Übersicht zur Geometrie in der Schule (Sekundarstufe I)

Transkript

1 Üersict zur Geometrie in der cule (ekundrstufe I) ristin Ricter & Micel cmitz & Friedric-ciller-Universität Jen Fkultät für Mtemtik und Informtik (Juli 2014)

2 Liee Leser 1, ds vorliegende kript ist sowol für cüler gedct, die sic für ein tudium der Mtemtik (uc für ds Lermt) entscieden en, ls uc für unsere tudenten in den nfngssemestern. Es ist us unserer Erfrung erus entstnden, dss gerde die elementre Geometrie, die in der cule vermittelt wird, unseren tudierenden oft cwierigkeiten ereitet. Ein Grund dfür ist, dss dieser Inlt meist merere Jre zurückliegt und in der gymnsilen Oerstufe nur selten wiederolt wird. ei ist er uc die elementre Geometrie eine wictige Grundlge für ds Mtemtikstudium, speziell für ds des Lermtes. wir ie ei Irem tudium unterstützen wollen, en wir diesen culstoff ier zusmmengefsst. ei geen wir nict nur die notwendigen efinitionen und ätze n, sondern stellen uc usgewälte eweise vor. Gerde diese eweise, die im culunterrict mncml in den Hintergrund treten, sind eim tudium der Mtemtik von großer edeutung. Inltlic orientieren wir uns n den ildungsstndrds im Fc Mtemtik für den Mittleren culscluss [1]. Lesen zw. reiten ie dieses kript durc, um sic uf Ir tudium vorzuereiten. es Weiteren wollen wir ie ier uf zwei populärwissenscftlice ücer inweisen. ie erlten dort einen guten Ein- und Üerlick üer Ir gewältes Fc und erfren etws üer istorisce Hintergründe: Roert und Ellen Kpln: s Unendlice denken: Eine Verfürung zur Mtemtik. Econ Verlg, ([9]) Mrio Livio: Ist Gott ein Mtemtiker? Wrum ds uc der Ntur in der prce der Mtemtik gescrieen ist. Verlg. H. eck, ([11]) Hilfe zum Einstieg in ds streng mtemtisce enken ietet: Houston, Kevin: Wie mn mtemtisc denkt: Eine Einfürung in die mtemtisce reitstecnik für tudiennfänger. pektrum kdemiscer Verlg, ([8]) Wir wünscen Inen viel Erfolg und Freude eim tudium der Mtemtik. 1 Ntürlic dürfen sic ier uc Leserinnen und n nderen tellen uc cülerinnen, tudentinnen, Lererinnen,... ngesprocen fülen. 2

3 Inltsverzeicnis 1 Grundlegendes 4 2 ewegungen und Kongruenz 6 3 trecken- und Winkelmessung 8 4 pezielle Winkel, insesondere Winkel n gescnittenen Prllelen 9 5 rei- und Vierecke 11 6 Lot, Mittelsenkrecte und Winkellierende 15 7 ezieungen zwiscen eiten und Winkeln eines reiecks 16 8 esondere Linien im reieck: ie Mittelsenkrecten, die Winkellierenden, die Höen 17 9 Kongruenzsätze für reiecke ätze üer Vierecke Fläceninlt er tz des Pytgors und seine Umkerung ätze m Kreis Umfng und Fläceninlt eines Kreises Änlickeit und trlensätze Änlickeitssätze für reiecke esondere Linien im reieck: ie eitenlierenden tzgruppe des Pytgors Eene Trigonometrie Volumen und Oerfläce von Körpern 37 Litertur 40 3

4 Elementre Geometrie Wenn wir im Folgenden von der elementren Geometrie sprecen, dnn wollen wir drunter den Inlt des Mtemtikunterricts, der in der ekundrstufe I zu dieser Temtik gelert wird, versteen. uc etrcten wir im Wesentlicen nur die eene Geometrie. m Ende dieses kriptes, wenn es um Körper und Volumen get, verlssen wir die Eene und etrcten die Geometrie im Rum. m nfng werden wir etws üer die Entsteungsgescicte der Geometrie und irer xiomtiscen egründung ericten, one dei systemtisc und vollständig zu sein. Es get uns drum, dss ie eine Idee mitnemen, wie mn in der Geometrie zw. Mtemtik reitet. Wir werden uc grundlegende egriffe wie z.. trecke, trl oder Winkel die ie ntürlic us der cule kennen etws genuer erläutern. von sollten ie sic er nict screcken lssen. 1 Grundlegendes ie Geometrie, so wie wir sie eute etreien, t eine Gescicte, die merere tusend Jre lt ist. ie entwickelte sic us den lltäglicen edürfnissen der Menscen. ei knn mn n die Lndvermessung (z.. nc der järlicen Üerscwemmung durc den Nil) oder n Konstruktions- und Vermessungsufgen ei uprojekten (z.. ei den Pyrmiden von Gize) oder uc n künstlerisce Tätigkeiten (z.. eim nringen von Mustern n Gefäßen) denken. lle diese vielfältigen Tätigkeiten fürten dzu, dss sic unsere eutige Geometrie entwickelte. Ein wictiger Zeitpunkt in dieser Entwicklung liegt etw 300 v.u.z., ls der Griece Euklid ds dmlige mtemtisce Wissen in den Elementen zusmmenfsste und systemtisierte. ie esondere Leistung von Euklid wr es, dss er die Geometrie us den Grundelementen Punkt, Gerde und Eene ufute. Zu diesen Grundelementen formulierte er wenige grundlegende ussgen (wir nennen sie eute xiome), in denen er die ezieungen der Grundelemente untereinnder regelte. eispiele für solce xiome sind: Zwei voneinnder versciedene Punkte estimmen genu eine Gerde, die diese eiden Punkte entält. Es git drei Punkte in der Eene, die nict zu ein und derselen Gerden geören.... iese und weitere xiome setzte Euklid n den nfng der Geometrie. Er entnm sie der nscuung und sgte, dss diese Grundnnmen wr sein sollen und keines eweises edürfen. nscließend wurden lle weiteren Ttscen der Geometrie llein durc logisces cließen us diesen Grundnnmen ergeleitet. ies lles gesciet in den Elementen [4]. ieses uc, ds eigentlic us 13 ücern estet, wr fst 2000 Jre ds wictigste Leruc der Geometrie/Mtemtik t vid Hilert ( ) in seinen Grundlgen der Geometrie [7] Euklids xiomtisierung der Geometrie in dem inne gesclossen, dss der erreicte tnd den eutigen streng-mtemtiscen nsprücen genügt. Heute eweisen wir noc immer mtemtisce ätze, indem wir sie durc logisce clussfolgerungen uf ndere, ereits ewiesene ätze zurückfüren. Ntürlic müssen diese ätze uc wieder uf ereits ewiesene ätze zurückgefürt werden u.s.w. is scließlic ätze uf die grundlegenden xiome zurückgefürt werden. Mn sgt uc, dss die Geometrie xiomtisc egründet ist. ie Gesmteit der xiome ezeicnet mn ls xiomensystem. ieses Vorgeen in der Geometrie wurde ein Muster für ndere mtemtisce Teildisziplinen, die später eenflls xiomtisc ufgeut wurden. Ein modernes xiomensysten der 4

5 eenen Geometrie nutzt den egriff Punkt ls Grundegriff. Geometrisce Ojekte sind dnn Punktmengen. zu geören uc Gerden und Eenen, die eenflls zu den Grundegriffen der Geometrie geören. Im Folgenden ezeicnen wir Punkte in der Regel mit großen lteiniscen ucsten und Gerden mit kleinen. Oen wurden exemplrisc zwei xiome üer ezieungen von Punkten und Gerden formuliert. iese werden uc ls Inzidenzxiome ezeicnet. ogennnte nordnungsxiome escreien Grundnnmen üer die gegenseitige Lge von Punkten uf Gerden. Zum eispiel: Von drei Punkten uf einer Gerden liegt genu einer zwiscen den eiden nderen.... ind und zwei versciedene Punkte, so estet die trecke neen und us llen Punkten P, die zwiscen und liegen. er trl + entält neen und sowol lle Punkte, die zwiscen und liegen, ls uc lle Punkte P derrt, dss zwiscen und P liegt. Ntürlic knn mn uc den trl etrcten und meint dmit lle Punkte der von und estimmten Gerden g(), die mit usnme von nict zu + geören. Mn sgt, dss zwei Punkte X und Y uf der gleicen eite einer vorgegeenen Gerden g liegen, wenn zwiscen und kein Punkt von g liegt. Entsprecend zerlegt jede Gerde die verleienden Punkte der Geometrie (der Eene) in zwei Mengen, die eiden eiten zw. Hleenen von g. trl + trecke trl - g und liegen uf derselen eite von g. g und liegen uf versciedenen eiten von g. Zwei weitere Gruppen von xiomen escäftigen sic einerseits mit Grundnnmen zur Kongruenz zw. zur ewegung geometriscer Ojekte (Kongruenz- zw. ewegungsxiome) und ndererseits mit dem Messen von trecken und Winkeln (tetigkeitsxiome). Ein xiom, ds mn ereits ei Eukild findet und ds in der Mtemtik viel ufseen erregt t, ist ds Prllelenxiom, ds Euklid ls fünftes und letztes xiom in seinem ystem formulierte. Es lutet in moderner Formulierung: Ist g eine Gerde und P ein Punkt, so git es genu eine Gerde p, die durc P get und prllel zu g ist. ei eißen zwei Gerden prllel zueinnder, wenn sie entweder keinen Punkt oder lle Punkte gemeinsm en. m Rnde wollen wir ier nur noc emerken, dss die Existenz von prllelen Gerden us den nderen xiomen ewiesen werden knn. Lediglic die Eindeutigkeit ist in dem oen gennnten xiom von edeutung. Weil dieses Prllelenxiom, im Vergleic zu den nderen, einen komplizierten Wortlut t, dcten viele Mtemtiker nc Euklid, dss dieses xiom in Wirklickeit ein tz ist, der uf der Grundlge der nderen xiome ewiesen werden knn. Keinem ist es gelungen. Erst im 19. Jrundert konnten unängig voneinnder Nikoli Iwnowitsc Lotscewski ( ), János olyi ( ) und rl Friedric Guß ( ) zeigen, dss dies uc nict gelingen knn. ie scufen eine neue Geometrie, in der nict ds Prllelenxiom, sondern sein Gegenteil gilt. In dieser Geometrie git es durc einen Punkt P p g 5

6 P ußerl einer Gerden g mindestens zwei voneinnder versciedene Gerden, die zu g prllel sind. iese Geometrie wird ls nicteuklidisce Geometrie ezeicnet und findet zum eispiel in der Kosmologie eine nwendung. Entsprecend eißt die Geometrie, in der ds euklidisce Prllelenxiom gilt, euklidisce Geometrie. ieses ist die Geometrie, die wir in unserem nscuungsrum etreien und in der cule kennenlernen. Wir werden etws später ds Prllelenxiom nutzen, um zu zeigen, dss die umme der Innenwinkel im reieck 180 eträgt. Wer n weiteren Einzeleiten und istoriscen Hintergründen interessiert ist, findet in [12] interessnten Lesestoff. Neen den oen eingefürten trecken und trlen sind in der Geometrie uc Winkel von edeutung. etrcten wir dzu drei voneinnder versciedene Punkte, und, die nict uf einer Gerden liegen, so ilden die eiden trlen + und + die cenkel eines Winkels mit dem ceitelpunkt. urc diese eiden cenkel wird die Eene in zwei Teile eingeteilt. erjenige Teil, der die trlen und nict entält, ist der Winkel, der durc die eiden cenkel + und + geildet wird. Wollen wir den nderen Eenenteil ls Winkel von + und + etrcten, so muss ds immer esonders erwänt werden. Winkel werden oft mit kleinen grieciscen ucsten ezeicnet, er uc die ymolik oder ist geräuclic. uc wenn die drei gewälten Punkte, und uf einer Gerden liegen, entsteen Winkel. Liegt zwiscen und, so nennen wir den Winkel gestreckten Winkel, liegt nict zwiscen und, so nennen wir den Winkel Nullwinkel. 2 ewegungen und Kongruenz Wir nennen zwei (eene) Figuren F und F kongruent zueinnder, F = F, wenn es eine Kongruenzildung (ewegung) git, die F uf F ildet. F und F nennt mn dnn uc deckungsgleic. olce ewegungen sind Verscieung, piegelung n einer Gerden, reung um einen Punkt oder Nceinnderusfürungen dieser ewegungen, so wie wir es in der cule kennengelernt en. Zur Erinnerung: Eine Verscieung ist durc einen Punkt P (Originlpunkt) und einen Punkt P (ildpunkt) eindeutig estimmt. P P ezeicnet dmit nict nur einen Verscieungspfeil 2, sondern escreit uc die gesmte Verscieung, ei der lle Punkte der Eene geildet (verscoen) werden. Wollen wir den ildpunkt zu einem weiteren Originlpunkt Q estimmen, so müssen wir durc Q die Prllele q zu P P zeicnen und uf dieser Prllelen von Q us in die Verscieungsrictung die Länge der trecke P P trgen. ies knn zum eispiel mit einem Zirkel gesceen. Mn knn den gesucten ildpunkt Q uc nders konstruieren. zu wird durc P die Prllele zu P Q gezeicnet, die q im gesucten ildpunkt Q scneidet. 2 Hier ist kein Vektor gemeint! 6

7 P P P Q P P Q Q P q Q Q q Ntürlic knn der Punkt Q uc uf der durc P und P estimmten Gerden liegen. nn müssen wir die Konstruktion des ildpunktes Q etws wndeln. Wir wälen uns einen elieigen Hilfspunkt H, der nict uf der Gerden durc P und P liegt, und ilden diesen. H ist der zugeörige ildpunkt. Nun estimmt HH diesele Verscieung wie P P und wir können Q ilden. Q P Q P H P H P Q P Q H P H H Erwänt werden soll ier uc noc, dss ei der Vorge einer Verscieung durc P und P diese eiden Punkte zusmmenfllen können, d.., P und P sind identisc. In diesem Fll eißt die Verscieung Identität und es wird jeder Punkt der Eene uf sic selst geildet. Nutzen ie uc den omputer zum Konstruieren. Lden ie sic dzu ds Progrmm GeoGer ( uf Iren Recner. Es ist intuitiv zu edienen und uf der gennnten Internetseite finden ie nleitungen und viele eispiele. Zur Erinnerung: Eine piegelung n ei ner Gerden (kurz Gerdenspiegelung) ist durc die Vorge einer Gerden ls piegelp cse eindeutig estimmt. In der culzeit lernt P L mn diese ildung oft durc Tintenklecks- P ilder kennen. ei wird ein Tintenklecks uf L ein ltt Ppier gemct. nscließend wird es Q=Q P zusmmengefltet und gut zusmmengedrückt. Nc dem ufflten erkennt mn eine Figur, die zur Fltgerden symmetrisc liegt. rus leiten sic dnn die wictigen Eigenscften der Gerdenspiegelung. Verinden wir nämlic einen Punkt P uf der einen eite der Fltgerden mit dem zugeörigen Punkt P uf der nderen eite, so können wir feststellen: P P ist senkrect zu, P L und P L sind kongruent zueinnder. mit ist er die Gerdenspiegelung n einer piegelcse scon vollkommen escrieen. Ist eine piegelcse und P ein elieiger Punkt, der nict uf liegt, so erlten wir den zugeörigen ildpunkt P, indem wir zuerst ds Lot von P uf fällen. ezeicnen wir den Lotfußpunkt mit L, so wird die trecke P L uf diesem Lot von L us in die Hleene ezüglic getrgen, die P nict entält. Ist Q ein Punkt von, so wird dieser Punkt ei der Gerdenspiegelung n uf sic geildet, d., es gilt Q = Q. s eißt er uc, dss jeder Punkt der piegelgerden ei der Gerdenspiegelung n uf sic geildet wird. ie Punkte von nennt mn uc Fixpunkte dieser ildung. 7

8 ilden wir mit einer Gerdenspiegelung n einen elieigen Punkt P, so erlten wir den zugeörigen ildpunkt P. piegeln wir nun P n, so erlten wir den zugeörigen ildpunkt P, der mit P üereinstimmt. mit ist die zweimlige Hintereinnderusfürung der Gerdenspiegelung n der cse die identisce ildung, die jeden Punkt der Eene uf sic selst ildet. Zur Erinnerung: Eine reung um einen Punkt (kurz reung) ist durc die Vorge eines Punktes ls rezentrum und einen rewinkel (mit Rictung) estimmt. Nun sind lso ein rezentrum Z und ein rewinkel φ mit negtivem resinn (lso mit dem Urzeigersinn) vorgegeen. Ist P ein elieiger Punkt, P P der nict mit Z zusmmenfällt, so verinden wir P Z mit P und trgen n ZP + den gegeenen rewinkel mit der entsprecenden rerictung. er freie cenkel des getrgenen Winkels scneidet den Kreis um Z durc P im Z Z gesucten ildpunkt P. Fällt der zuildende Punkt P mit dem rezentrum zusmmen (P = Z), so ist P = P. s rezentrum ist der Fixpunkt dieser ildung. 3 trecken- und Winkelmessung s Messen von Längen und Winkeln mit Linel und Winkelmesser geört in der cule zu den grundlegenden ktivitäten (nict nur) des Mtemtikunterricts. Wir wollen ier kurz üer die Grundlgen dzu ericten. eim Messen einer trecke wird dieser eine Länge zugeordnet. iese Länge estet us einer nict negtiven reellen Zl, der Längenmßzl l(), und der zugeörigen Längeneineit. ie Längeneineit wird durc eine Eicstrecke (oder uc Eineitsstrecke) EF repräsentiert (E F ). eispiele für solce Längeneineiten sind z.. Millimeter (1mm), Zentimeter (1cm), Meter (1m), Kilometer (1km) oder Lictjr. Eine 4cm lnge trecke ( = 4cm) t die Längenmßzl l() = 4 und die Längeneineit 1cm. Ht mn eine solce Eicstrecke EF festgelegt, so erfüllt die Längenmessung die folgenden drei Eigenscften: Es gilt l(ef ) = 1 (Eicung oder Normierteit der treckenlänge). Liegt ein Punkt zwiscen und, so gilt l() = l() + l() (dditivität der treckenlänge). ind und kongruente trecken, so gilt l() = l( ) (ewegungstreue der treckenlänge). ei müssen wir ecten, dss die Eicstrecke EF nict zu einem Punkt entrtet, lso E F gelten muss. trecken der degenerierten Gestlt sind jedoc sinnvoll messr, nämlic mit l() = 0. uc dem Messen liegen in der Geometrie xiome, die tetigkeitsxiome, zugrunde. ie esgen im Wesentlicen, dss ei fest vorgegeener Mßeineit einerseits jeder trecke genu eine Mßzl im inne der oen gennnten drei Punkte zugeordnet werden knn und ndererseits zu jeder positiven reellen Zl x eine trecke mit Mßzl x existiert. mit wird ds Messen, so wie wir es iser gelernt en, ermöglict. Änlic wie ei der Messung von trecken ist die Größe des Winkels Produkt von Mßzl w( ) und Mßeineit. ie nict negtive Mßzl muss llen 8

9 Winkeln wieder so zugeordnet werden, dss sie entsprecende Eigenscften von dditivität, ewegungstreue und Eicung (siee oen) erfüllt. Zur Eicung wird eine ezieung zu einem gestreckten Winkel EF ergestellt, ei dem lso zwiscen E und F liegt. Nutzt mn die Mßeineit Grd (mit dem ymol ), so fordert mn EF = 180. lterntiv misst mn Winkel im ogenmß (one ymol!), indem mn EF = π festlegt. ei ist F 180 E F 1 1 π = 3, die eknnt Kreiszl und gleiczeitig uc die Längenmßzl einer Hlkreislinie, deren Rdius die Eineitslänge t. Owol trecken und treckenlänge, Winkel und Winkelgröße irer Ntur nc völlig untersciedlice mtemtisce Ojekte sind, werden dfür (in der cule und uc ier) oftmls identisce ezeicnungen genutzt. nn wird z.. in reiecken die trecke mit c und ire Länge eenso mit c, sttt mit c ezeicnet. Oder es wird die Größe eines Winkels α uc einfc mit α, sttt mit α ezeicnet. ss mn diese Konvention nur vorsictig nutzen drf, erkennt mn eispielsweise drn, dss versciedene Winkel α und β identisce Größen en können, nämlic wenn sie kongruent sind. Würde mn ier Winkel und zugeörige Größen identisc ezeicnen, erielte mn gleiczeitig α β (für die Winkel) und α = β (für ire Größen), ws unsinnig wäre. E 4 pezielle Winkel, insesondere Winkel n gescnittenen Prllelen efinition 1 (Neen- und ceitelwinkel) Es seien,,, und Punkte, so dss einerseits zwiscen und und ndererseits uc zwiscen und liegt. nn nennt mn und die Neenwinkel und den ceitelwinkel von. ufgrund der efinition für Neen- und ceitelwinkel können wir sofort einen ersten tz formulieren, der uc one eweis klr ist. tz 1 () ie Größen eines Winkels und eines zugeörigen Neenwinkels ddieren sic zu 180. () ceitelwinkel sind kongruent, lso gleic groß. Nun können wir uc Winkel nnd irer Größe enennen. Gestreckte Winkel und Nullwinkel kennen wir ereits. Ein Winkel eißt Nullwinkel, wenn seine cenkel identisc sind, gestreckter Winkel, wenn seine cenkel komplementäre trlen sind, recter Winkel, wenn er zu einem seiner Neenwinkel kongruent ist, spitz, wenn er kleiner ls ein recter Winkel, er kein Nullwinkel ist, stumpf, wenn er größer ls ein recter, er kleiner ls ein gestreckter Winkel ist. 9

10 Gelegentlic werden uc Winkel ls üerstumpf ezeicnet. mit sind Winkel gemeint, die größer ls gestreckte Winkel sind. Wenn + und +, + +, die eiden cenkel des Winkels sind, so wird jetzt derjenige Teil der Eene den cenkeln ls Winkel zugeordnet, der die eiden trlen und entält (vgl.. 6). ein recter Winkel zu einem Neenwinkel kongruent, lso insesondere gleic groß ist, folgt us tz 1(), dss recte Winkel 90 groß sind. Ht ein Winkel die Größe α, so ist er lso ein Nullwinkel, wenn α = 0, spitz für 0 < α < 90, ein recter Winkel für α = 90, stumpf für 90 < α < 180 und gestreckt für α = 180. Ist α die Größe eines üerstumpfen Winkels, so gilt 180 < α < 360. Mncml werden uc noc Winkel mit α = 360 zugelssen, sogennnte Vollwinkel. nn sind die cenkel wie eim Nullwinkel identisc, er der Winkel umfsst die gnze Eene. Von esonderem Interesse sind Winkel, die eim cnitt zweier Gerden mit einer dritten entsteen. efinition 2 (tufen- und Wecselwinkel) Zwei versciedene Gerden g und g seien durc eine dritte Gerde gescnitten, woei mit g der cnittpunkt und mit g der cnittpunkt mit entstee. nn eißen ein Winkel mit ceitel und cenkeln uf g und und ein Winkel mit ceitel und cenkeln uf g und tufenwinkel, wenn ire cenkel uf in die gleice Rictung weisen und ire nderen cenkel uf der gleicen eite von liegen, zw. Wecselwinkel, wenn ire cenkel uf in gegensätzlice Rictungen weisen und ire nderen cenkel uf versciedenen eiten von liegen. g g tufenwinkel Wecselwinkel Wenn die eiden Gerden g und g prllel zueinnder sind, lässt sic ein tz formulieren und mit Hilfe von ewegungen leict eweisen. tz 2 (Winkel n gescnittenen Prllelen) tufenwinkel zw. Wecselwinkel, die eim cnitt zweier Prllelen mit einer dritten Gerden entsteen, sind kongruent. eweis: tufenwinkel n gescnittenen Prllelen sind kongruent, weil sie durc eine Verscieung ufeinnder geildet werden können. ie ussge üer Wecselwinkel folgt drus durc nwendung von tz 1(). Interessnt ist uc die Umkerung dieses tzes. iese Umkerung knn z.. in eweisen enutzt werden, in denen die Prllelität von Gerden gezeigt werden soll. tz 3 (Umkerung von tz 2) Entstet eim cnitt zweier Gerden g und g mit einer weiteren Gerden ein Pr kongruenter tufen- oder Wecselwinkel, so sind g und g prllel. 10

11 eweis: g und g sind zwei Gerden, die von der Gerden in den Punkten und gescnitten werden. Wenden wir uns zuerst den tufenwinkeln zu. Nc Vorussetzung ist lso ein Pr von tufenwinkeln kongruent zueinnder, z.. α = α. Nun etrcten wir durc die Prllele ḡ zu g. iese prllele Gerde ist nc dem Prllelenxiom eindeutig estimmt. Mit ᾱ ezeicnen wir den zu α geörenden tufenwinkel n ḡ. Weil nc tz 2 α = ᾱ ist, ist uc α = ᾱ. esl muss g mit ḡ üereinstimmen, d., g = ḡ muss prllel zu g sein. mit ist der eweis des tzes für tufenwinkel errct. tz 1() wie im letzten eweis den Üergng von Wecsel- zu tufenwinkeln erlut, können wir feststellen, dss unser tz eenflls für Wecselwinkel, und dmit insgesmt, gilt. _ g _ g g 5 rei- und Vierecke efinition 3 (reieck) Unter einem reieck versteen wir einen gesclossenen treckenzug us drei trecken (und drei Eckpunkten), die nict uf einer Gerden liegen. reiecke werden wie ülic ezeicnet:,, sind die Ecken,,, c sind die eiten und α, β, γ sind die Innenwinkel. Zu jedem Innenwinkel im reieck git es zwei ußenwinkel, die Neenwinkel des Innenwinkels sind (α, α, β, β und γ, γ ). ie eiden ußenwinkel sind ceitelwinkel und somit kongruent. Mn fixiert desl meistens nur einen ußenwinkel pro Ecke und sprict dnn von dem ußenwinkel, etw α, β, γ. c tz 4 (Innenwinkelsumme im reieck) ie umme der Innenwinkel eines jeden reiecks eträgt 180. eweis: Wir zeicnen die Prllele p durc zu der Gerden g(), so wie es im ild zu seen ist. Zu α und β etrcten wir die zugeörigen Wecselwinkel α und β in. iese eiden Wecselwinkel ergänzen sic mit γ zu einem gestreckten Winkel, worus folgt, dss die umme der Größen dieser Winkel 180 eträgt. α und β zu α und β nc tz 2 kongruent sind, en sie uc die gleice Größe. Folglic ergit uc die umme der Größen der Innenwinkel eines jeden reiecks 180. p * * tz 5 (ußenwinkelsumme im reieck) ie umme der drei ußenwinkel eines jeden reiecks eträgt 360. reiecke knn mn nc eiten und Innenwinkeln crkterisieren. ortiert mn reiecke nc iren eiten ezüglic irer Kongruenz untereinnder, so knn mn die folgende Einteilung treffen: 11

12 Wird üer die Kongruenz der eiten untereinnder keine ussge getroffen, nennt mn dies ein llgemeines reieck. ind zwei eiten eines reiecks kongruent zueinnder, so nennt mn dies ein gleicscenkliges reieck. llgemein gleicscenklig gleicseitig ind lle drei eiten eines reiecks kongruent zueinnder, so nennt mn dies ein gleicseitiges reieck. Im gleicscenkligen reieck eißen die eiden zueinnder kongruenten eiten cenkel und die dritte eite sis. ie reiecksecke, die der sis gegenüer liegt, eißt pitze des gleicscenkligen reiecks und die eiden Innenwinkel, die n der sis nliegen, eißen siswinkel. Wir wollen ier druf inweisen, dss jedes gleicseitige reieck uc ein spezielles gleicscenkliges und jedes gleicscenklige reieck uc ein spezielles llgemeines reieck ist. ieser Zusmmenng ist im rects geildeten Mengendigrmm drgestellt. sis pitze cenkel siswinkel mit ist jede ussge, die für llgemeine reiecke gilt, uc für gleicscenklige und gleicseitige reiecke rictig. Mn knn die folgende Einteilung der reiecke nc Winkeln treffen: llgemeine reiecke gleicscenklige reiecke gleicseitige reiecke ind in einem reieck lle Innenwinkel spitz, so nennt mn dies ein spitzwinkliges reieck. Ist ein Innenwinkel eines reiecks ein recter Winkel, so nennt mn dies ein rectwinkliges reieck. Ist ein Innenwinkel eines reiecks ein stumpfer Winkel, so nennt mn dies ein stumpfwinkliges reieck. spitzwinklig rectwinklig stumpfwinklig Im rectwinkligen reieck eißen die eiden eiten, die den recten Winkel estimmen, Kteten. ie eite, die dem recten Winkel gegenüer liegt, wird ls Hypotenuse ezeicnet. us dem tz üer die Innenwinkelsumme im reieck ergit sic, dss es kein reieck git, ei dem mer ls ein recter oder stumpfer Innenwinkel vorkommen knn. Kteten Hypotenuse Im rects gezeigten Mengendigrmm ist die Einteilung der reiecke insictlic der Innenwinkel noc einml drgestellt. spitzwinklige reiecke rectwinklige reiecke stumpfwinklige reiecke ie rkterisierung der reiecke nc eiten und nc Winkeln wird in der folgenden Telle zusmmengefsst. 12

13 reieck ist spitzwinklig rectwinklig stumpfwinklig llgemein gleicscenklig gleicseitig efinition 4 (Viereck) Unter einem Viereck versteen wir einen gesclossenen treckenzug us vier trecken (und vier Eckpunkten), ei dem keine drei Eckpunkte uf einer Gerden liegen. Vierecke lssen sic in konvexe, konkve und üersclgene Vierecke einteilen: konvex konkv üersclgen er cnittpunkt der igonlen liegt innerl ußerl ußerl des Vierecks. Zwei eiten des Vierecks en nur Eckpunkte des Vierecks gemeinsm. neen Eckpunkten des Vierecks uc noc einen weiteren Punkt gemeinsm, der kein Eckpunkt ist. Im Weiteren werden wir unter einem Viereck stets ein konvexes Viereck versteen. ollen uc konkve Vierecke etrctet werden, so wird dies extr etont. Üersclgene Vierecke werden ier nict etrctet. Neen dem llgemeinen (konvexen) Viereck lernen wir in der cule speziell ds Qudrt, ds Recteck, den Romus (die Rute), ds Prllelogrmm, ds Trpez und ds rcenviereck kennen. Wir definieren: 13

14 efinition 5 (Trpez) Jedes Viereck mit einem Pr prlleler Gegenseiten eißt Trpez. Im Trpez ezeicnet mn die die prllelen eiten uc ls Grundseiten und die nderen eiden eiten ls cenkel des Trpezes. er stnd der Grundseiten eißt Höe des Trpezes und die Verindung der Mittelpunkte der cenkel nennt mn Mittellinie. efinition 6 (rcenviereck) Jedes Viereck mit zwei versciedenen Pren encrter kongruenter eiten eißt rcenviereck. (Ntürlic sollen die eiden Pre keine gemeinsme eite des Vierecks entlten.) efinition 7 (Prllelogrmm) Jedes Viereck mit zwei Pren prlleler Gegenseiten eißt Prllelogrmm. efinition 8 (Romus, Rute) Jedes Viereck mit vier kongruenten eiten eißt Romus. Grundseiten Trpez Mittellinie cenkel Höe llgemeines (konvexes) Viereck ein zweites Pr prlleler Gegenseiten ein Pr prlleler Gegenseiten rcenviereck zwei Pre encrter kongruenter eiten ein Pr prlleler Gegenseiten efinition 9 (Recteck) Jedes Prllelogrmm mit einem recten Innenwinkel eißt Recteck. Prllelogrmm efinition 10 (Qudrt) Jedes Recteck mit vier kongruenten eiten eißt Qudrt. ein recter Innenwinkel ein Pr kongruenter encrter eiten Entsprecend dieser efinitionen knn mn die Vierecke so, wie es in der neensteenden Grfik zu seen ist, nordnen. Recteck ein Pr kongruenter encrter eiten Romus ein recter Innenwinkel Qudrt Einen nderen lick uf die ezieungen der Vierecke untereinnder git ds rects zu seende Mengendigrmm. konvexe Vierecke Trpeze Prllelogrmme Rectecke Romen Qudrte rcenvierecke 14

15 Wie ei den reiecken werden uc die Vierecke wie ülic ezeicnet:,,, sind die Ecken,,, c, d sind die eiten und α, β, γ, δ sind die Innenwinkel. Zu jedem Innenwinkel im konvexen Viereck git es einen 3 ußenwinkel, der Neenwinkel des Innenwinkels ist. d c Zeicnet mn in ein (nict üersclgenes) Viereck eine geeignete igonle so ein, dss ds Viereck in zwei Teildreiecke zerlegt wird, so ergit sic us tz 4 der folgende tz 6 (Innenwinkelsumme im Viereck) ie umme der Innenwinkel eines jeden (nict üersclgenen) Vierecks eträgt 360. Und ußerdem folgt: tz 7 (ußenwinkelsumme im Viereck) ie umme der vier ußenwinkel eines jeden konvexen Vierecks eträgt Lot, Mittelsenkrecte und Winkellierende tz 8 Ist g eine elieige Gerde und P ein elieiger Punkt, dnn git es durc P genu eine Gerde, die senkrect uf g ist. ufgrund dieses tzes können wir nun die folgende efinition geen: efinition 11 ie Gerde durc einen Punkt P, die senkrect uf einer nderen Gerden g stet, eißt ds Lot von P uf g. en cnittpunkt dieses Lotes mit g nennen wir Lotfußpunkt. en stnd von P zum Lotfußpunkt ezeicnen wir ls Länge des Lotes. Ist P g, so nennen wir ds Lot von P uf g uc die enkrecte in P uf g. peziell definieren wir: efinition 12 (Mittelsenkrecte einer trecke) ie Mittelsenkrecte einer trecke ist diejenige Gerde, die durc den Mittelpunkt von get und uf senkrect stet. m M uc für Winkel git es einen entsprecenden tz: tz 9 Ist ein Winkel mit < 180, dnn git es (im Innern dieses Winkels) genu einen trl, der von usget und den gegeenen Winkel in zwei zueinnder kongruente Teilwinkel zerlegt. Weil dieser trl eindeutig estimmt ist, geen wir im einen Nmen: efinition 13 (Winkellierende eines Winkels) ie Winkellierende w eines Winkels ist derjenige trl, der von usget und den Winkel in zwei kongruente Teilwinkel teilt. w 3 ie ierzu uc die nmerkung zu den ußenwinkeln ei reiecken (. 11). 15

16 mit sind die Mittelsenkrecte einer trecke und die Hlierende eines Winkels definiert und ufgrund der ätze 8 und 9 uc eindeutig estimmt. P ie folgenden eiden ätze geen jeweils eine Eigenscft für die Mittelsenkrecte zw. die Winkellierende n. ie dort escrieenen Eigenscften können uc ls efinitionen enutzt werden. nn werden die entsprecenden efinitionen ätze. m M tz 10 ie Mittelsenkrecte der trecke ist die Menge ller Punkte P, die von und gleic weit entfernt sind. tz 11 ie Winkellierende eines Winkels mit < 180 ist die Menge ller Punkte P im Innern des Winkels, die von den cenkeln des Winkels gleic weit entfernt sind. P P w P 7 ezieungen zwiscen eiten und Winkeln eines reiecks eim Zeicnen von gleicscenkligen reiecken fällt uf, dss die siswinkel kongruent zueinnder sind. s eweisen wir im tz 12 Ist ein gleicscenkliges reieck mit =, so sind die eiden siswinkel und kongruent zueinnder. eweis: Wir konstruieren zuerst die Winkellierende w von und etrcten die ddurc estimmte Gerdenspiegelung. Weil w die Winkellierende ist, sind die eiden Teilwinkel γ 1 und γ 2 kongruent zueinnder. Weil weiterin jeweils ein cenkel eider Winkel uf der piegelcse w liegt, muss ei der piegelung + uf + und + uf + geildet werden. er uc = ist, wird uf und uf geildet. Folglic get ei der piegelung n w der Winkel in üer. s eißt er, dss diese eiden Winkel kongruent zueinnder sind. 1 2 w Wir eweisen nun uc noc die Umkerung von tz 12. tz 13 Ist ein reieck, in dem zwei Innenwinkel kongruent zueinnder sind, dnn ist ds reieck gleicscenklig. eweis: O. E. d.. (One Einscränkung der llgemeineit) können wir nnemen, dss = gilt. nn konstruieren wir uf die Mittelsenkrecte m und etrcten die Gerdenspiegelung n dieser cse. Weil m durc den Mittelpunkt M von get und uf senkrect stet, wird ei der Gerdenspiegelung n m der Punkt uf und uf geildet. Nun sind er uc die eiden Winkel m und kongruent zueinnder. + uf + und umgekert + uf + geildet wird, muss uc + uf + und + uf + geildet werden. Weil + die piegelcse scneidet, muss M uc + durc diesen cnittpunkt geen. Nun en er + und + den Punkt gemeinsm. Folglic muss uf der piegelcse m liegen, worus = folgt. ie een ewiesenen eiden ätze können wir zusmmenfssen zum 16

17 tz 14 Ein reieck ist genu dnn gleicscenklig, wenn es zwei zueinnder kongruente Innenwinkel t. us den eiden oen gefürten eweisen ergit sic die Folgerung: ie Winkellierende des Innenwinkels n der pitze eines gleicscenkligen reiecks und die Mittelsenkrecte der sis dieses reiecks fllen zusmmen. iese Gerde ist die ymmetriecse dieses reiecks. rüer inus gelten die folgenden ätze. tz 15 Jeder ußenwinkel eines reiecks ist so groß wie die umme der eiden nict nliegenden Innenwinkel. tz 16 In einem reieck liegt der größeren eite der größere Innenwinkel und dem größeren Innenwinkel die größere eite gegenüer. z.. = tz 17 In einem reieck ist die umme zweier eiten immer größer ls die dritte eite. tz 18 In einem reieck ist die ifferenz zweier eiten immer kleiner ls die dritte eite. 8 esondere Linien im reieck: ie Mittelsenkrecten, die Winkellierenden, die Höen tz 19 Im reieck scneiden sic die Mittelsenkrecten in einem Punkt. eweis: ist ein reieck, in dem wir die Mittelsenkrecten m c und m von und etrcten. iese eiden Mittelsenkrecten scneiden sic im Punkt. Weil ein Punkt der Mittelsenkrecten m c ist, ist von und gleic weit entfernt (tz 10). er uc ein Punkt von m ist, ist uc von und gleic weit entfernt. Folglic gilt =, und dmit muss uc uf der Mittelsenkrecten m von liegen. mit scneiden sic die drei Mittelsenkrecten des reiecks in einem Punkt. m mc Mc M M m m mc Mc M er cnittpunkt der drei Mittelsenkrecten des reiecks ist dmit uc von, und gleic weit entfernt. Folglic get der Kreis um, der durc get, uc durc und. ist dmit der Umkreismittelpunkt des reiecks. uf diesen cverlt geen wir im Kpitel 13 später noc einml ein. tz 20 Im reieck scneiden sic die Winkellierenden in einem Punkt. 17

18 eweis: ist ein reieck, in dem wir die Winkellierenden w und w von und etrcten. iese eiden Winkellierenden scneiden sic im Punkt. Weil ein Punkt der Winkellierenden w L ist, ist von + und L + gleic weit entfernt (tz 11). w er uc ein Punkt von w ist, ist w uc von + und + gleic weit entfernt. Folglic gilt L L c = L, und dmit muss uc uf der Winkellierenden w c von liegen. mit scneiden sic die drei Winkellierenden des reiecks in einem Punkt. er cnittpunkt der drei Winkellierenden des reiecks ist dmit von, und gleic weit entfernt. omit erürt der Kreis um, der in L c erürt, uc die nderen eiden reiecksseiten und. ist dmit der Inkreismittelpunkt des reiecks. uc uf diesen cverlt geen wir im Kpitel 13 später noc einml ein. L w L c wc w L efinition 14 (Höe) Ist ein reieck, so nennt mn die Lote von den Ecken des reiecks uf die gegenüer liegenden reiecksseiten (oder deren Verlängerungen) die Höen des reiecks. Jedes reieck t drei Höen, von jedem Eckpunkt us genu eine. Im ild sind die Höen für spitzwinklige, rectwinklige und stumpfwinklige reiecke eingezeicnet. peziell im rectwinkligen reieck fllen zwei dieser Höen mit den Kteten des reiecks zusmmen, so dss nur eine ecte Höe zu erkennen ist. iese Höe uf der Hypotenuse ezeicnen wir uc oft nur ls die Höe des rectwinkligen reiecks. c c c tz 21 Im reieck scneiden sic die Höen in einem Punkt. eweis: Zum eweis des tzes etrcten wir ein reieck. urc die Ecken des reiecks zeicnen wir die Prllele zur jeweils gegenüer liegenden reiecksseite. ei entstet ds neue reieck. Wir etrcten nun uf. Weil ufgrund der Prllelitäten ein Prllelogrmm ist, ist =. 4 Eenso ist ein Prllelogrmm, weswegen uc = ist. mit ist er der Mittelpunkt von. nlog sind und die Mittelpunkte von zw.. Nun etrcten wir die die Mittelsenkrecten des reiecks, die sic in einem Punkt scneiden (tz 19). Weil die Mittelsenkrecte von durc get und uf senkrect stet, ist sie uc senkrect uf, lso die Höe durc im reieck. nlog sind die nderen eiden Mittelsenkrecten des reiecks Höen im reieck, worus sofort die euptung unseres tzes folgt. 4 Vgl. tz 30, die Kongruenz knn er uc einfc üer eine Verscieung gefolgert werden 18

19 m c m m Neen den Mittelsenkrecten, Winkellierenden und Höen eines reiecks geören uc noc die eitenlierenden zu den esonderen Linien im reieck. iese scneiden sic eknntlic uc in einem Punkt, dem cwerpunkt des reiecks. uf diesen cverlt können wir im Rmen dieses kriptes erst später (Kpitel 17) eingeen, d wir zum eweis dieser Eigenscft die Änlickeitssätze rucen. 9 Kongruenzsätze für reiecke Weil reiecke uc Figuren sind, ist klr, wnn zwei reiecke kongruent zueinnder sind (vgl. Kpitel 2): Zwei reiecke und sind genu dnn kongruent zueinnder, wenn es eine ewegung git, die uf ildet. mit ist uc klr, dss die eiden zueinnder kongruenten reiecke in den eitenlängen und den Größen der Innenwinkel üereinstimmen. er nict nur drin, sie stimmen z.. uc im In- und Umkreisrdius, im Fläceninlt, in den Längen der Höen,... üerein. Zur Üerprüfung der Kongruenz zweier reiecke ist es er oft umständlic, immer eine ewegung nzugeen, die ds eine uf ds ndere reieck ildet. Zur Vereinfcung dieser Üerprüfung ei reiecken elfen uns die Kongruenzsätze, die ereits us dem Vergleic von drei tücken (eitenlängen oder Innenwinkel) eider reiecke uf die Kongruenz dieser eiden reiecke scließen. Wir kennen diese ätze us der cule und en sie ei der Konstruktion von reiecken us gegeenen tücken oder uc ei eweisufgen ngewndt. tz 22 (Kongruenzstz (sss)) timmen zwei reiecke in iren drei eiten üerein, so sind die eiden reiecke kongruent zueinnder. tz 23 (Kongruenzstz (sws)) timmen zwei reiecke in zwei eiten und dem von inen eingesclossenen Winkel üerein, so sind die eiden reiecke kongruent zueinnder. tz 24 (Kongruenzstz (wsw)) timmen zwei reiecke in einer eite und den n dieser eite nliegenden Innenwinkeln üerein, so sind die eiden reiecke kongruent zueinnder. 19

20 tz 25 (Kongruenzstz (sw)) timmen zwei reiecke in zwei eiten und dem Innenwinkel, der der größeren eite gegenüer liegt, üerein, so sind die eiden reiecke kongruent zueinnder. Ntürlic müssen die Kongruenzsätze uc ewiesen werden. Zum eweis müssten wir jeweils zeigen, dss us den Vorussetzungen des jeweiligen Kongruenzstzes uf eine ewegung gesclussfolgert werden knn, die ds eine reieck uf ds ndere ildet. Wir wollen ier druf inweisen, dss uc (sww) 5 ein Kongruenzstz ist, der oen nict erwänt wurde. er Grund dfür ist, dss dieser Kongruenzstz us dem Kongruenzstz (wsw) folgt, weil die umme der Innenwinkel im reieck 180 eträgt. ei zwei gegeenen Innenwinkeln ist der dritte immer utomtisc estimmt. us diesem Grund muss (sww) in der euklidiscen Geometrie nict gesondert erwänt werden. Und noc eine emerkung zum Kongruenzstz (sw). In den Vorussetzungen zu diesem tz wird verlngt, dss der gegeene Winkel der größeren der eiden gegeenen eiten gegenüer liegt. ss diese edingung wictig ist, wollen wir ier nnd der Konstruktion eines reiecks zeigen, ei dem = 5cm, = 3cm und = 30 vorgegeen sind. mit liegt der kleineren der eiden gegeenen eiten gegenüer. Wir konstruieren wie folgt: Zuerst zeicnen wir eine trecke mit der Länge 5cm. In trgen wir n diese trecke den Winkel mit der Größe 30 n. uf dem freien cenkel dieses Winkels muss der Punkt liegen, der zu den stnd 3cm t. Um diesen Punkt zu finden, zeicnen wir um einen Kreis mit diesem Rdius. ieser Kreis scneidet den freien cenkel des Winkels der Größe 30 in zwei Punkten 1 und 2. ie eiden reiecke 1 und 2 sind offensictlic nict kongruent zueinnder, erfüllen er die gegeenen Vorussetzungen. 3 cm 2 3 cm 5 cm 1 30 O 10 ätze üer Vierecke In diesem scnitt stellen wir ätze üer Vierecke zusmmen. ie eweise dieser ätze können meist mit Hilfe der Kongruenzsätze gefürt werden. tz 26 Im Prllelogrmm sind gegenüer liegende Innenwinkel kongruent. tz 27 (Umkerung von tz 26) ind in einem Viereck gegenüer liegende Innenwinkel kongruent, so ist ds Viereck ein Prllelogrmm. tz 28 Im Prllelogrmm ergänzen sic zwei Winkel, die n einer eite nliegen, zu 180. tz 29 (Umkerung von tz 28) Ht ein Viereck einen Innenwinkel, der sic mit seinen encrten Innenwinkeln jeweils zu 180 ergänzt, dnn ist ds Viereck ein Prllelogrmm. 5 timmen zwei reiecke in einer eite, einem n dieser eite nliegenden und dem dieser eite gegenüer liegenden Innenwinkel üerein, so sind die eiden reiecke kongruent zueinnder. 20

21 tz 30 Im Prllelogrmm sind gegenüer liegende eiten gleic lng. tz 31 (Umkerung von tz 30) ind in einem Viereck gegenüer liegende eiten gleic lng, so ist ds Viereck ein Prllelogrmm. tz 32 Im Prllelogrmm lieren die igonlen einnder. tz 33 (Umkerung von tz 32) Hlieren sic die igonlen in einem Viereck, dnn ist ds Viereck ein Prllelogrmm. tz 34 Im rcenviereck steen die igonlen senkrect ufeinnder. tz 35 Im Recteck sind die igonlen gleic lng. nmerkung: ie Umkerung dieses tzes gilt nict, wie im ild gnz rects zu seen ist. tz 36 ie Mittellinie im Trpez (efinition 5) ist prllel zu den Grundseiten. tz 37 ie Länge der Mittellinie im Trpez ist gleic der len umme us den Längen der Grundseiten: m = +c 2. d c m 11 Fläceninlt Eenso wie die Längen von trecken oder die Größen von Winkeln wollen wir die Fläcen von Polygonen, lso von eene Figuren, die durc endlic viele trecken erndet sind, und von einigen llgemeineren Figuren, lso Punktmengen in der Eene, messen. er Fläceninlt F einer Figur F ist wieder Produkt einer Fläcenmßzl (F ) und einer Fläceneineit. ie Fläceneineit leitet mn meist us einer vorgegeenen Längeneineit, indem mn ls Eicfigur ein Qudrt Q wält, dessen eitenlängen eine Längeneineit etrgen. eträgt unsere Längeneineit etw einen Zentimeter, so sind die eiten von Q einen Zentimeter lng und die Fläceneineit wird Q = 1cm 2, ein Qudrtzentimeter, gennnt. Entsprecend erält mn uc Qudrtmillimeter (1mm 2 ), Qudrtmeter (1m 2 ), Qudrtkilometer (1km 2 ) u.s.w. Wir können die jeweils geleitete Fläceneineit dnn uc ls formles Produkt der Längeneineit mit sic selst etrcten: 1mm 2 = (1mm) (1mm), 1cm 2 = (1cm) (1cm), 1m 2 = (1m) (1m), 1km 2 = (1km) (1km). In strkteren Zusmmenängen ist es sinnvoll, sic uf keine konkreten Längen- oder Fläceneineiten festzulegen. Wir nutzen dnn die kürzungen LE für die Längen- und FE für die geleitete Fläceneineit und erlten den formlen Zusmmenng durc die Gleicung (1LE) (1LE) = 1LE 2 = 1FE. In nlogie zur trecken- und Winkelmessung (Kpitel 3) muss uc die Fläcenmßzl die folgenden drei Eigenscften erfüllen: 21

22 Wird ein Polygon P in zwei Teilpolygone P 1 und P 2 zerlegt, so gilt (P ) = (P 1 )+(P 2 ) (dditivität). ind P und P kongruente Polygone, so gilt (P ) = (P ) (ewegungstreue). Es gilt (Q) = 1 (Eicung oder Normierteit). Üer ds uszälen von Kästcen (in einem Recteck und in der Eicfigur) und nscließende Üertrgung uf reelle Zlen erlten wir die Formel für den Fläceninlt eines Rectecks. tz 38 (Fläcenformel für Rectecke) Für ein Recteck R mit den eitenlängen und gilt R =. etrcten wir nun ein Prllelogrmm P =. ezeicnen wir ls Grundseite g (mit der Länge g), dnn ist die Länge des Lotes von (oder von ) uf die Gerde g() die Höe dieses Prllelogrmms ezüglic der Grundseite g. er Fußpunkt L des Lotes von uf g() knn zur trecke, lso zu g, geören oder ußerl von g liegen. L g L g L Geört L zu g und fällt L mit zusmmen, dnn ist P sogr ein Recteck und für den Fläceninlt von P ergit sic sofort P = g. Liegt L innerl von g oder ist L =, so etrcten wir ds reieck L, ds mit der Verscieung um in ds reieck L verscoen wird. Weil L uf g() liegt und ei L ein recter Winkel ist, ist LL ein Recteck, ds zum Prllelogrmm P fläcengleic ist. Es gilt lso P = g. Geört L nict zu g und nemen wir o.e.d.. n, dss zwiscen und L liegt. nn verscieen wir n ml mit λ, λ = 1, 2,..., n, so lnge, is L innerl von (n) liegt. ei ezeicnen wir mit (n) den ildpunkt von nc der n-ten Verscieung. Im ild oen ist n = 2 ( (2) = ). Nun ist (n) (n) ein Prllelogrmm, ds us n + 1 Prllelogrmmen estet, die jeweils kongruent zu sind. mit können wir den Fläceninlt so erecnen, wie wir es oen üerlegt en: (n) (n) = (n). Weil (n) (n) = (n + 1) und (n) = (n + 1) gilt, ergit sic P = = g. mit gilt der folgende tz 39 (Fläcenformel für Prllelogrmme) Für ein Prllelogrmm P mit Grundseitenlänge g und Höe üer der Grundseite gilt P = g. ie Formel für den Fläceninlt eines reiecks können wir us der Formel für den Fläceninlt eines Prllelogrmms leiten. ezeicnen wir mit g eine eite eines reiecks und mit M den eitenmittelpunkt einer nderen reiecksseite. Nun dreen wir ds reieck um M durc 180. s Originl- und ds ilddreieck ilden zusmmen ein Prllelogrmm P. eide reiecke fläcengleic sind, muss = 1 2 P gelten. mit gilt der tz 40 (Fläcenformel für reiecke) Für ein reieck mit Grundseitenlänge g und Höe üer der Grundseite gilt = 1 2 g. M g = M g = 22

23 12 er tz des Pytgors und seine Umkerung er tz des Pytgors, den wir lle us der cule ser gut kennen, wr ereits vor Pytgors (um 550 v.u.z.) eknnt. tz 41 (tz des Pytgors) In einem rectwinkligen reieck mit den Ktetenlängen, und der Länge c der Hypotenuse gilt c 2 = eweis: ist ein ei rectwinkliges reieck mit den eitenlängen, und c. nn knn mn jeweils vier zueinnder kongruente Exemplre dieses reiecks uf versciedene Weise in ein Qudrt der eitenlänge + einpssen. ie ilder zeigen zwei solce Möglickeiten. c Im linken ild wird von den vier reiecken ein Qudrt mit der eitenlänge c nict edeckt, im recten ild sind es zwei Qudrte, eins mit der eitenlänge und eins mit der eitenlänge, die von den vier reiecken nict edeckt werden. die eiden großen Qudrte fläcengleic sind, müssen uc die Restfiguren gleice Fläce en, d.., es gilt c 2 = c Wir möcten n dieser telle noc erwänen, dss der tz des Pytgors wol derjenige tz der Mtemtik ist, der die meisten eweise t. Wer mer dzu wissen möcte, knn sic z.. in [2], [5] oder [10] informieren. ie Umkerung des tzes des Pytgors nutzten ereits ägyptisce eilspnner (Hrpedonpten) c Jre vor Pytgors, um recte Winkel zu erzeugen, wie sie z.. eim u von Pyrmiden geruct werden. uc im lten Indien und in wr der tz ereits vor Pytgors eknnt. ie ägyptiscen eilspnner enutzten ein, zu einem Ring gesclossenes eil, ds durc 12 Knoten in 12 gleiclnge scnitte eingeteilt wr. nscließend wurde dieser eilring von drei Knoten us strff gezogen, so dss sic zwiscen diesen Knoten 3, 4 und 5 eilscnitte efnden. uf diese Weise ildete sic ein recter Winkel, der z.. zum stecken von Feldern genutzt werden konnte. ie drei ntürlicen Zlen 3, 4 und 5 eißen uc pytgoreisces Zlentripel, weil = 5 2 gilt. Neen diesem pytgoreiscen Zlentripel git es elieig viele solce Tripel ntürlicer Zlen, z.. (6, 8, 10), (15, 112, 113),.... Rectwinklige reiecke mit rtionlen eitenverältnissen eißen uc pytgoreisce reiecke. c c c c c c c tz 42 (Umkerung des tzes des Pytgors) Gilt für die eitenlängen eines reiecks, dss die umme der Qudrte von zwei eitenlängen gleic dem Qudrt der dritten eitenlänge ist, dnn ist ds reieck rectwinklig. eweis: sei ein reieck, ds die Vorussetzungen des tzes erfüllt. Nun etrcten wir einen elieigen recten Winkel mit ceitelpunkt und konstruieren uf dem ersten cenkel einen Punkt durc trgung der trecke und uf dem zweiten cenkel einen Punkt durc trgung von. Nc Konstruktion gilt = und = 23

24 . ds reieck rectwinklig ist, gilt nc dem tz des Pytgors 2 = = = ndererseits wissen wir nc Vorussetzung, dss 2 = c 2 = ist. rus folgt = und die reiecke und erfüllen die Vorussetzungen des Kongruenzstzes (sss) (tz 22), sind lso kongruent. Insesondere t ds reieck dnn einen recten Winkel ei, weil ds reieck nc Konstrunktion einen recten Winkel ei t. 13 ätze m Kreis In diesem scnitt spielt der Kreis eine zentrle Rolle. uc ier stellen wir die relevnten efinitionen und ätze der elementren culgeometrie zusmmen. efinition 15 (Kreis) Unter einem Kreis versteen wir die Menge ller Punkte, die von einem festen Punkt M, dem Mittelpunkt des Kreises, einen konstnten stnd r, den Rdius, en. ie Verindungsstrecke vom Mittelpunkt zu einem Kreispunkt eißt eenflls Rdius, die von zwei elieigen Kreispunkten ene. Eine ene durc den Mittelpunkt des Kreises eißt urcmesser des Kreises. er Rdius (und seine Länge) eines Kreises wird im llgemeinen mit r und der urcmesser (und seine Länge) mit d ezeicnet. nn gilt r = d 2. k ene r d M M urcmesser Rdius k Pssnte Eine Gerde, die den Kreis in zwei Punkten scneidet, eißt eknte. Eine eknte durc den Mittelpunkt eißt Zentrle. Eine Gerde, die mit dem Kreis genu einen Punkt gemeinsm t, eißt Tngente. Eine Gerde, die mit dem Kreis keine Punkte gemeinsm t, eißt Pssnte. Weiter teilen zwei Punkte und den Kreis in zwei Teile ein. Wir etrcten in der Regel immer den kleineren der eiden Teile und ezeicnen diesen ls ogen. Ein Winkel, ei dem die drei Punkte,, uf einem Kreis k liegen, eißt Periperiewinkel üer. er Winkel M, den und mit dem Kreismittelpunkt M ilden, eißt Zentriwinkel üer. etrcten wir noc die Tngente t in n den Kreis k, so ildet diese Tngente mit der ene den enentngentenwinkel. er Rdius M vom Mittelpunkt des Kreises zum erürungspunkt der Tngente mit dem Kreis eißt erürungsrdius der Tngente. t k M eknte Zentrle Tngente tz 43 er erürungsrdius stet senkrect uf der Tngente n einen Kreis. eweis: Wir etrcten eine Gerde t, die Tngente n den Kreis k ist. nn t t mit k nur den Punkt T 1 gemeinsm und MT 1 ist der erürungsrdius. k t M r T1 M T2 r L t T1 24

25 Nun nemen wir n, dss der Winkel φ, den die Tngente mit dem erürungsrdius einscließt, kein recter Winkel ist. nn zeicnen wir ds Lot von M uf die Tngente und ezeicnen den Lotfußpunkt mit L. Nun spiegeln wir n diesem Lot, woei der Kreis und die Tngente uf sic und der Punkt T 1 uf T 2 geildet wird. Es ist dnn MT 2 = MT1 und folglic t t mit k ußer den Punkt T 1 noc einen weiteren Punkt T 2 gemeinsm. mit ist t er keine Tngente, im Widerspruc zur Vorussetzung. tz 44 ie Mittelsenkrecte uf einer ene get durc den Mittelpunkt des Kreises und liert den Zentriwinkel. M k tz 45 enen gleicer Länge en den gleicen stnd zum Kreismittelpunkt. M F k E tz 46 (Zentri-Periperiewinkel-tz) er Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der Periperiewinkel üer dem gleicen ogen. M us dem Zentri-Periperiewinkel-tz ergit sic sofort der folgende tz 47 (Periperiewinkelstz) Periperiewinkel üer demselen ogen sind kongruent. k tz 48 (Umkerung von tz 47) Liegen üer einer trecke ( ) zwei kongruente Winkel 1 und 2, so liegen,, 1 und 2 uf einem Kreis. k M tz 49 (tz des Tles) Jeder Periperiewinkel üer einem urcmesser eines Kreises ist ein recter Winkel. nmerkung: Fssen wir den urcmesser eines Kreises uc ls eine ene dieses Kreises uf, so können wir zu diesem urcmesser uc Periperiewinkel etrcten. er zugeörige Zentriwinkel t eine Größe von 180. mit ordnet sic er der tz des Tles ls pezilfll in den Zentri-Periperiewinkel-tz (tz 46) ein. tz 50 (Umkerung von tz 49) Ist ein ei rectwinkliges reieck, so liegt uf dem Kreis um den Mittelpunkt von durc. k M 25

26 tz 51 (enentngentenwinkelstz) er enentngentenwinkel ist kongruent zu dem Periperiewinkel üer demselen ogen. k M t efinition 16 (Umkreis) er Kreis, der durc die drei Eckpunkte eines reiecks get, eißt Umkreis des reiecks. nmerkung: Jedes reieck esitzt genu einen Umkreis. efinition 17 (Inkreis) er Kreis, der die drei eiten eines reiecks von innen erürt, eißt Inkreis des reiecks. Mu M i nmerkung: Jedes reieck esitzt genu einen Inkreis. efinition 18 (nkreis) Ein Kreis, der eine reiecksseite von ußen und die Verlängerungen der nderen eiden eiten von innen erürt, eißt nkreis des reiecks. nmerkung: Jedes reieck t drei nkreise. Wie wir ereits us tz 19 zw. 20 wissen, t jedes reieck genu einen Umkreis und genu einen Inkreis. er Mittelpunkt des Umkreises ist der cnittpunkt der Mittelsenkrecten und der Mittelpunkt des Inkreises ist der cnittpunkt der Winkellierenden des reiecks. Für Vierecke knn mn uc die egriffe Um- und Inkreis festlegen. Ein Umkreis ist dnn in nlogie zum reieck ein Kreis, der durc lle vier Ecken des Vierecks get wir ezeicnen solce Vierecke ls enenvierecke (efinition 19). Ein Inkreis ist entsprecend ein Kreis, der lle vier eiten des Vierecks von innen erürt wir ezeicnen solce Vierecke ls Tngentenvierecke (efinition 20). Im oigen inne t ein Romus, der von einem Qudrt verscieden ist, keinen Umkreis und ein (ectes) Recteck keinen Inkreis. efiniert mn llerdings den Umkreis eines Vierecks ls den kleinsten Kreis, der ds Viereck entält, und den Inkreis ls den größten Kreis, der in einem Viereck entlten ist, dnn t jedes Viereck einen Um- und einen Inkreis. er Umkreis ist dnn eindeutig estimmt, wärend ds für den Inkreis nict gilt, wie es ds eispiel eines (ecten) Recteckes zeigt. efinition 19 (enenviereck) Ein Viereck, dessen eiten enen eines Kreises sind, eißt enenviereck. k M M M tz 52 In jedem enenviereck ergänzen sic die Gegenwinkel zu 180. M tz 53 (Umkerung von tz 52) Ergänzen sic zwei Gegenwinkel in einem Viereck zu 180, so ist ds Viereck ein enenviereck. 26