = P/Q folgende Zerlegung nsetzen:

8 ,,, und die Koeffizienten A A B B so bestimmen, dss beide Seiten gleich sind. Wie mn ds geschickt mcht, siehe unten. Einfch diverse x Werte einsetzen und ein Gleichungssystem lösen (hier mit 4 Unbeknnten) funktioniert zwr immer, ist ber oft zu umständlich und umgehbr. Bechte: Für die doppelte Nullstelle x = genügt es nicht, nur A/(x ) in den Anstz zu stecken, mn muss uch die niedrigeren Potenzen berücksichtigen! Die ersten beiden Terme der Zerlegung können wir nun sofort integrieren: P(x) A A Bx + B f(x) = = + + ( ) Q(x) (x ) (x ) ( x + 4x + 5) A A = A ln x + C = + C (x ) Für den 3. Term müssen wir eventuell noch eine weitere dditive Zerlegung vornehmen mit einem noch zu bestimmenden Koeffizienten B3 : Bx + B ( x + 4x + 5) B x + 4 = + ( x + 4x + 5) Wrum gerde diese Zerlegung? Weil wir dfür eine logrithmische und eine rctn Stmmfunktion bestimmen können. Der 3. Term ist ein Quotient us linerer Funktion im Zähler und qudrtischer Funktion im Nenner. Trick: Additive Zerlegung des 3. Terms in Integrnden mit logrithmischer und rctn Stmmfunktion. Wir sehen uns gleich die llgemeine Sitution n, um zu zeigen, dss die Zerlegung immer möglich ist: Es sei b Stmmfunktion zu Bx + B ( x + bx + c) In folgenden Fällen spezieller Zählerfunktionen können wir sofort Stmmfunktionen finden: Logrithmische Stmmfunktion für einen Integrnden des Typs /u mit der Substitution Arctn Stmmfunktion über qudrtische Ergänzung und Substitution für einen Integrnden des Typs : Also liegt es nhe, den 3. Term in diese beiden speziellen Integrnden zu zerlegen: A (x ) (x ) B3 ( x + 4x + 5) u u = + bx + c x + b = du = ln x + bx + c + C + bx + c x u x 4c < 0 = rrctn(r(x + b)) + C mit r = x + bx + c 4c b und gesucht werde die lso : B Bx + B ( x + bx + c) B x + B = (x + b) + B b B x + b B B = + ( b ) x B + bx + c x + bx + c Der erste Bruch der rechten Seite ht wie oben gezeigt eine logrithmische Stmmfunktion, der zweite eine vom Typ rctn, wir müssen lso nur noch zusmmensetzen: B x + B B = ln + bx + c + ( b )rrctn(r(x + b)) + C mit r = ( x x + bx + c) B B Einsetzen von und sowie Addition der Stmmfunktionen von und ergibt lso die Stmmfunktion von, siehe unten. Anmerkung: Bis hierher wurde bewusst kein konkretes Zählerpolynom P ngegeben, die Ausführungen möglichst llgemein gehlten, um zu zeigen, dss für den Zerlegungsnstz nur die Nullstellen des Nenners Q relevnt sind. P knn bisher lso irgendein Polynom vom Grd kleiner oder gleich 3 sein! Trick: Bestimmung der konkreten Koeffizienten Wir geben uns nun ein konkretes Polynom ls Beispiel in (*) vor. Würden wir ncheinnder 4 verschiedene x Werte in (*) einsetzen, ergäbe sich ein lineres Gleichungssystem mit 4 Unbeknnten, ds mn lösen könnte um die Koeffizienten zu bestimmen. Wir kürzen ds jedoch mit einem kleinen Trick b (er entspricht der strukturnutzenden Lösung eines speziell strukturierten Gleichungssystems). Multipliziert mn die Gleichung (*) mit der höchsten Potenz und erhält mn: Links kürzen mit und dnn setzen. Dmit verschwinden Terme und es bleibt 4c b b = 4 c = 5 /(x ) /(x ) f,,,. A A B B P(x) = x 3 0 x + 7x 3 (x ) (x ) x 3 0 x + 7x 3 = (x ) + + (x (x ) ( x A A ) + 4x + 5) Bx + B ( x + 4x + 5) (x ) x = x 3 0 x + 7x 3 5 = = = ( x + 4x + 5) x= 0 A

9 ( x + 4x + 5) A ( x + 4x + 5) = 0,5 (x ) x 7 x + = A( x + 4x + 5) + (x )( x + ) B B x = = 7/0 Nun multiplizieren wir die Gleichung mit, bringen den Term mit A durch Subtrktion uf die linke Seite, dividieren die Gleichung durch und erhlten Nun setzen wir wieder und lesen so b A. B, B ergeben sich durch Ausmultiplizieren der rechten Seite x 7 + = ( B + A) x + ( + )x + 5 A B B A B A = 0,7 = 7/0 =,7, = 4 und Koeffizientenvergleich ( einsetzen!) der Polynome uf beiden Seiten: B Im Ergebnis hben wir nun, wenn wir lles wieder zusmmensetzen, folgendes Integrl erhlten (Prmeter: ): Einige Spezilfälle/Aufgben, hier nur der Zerlegungsnstz, Koeffizientenberechnung und nschließende Integrtion wie im vorngegngenen Beispiel Beispiel: Q mit zwei rellen Nullstellen Die Gleichung mit den Linerfktoren multiplizieren, Nullstellen einsetzen, ergibt: A Beispiel: Q mit dreifcher reeller und doppelter reeller Nullstelle Multiplizieren mit den höchsten Potenzen, bwechselnd die Nullstellen einsetzen liefert und. Die nderen Koeffizienten erhält mn durch Einsetzen geeigneter x Werte und Lösung eines lineren Gleichungssystems. B b = 4,c = 5,r = / 3 0 x + 7x 3 = 0,7ln x + 7 ln + 4x + 5 7,4rctn(x + )) + C x 4 + x 3 x x 6x + 5 (x ) 0 5 A B f(x) = = + (x )(x ) (x ) (x ) = 5,B = 5 A A A3 B f(x) = = (x ) 3 x (x ) (x ) (x ) 3 x (x ) 3 x A3 B B x Einfchstes Beispiel: Q mit konjugiert komplexer Nullstelle, Zerlegung in log und rctn Integrl x + x = + x + x + x + x + = ln( + ) + rctn(x) + C x x + Beispiel: Q mit komplexer/konjungiert komplexer Nullstelle, nur Zerlegung in log und rctn Integrl (Teilufgbe im großen Beispiel oben) 3x + 5 3(x + ) = + x + x + 4 ( + x + 4) x x + x + 4 3x + 5 = ln( x + x + 4) + rctn( ) x + + x + 4 x Beispiel: Q mit zwei doppelten reellen und komplexer/konjungiert komplexer Nullstelle x = x = f(x) = x x ( x ) ( x + ) Zwei doppelte Nullstellen des Nenners bei und und eine komplexe mit konjugiert komplexer. Anstz : x x A A B B Cx + = ( x ) ( x + ) (x ) (x ) (x + ) (x + ) x + Vorgehen im Prinzip wie beim großen Beispiel oben, mit Koeffizientenvergleich zum Schluss. Ergebnisse zur Kontrolle für die Mutigen, die es rechnen mögen: C

10 Trnsformtionen die uf gebrochen rtionle Funktionen führen. Einige Brüche nderer Funktionenklssen knn mn durch Substitution uf gebrochen rtionle Funktionen zurückführen und dnn mit Prtilbruchzerlegung behndeln. sei eine rtionle Funktion in Vriblen, d.h. Zähler und Nenner sind jeweils Polynome in Vriblen. Beispiel R(u,v) Rtionle Funktionen von Trigonometrischen Funktionen Liegt eine solche Funktion in den Vriblen die Trnsformtion in eine gebrochen rtionle Funktion bzgl t überführen. Substitutionsregel "rückwärts". Rtionle Funktionen von Hyperbelfunktionen R(sinh(x),cosh(x)) Geht nlog mit der Substitution t = tnh(x() Rtionle Funktionen von Wurzelusdrücken Siehe zum Beispiel die Übersicht hier Zusmmenstellung typischer Integrlsubstitutionen oder Formelsmmlungen von Ppul oder Bronstein. Rtionle Funktionen von Exponentilfunktionen Substitution t = e x,x = ln(t), = R(u,v) = uv 4 v 3u + u 7 u + uv u 4 v 5 u = sin(x),v = cos(x) t = rctn(x/), x = rctn(t), = t sin(x) = cos(t) = t dt + t + t + t dt t R(sin(x),cos(x)) = R(, ) dt x dt (t) = = + t + t + t t t 0 e x e x n e nx R( e x ) = b0 be x be x b n e nx t R( ) = R(t) dt e x t vor, so knn mn sie durch