JOHANN WOLFGANG GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT AM MAIN

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1 JOHANN WOLFGANG GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT AM MAIN FACHBEREICH WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTEN Ulrch Kaser/Andrea Szczesny Enfache ökonometrsche Verfahren für de Kredtrskomessung: Logt- und Probt-Modelle No.61 Dezember 2000 WORKING PAPER SERIES: FINANCE & ACCOUNTING

2 Ulrch Kaser/Andrea Szczesny** Enfache ökonometrsche Verfahren für de Kredtrskomessung: Logt- und Probt-Modelle* No.61 Dezember 2000 ISSN * Dpl.-Volkswrt Ulrch Kaser, Zentrum für Europäsche Wrtschaftsforschung, Forschungsberech Industreökonomk und Internatonale Unternehmensführung, L 7,1, Mannhem und Zentrum für Fnanzen und Ökonometre an der Unverstät Konstanz. Dpl.-Wrtsch.-Inf. Andrea Szczesny, Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, nsb. Controllng, Johann Wolfgang Goethe-Unverstät Frankfurt, Mertonstr. 17, Frankfurt am Man. ** Deser Betrag hat von hlfrechen Kommentaren von Chrstan Ernst und Bettna Peters sowe vor allem von Franços Lasney stark proftert. Ulrch Kaser dankt der Deutschen Forschungsgemenschaft für fnanzelle Unterstützung m Rahmen des Schwerpunktprogramms Industreökonomk und Inputmärkte (Projekt PF331/3-3). Bede Autoren snd den am Projekt Kredtmanagement des Center for Fnancal Studes (CFS) betelgten Banken und dem CFS für de Beretstellung der Daten zu Dank verpflchtet. Sämtlche her vorgestellte Schätzungen wurden am Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, nbes. Controllng an der Unverstät Frankfurt am Man durchgeführt.

3 Enfache ökonometrsche Verfahren für de Kredtrskomessung: Logt- und Probt-Modelle Dezember 2000 Zusammenfassung Deser Betrag stellt verschedene ökonometrsche Methoden zur Bewertung und Berechnung von Kredtausfallrsken vor und wendet dese auf enen Datensatz sechs deutscher Unversalbanken an. Im Mttelpunkt stehen dabe Logt- und Probtmodelle, mt deren Hlfe de Ausfallwahrschenlchket enes Kredtes geschätzt werden kann. Dabe werden auch moderne Verfahren zur Analyse von Paneldaten besprochen. Bespele und Interpretatonshlfen zu den jewels vorgestellten Methoden erlechtern den Zugang zu desen Modellen. Es werden zahlreche Hnwese auf weterführende Lteratur gegeben. Abstract Ths paper descrbes smple econometrc methods for the analyss of credt rsk and apples them to a data set obtaned from credt fles taken from sx large German unversal banks. The paper focuses on probt and logt models whch enable the credt analyst to quantfy the default probablty of an ndvdual credt. Recent developments n the analyss of panel data are also ntroduced. Emprcal examples for the methods facltate the understandng of the econometrc models descrbed n the paper. Numerous suggestons for further readng complete ths short walk down the econometrc quantfcaton of credt rsk. Keywords: credt rsk, default rsk, probt and logt models, panel data JELClassfcaton: C23 C25 G21

4 1 Enführung Das Kredtgeschäft als tradtonelles Betätgungsfeld der Banken steht unter Reformdruck. Vor dem Hntergrund der gestegenen Anforderungen an das Rskomanagement der Banken hat auch der Basler Ausschuss für Bankenaufscht, en von den G-10 Staaten m Jahre 1974 ns Leben gerufenes Forum zur nternatonalen Koordnaton der Bankenaufscht, Reformvorschläge zum Rskomanagement formulert. Im Jul 1999 wurde vom Basler Ausschuss en Konsultatonspaper mt Vorschlägen zur Neuregelung der angemessenen Egenkaptalausstattung für Banken (Basel II) vorgelegt (Basel Commttee on Bankng Supervson, 1999). Dese sollen den Basler Akkord von 1988 (Basel I) ersetzen (Basel Commttee on Bankng Supervson, 1988). Basel II brngt vor allem Reformen für das Unternehmenskredtgeschäft mt sch, das bslang ener Pauschalhnterlegung von acht Prozent des Egenkaptals unterlag. Geradezu revolutonär st vor allem der Vorschlag, dass Banken hre nternen Bontätsenstufungen nutzen dürfen, um ene rskoadäquate Egenkaptalunterlegung zu errechen (Internal Ratngs- Based Approach, IRB). Der Basler Ausschuss stellt n ener m Frühjahr 1999 durchgeführten Stude unter rund 30 Banken der G-10-Staaten zur gänggen Praxs fest, dass sch de Methoden der Rskomessung m Kredtgeschäft erheblch unterscheden. De Bandbrete recht von vollständg auf Expertenaussagen baserenden Systemen bs hn zu ausschleßlch statstschen Methoden. Zudem stellte der Ausschuss fest, dass es noch erheblch an Datenmateral mangele. Be der banknternen Quantfzerung von Rsken, und erst recht be der erforderlchen Valderung der Ratng-Systeme durch de Bankenaufscht werden allerdngs ausrechende Daten gebraucht (Basel Commttee on Bankng Supervson, 2000a). Der Ausschuss legt n senen geplanten Reformen besonderen Wert darauf, den Banken Anreze zu setzen, hre Methoden zu Rskomessung und -management weterzuentwckeln. Der Kredtrskoberech st, was de angewendete Methodk betrfft, m Verglech zum Marktrskoberech wet zurück gebleben. Üblcherwese werden Kredtmerkmale, de sch n der Vergangenhet als rskobestmmend herausgestellt haben, entsprechend den gesammelten Erfahrungswerten gewchtet und zu enem Kredt-Scorng verdchtet. Zur Bestmmung der Faktoren und Gewchte werden telwese enfache statstsche Ver-

5 2 fahren engesetzt, de subjektve Enschätzung von Kredtanalysten spelt jedoch mest ene übergeordnete Rolle. En Vortel deser Vorgehenswese st scherlch der gernge Aufwand be der Konstrukton des Systems und de anschleßend enfache Anwendbarket. Dese Vorgehenswese mag zwar n der Vergangenhet durchaus angemessen gewesen sen, we z.b. Wu (1965) zegt. Es zechnet sch jedoch ab, dass das Kredtrskomanagement zu enem der entschedenden Wettbewerbsfaktoren der Fnanzndustre werden wrd. En modernes Kredtrskomanagement wrd n Zukunft mt höheren methodschen Anforderungen verbunden sen. Über de bslang angewendeten Verfahren hnaus, de mehr oder mnder auf Expertenwssen beruhen, gbt es ene Rehe enfacher ökonometrscher Methoden, de be der Messung von Ausfallrsken gute Denste lesten können. Mt hrer Hlfe können aus dem Datenmateral der Banken also aus den n der Vergangenhet gesammelten Erfahrungen wertvolle Erkenntnsse gewonnen und für das Rskomanagement nutzbar gemacht werden. De Verfahren snd n Standardsoftwarepaketen verfügbar und enfach anwendbar. Trotzdem kommen se bslang n der Praxs ncht oder nur selten zum Ensatz. En Grund dafür legt wahrschenlch darn, dass se bslang n anderen Fachgebeten genutzt wurden, bespelswese n der Arbetsmarkt- und Industreökonomk, den Ingeneur- und Naturwssenschaften sowe der Sozologe. Das Zel deser Arbet legt darn, den Zugang zu den Methoden zu erlechtern, ndem hre wesentlchen Egenschaften m Kontext der Rskomessung anschaulch beschreben werden. Darüber hnaus werden zahlreche Interpretatonshlfen anhand von Schätzungen aus dem Berech der Kredtrskomessung gegeben. De Kredtrskomessungsmethoden, de n desem Aufsatz beschreben werden, haben enes gemensam: Se modelleren Varablen, de qualtatve Ausprägungen bestzen. So kann en Kredt verschedene Qualtätszustände annehmen. Er kann z. B. vom Kredtnehmer vollständg bedent werden, nur telwese bedent werden oder ausfallen. Interessert den Analysten ledglch de Wahrschenlchket enes Kredtausfalles gegenüber der Wahrschenlchket der fortlaufenden Bedenung enes Kredtes, so stellen bnäre Probt- und Logtmodelle enen geegneten Analyseansatz dar. Dese Modelle werden n Abschntt 3.1 vorgestellt. Solche Zwezustandsmodelle snd natürlch dann unzurechend, wenn der Analyst verschedene Zustände beobachtet, de en Kredt annmmt.

6 3 Folgen dese Zustände ener natürlchen Ordnung, so können se mt geordneten Probt- bzw. Logtmodellen (Abschntt 3.2) untersucht werden. Beobachtet der Analyst z. B. neben den beden Zuständen Ausfall und Bedenung noch den Zustand telwese Bedenung, so folgen de Zustände ener natürlchen Ordnung, und de Determnanten deser Zustände können mt solchen geordneten Probt- bzw. Logtmodellen abgebldet werden. En Analyst wrd zunächst daran nteressert sen, de Robusthet sener Kredtausfallschätzungen zu überprüfen und enen Indkator für de Güte senes Modells zu fnden. In den Abschntten 3.3 und 3.4 stellen wr Spezfkatonstests und Gütemaße vor. Auf Erweterungsmöglchketen der bnären und geordneten Probt- und Logtmodelle wrd n Abschntt 3.5 engegangen. Dabe werden Paneldatenmodelle sowe Mehrglechungsmodelle mt Smultantät und mt Korrelaton der Fehlerterme skzzert. Abschntt 0 fasst de n desem Betrag vorgestellten Analysemethoden und Ergebnsse zusammen. Für ene Velzahl der m Folgenden vorgestellten Analysemethoden werden emprsche Bespele auf der Grundlage enes Kredtakten-Datensatzes gegeben. Deser Datensatz st n Abschntt 2 genauer beschreben. Sämtlche her vorgestellten Modelle snd n gängger Standardsoftware mplementert. Für mkroökonometrsche Methoden empfehlen sch aufgrund der Velzahl von Applkatonen de Programme STATA und Lmdep.1 De n desem Betrag durchgeführten Schätzungen wurden mt STATA 6.0 durchgeführt, alle her vorgestellten Modelle snd aber auch n Lmdep enthalten. 2 Daten 2.1 Datenquelle Alle Schätzungen werden auf der Bass enes Datensatzes durchgeführt, der m Rahmen des Projekts Kredtmanagement des Insttuts für Kaptalmarktforschung (Center for

7 4 Fnancal Studes, CFS), erhoben wurde. Es handelt sch dabe um Informatonen aus 260 Kredtakten mttelständscher Unternehmen der Kredtnsttute Bayersche Verensbank, Commerzbank, Deutsche Bank, Deutsche Genossenschaftsbank, Dresdner Bank und Westdeutsche Landesbank für den Zetraum von 1992 bs 1998 (nähere Angaben fnden sch unter anderem n Elsas et al., 1998).2 Um Verzerrungen der Stchprobe hnschtlch problembehafteter bzw. ncht problembehafteter Kredte zu vermeden, wurde der Datensatz hnschtlch deses Krterums geschchtet. 3 Für de her durchgeführten Untersuchungen standen uns Daten von jewels rund enhundert Kredtkunden zur Verfügung, be denen es während des Beobachtungszetraums zu Problemen gekommen st bzw. be denen kene Rückzahlungsschwergketen verzechnet wurden. Im folgenden Abschntt werden de Begrffe Ausfall, Telausfall und Vollausfall defnert. Darüber hnaus wrd en Überblck über de n den enfachen Modellen verwendeten Varablen gegeben. 2.2 Defntonen Ausfall: Um de Beschrebung der methodschen Verfahren überschtlch zu gestalten, sprechen wr durchgehend von Ausfall und Ausfallwahrschenlchket. Unter dem Eregns enes Ausfalls subsumeren wr allerdngs ncht nur Vollausfälle von Kredten, sondern das Auftreten jeglcher Schwergketen, de be der Vertragserfüllung auftreten können, da se mt zusätzlchen Kosten für de Bank verbunden snd. Dazu gehören de Stundung von Zns- und Tlgungszahlungen, das Enfordern zusätzlcher Scherheten, das Enleten von Umstrukturerungsmaßnahmen m operatven Geschäft der Unternehmen, das Verwerten von Scherheten, de Fällgstellung von Kredten, Abwcklungen, Vergleche, Konkurse und Sanerungen. Selbstverständlch können ökonometrsche Ansätze sämtlche verschedene Rskozustände modelleren. Aus Gründen der Überschtlchket 1 Informatonen zu STATA snd m Internet unter zu fnden, Informatonen zu Lmdep können unter abgerufen werden. 2 Wetere auf dem Datensatz aufbauende emprsche Studen fnden sch auf der Homepage des CFS ( 3 Auf Probleme von Stchprobenselektonsverzerrungen und deren Korrektur gehen wr n Abschntt en.

8 5 und der erlechterten Zugangs zu den verschedenen Schätzansätzen wrd jedoch de Zusammenfassung n ledglch zwe bzw. dre Rskozustände vorgenommen. Ken Ausfall, Telausfall und Vollausfall: Wenn ene Untertelung der Daten n de dre Kategoren ken Ausfall, Telausfall und Vollausfall vorgenommen wrd, dann verstehen wr unter Telausfällen das Auftauchen von Problemen be der Erfüllung von Kredtverträgen, de zu Verlusten auf Seten der Bank führen, aber ncht zwangsläufg n enen Vollausfall münden. Dazu gehören Probleme, de bespelswese zu ener Stundung von Zns- und Tlgungszahlungen, zum Enfordern zusätzlcher Scherheten oder zur Verwertung von Scherheten führen. Als Vollausfall bezechnen wr schwere Probleme be der Erfüllung des Kredtvertrages, de zum Bespel ene Fällgstellung nach sch zehen sowe Abwcklungen, Vergleche und Konkurse. Aber auch Sanerungen, de m Erfolgsfall natürlch kenen Vollausfall des Kredtes bedeuten, werden zu der Kategore Vollausfall gezählt. 2.3 Verwendete Varablen Deser Betrag stellt de Anwendung unterschedlcher Verfahren aus der Ökonometre n den Mttelpunkt. Daher wurden de Modelle des Anwendungsbespels aus der Kredtrskomessung bewusst enfach strukturert. Wr berückschtgen Informatonen zur Unternehmensgröße (Umsatz), zur Rechtsform (Haftungsbeschränkung) und zur Branchenzugehörgket der Unternehmen. Kennzahlen (Egenkaptalquote, dynamscher Cash-Flow und Anlagendeckung) geben Informatonen über de Vermögens-, Fnanz- und Ertragslage der Unternehmen. Eventuelle gesamtwrtschaftlche Enflüsse werden mt Hlfe von Indkatorvarablen für de unterschedlchen Beobachtungszetpunkte berückschtgt. Enen guten Ensteg n de Lteratur zu möglchen Indkatoren für das Kredtrsko und dessen Modellerung beten Altman und Saunders (1998) sowe de Veröffentlchungen des Basler Ausschusses für Bankenaufscht (2000a und 2000b). De folgenden Varablen werden für de emprsche Analyse verwendet: Ausfall: Bnärvarable, de be Problemen mt der Vertragserfüllung den Wert 1 annmmt und sonst den Wert 0 trägt (sehe dazu auch Kaptel 2.2).

9 6 Ausfall_3: Varable, de n dre Abstufungen Probleme anzegt. En Wert von 0 besagt, dass kene Probleme vorlegen, en Wert von 1 zegt Probleme an, de noch kenen Totalausfall des Kredts bedeuten und en Wert von 2 steht für schwere Probleme we Abwcklung, Verglech oder Konkurs (sehe dazu auch Kaptel 2.2). ln(umsatz): Varable, welche de Größe des Unternehmens anhand der Höhe sener Umsätze repräsentert. Dabe werden de Umsätze mt Hlfe des natürlchen Logarthmus transformert. ln(umsatz)²: Um eventuelle nchtlneare Enflüsse der Unternehmensgröße zu berückschtgen, werden quadrerte logarthmerte Umsätze n de Schätzungen aufgenommen. Egenkaptalquote: Egenkaptalquote des Unternehmens, berechnet als Quotent aus Egenkaptal und Blanzsumme. Cash-Flow: Dynamscher Cash-Flow, berechnet als Quotent aus Cash-Flow und Nettoverbndlchketen des Unternehmens. Anlagendeckungsgrad: Anlagendeckungsgrad, berechnet als Quotent aus mttelund langfrstgen Passva und mttel- und langfrstgen Aktva. Beschr. Haftung: Bnärvarable, de den Wert 1 annmmt, wenn de Unternehmer nur beschränkt haften, ansonsten den Wert 0 trägt. 1992, 1993,..., 1998: Bnärvarablen, de anzegen, aus welchem Jahr de Beobachtung stammt, wobe das Jahr 1992 n den Schätzungen als Referenz genommen wrd. Maschnenbau: Bnärvarable, de Unternehmen aus dem Sektor Maschnenbau kennzechnet, wrd n den Schätzungen als Referenzgröße genutzt. Verarb. Gew.: Bnärvarable, de Unternehmen aus dem übrgen Sektor des verarbetenden Gewerbes kennzechnet. Baugewerbe: Bnärvarable für Unternehmen aus dem Baugewerbe. Handel: Bnärvarable für Unternehmen aus dem Berech Handel

10 7 Sonstge: Bnärvarable für sonstge Unternehmen, de zum größten Tel aus dem Denstlestungsberech und dem Berech Transport und Logstk stammen. 3 Modelle für qualtatve abhängge Varablen 3.1 Zwezustandsmodelle: Bnäre Logt- und Probtmodelle Der enfachste Ansatz zur Modellerung enes Kredtausfallrskos st das bnäre Probtmodell. In desem enfachsten Fall können zwe möglche Zustände enes Kredtes beobachtet werden: er wrd bedent oder er fällt aus. Aus deser Informaton wrd ene abhängge Varable konstruert, de den Wert 0 annmmt, wenn Kredt bedent wrd und de den Wert 1 annmmt, wenn er ausfällt. 4 Dese Varable wrd m Folgenden mt Ausfall abgekürzt. Das Subskrpt ndzert dabe den ten Kredt. Wr nehmen an, dass das Ausfallrsko von den Varablen Frmengröße (ln(umsatz), ln(umsatz) 2 ), Vermögens-, Fnanz- und Ertragslage (Egenkaptalquote, Cash-Flow, Anlagendeckungsgrad), Branchenzugehörgket: Verarbetendes Gewerbe, Bauwrtschaft, Handel und Maschnenbau (als Basskategore) sowe der konjunkturellen Lage, de durch Zetdummes 1993 (Jahr 1993) bs 1998 (Jahr 1998) abgebldet wrd, bestmmt wrd. De Basskategore bldet dabe das Jahr Dese Bestmmungsgrößen werden, zusätzlch zu ener Konstanten, n enem Vektor erklärender Varablen, x, zusammengefasst. Bem bnären Probtmodell wrd davon ausgegangen, dass de zu erklärende Varable dann den Wert 1 annmmt, wenn ene unbeobachtbare Varable ene bestmmte Schwelle s überschretet, de für alle Kredte dentsch st. Dese latente Varable setzt sch aus dem Vektor der erklärenden Varablen und enem Vektor von zu schätzenden Parametern sowe enem unabhängg und dentsch normalvertelten Zufallsterm ε zusammen. Wenn deser Zufallsterm logstsch vertelt st, ergbt sch das Logtmodell. Im Fall der Kredtausfallrskomessung kann de unbeobachtbare, latente Varable als ene gewchtete Summe von Faktoren aufgefasst werden, de letztlch zum Kredtausfall führen. Überschretet dese Summe de Schwelle s, so kommt es zum Kredtausfall: 4 De Koderung deser Varablen st dabe wllkürlch. De her angegebene Spezfkaton modellert de Wahrschenlchket, dass en Kredt ausfällt. Lautete de Koderung umgekehrt, so würde de Wahrschenlchket des Ncht-Ausfalls spezfzert.

11 8 * 1wenn Ausfall = xβ + ε> s Ausfall = (1) 0sonst. Sofern der Fehlerterm ε ener symmetrschen Vertelung folgt, kann Glechung (1) n folgenden Wahrschenlchketen ausgedrückt werden: ε> s xβ ε s xβ PAusfall ( = 1 x) = P 1 F σ = σ ε s xβ ε s xβ PAusfall ( = 0 x) = P = F, σ σ (2) wobe F m Logtfall de Vertelungsfunkton der logstschen Vertelung und m Probtfall de Vertelungsfunkton der Standardnormalvertelung bezechnet. Der Parameter σ bezechnet de Standardabwechung des Fehlerterms. De Formulerung n (2) macht deutlch, dass es her um kondtonale Wahrschenlchketen geht. De Wahrschenlchket enes Kredtausfalls wrd auf den Vektor der Unternehmenscharakterstka x bedngt. Um de Identfkaton des Modells zu gewährlesten, müssen Restrktonen gesetzt werden. Standardsoftwareprogramme we z. B. STATA setzen σ =Π / 3 und s = 0 für das Logtmodell sowe σ = 1 und s = 0 für das Probtmodell. Dese Normerungen ändern an der Interpreterbarket des Modells nchts.5 Sowet es m Text ncht anders vermerkt st, bezehen sch de nun folgenden Ausführungen auf den Probtfall. De Berechnung des Koeffzentenvektors β erfolgt mt der Maxmum-Lkelhood- Methode. Dabe geht es darum, über de Wahl von β de Wahrschenlchket zu maxmeren, mt der der vorlegende Datensatz reproduzert wrd.6 De Schätzung von Paneldatenmodellen, de n Abschntt beschreben wrd, verlangt de Equdstanz, also enen zetlch glechen Abstand zwschen den enzelnen Beobachtungszetpunkten. Des st m uns vorlegenden Datensatz ncht der Fall. Velmehr exsteren zu engen Kredten mehr als ene Beobachtung nnerhalb enes Jahres. De 5 Alternatv zu deser Normerung hätten auch folgende Restrktonen gewählt werden können (1) σ = 1 und Koeffzent der Konstanten = 0 (Mtschätzen von s) sowe (2) Koeffzent der Konstanten = 0 und s = rgend en wllkürlcher Wert (Mtschätzen von σ).

12 9 Equdstanz der Beobachtungen wrd deshalb dadurch hergestellt, dass ledglch de jewels letzten Informatonen zu enzelnen Kredten betrachtet werden. Eregnsse, de zwschen zwe Beobachtungszetpunkten stattgefunden haben, werden pro Jahr kumulert und mt der letzten Beobachtung m Jahr angegeben. Zur Illustraton zegt Tabelle 1 de Ergebnsse des oben beschreben Modells zur Schätzung der Kredtausfallwahrschenlchket. De Tabelle zegt n den Spalten von lnks nach rechts de Varablenbezechnung, den Wert des geschätzten Koeffzenten, den zugehörgen Standardfehler und das emprsche Sgnfkanznveau. Zusätzlch werden noch Wald-Tests auf gemensame Sgnfkanz der Umsatzvarablen, der Zetdummes und der Branchendummes ausgewesen De Schätzung des enfachen Modells deutet darauf hn, dass de Unternehmensgröße kenen sgnfkanten Enfluss auf de Ausfallwahrschenlchket enes Kredtkunden hat. Deser wäre bespelswese durch Dversfkatonseffekte n der Produktpalette oder ene höhere Marktmacht zu erwarten gewesen. Möglcherwese wären her andere Größenndkatoren we etwa de Blanzsumme oder de Zahl der Beschäftgten besser geegnet gewesen. De Kennzahlen zur Vermögens-, Fnanz- und Ertragslage des Unternehmens zegen ene sgnfkante Wrkung auf de Ausfallwahrschenlchket. De Egenkaptalquote st negatv und sgnfkant auf dem 1-Prozent-Nveau: Je höher de Egenkaptalquote st, desto nedrger st de Ausfallwahrschenlchket. Der Cash-Flow und de Anlagendeckung snd auf dem 5-Prozent-Nveau sgnfkant, auch se haben enen negatven Enfluss. Ene Haftungsbeschränkung hngegen schent ncht mt ener sgnfkant höheren oder nedrgeren Ausfallwahrschenlchket verbunden zu sen. De Theore lässt enen postven Zusammenhang vermuten (Stgltz und Wess, 1981). Her können jedoch geegnete Vertragsgestaltungen durch das Kredtnsttut ene Rskoerhöhung durch den beschränkt haftenden Unternehmer verhndert haben (Bester, 1985 und 1987). De Koeffzenten der Jahresdummes snd allesamt hoch sgnfkant und postv, was bedeutet, dass 1992 en Jahr mt besonders wengen Kredtausfällen war. Auffällg st dabe, dass de Koeffzenten der konjunkturellen Schwächejahre 1997 und Verbeek (2000, Kap. 6) betet enen hervorragenden Ensteg n de Maxmum-Lkelhood-Methoden und n de Prnzpen numerscher Optmerung.

13 10 sgnfkant größer snd als de der Vorjahre. De konjunkturelle Lage hat also enen bedeutenden Effekt auf de Kredtausfallwahrschenlchket. Tabelle 1: Ergebnsse des Probtmodells Varable Koeff. Std.fehler p-wert Ln(Umsatz) -0,8744 0,8333 0,294 Ln(Umsatz) 2 0,0370 0,0361 0,306 Egenkaptalquote -2,8844 0,4011 0,000 Cash-Flow -0,4113 0,1735 0,018 Anlagedeckungsgrad -0,1253 0,0684 0,067 Beschr. Haftung -0,0251 0,1428 0, ,3484 0,1937 0, ,6876 0,1829 0, ,6720 0,1824 0, ,7729 0,1822 0, ,4553 0,2349 0, ,7664 0,3188 0,000 Verarb. Gew. -0,0594 0,1349 0,660 Baugewerbe -0,5983 0,2018 0,003 Handel -0,1343 0,1613 0,405 Sonstge -0,0346 0,1417 0,807 Konstante 4,7183 4,7828 0,324 Wald-Tests auf gemensame Sgnfkanz Varablen ch² d.o.f p-wert Umsatz 1,23 2 0,54 Jahresdummes 61,18 6 0,00 Branchendummes 9,80 4 0,04 Ges. Schätzung 200, ,00 Das höchste Ausfallrsko west der Sektor Maschnenbau auf, das gerngste kommt dem Baugewerbe zu. Dabe st anzumerken, dass es sch bem Baugewerbe um ene Branche handelt, de n den betrachteten Jahren von der Wederverengung besonders profteren konnte. Maschnenbau, Verarbetendes Gewerbe und de sonstgen Unternehmen unterscheden sch ncht sgnfkant vonenander. De Ergebnsse n Tabelle 1 können zwar qualtatv als Effekte auf de Ausfallwahrschenlchket nterpretert werden, der numersche Wert deser Effekte lässt sch aus deser Darstellung jedoch ncht ablesen. Während de geschätzten Koeffzenten m lnearen Regressonsmodell nämlch unmttelbar als margnale Effekte bzw., be logarthmerten Größen, n Elastztäten oder Semelastztäten zu nterpreteren snd, müssen dese bem bnären Probtmodell zunächst noch berechnet werden.

14 11 An deser Stelle se angemerkt, dass de absolute Größe selbst ener standardserten also ener auf enen Mttelwert von 0 und ene Standardabwechung von 1 normerten Varable keneswegs Auskunft über de Trennkraft ener Varablen gbt, we es Backhaus et al. (2000: 113) formuleren. Sofern Trennkraft de Präzson bezechnet, mt der en Koeffzent gemessen wrd, dann st de t-statstk also der Quotent von Koeffzent und dessen Standardabwechung aufschlussrech. Se gbt an, ob en Koeffzent überhaupt sgnfkant verscheden von 0 st. Ene letzte Anmerkung zur Größe von Koeffzenten glt den Koeffzenten von Dummyvarablen. En Absolutwert enes Dummyvarablen-Koeffzenten von über 3 (über 5,44) n Probt-/Logtmodellen deutet auf ene Fehlspezfkaton des Modells, wel verenfacht gesagt de Auswahlwahrschenlchket z. B. bem Probtmodell m Falle enes Wertes von 3 (-3) glech 1 (0) st, de übrgen Varablen der Schätzung gar kene Rolle mehr spelen. Der Effekt ener enprozentgen Erhöhung der Varablen k m Vektor der erklärenden Varablen x st, unter der Normerung s = 0 und σ = 1, gegeben durch: PAusfall ( = 1 x) = f( xβ) βk xk PAusfall ( = 0 x) = f( xβ) βk, x k (3) wobe f( ) m Probtfall de Dchte der Standardnormalvertelung angbt und m Logtfall de der logstschen Vertelung. Glechung (3) macht deutlch, dass der numersche Effekt auf de Wahrschenlchketsveränderung vom Wert der Dchtefunkton f( ) an der Stelle x β abhängt. Dennoch lässt sch aus dem Vorzechen des Koeffzenten β k der Effekt auf de Wahrschenlchketsveränderung endeutg ablesen: En postves (negatves) Vorzechen von β k, bedeutet, dass de Varable x k enen postven (negatven) Effekt auf de Ausfallwahrschenlchket hat. En Berechnen der margnalen Effekte macht natürlch nur für kontnuerlche Varablen Snn. Möchte man hngegen den numerschen Effekt der Veränderung ener Dummy-Varablen analyseren, dann wrd de geschätzte Ausfallwahrschenlchket für den Wert der Dummy-Varablen mt dem Wert 1 mt der Ausfallwahrschenlchket für den Wert der Dummy-Varablen mt dem Wert 0 verglchen:

15 12 ( β ) ( β ) PAusfall ( = 1 x = 1, x) PAusfall ( = 1 x = 0, x) = F x x = 0 F x x = 1, (4) l l l l wobe x l ene Dummy-Varable bezechnet. Ebenso we für den Fall kontnuerlcher Varablen gbt das Vorzechen des Koeffzenten β l Auskunft über den Effekt der erklärenden Dummy-Varable x l. Glechungen (3) und (4) mplzeren, dass es für jedes Indvduum (bzw. für jeden Kredtnehmer ) enen margnalen Effekt gbt. In der Praxs werden de margnalen Effekte daher oft am Mttelwert der erklärenden Varablen berechnet. Vele Standard-Softwareprogramme we z. B. Lmdep und STATA berechnen de margnalen Effekte standardmäßg sowohl für kontnuerlche als auch für dskrete Varablen. Tabelle 2 west de margnalen Effekte des berets n Tabelle 1 dargestellten Modells aus. Anstatt der Koeffzenten werden n Tabelle 2 de margnalen Effekte dargestellt. Erhöht sch bespelswese de Egenkaptalquote um enen Prozentpunkt, so snkt de Ausfallwahrschenlchket um 0,87 Prozentpunkte. De margnalen Effekte des Cash-Flow und der Anlagendeckung snd deutlch gernger. Erhöht sch etwa de Anlagendeckung um enen Prozentpunkt, so verrngert sch de Ausfallwahrschenlchket um 0,04 Prozentpunkte. De Ausfallwahrschenlchket enes Unternehmens des Baugewerbes st um 14,9 Prozentpunkte gernger als de enes Unternehmens der Referenzbranche Maschnenbau. Tabelle 2: Margnale Effekte der Probtschätzung Varable Koeff. Std.fehler p-wert ln(umsatz) -0,2640 0,2515 0,294 ln(umsatz) 2 0,0112 0,0109 0,306 Egenkaptalquote -0,8708 0,1186 0,000 Cash-Flow -0,1242 0,0518 0,018 Anlagedeckungsgrad -0,0378 0,0206 0,067 Beschr. Haftung -0,0075 0,0425 0, ,1135 0,0670 0, ,2341 0,0666 0, ,2281 0,0662 0, ,2656 0,0669 0, ,5306 0,0763 0, ,6210 0,0798 0,000 Verarb. Gew. -0,0178 0,0401 0,660 Baugewerbe -0,1465 0,0379 0,003 Handel -0,0391 0,0452 0,405 Sonstge -0,0104 0,0421 0,807

16 13 Das bnäre Probtmodell kann ebenso we das m nächsten Abschntt beschrebene geordnete Probtmodell Aussagen darüber treffen, we hoch de Wahrschenlchket st, dass en Kredtnehmer mt bestmmten Egenschaften ausfällt. Wll man z. B. wssen, we hoch de Ausfallwahrschenlchket enes Handelsunternehmens ohne Haftungsbeschränkung m Jahr 1995 st, das TDM Jahresumsatz aufwest, ene Egenkaptalquote von 20 Prozent und enen dynamschen Cash-Flow von 58 Prozent sowe ene Anlagendeckung von 80 Prozent hat, kann de Ausfallwahrschenlchket anhand von Glechung (2) we folgt berechnet werden: P(Ausfall = 1) = 1 F[ {ln( ) ß ln(umsatz) + ln( )² ß ln(umsatz)² + 0,2 ß Egenkaptalquote + 0,58 ß Cash Flow + 0,8 ß Anlagendeckung + 0 ß bhaft + ß ß Handel + ß Konstante }] (5) = 1 F[ {12,3 ( 0,87) + 151,3 0,04 + 0,2 ( 2,88) + 0,58 ( 0,41) + 0,8 ( 0,13) + 0,67 0,13 + 4,69}] = 1 F[0,3368] = 0,37 Der oben beschrebene Kredt fällt also mt 37-prozentger Wahrschenlchket aus. Trotz der Enfachhet des Probtmodells und sener langjährgen Verwendung n den verschedenen Teldszplnen der Wrtschaftswssenschaften wrd das Kredtausfallrsko velfach mmer noch mt der Methode der klensten Quadrate (KQ) geschätzt. Der KQ-Schätzer sollte jedoch aus zweerle Gründen ncht zur Modellerung von Ausfallwahrschenlchketen verwendet werden. Zum enen erfüllt der Fehlerterm ncht mehr de Annahme enes dentsch vertelten, also heteroskedastefreen, Fehlerterms des lnearen Regressonsmodells, was zu ener fehlerhaften Schätzung der Varanz- Kovaranzmatrx führt, 7 zum anderen kann ene KQ-Schätzung zu logsch nkonsstenten Ergebnssen führen, da ncht gewährlestet st, dass de geschätzten Ausfallwahrschenlchketen zwschen 0 und 1 legen. Hätten wr das n Tabelle 1 dargestellte Modell mt Hlfe klenster Quadrate geschätzt, so hätte sch für enen Kredtnehmer ene Kredtausfallwahrschenlchket von größer als 1 und für 66 Kredtnehmer ene Kredtausfallwahrschenlchket von klener als 0 ergeben. 7 Mt anderen Worten: Jede statstsche Inferenz st fehlerhaft, es kann z. B. ncht mehr von sgnfkanten oder nsgnfkanten Koeffzenten gesprochen werden. Allerdngs kann deses Problem lecht mt der Verwendung verallgemenerter klenster Quadrate behoben werden, da de Form der Heteroskedaste bekannt st.

17 Mehrzustandsmodelle: Geordnete Probtmodelle We engangs erwähnt, snd bnäre Logt- und Probtmodelle lecht erweterbar, um mehrere Zustände abblden zu können. Genau we bem bnären Probt wrd bem geordneten Probtmodell davon ausgegangen, dass de Zustände, de en Kredt aufwesen kann, von der Größe der unbeobachtbaren Varable * Ausfall abhängen. Kann en Kredt dre Zustände annehmen, z. B. volle Rückzahlung (Ausfall = 0), telweser Ausfall (Ausfall = 1) und vollständger Ausfall (Ausfall = 2), so wrd bem geordneten Probtmodell davon ausgegangen, dass en vollständger Ausfall dann entrtt, wenn de unbeobachtbare Varable * Ausfall über ener oberen Schwelle s 2 legt. Legt der Wert der latenten Varablen unterhalb ener Schwelle s 1, so wrd der Kredt vollständg zurückgezahlt. Sofern de latente Varable zwschen den beden Schwellen legt, wrd der Kredt telwese zurückgezahlt: * 2(vollständgerAusfall)wenn Ausfall = xβ + ε> s * Ausfall= 1(telweserAusfall)wenn s1 Ausfall < s2 * 0(kenAusfall)wenn Ausfall s1. 2 (6) Genau we m bnären Modell wrd de latente Varable auch her durch enen lnearen Zusammenhang zwschen dem Vektor der erklärenden Varablen x sowe enem addtven, dentsch und unabhängg vertelten Störterm beschreben. Auch her Restrktonen auferlegt werden. STATA wählt de Restrkton σ = 1 und setzt den Wert der Konstanten auf 0; es werden alle Schwellenwerte s mtgeschätzt, Lmdep normert σ ebenfalls auf 1 und setzt de untere Schwelle s 1 auf 0; es wrd der Koeffzent der Konstanten mtgeschätzt. De Interpretaton der geschätzten Parameter erfolgt analog zum bnären Probtmodell. En postver Koeffzent bedeutet, dass de korresponderende erklärende Varable enen postven Enfluss auf de unbeobachtbare Varable * Ausfall hat und somt de Wahrschenlchket, dass en besserer Zustand errecht wrd, erhöht. Ebenso we m bnären Fall können bem geordneten Probtmodell lecht margnale Effekte berechnet werden. Dabe erhält man m Fall von dre Kategoren für jedes Indvduum dre margnale Effekte:

18 15 PAusfall ( = 2 x) = f ( s2 xβ) β x k PAusfall ( = 1 x) = ( f ( s1 xβ) f( s2 xβ) ) βk, x k PAusfall ( = 0 x) = f( s1 xβ) βk. x k k (7) Dabe wrd deutlch, dass bem geordneten Probtmodell de Rchtung der Wahrschenlchketsveränderung be ener Veränderung der erklärenden Varablen x k nur be den äußeren Kategoren durch das Vorzechen des jewelgen Koeffzenten bestmmt st. Tabelle 3 west de Schätzergebnsse des geordneten Probtmodells für das oben beschrebene Modell aus. Dabe fällt auf, dass de Schwellenwerte s 1 und s 2 sehr unpräzse geschätzt snd und sch mthn ncht sgnfkant vonenander unterscheden. Ursächlch dafür snd de Umsatzvarablen. Möglcherwese werden her Umsatzgrößen- Gruppeneffekte auf de Schwellenwerte übertragen. Wrd ene der beden, ohnehn sowohl gemensam als auch getrennt nsgnfkanten, Umsatzvarablen weggelassen, so unterscheden sch de beden Schwellenwerte sgnfkant vonenander. De übrgen Koeffzenten bleben nahezu unverändert. In der Praxs und n der Wssenschaft würde man nun an deser Stelle das Modell ohne de quadrerte Umsatzvarable auswesen. Aus Gründen der Verglechbarket mt den übrgen n desem Betrag ausgewesenen Schätzergebnssen wrd jedoch de Spezfkaton mt beden Umsatzvarablen besprochen und ausgewesen. De Ergebnsse der Ordered-Probt-Schätzung unterscheden sch qualtatv kaum von denen der enfachen Probtschätzung. 8 De Vorzechen der Koeffzenten m geordneten Probtmodell geben de Rchtung an, mt denen sch de Wahrschenlchketen der Randkategoren verändern. In desem Fall snd de Randkategoren de Wahrschenlchket, mt der kene Probleme auftreten, und de Wahrschenlchket, mt der erheblche Probleme auftreten. Über de dazwschen legende Kategore, d. h. de Wahrschenlchket, mt der es zu enem Telausfall kommt, kann anhand deser Tabelle kene Auskunft gegeben werden.

19 16 Tabelle 3: Ergebnsse des geordneten Probtmodells Varable Koeff. Std.fehler p-wert ln(umsatz) -0,7219 0,7946 0,364 ln(umsatz) 2 0,0325 0,0345 0,345 Egenkaptalquote -2,7826 0,3840 0,000 Cash-Flow -0,4819 0,1755 0,006 Anlagedeckungsgrad -0,1195 0,0660 0,070 Beschr. Haftung -0,0717 0,1355 0, ,3579 0,1905 0, ,5441 0,1810 0, ,5853 0,1803 0, ,7332 0,1784 0, ,3938 0,2205 0, ,7706 0,2912 0,000 Verarb. Gew. -0,0234 0,1293 0,857 Baugewerbe -0,5796 0,1963 0,003 Handel -0,1505 0,1548 0,331 Sonstge -0,0637 0,1349 0,637 s 1-3,4718 4,5400 0,444 s 2-2,9170 4,5397 0,521 Wald-Tests auf gemensame Sgnfkanz Varablen ch² d.o.f p-wert Umsatz 1,16 2 0,56 Jahresdummes 67,01 6 0,00 Branchendummes 9,91 4 0,04 ges. Schätzung 205, ,00 En negatves Vorzechen, we m Fall der Egenkaptalquote, bedeutet, dass mt ener Erhöhung deser Varablen ene Verrngerung der Wahrschenlchket enes vollständgen Kredtausfalls verbunden st. Glechzetg bedeutet das, dass sch de Wahrschenlchket erhöht, mt der kene Probleme auftauchen. Aus der Betrachtung der margnalen Effekte lassen sch zusätzlche Informatonen zehen. Im geschätzten Bespel vergrößert sch be ener Erhöhung der Egenkaptalquote um enen Prozentpunkt de Wahrschenlchket, dass ken Problem auftaucht, um 0,8 Prozentpunkte. De Wahrschenlchket, dass en Telausfall stattfndet, verrngert sch um 0,36 Prozentpunkte und de Wahrschenlchket, mt welcher der Kredt vollständg ausfällt, verrngert sch um 0,44 Prozentpunkte. De Wahrschenlchketsveränderungen (+0,80, -0,36, -0,44) ergänzen sch dabe per Konstrukton zu 0, da de Fläche unter 8 Dabe st zu beachten, dass Ergebnsse unterschedlcher Logt- und Probtmodelle aufgrund der Skalerung durch de Standardabwechung der Normerung des Fehlerterms streng genommen ncht verglchen werden können.

20 17 ener Vertelungsfunkton mmer unverändert, nämlch ens, blebt. Genauso we m bnären Probtmodell snd de margnalen Effekte der Varablen Anlagendeckung und dynamscher Cash-Flow deutlch gernger als de der Egenkaptalquote. Tabelle 4: Margnale Effekte stetger Varablen m geordneten Probtmodell ken Ausfall telw. Ausfall vollst. Ausfall ln(umsatz) 0,2081-0,0940-0,1141 ln(umsatz) 2 0,0094 0,0042 0,0051 Egenkaptalquote 0,8021-0,3624-0,4396 Cash-Flow 0,1389 0,0628-0,0761 Anlagedeckungsgrad 0,0344 0,0156-0,0189 Auch für Dummy-Varablen lassen sch we auch schon m Fall des bnären Probtmodells margnale Effekte berechnen. Für den Enfluss ener Haftungsbeschränkung ergeben sch folgende Zahlen. Ene Haftungsbeschränkung verrngert de Wahrschenlchket, mt der kene Zahlungsschwergketen auftreten, um 0,02 Prozentpunkte, de Wahrschenlchket enes Auftretens von lechten Problemen wrd um 0,01 Prozentpunkte erhöht und de Wahrschenlchket für erheblche Vertragsstörungen stegt um 0,01 Prozentpunkte. Standardfehler für de margnalen Effekte können mt der δ- Methode (Z.B. Greene 1997, Kap ) berechnet werden. An deser Stelle wrd der Vortel enes geordneten Probt-Modells gegenüber dem bnären Probtmodell deutlch. Der Kredtbeurteler erhält mehr Informatonen über de Wahrschenlchket des Entretens unterschedlch schwerer Probleme. Da de Schwellen zwschen unterschedlch schweren Problemkategoren geschätzt werden, könnte so en Ratng-System (en Scorng-System) konstruert werden, dessen Ratng-Klassen bestmmten Problemkategoren entsprechen und damt deutlch aussagekräftger wären.9 Geordnete Logt- und Probtmodelle können für de Berechnung von Übergangswahrschenlchketen n verschedene Rskozustände berechnet werden. So verwenden Nckell et al. (2000) geordnete Probtmodelle zur Schätzung solcher Markovketten. 10 En 9 Des st natürlch nur dann der Fall, wenn de enzelnen Problemklassen auch endeutg dentfzert werden können und sch de Schwellenwerte sgnfkant vonenander unterscheden. Um en Ratng- System zu konzperen, würden m vorlegenden Bespel de Ergebnsse der Spezfkaton ohne de quadrerten Umsätzr verwendet. 10 Kaser und Szczesny (2000) gehen auf Markovkettenmodelle m Zusammenhang mt der Kredtrskomessung genauer en.

21 18 Nachtel des Vorgehens von Nckell et al. (2000) st es jedoch, dass de qualtatve Effekte erklärender Varablen auf de Übergänge n de verschedenen Rskozustände per Konstrukton für alle Arten der Übergänge glech snd. So st bem geordneten Probtmodell der qualtatve Effekt z.b. des Cash Flows auf den Übergang von ken Ausfall zu telweser Ausfall der gleche wr auf den Übergang von ken Ausfall zu vollständger Ausfall. Insofern erschent es wünschenwert, möglche dfferenzellen Effekt der erklärenden Varablen auf verschedene Rskozustände zuzulassen. En solches Vorgehen ermöglcht das multnomale Logtmodell (s. Abschntt 3.5.4), das von Kaser (2000a) für de Analyse von Zahlungsschwergketen m Rahmen enes Markovkettenmodells verwendet wrd. 3.3 Spezfkatonstests Ener der wchtgsten Geschtspunkte be der Kredtrskomessung st zwefellos de Frage, ob de gewählte Spezfkaton korrekt st also de Annahmen des Modells erfüllt snd und we gut de Spezfkaton enen Kredtausfall vorhersagen kann. Bevor wr zu Spezfkatonstests und Gütemaßen kommen, möchten wr noch enge allgemene Anmerkungen zum Gebrauch des R² als Gütemaß ener Schätzung machen. Dese Anmerkungen gelten n weten Telen sowohl für das lneare Regressonsmodell als auch für Maxmum-Lkelhood-Schätzer. In velen emprschen Arbeten fndet de Größe des R² ene hohe Aufmerksamket. Im lnearen Regressonsmodell wrd das R² dabe häufg als Maß für de Qualtät des statstschen Modells nterpretert, während es n Wahrhet nchts anderes darstellt als en Maß für de Güte der lnearen Approxmaton. Be Maxmum-Lkelhood-Schätzungen st das so genannte Pseudo-R² ledglch en Maß für den Informatonsgehalt, der n den erklärenden Varablen steckt und sagt über de Qualtät enes Modells gar nchts aus. Tatsächlch st en sehr hoher Wert des Pseudo-R² n velen Fällen en Anzechen für ene Fehlspezfkaton des Modells. Aus me h- reren weteren Gründen st de hohe Bedeutung, de dem R² n velen betrebswrtschaftlchen Arbeten zukommt, ungerechtfertgt: () Das R² geht davon aus, dass de gewählte Spezfkaton korrekt st. So wesen vele zetrehenökonometrsche Arbeten n den sebzger Jahren und Anfang der achtzger Jahre häufg en R² von 0,99 aus, z. B. der wchtge Betrag von Nadr und Rosen (1969) zu dynamschen Faktor-

22 19 nachfragesystemen. Letztlch handelte es sch jedoch mestens ledglch um spurous regressons, um Schenregressonen, we Granger und Newbold (1974) solche Regressonen nannten, be denen sowohl de zu erklärende als auch de erklärenden Varablen enem gemensamen Zettrend folgten. () Das R² st ncht nvarant gegenüber affnen Transformatonen der zu erklärenden Varable. Obwohl sch be lnearer Transformaton der zu erklärenden Varablen dentsche Koeffzenten der erklärenden Varablen ergeben, unterschedet sch das R² des ncht transformerten Modells von dem des transformerten Ansatzes. () Das R² und auch das um de Anzahl der Regressoren korrgerte R² snd lecht manpulerbar.11 Aufgrund der Tatsache, dass das R² m lnearen Regressonsmodell den Antel der durch de lneare Approxmaton erklärten Varanz an der Gesamtvaranz der zu erklärenden Varable msst, macht es auch weng Snn, Schwellenwerte zu benennen, ab denen en Modell als gut bezechnet werden kann. So legt das R² lnearer Regressonen mt Zetrehendaten fast mmer wesentlch höher als das R² lnearer Regressonen mt Indvdualdaten (z. B. Unternehmensdaten, Personendaten, Daten aus Kredtakten). Des legt ganz enfach daran, dass Indvdualdaten sehr vel stärker streuen also ene höhere Varanz aufwesen als Zetrehendaten. 12 Doch selbst wenn das R² ncht mt den angesprochenen Problemen behaftet wäre, erschent es ratsam, zunächst auf Möglchketen, de Robusthet der Modellspezfkaton zu testen, enzugehen. Denn erst wenn de Robusthet des Schätzmodells gewährlestet st, können Gütemaße überhaupt snnvoll angewendet werden. Während Heteroskedaste m lnearen Regressonsmodell de Konsstenz der Koeffzenten unbeenflusst lässt, werden de geschätzten Koeffzenten be bnären und geordneten Probt- bzw. Logtmodellen nkonsstent. 13 De geschätzten Koeffzenten der erklärenden Varablen snd also falsch. Heteroskedaste hat wetaus stärkere Auswrkungen auf Logt- und Probtmodelle als auf lneare Regressonsmodelle. Des legt daran, dass, we aus Glechung (2) erschtlch st, ncht der Koeffzentenvektor β ge- 11 Leamer (1978, Kap. 3) nmmt dazu ausführlch Stellung. 12 Ausnahmen snd z. B. extrem volatle Fnanzmarktdaten, z. B. Intratagesdaten (s. de Sonderausgabe des Journal of Busness and Economc Statstcs 18 (2), Aprl 2000).

23 20 schätzt wrd, sondern das Verhältns β/σ. Durch de Normerung σ = 1 wrd der Koeffzentenvektor zwar dentfzert, doch handelt es sch be deser Normerung ledglch um ene dentfzerende Restrkton. Legt Heteroskedaste vor, z. B. der generellen Form σ = h(γ z ), wobe γ enen Koeffzentenvektor bezechnet und z dejengen Varablen bezechnet, de Heteroskedaste hervorrufen, so wrd anstatt des Parametervektors β das Verhältns β/exp(z γ) geschätzt. 14 De Werte der Parametervektors vareren also mt der ten Beobachtung und mt den Werten der Varablen, de de Heteroskedaste verursachen. Ebenso führt ene Verletzung der Normalvertelungsannahme (bzw. der logstschen Vertelung bem Logt-Modell) zu Inkonsstenz der Schätzergebnsse, wel de Ausfallwahrschenlchket über de Vertelungsannahme explzt modellert wrd. Chesher und Irsh (1987) schlagen auf generalserten Resduen aufbauende Tests auf Heteroskedaste und Ncht-Normaltät der Resduen vor.15 Wel der Wert der latenten Varablen, n desem Fall der Wert von Ausfall,, unbeobachtbar st also Resduen ncht drekt berechnet werden können -, können Resduentests we se für das lneare Regressonsmodell bestehen, ncht angewendet werden. Aus desem Grund entwckeln Chesher und Irsh (1987) generalserte Resduen, de m bnären Logt- bzw. Probtmodell folgende Form annehmen: ε Ausfall F( xβ ) = F( xβ)(1 Fx ( β)) g f( x β). (8) Für das geordnete Logt- bzw. Probtmodell lautet de Formel we folgt: ζ g f s x f s x = Fs ( xβ) Fs ( x β) ( j 1 β) ( j β), j j 1 (9) wobe der Index j den j ten Schwellenwert angbt. 13 Konsstenz bedeutet, dass de Präzson, mt der de Parameter enes Modells geschätzt werden, mt zunehmender Stchprobengröße genauer wrd. 14 Lasney et al. (1991) demonstreren, zu welch starken Abwechungen es zwschen den Koeffzentenvektoren β enes homoskedastschen und enes heteroskedastschen Logtmodelles kommen kann. 15 Velfach werden de generalserten Resduen m Snne von Chesher und Irsh (1987) mt den smulerten Resduen (Gouréroux et al., 1987) verwe chselt. En grundlegender Untersched zwschen beden Ansätzen st, dass de smulerten Resduen durch Zufallszehungen aus gestutzten Vertelungen erzeugt werden, während de generalserten Resduen drekt berechnet werden.

24 21 Sowohl der Test auf Heteroskedaste als auch der Test auf Normaltät können über ene Hlfsregresson durchgeführt werden. De Nullhypothese lautet γ = 0, es legt also kene Heteroskedaste vor. De korresponderende Teststatstk für enen Test auf Heteroskedaste ergbt sch als Anzahl der Beobachtungen der Logt- bzw. Probtschätzung, N, multplzert mt dem ncht korrgerten R² ener lnearen Regresson von () den Interaktonen zwschen dem generalserten Resduum und den erklärenden Varablen des Logt- bzw. Probtmodells, ε g x, und () der Interakton zwschen dem generalserten Resduum und sowohl dem geftteten Wert der Ursprungsschätzung, x β, als auch den g Varablen, de m Verdacht stehen, Heteroskedasttztät hervorzurufen, ( ε xβ ) z, auf enen Vektor von Ensen ohne den Enschluss ener Konstanten. 16 Analoges glt für de generalserten Resduen der geordneten Modelle. De sch als N*R² ergebende Teststatstk st χ² vertelt mt Anzahl der Frehetsgrade glech Anzahl der m Verdacht Heteroskedaste hervorzurufen stehenden Varablen z.17 We bem Breusch-Pagan-Test m lnearen Regressonsmodell wrd n der Praxs häufg davon ausgegangen, dass dejengen Varablen, de de Wahrschenlchketsauswahl bestmmen, auch dejengen snd, de Heteroskedaste hervorrufen können. Wr gehen also davon aus, dass alle Varablen x, de den Kredtausfall erklären, Heteroskedaste g g verursachen könnten: x = z. Entsprechend regresseren wr ε x und ( ε xβ ) x auf enen Enservektor. Das sch aus deser Hlfsregresson ergebende R² lautet für das bnäre Probtmodell 0,0223. De Teststatstk lautet entsprechend N*R² = 944*0,0223 = 21,0395. De krtschen Werte ener χ²-vertelung mt 16 Frehetsgraden snd 23,54 auf dem 10-Prozent-, 26,3 auf dem 5-Prozent- und 32 auf dem 1-Prozent- Sgnfkanznveau. De Teststatstk für das bnäre Probtmodell von Abschntt 3 st also sgnfkant klener als de krtschen Werte. Homoskedastztät kann also ncht verworfen werden. Das margnale Sgnfkanznveau beträgt 0,1770. Auch für das geordnete 16 Es handelt sch herbe um ene so genannte künstlche Regresson, Davdson und MacKnnon (1993, Kap. 6) gehen näher auf deses n der Ökonometre sehr wchtge Verfahren en. De Terme g g ε x bzw. ( εx β )z bezechnen de Scores (1. Abletungen) der Log-Lkelhoodfunkton nach β bzw. γ. 17 Aufgrund der Tatsache, dass Logt- und Probtmodelle mest auf Indvdual- und ncht auf Zetrehendaten angewendet werden, spelt Autokorrelaton be Auswahlmodellen ene gerngere Rolle als be Zetrehenmodellen. Gouréroux et al. (1985) schlagen enen Test auf Autokorrelaton be bnären und geordneten Auswahlmodellen vor.

25 22 Probtmodell kann Homoskedastztät auf den konventonellen Sgnfkanznveaus ncht verworfen werden. Wenn Homoskedastztät verworfen werden muss, dann kann beobachtbare Heteroskedaste explzt mtgeschätzt werden. Anstelle von s x PAusfall ( 1 x) 1 F ε β = = σ (2) würde dann ε s xβ PAusfall ( = 1 x) = 1 F hz ( γ ) (2') geschätzt. Standardsoftwareprogramme we STATA und Lmdep spezfzeren de Funkton h(.) als Exponentalfunkton. Analoges glt für de geordneten Modelle.18 En Test auf γ = 0 entsprcht ebenfalls enem Test auf Homoskedastztät. Der Test auf Normaltät der Resduen wrd ebenfalls über ene Hlfsregresson durchgeführt. In desem Falle werden de Interaktonen ε x, g x g 2 ε ( β ) und ( x ) g 3 ε β auf enen Enservektor regressert. De Koeffzenten der letzten beden Terme entsprechen Schefe und Wölbung der Vertelung der Resduen. De Teststatstk lautet N*R² aus der Hlfsregresson, se st χ²-vertelt mt zwe Frehetsgraden. Das R² aus der Hlfsregresson für das bnäre Probtmodell lautet 0,0006, de Teststatstk beträgt also 0,5664. De entsprechenden krtschen Werte der χ²-vertelung lauten 4,61, 5,99 und 9,21 auf dem 10, 5 und 1 Prozent Sgnfkanznveau. Normaltät kann für das oben spezfzerte Modell also ncht verworfen werden. Normaltät kann auch für das geordnete Probtmodell ncht verworfen werden. Es legen, außer dem berets besprochenen Problem der sch ncht sgnfkant unterschedenden Schwellenwerten m geordenten Probtmodell, kene Anzechen für Fehlspezfkatonen vor. Ene ähnlch enfache Lösung we für das Vorlegen von Heteroskedaste gbt es bem Vorlegen von Nchtnormaltät ncht. Gabler et al. (1993) stellen enen semparametr-

26 23 schen Schätzer der Ausfallwahrschenlchketen vor. Dabe wrd, grob gesagt, de Funkton F(.) aus Glechung (2) nchtparametrsch, also ohne de Spezfkaton von Parametern auf der Grundlage der emprschen Vertelung der Resduen, geschätzt. Den Daten wrd also ncht ene funktonale Form we z. B. Normalvertelung auferlegt, velmehr bestmmen de Daten selbst über den korrekten funktonalen Zusammenhang. Ene ergänzende Referenz zu Tests auf Vertelungsannahmen beten Chesher et al. (1985). Tests auf Fehlspezfkatonen n bnären und geordneten Wahrschenlchketsmodellen, de auf Tests der Informatonsmatrx beruhen, werden von Lasney et al. (1991) angewendet.19 Informatonsmatrxtests auf Normaltät m geordeneten Wahrschenlchketsmodellen werden von Glewwe (1997) und Wess (1997) vorgeschlagen. Enen Überblck über Informatonsmatrxtests beten Gouréroux und Montfort (1995, Kap. 18.5). 3.4 Gütemaße Da es be den bnären und geordneten Wahrschenlchketsmodellen aufgrund der Unbeobachtbarket des Fehlerterms ken echtes Analogon zum R² des lnearen Regressonsmodells gbt, werden zur Überprüfung der Schätzgüte häufg so genannte predcton/realzaton tables verwendet. Dabe wrd untersucht, we oft n unserem Fall en Kredtausfall aus dem geschätzten Modell heraus korrekt prognostzert wurde. Bem bnären Probtmodell wrd Zustand 1 dann vorhergesagt, wenn der Wert der lnearen Vorhersage (der Wert x β ) den Wert 0 überstegt und umgekehrt: ˆ * Ausfall = 1 wenn ˆ * Ausfall = 0 wenn x β > 0 x β 0 (10) 18 Ene Anwendung deser Spezfkaton enes geordneten Probtmodells mt Heteroskedaste für Fnanzmarktdaten fndet sch n Hausman et al. (1992) sowe Kaser (1997). 19 De Informatonsmatrx st defnert als negatve des Erwartungswerts der Hesse-Matrx (der Matrx der zweten Abletungen der Log-Lkelhoodfunkton). Se st en Schätzer der Varanz- Kovaranzmatrx des Koeffzentenvektors.

27 24 wobe ˆ x β * Ausfall und geschätzte Werte bezechnen. Problematsch an desem Ansatz st, dass sowohl das bnäre als auch das geordnete Probtmodell per Konstrukton mmer denjengen Zustand am besten beschreben, der am häufgsten entrtt. Trtt en Zustand sehr selten en, so wrd deser wenger präzse vorausgesagt. Auch aus desem Grund sollte jede der Auswahlkategoren (der Rskozustände enes Kredtes) mt mndestens fünf Prozent der Beobachtungen besetzt sen. 20 Wenn en Zustand seltener als n fünf Prozent der Fälle entrtt, so müssen enzelne Zustände entweder zusammengefasst oder ggf. so genannte rare event -Modelle verwendet werden (z. B. Kng und Zeng, 1999). En weteres Problem deser predcton/realzaton -Tabellen legt darn, dass se Vorhersagen, de z. B. auf enem Wahrschenlchketswert von 0,51 baseren, de gleche Bedeutung zumessen we solchen, de auf enem Wahrschenlchketswert von 0,99 beruhen. Dese Vorhersagen würden bede zu den Ausfällen gezählt werden, obwohl der Ausfall mt deutlch unterschedlcher Wahrschenlchket entrtt. 21 Mt den n Tabelle 1 abgebldeten Ergebnssen korrespondert de predcton/realzaton -Tabelle 5. De Trefferquote be Ncht-Problemfällen beträgt somt 94 Prozent, be Problemfälle hngegen nur 30 Prozent. Das bedeutet, dass 70 Prozent der Beobachtungen, n denen Probleme schtbar wurden, fälschlcherwese als potenzell unproblematsch klassfzert wurden. Dese Fehlerquoten spelen verständlcherwese n der Praxs ene erheblche Rolle, da se mt Kosten verbunden snd. En fälschlcherwese an enen schlechten Kunden vergebener Kredt kann ausfallen, en fälschlcherwese abgelehnter guter Kredtkunde st mt entgangenen Gewnnen verbunden. Verfügt de Bank über Schätzungen deser Kosten bzw. der entgangenen Gewnne, so kann hre auf der Scorng-Funkton aufbauende Entschedungsregel kostenoptmal gestaltet werden Des entsprcht, formal gesprochen, ener schlechten Identfkaton der jewelgen Ausfallwahrschenlchketen (s. Blundell et al., 1993). 21 Veall und Zmmermann (1992) nehmen zur Verwendung von predcton/realzaton-tabellen ausführlch Stellung. 22 Vgl. zu deser Thematk Fahrmer et al. (1984).