Ist die Ursache des Singularitätsproblems der Allgemeinen Relativitätstheorie ein falsches klassisches Gravitationsgesetz?

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1 Ist die Usache des Singulaitätspoblems de Allgemeinen Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz? Zusammenfassung: Das kugelsymmetische Vakuumfeld (Schwazschild-Lösung de Einstein schen Feldgleichungen) kann unte spezifischen physikalisch-mathematischen Voaussetzungen unte Zugundelegung eines klassischen Gavitationsgesetzes konstuiet weden. Das klassische Gavitationsgesetzt, welches die Konstuktion de Schwazschild-etik emöglicht, stimmt nicht mit dem Newtonschen Gavitationsgesetz übeein. Eineseits enthält es das Newtonsche Gesetz als Genzfall, andeeseits weist dieses klassische Gesetz eine Feld-Singulaität bei (dem Schwazschild-Radius) auf, fü die es keine physikalische Detemination gibt. Wid dem gegenübe unte sonst gleichen physikalisch-mathematischen Voaussetzungen das Newtonsche Gavitationsgesetz zugunde gelegt, welches keine Singulaität am Schwazschild-Radius enthält, füht die mathematische Konstuktion auf eine singulaitätsfeie allgemein-elativistische etik, die alle Einstein-Effekte im Planetensystem mit eine Abweichung in de Gößenodnung epoduziet. Vo diesem Hintegund stellen sich die Fagen, ob die Allgemeine Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz zu Voaussetzung hat und ob in de Folge die Feldgleichungen de Allgemeinen Relativitätstheoie pinzipiell eine koekte Dastellung de Gavitation egeben können. Wie stets wid fü Inteessiete und Studenten alles in kleinen Schitten vogeechnet. *** 6 Klassisches Gavitationsgesetz und Schwazschild-Lösung De Zusammenhang zwischen klassische Gavitation und Allgemeine Relativitätstheoie im Zentalfeld wid übe den Zusammenhang zwischen de Zeit-Zeit- Komponente des metischen Tensos und dem Potential g44 () c mit c () und de Abküzung (3) c dagestellt. Diese Betachtung steht in einem engen Zusammenhang mit de Diskussion des klassischen Genzfalls de Allgemeinen Relativitätstheoie. Demnach ist die Newtonsche Gavitation als klassische : Newtonsche Gavitationskonstante, c : Vakuumlichtgeschwindigkeit, : Zentalmasse Genzfall de allgemeinen Relativitätstheoie zu betachten, nämlich in schwachen Felden, wenn die Enegiedichte die wesentliche Feldquelle ist, die etik nu wenig von de inkowski-stuktu abweicht und Bewegungen veglichen mit de Lichtgeschwindigkeit nu langsam velaufen. Auf de andeen Seite ist es möglich, die allgemein-elativistische Schwazschild-Lösung auch unte spezifischen Annahmen unte Zugundelegung eines klassischen, abe nicht Newtonschen Gavitationsgesetzes zu konstuieen. Konstuktion de Schwazschild-Lösung Zu Konstuktion de Schwazschild-Lösung gehen wi zunächst von de klassischen Sichtweise aus, dass in einem gegebenen Gavitationsfeld ein Lichtquant Abeit gegen dieses Feld leistet, und daduch Enegie veliet. De Enegievelust ist dann duch de K( ) d (4) gegeben, wenn wi von einem adialsymmetischen Feld ausgehen und sich das Lichtteilchen von de Zentalmasse entfent. Um späte im Rahmen des Astonomische Gesellschaft agdebug, e. V.

2 Ist die Usache des Singulaitätspoblems de Allgemeinen Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz? Übegangs zu allgemein-elativistischen Dastellung de Gavitation auf die Schwazschild-Lösung zu kommen, muss de Betag de Gavitationskaft die Fom m c K( ) (5) haben, wähend de Betag de Newtonschen Gavitationskaft duch die Beziehung c K Newton ( ) m (6) definiet ist. Wi weden nachhe zeigen, dass die Vewendung von (6) auf eine singulaitätsfeie etik füht. Es ist nun abe zunächst als bemekenswetes Faktum festzustellen, dass die Gavitationskaft gemäß de Beziehung (5) beeits die Singulaität enthält, die sich in de Schwazschild-Lösung de Einstein schen Feldgleichungen als die beühmte Schwazschild-Singulaität geltend macht. Setzen wi die Beziehung (5) in die Gleichung (4) ein, so egibt sich m c de d (7). Um die Konstuktion fotzusetzen muss die Lichtteilchenmasse duch eine Beziehung aus de Speziellen Relativitätstheoie ausgedückt weden: E c de c d (8). Unte Bezugnahme auf die Quanteneigenschaften des Lichtes kann die Enegie, bzw. de Enegievelust duch die Beziehungen E h (9) und de h d () ausgedückt weden. Duch Einsetzen in die Gleichung (8) folgt: m ist die Impulsmasse des Lichtquants. h c c h d d (). Die Beziehung () füht auf eine Diffeentialgleichung zu Bestimmung de Funktion (), doch es macht keinen Sinn, diese aufzustellen, denn in () lassen sich sofot die Vaiablen tennen und das Integal aufscheiben: d d Die Integation von () füht auf die Beziehung ln( ) ln( ) (). (3). ln ln Statt die komplizietee Integation de echten Seite vozufühen, beweisen wi duch Ableitung, dass (3) auf () füht. Beweis: Zunächst bingen wi die abzuleitende Funktion f () in eine günstige Fom: f ( ) ln ln() ln (4). ln ln Nun bilden wi die Ableitung und finden d f ( ) d (5), Astonomische Gesellschaft agdebug, e. V.

3 Ist die Usache des Singulaitätspoblems de Allgemeinen Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz? was zu beweisen wa. Nun kommen wi zuück auf unsee Beziehung (3) und fomen diese etwas um: ln ln Wi ekennen die Beziehung (6). (7). Diese Beziehung bescheibt beeits die exakte Fequenzveändeung eines Lichtteilchens, wie sie aus de Allgemeinen Relativitätstheoie, konket aus de Schwazschild-etik, folgt. Alledings ist dieses Egebnis est einmal das Resultat eine Heleitung, de ein modifizietes abe dennoch klassisches Gavitationsgesetz zugunde liegt. Dahe ist in diese Sichtweise die Fequenzveschiebung das Resultat des Vogangs, bei dem das Licht Abeit gegen das Gavitationsfeld veichten muss. In de Allgemeinen Relativitätstheoie ist die Fequenzändeung duch den Einfluss de Gavitation auf die lokalen Tägheitsvehältnisse, und dahe auf den unteschiedlichen Uhengang zuückgefüht. Est, wenn das Egebnis (7) in diesem Sinne gedeutet und entspechend mathematisch veabeitet wid, ist es auch ein allgemein elativistisches Resultat, d.h. eine Konsequenz de metischen Stuktu de Raum-Zeit 3. 3 Es sei angemekt, dass die Gavitation klassisch als konsevative Kaft, allgemein-elativistisch als Eigenschaft de metischen Stuktu aufzufassen ist. Beim Übegang vom klassischen Gesetz zu allgemeinen Relativistik efolgt die Esetzung de konsevativen Kaft duch die entspechende metische Stuktu. Daduch wid das schwache Äquivalenzpinzip von Tägheit und passive Schwee vewiklicht. Auf diese Weise ist de Begiff de passiven Schwee auf den Begiff de Tägheit zuückgefüht. Das stake Äquivalenzpinzip ist bei solche At von Konstuktionen, wie hie vogefüht, ausschließlich De Übegang zu allgemeinen Relativistik efolgt so, dass das kugelsymmetische Koodinatensystem das Bezugssystem des unendlich weit entfenten uhenden Beobachtes epäsentiet, wobei de Koodinatenuspung mit de punktfömig gedachten Zentalmasse zusammenfällt. De Einfluss de Schwee des Lichtteilchens auf die etik wid als venachlässigba betachtet. Die Koodinatenzeit t ist daduch die Eigenzeit des unendlich weit entfenten uhenden Beobachtes. Fü den Zusammenhang zwischen Koodinatenzeit und Eigenzeit gilt univesell die Beziehung g44 t (8). De Zusammenhang zwischen de Fequenz eine monochomatischen Welle und de Koodinatenzeit ist dahe duch t (9) g gegeben und offensichtlich ausschließlich duch die Zeit-Zeit-Komponente des metischen Tensos bestimmt. Das Vehältnis von Fequenzen an zwei veschiedenen Abständen und ist in de allgemeinen Relativistik (nicht nu in de Allgemeinen Relativitätstheoie) aufgund von (9) duch g g ( ) ( ) 44 () bestimmt 4. De Vegleich von (7) mit () lässt uns in de Allgemeinen Relativitätstheoie Einsteins vewiklicht. 4 Dass das Fequenzvehältnis, welches aus eine klassischen Gavitationstheoie hegeleitet wid, mit einem Fequenzvehältnis identifiziet weden kann, welches aus eine allgemein-elativistischen Theoie folgt, ist als Postulat aufzufassen. Dieses Postulat findet seine alleinige Beechtigung in de empiischen Evidenz, welche duch die Einstein- Effekte im Planetensystem gegeben sind. Ebenso ist die Theoieunabhängigkeit de Beziehung () als Postulat aufzufassen, welches nicht zwingend efüllt sein muss. Es gibt Gavitationstheoien, welche nicht auf () fühen, diese Theoien sind duch die Veletzung des Postulates () nicht Astonomische Gesellschaft agdebug, e. V.

4 Ist die Usache des Singulaitätspoblems de Allgemeinen Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz? g44( ) () ekennen. Wid nun im zweiten Schitt die Symmetie g () g44 übenommen, die wi von de Schwazschild- etik kennen, dann folgt fü die Radius- Radius-Komponente des metischen Tensos g (3). Die vollständige etik in Kugelkoodinaten d ds d sin ( ) d (4) c dt ist die beühmte Schwazschild-etik (Kal Schwazschild, 97). Sie ist eine eindeutige und stenge Lösung de Einstein schen Feldgleichungen. Im Ausgangspunkt haben wi nicht die Einstein schen Feldgleichungen vewendet, um daaus die Schwazschild-etik hezuleiten, sonden wi vewendeten ein seltsames klassisches Gavitationsgesetz, nämlich die Beziehung (5). Wi intepetieten die aus diesem Gesetz folgende Fequenzändeung im Gavitationsfeld um, indem wi diese als Folge de metischen Stuktu eine allgemein-elativistischen Raum-Zeit betachteten und unte diese Voaussetzung die Konstuktion de etik bewekstelligten. Aus de Evidenz des Newtonschen Gesetzes im Planetensystem folgeten wi, dass die Schwazschild-etik in eine Beziehung zu einem falschen klassischen Gavitationsgesetz steht und genau das de Gund fü das Aufteten des Singulaitätspoblems sei. an kann duchaus die Fage nach de Beechtigung eines solchen Vogehens und damit auch nach de automatisch falsch. In letzte Instanz kann daübe nu das Expeiment entscheiden. Beechtigung fü die entspechenden seh weitgehenden Schlussfolgeungen stellen. Unkla ist abe, was als Einwand vogetagen weden kann. Tatsächlich füht die Konstuktion de etik in de vogefühten Weise auf eine physikalisch unpoblematische, nämlich singulaitätsfeie etik, wenn man anstelle des seltsamen Gesetzes (5) einfach das Newtonsche Gavitationsgesetz benutzt. Das zeigen wi jetzt. Konstuktion eine singulaitätsfeien allgemein-elativistischen etik auf Basis de Newtonschen Gavitation Wi gehen wiede von de klassischen Gleichung (4) aus, doch statt de Kaft gem. (5) vewenden wi das Newtonsche Gavitationsgesetz (6). An die Stelle de Beziehung (7) titt dann die Beziehung c de m d (5). Unte Vewendung von E m (6), c sowie (9) und (), folgt die zu () analoge Beziehung h c d d (7), h c in de wi aus didaktischen Günden zunächst das Küzen untelassen haben. Küzen und das Tennen de Vaiablen egibt das Analogon zu (), nämlich dv v d (8). Die Integation ist einfach und schön. Es egibt sich in Analogie zu (6) de Ausduck ln (9). Bingen wi die Logaithmusfunktion zum Veschwinden, finden wi das wichtige Vehältnis e e (3). Astonomische Gesellschaft agdebug, e. V.

5 Ist die Usache des Singulaitätspoblems de Allgemeinen Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz? In Analogie zu () füht uns die Betachtung von (3) auf g44 e (3) und mittels () folgt (3). g e Die allgemein-elativistische etik fü das kugelsymmetische Vakuumfeld ist dann duch ds e d sin ( ) d (33). e c dt gegeben und wid als Post-Einstein- Schwazschild-etik bezeichnet. Die etik löst das Singulaitätspoblem duch ein Pinzip de Selbstegulation de Schwekaft vollständig auf und sie hat die volle empiische Evidenz im Planetensystem, sie liefet alle Einstein schen Effekte koekt. Abweichungen liegen in de nicht messbaen Gößenodnung 6 von, vegleiche [], [], [3] und [4]. In den zitieten Abeiten [] bis [4] sind veschiedene Aspekte de Beziehungen zwischen de ART 5 und de Newtonschen Gavitationstheoie, Beziehungen zu Quantenmechanik und Beziehungen zwischen de Post-Einstein-Schwazschild-etik und de Schwazschild-etik untesucht woden. Wi wollen einige Egebnisse diese Untesuchung hie kuz nennen, um die Bisanz aufzuzeigen: In [] wude gezeigt, dass die Schwazschild-etik auf Basis de hie vogefühten Deduktion nu unte Vewendung eine unphysikalischen Quantenbeziehung folgt, wenn zugleich vom Newtonschen Gavitationsgesetz (6) ausgegangen wid. Vewendet man dagegen das Newtonsche Gavitationsgesetz (6) und die koekte Quantenbeziehung (9), bzw. (), folgt die Post-Einstein-Schwazschild-etik das wude hie noch einmal vogefüht. Um auf Basis de koekten Quantenbeziehung die 5 ART = Allgemeine Relativitätstheoie Schwazschild-etik zu ehalten, muss auf das seh eigenatige und physikalisch nicht begündbae Gavitationsgesetz (5) zuückgegiffen weden. Das ist ein klassisches Gavitationsgesetzt, welches die Schwazschild-Singulaität als echte Singulaität beeits in sich enthält. Es sieht also so aus, als wüde die etik de ART die Singulaität am Schwazschild-Radius aus diesem unsinnigen klassischen Gesetz eben. Das unsinnige klassische Gesetz (5) veändet in de Relativistik die etik so stak, dass die etik nicht meh duch das Kugelkoodinatensystem beschieben weden kann, ohne dass eine kaustische Singulaität auftitt. Das ist zu betonen, denn dem gegenübe vehält sich die Post-Einstein- Schwazschild-etik völlig gutmütig und hat, wie beeits gesagt und gezeigt, die volle empiische Evidenz im Planetensystem. Diese Umstände lassen es als notwendig escheinen, die Begündung de ART und insbesondee die Diskussion um den klassischen Genzfall noch einmal 6 vozunehmen. So betachtet stellt die Schwazschild-Singulaität übehaupt ga keinen allgemein-elativistischen Effekt da. Sie ist ein Atefakt eine Näheung, wenn nämlich die Schwazschild-etik als Näheung de Post-Einstein-Schwazschild- etik angesehen wid, was sie in de Tat ist. Das Newtonsche Gavitationsgesetz als Genzfall von (5) Dem Nenne von (5) ist es anzusehen, dass e fü hineichend goße Abstände gegen konvegiet. Aus diesem Gund muss das Gesetz (5) in das Gesetz (6) übegehen. Wi können das auch exakt zeigen. Fomen wi die Beziehung (5) etwas um c K( ) m (34), definieen wi 6 Diskussionen zum klassischen Genzfall de ART sind kein Gegenstand de Foschung meh, solche Betachtungen efolgen nu noch im Rahmen de spezialisieten Studentenausbildung. Astonomische Gesellschaft agdebug, e. V.

6 Ist die Usache des Singulaitätspoblems de Allgemeinen Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz? x (35) und substituieen entspechend, dann finden wi duch Reihenentwicklung die mathematisch schöne Reihe c x K( x) m x x (36). c m x x x x... 4 Venachlässigen wi entspechend unsee Genzwetbetachtung die Teme höhee Odnung, dann finden wi nach Rücksubstitution das Newtonsche Gavitationsgesetz (6): c 4 c K( ) m m (37). 4 Wi behalten diese Tatsache im Hintekopf und wollen nun zeigen, dass das Gavitationsgesetz (5) als Genzfall auch aus de Post-Einstein-Schwazschild-etik konstuiet weden kann. Das Gavitationsgesetz (5) als Genzfall de Post-Einstein-Schwazschild-etik Jetzt entwickeln wi (3) als Reihe. Die Reihenentwickelung egibt g (38). Venachlässigt man die Teme de höheen Odnung, dann egibt sich g44 (39). Das ist die Zeit-Zeit-Komponente de Schwazschild-etik, die mit dem Gavitationsgesetz (5), wie gezeigt, in Beziehung steht. Auch das behalten wi im Hintekopf. odulation allgemein-elativistische Keisbewegung duch klassische Gavitationsgesetze Wi untesuchen jetzt die einfachste Bewegung, die Keisbewegung im kugelsymmetischen Gavitationsfeld. Konket inteessieen uns die Winkelgeschwindigkeiten. Die Keisbewegung im Newtonschen Gavitationsfeld wid duch die Winkelgeschwindigkeit c Newton (4) 3 beschieben. Die Keisbewegung, wie sie sich aus de Post- Einstein-Schwazschild-etik egibt, ist duch PES Newton (4) gegeben, wobei auf Gund de Relativistik de Punkt auf de linken Seite die Ableitung nach de Eigenzeit, nicht nach de Koodinatenzeit meint, vegleiche []. Esichtlich weisen wede (4) noch (4) fü igendeine Singulaität auf. Nu fü muss die Winkelgeschwindigkeit aufgund de Dehimpulsehaltung divegieen. Die Allgemeine Relativitätstheoie füht in de Schwazschild-etik auf die Winkelgeschwindigkeit ART 3 Newton (4). Wiede epäsentiet de Punkt auf de linken Seite die Ableitung nach de Eigenzeit, nicht nach de Koodinatenzeit. Die Winkelgeschwindigkeit (4) weist gleich zwei singuläe Stellen auf, die este Stelle ist bei, d.h., sie titt an dem beühmten Schwazschild-Radius auf. Die zweite Singulaität liegt außehalb des Schwazschild- Radius bei 3 und spielt eine zentale Rolle fü die Theoie des Gavitationskollapses, denn untescheitet de Radius eines Stens de asse est einmal Astonomische Gesellschaft agdebug, e. V.

7 Ist die Usache des Singulaitätspoblems de Allgemeinen Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz? diesen Beeich, dann ist de Gavitationskollaps unaufhaltsam, weil keine stabilen Keisbahnen meh existieen. Damit sich ein Köpe mit eine Ruhemasse ungleich null auf dem Radius 3 auf eine Keisbahn bewegen kann, muss e eine unendliche Bewegungsenegie besitzen. De Radius 3 makiet eine Genze, ab de eine At Staubsauge-Effekt jeden Patikel ins Schwaze Loch zu ziehen vemag. Nun untesuchen wi die Winkelgeschwindigkeit fü das Gesetz (5), um es mit (4) bis (4) zu vegleichen. Die Radialkaft K ist popotional zum Quadat de Keisbahngeschwindigkeit v und umgekeht popotional zum Keisbahnadius. De Popotionalitätsfakto ist die täge asse m des Pobeköpes, es gilt: v K m (43). Die Radialkaft (43) ist im Gleichgewicht mit de Gavitationskaft K (), gemäß de Gleichung (5), es gilt: K( ) K v c m m (44). De Zusammenhang zwischen de Keisbahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit ist v (45). Das Einsetzen von (45) in (44) und anschließendes Umstellen nach füht auf die gesuchte Beziehung: ( 5) Newton (46). Schlussfolgeung Aus dem Vegleich de veschiedenen Winkelgeschwindigkeiten lassen sich die folgenden Schlussfolgeungen ziehen:. Die Fom de Keisbahngeschwindigkeit (4) zeigt die klinisch eine Fom des Übegangs vom Newtonschen Gavitationsgesetz zu eine allgemeinen elativistischen kugelsymmetischen etik und de aus ih heleitbaen Keisbahngeschwindigkeit. Demnach gibt es keinen Gund fü die Annahme de Existenz gavitative Singulaitäten.. Die Keisbahngeschwindigkeit (46) ist ein klassische-physikalische Natu, ihe Fom esultiet unmittelba aus dem unphysikalischen Kaftgesetz (5). 3. Die aus de Schwazschild-etik esultieende Keisbahngeschwindigkeit (4) zeigt dei jetzt gut intepetiebae Stuktuen auf. Bezeichnen wi K 3 als Kollaps-Radius und S als Schwazschild-Radius, dann lässt sich die Beziehung (4) auch so scheiben: K ART Newton (47). S Fü K S geht (4), bzw. (47) diekt in die singulaitätsfeie Beziehung (4) aus de singulaitätsfeien etik übe. Wi ziehen daaus den Schluss, dass de Tem de eine Folge des Übegangs vom Newtonschen Gavitationsgesetz in die allgemeine Relativistik ist, in de ART in modifiziete Fom (unein) auftitt. De Tem K ist ein eines Atefakt des falschen Gavitationsgesetzes (5). Schließlich und endlich ist auch de Kollaps-Radius K das Resultat des Übegangs in die allgemeine Relativistik auf Basis des falschen Gavitationsgesetzes (5). 4. Nu aufgund de Tatsache, dass K und S so extem klein sind, sie liegen in de Gößenodnung von wenige als 7 Sonnenadien, kann die Allgemeine Relativitätstheoie im Planetensystem als so efolgeich gelten. Wegen de geingen Astonomische Gesellschaft agdebug, e. V.

8 Ist die Usache des Singulaitätspoblems de Allgemeinen Relativitätstheoie ein falsches klassisches Gavitationsgesetz? Göße diese Atefakte gilt im Planetensystem. ART PES 5. Die Tatsache, dass die Schwazschild- Lösung nu eine Näheung eine eigentlich singulaitätsfeien etik ist, füht auf die Vemutung, dass die Einstein sche Gavitationstheoie (ART) nu daduch ein Singulaitätspoblem besitzt, weil sie selbst nu die Näheung eines eigentlich singulaitätsfeien Gavitationsgesetzes dastellt. Die Schwazschild-Singulaität ist ebenso ein Atefakt de Näheung, wie das seltsame Gesetz (5). Quellen [] K. Retzlaff, Einstein- und Post-Einstein- Effekte im Zentalfeld, epubli, 7, ISBN [] K. Retzlaff, Übe die quantenmechanische Detemination de makoskopischen Raum- Zeit-etik, AG 7, 7 [3] K. Retzlaff, Vom Newtonschen Gavitationspaadoxon zu singulaitätsfeien allgemein-elativistischen Gavitationstheoie, AG, 7 [4] K. Retzlaff, Antigavitation im quasiklassischen Genzfall de singulaitätsfeien allgemein-elativistischen Gavitationstheoie, AG, 7 7 Die Atikel sind auf de Webseite de Astonomische Gesellschaft agdebug e.v. zu finden. Astonomische Gesellschaft agdebug, e. V.