Systemtheorie. System. Prof. Dr. August Reiner. Dipl. Ing. Manfred Schneider

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1 Syemheorie Eingang Syem Augang Prof. Dr. Augu Reiner Dipl. Ing. Manfred Schneider

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3 Einleiung Einleiung Die Syemheorie, wie ie in den Ingenieurwienchafen verwende wird, wurde um 9 konzipier. Einen encheidenden Beirag liefere die Arbei von K. Küpfmüller, die uner dem Tiel Die Syemheorie der elekrichen Nachrichenechnik, 95 veröffenlich wurde. Der Begriff Allgemeine Syemheorie geh auf den Biologen Ludwig von Beralanffy zurück. Seine Arbeien bilden zuammen mi der Kyberneik (Norber Wiener, William Ro Ahby und der Informaionheorie (Claude Shannon, Warren Weaver die grundlegenden Überlegungen diee Wienchafanaze. In dieem Lehrbrief werden Grundlagen und Mehoden behandel, die benöig werden, wenn man Syeme au dem Bereich der Regelungechnik und der Nachrichenechnik analyier und enwirf. An Vorkennnien werden voraugeez: Grundlagen der Mahemaik, Differenial- und Inegralrechnung, Komplexe Zahlen und Funkionen, Löung von gewöhnlichen linearen Differenzialgleichungen mi konanen Koeffizienen, Grundlagen der Elekroechnik (Gleichrom, Wechelrom. Die Berechnungen im Lehrbrief werden z.t. mi dem Programmieryem Malab vorgenommen. Grundkennnie in der Anwendung diee Sofwareyem ind daher voreilhaf. Der Lehrbrief enhäl neben durchgerechneen Beipielen viele Übungaufgaben. E wird nachdrücklich empfohlen, diee Aufgaben elbändig zu löen. Die Ergebnie werden zu gegebenem Zeipunk bekann gegeben. I

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5 Lernziele Lernziele In dieem Lehrbrief oll der/die Sudierende lernen, echniche Syeme mahemaich zu bechreiben und zu analyieren. Der Lehrbrief bechränk ich auf lineare Syeme, deren Eigenchafen ich über der Zei nich ändern (zeiinvarian. Die vermielen Mehoden ind die Vorauezung für die Löung vieler regelungechnicher und nachrichenechnicher Probleme. Zu Beginn werden verchiedene Signalypen und ihre mahemaiche Bechreibung vorgeell. Im folgenden Abchni wird der Suden in die mahemaiche Bechreibung von echnichen Syemen eingeführ. Dami laen ich Aufgaben, wie die Beimmung de Augangignal bei gegebenem Eingangignal, vornehmen. Augehend von dieer Bai oll der Sudierende in der Lage ein auch komplizierere Signalformen und Überragungverhalen mahemaich zu bechreiben, die hier nich im Einzelnen behandel werden. In einem weieren Abchni werden mahemaiche Bechreibungen der wichigen elemenaren Syeme vorgeell. III

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7 Inhalverzeichni Inhalverzeichni Einleiung Lernziele I III Einführung in die Problemaik Signale 7. Fourier-Analye..... Fourier-Analye periodicher Signale..... Fourier-Analye aperiodicher Signale.... Laplace-Tranformaion Begriff und Sinn einer Tranformaion Laplace-Tranformaion einer Zeifunkion Wichige Regeln der L-Tranformaion Mahemaiche Bechreibung von Überragunggliedern (Syeme Differenzialgleichung Zuandraum... Fehler! Texmarke nich definier. 3.3 Tefunkionen... Fehler! Texmarke nich definier Zeibereich... Fehler! Texmarke nich definier Frequenzbereich... Fehler! Texmarke nich definier. 3.4 Elekriche Nezwerke... Fehler! Texmarke nich definier. 3.5 Überragungfunkion... Fehler! Texmarke nich definier. 4 Beondere Eigenchafen von ÜberragunggliedernFehler! Texmarke nich definier. 4. Pole und Nullellen... Fehler! Texmarke nich definier. 4. Sabiliä... Fehler! Texmarke nich definier. 4.3 Minimumphaenyem und Allpa... Fehler! Texmarke nich definier. Bild 4.8: Orkurve eine Allpae. OrdnungFehler! Texmarke nich definier. 5. Wichige Überragungglieder Fehler! Texmarke nich definier. 5. Überragungglieder mi P-Verhalen.. Fehler! Texmarke nich definier. 5.. Proporionalglied ohne Verzögerung (P GliedFehler! Texmarke nich definier. V

8 Inhalverzeichni 5.. Proporionalglied mi Verzögerung. Ordnung (PT- GliedFehler! Texmark 5..3 Proporionalglied mi Verzögerung. Ordnung (PT-GliedFehler! Texmarke 5..4 Tozeiglied... Fehler! Texmarke nich definier. 5. Überragungglieder mi I VerhalenFehler! Texmarke nich definier. 5.. Inegrier Glied (I-Glied... Fehler! Texmarke nich definier. 5.. Inegrierglied mi Verzögerung. Ordnung (IT-GliedFehler! Texmarke nich 5.3 Überragungglieder mi D-VerhalenFehler! Texmarke nich definier Differenzier Glied (D-Glied Fehler! Texmarke nich definier Differenzierglied mi Verzögerung. Ordnung (DT-GliedFehler! Texmarke 6 Verknüpfung von ÜberragunggliedernFehler! Texmarke nich definier. 6. Reihenchalung Parallelchalung Rückkopplung Gegenkopplung Mikopplung... 5 Lieraurverzeichni Sichworverzeichni VI

9 Einführung in die Problemaik Einführung in die Problemaik Eine echniche Anlage beeh in der Regel au verchiedenen Teilyemen. Die Teilyeme ind über Signale mieinander verknüpf. Ein Beipiel zeig die in Bild. dargeelle Anlage. h M ( h oll ( Regler Venil y( q zu ( Meglied h( q ab ( Bild.: Prozefunkionbild Niveauregelung (: Zei Da gemeene Flüigkeiniveau h M ( im Behäler oll aureichend genau mi dem gewünchen Sollwer h oll ( übereinimmen. Der Regler ha die Aufgabe, da Venil o einzuellen, da der Flüigkeizuflu q zu ( bei beliebigem poiivem von Null verchiedenem Flüigkeiabflu q ab ( diee Aufgabe lö. In der Technik ell man Anlagen vereinfachend mi Blockchalbildern dar. Bild. i da zu Bild. zugehörige Blockchalbild.

10 Einführung in die Problemaik h oll ( - h M ( h oll ( h M ( Reglerfunkion y( Venil q ab ( q zu (-q ab ( q zu ( - Behäler h( Meglied Bild.: Blockchalbild der Niveauregelung Zur Differenz- bzw. Summenbildung werden in Blockchalbildern die folgenden Symbole verwende: x x x+x Summe Der Krei ohne Vorzeichen an den Eingängen bzw. mi einem Pluzeichen i da Symbol für die Summenbildung. Differenz Der Krei mi einem Minuzeichen am Eingang x zeig - x an, da x ubrahier wird. Fehl da Minuzeichen wird x x-x da Eingangignal enprechend der Angabe uner Summe addier. Im Blockchalbild ieh man al Teilyeme der geamen Anlage die Blöcke Reglerfunkion, Venil, Behäler, und Meglied. Dazu kommen zwei Differenzglieder. Signale ind im Blockchalbild der Sollwer h oll (, der Iwer h M (, die Sellgröße y(, der Zuflu q zu (und der Abflu q ab (. Die Blöcke werden allgemein al Syeme oder Überragungglieder bezeichne. Die Syemheorie bechäfig ich mi den Eigenchafen von Signalen und Syemen. Ein Überragungglied ha im einfachen Fall ein Eingangignal und ein

11 Einführung in die Problemaik Augangignal. Die Eigenchafen de Syem beimmen bei vorgegebenem Eingangignal den Verlauf de Augangignal Eingang y( Syem (Überragungglied Augang X(.5 y(.5 x( [ec] [ec] Bild.3: Beipiel für ein Überragungglied Beipiel. Bei dem Beipiel wird da Überragungglied Behäler von Bild. genauer berache. Die Behälerfläche A ei unabhängig von h immer gleich groß. q( q zu (-q ab ( Behäler h( Bild.4: Syem Behäler mi Differenz au Zu- und Abflu q zu ( - q ab ( al Einganggröße und der Füllandhöhe h( al Auganggröße. Behälerfläche: A,8 m, Behälerhöhe: h m a x,5 m. In der differenziellen Zei d veränder ich im Behäler da Flüigkeivolumen um den Wer: dv q(*d. Da Flüigkeivolumen dv veränder da Flüigkeiniveau im Behäler um den Wer dh: dv A*dh. Dami gil: dv A*dh q(*d. Umgeform ergib ich: dh q(. d A 3

12 Einführung in die Problemaik Inegrier man die Beziehung, o erhäl man h( q( dτ + h( A τ. h( i der Anfangwer, alo die Flüigkeihöhe im Behäler zum Zeipunk Null. Die Inegraion are zum Zeipunk Null und erreck ich bi zum Zeipunk. Einganggröße q( und Auganggröße h( ind über eine Inegraion mieinander verknüpf. Man bezeichne dehalb den Behäler auch al ein Inegrierglied. Die obige Beziehung gil allerding nur innerhalb beimmer Grenzen und zwar zwichen h und h h max. Ha z.b. bei poiivem q( die Füllandhöhe h( den maximalen Wer h max erreich, dann kann h nich weier aneigen. Die Zulaufmenge wird dann überlaufen. Für die folgende Eingangfunkion q( oll die Augangfunkion h( berechne werden. q( L/min 3 /min Bild.5: Verlauf de Differenzzuflue q( A,8 m², h ma x,5 m, h( m; Lier -3 m³; L/min Lier/min Der Zuflu q( nimm in den eren min von Lier/min bi 3 Lier/min zu. Ab dem Zeipunk min i der Zuflu Null. 4

13 Einführung in die Problemaik h( A q( τ dτ + h(,8 m 3 3 min m 3 τ dτ,8 3 4 m min τ mm h (.875 für min min min Für > min bleib h( konan auf dem Wer für min. h(min 87,5mm 5

14 Einführung in die Problemaik Übungaufgabe.: Der Behäler vom Beipiel. oll mi Flüigkei gefüll werden. Die Flüigkeihöhe h( oll der folgenden Funkion genügen: h(,4 m ( e.4 / 5 min, für. Niveau Flüigkeipiegel h/m /min Bild.6: vorgegebene Funkion der Füllhöhe über der Zei Zu Beginn i nach der obigen Funkion der Behäler leer ( h(. a. b. Nach welcher Zei ha h( 5% de Endwere erreich? Berechnen Sie den Zuflu q( für den gewünchen Verlauf von h(! c. Zeichnen Sie die Funkion q(! Verwenden Sie dazu, wenn vorhanden, da Programm Malab []. 6

15 Signale Signale Zuer werden die verchiedenen Signalypen vorgeell. Beim Beipiel (Bild. und Bild. liegen Analoge Signale vor. Die analogen Signale haben zu jedem Zeipunk einen zugeordneen Wer. Analoge Signale können periodich oder aperiodich (nichperiodich ein. Ein of aufreende periodiche Signal i z.b. die rigonomeriche Funkion y( A * in( + ϕ. Ein in der Syemheorie häufig genuze aperiodiche Signal i die Sprungfunkion. y( y Bild.: Sprungfunkion Die Sprungfunkion wird of al Eingangfunkion bei Überragunggliedern aufgechale um Syeme zu een. Die Augangfunkion auch Sprunganwor genann, zeig dann die Eigenchafen de Überragunggliede. Neben den analogen Signalen gib e die Dikreen Signale, die auch al Abaignale bezeichne werden. (Unercheidung dikree Ampliuden, dikree Zeien Berache man den Regler von Bild. genauer, dann könne e ein, da die Reglerfunkion mi einem Digialrechner realiier wird. Bild. zeig die Srukur de Regler, der auch al Abaregler bezeichne wird. 7

16 Signale h oll ( h M ( (Mikroprozeor Analog- Digial- Wandler A Digial- Analog- Wandler Regelalgorihmu D A D dh A y A y( Bild.: Digialer Regler Da analoge Signal h oll (-h M ( wird mi dem AD-Wandler abgeae und in eine Abafolge dh A alo in ein dikree Signal gewandel. Zu den Abazeipunken wird vom AD-Wandler ein Zahlenwer augegeben. Zwichen zwei benachbaren Abaweren lieg die Abazei T. Bild.3 zeig die dikreen Funkionen dh A und y A. dh A T T 3T 4T 5T 6T... y A y A T T 3T 4T 5T 6T Bild.3: Dikree Ein- und Augangfunkion Der Mikroprozeor i mi dem Regelalgorihmu programmier. Er berechne für jeden neuen Eingangwer dh A einen Augangwer y A. Der DA-Wandler ez anchließend die Abawere y A in ein analoge Signal um, da in der Regel eine Treppenform beiz. In dieem Lehrbrief wird nich weier auf die dikreen Signale eingegangen. Abaregelungen werden in vielen Lehrbüchern der Regelungechnik behandel, z.b. in []. Ein weierer Typ von Signalen ellen die Sochaichen Signale dar. Bild.4 ell ein olche Signal vor. 8

17 Signale 3 Sochaiche Signal (Rauchignal y( /ec Bild.4: Sochaiche Signal Kenn man den Signalwer y zum Zeipunk, dann kann man nich vorheragen welchen exaken Wer da Signal y zum Zeipunk +d ha. Man kann nur die Wahrcheinlichkei angeben, da der Signalwer in einem beimmen Umgebungbereich de Signalwere y( lieg. Solche Signale reen of al überlagere Sörungen (Rauchen auf.. Sie können jedoch auch für beimme regelungechniche Aufgaben genuz werden. Für eine Veriefung diee Thema ei auf [3] und [4] verwieen. 9

18 Signale Übungaufgabe.: Ein Signal q( am Eingang de Behäler (Bild.4 wird durch folgende Funkion bechrieben q( 5L/min* ign[in(,3*/min ]. Für den Behäler gelen die Angaben von Beipiel.. Für die Funkion ign(x gil: ign(x, für x und ign(x -, für x <. a. Skizzieren Sie die Funkion q(! b. Beimmen Sie den Verlauf von h( im Behäler, wenn q( dem Behäler zufließ und zu Beginn h( i!. Fourier-Analye.. Fourier-Analye periodicher Signale Für manche Aufgaben i e innvoll Signale in den Frequenzbereich zu ranformieren. Die periodiche Zeifunkion x( A* co( * + ϕ i gekennzeichne durch die Ampliude A, die Kreifrequenz und die Phaenverchiebung ϕ. Da Frequenzpekrum dieer Funkion ha folgende Geal:

19 Signale Ampliude A o Phae φ o Bild.5: Ampliuden- und Phaenpekrum Vielfach wird nur da Ampliudenpekrum angegeben, da in der Regel al Frequenzpekrum bezeichne wird. Beipiel. Da Frequenzpekrum der folgenden periodichen Funkion (Spannung i zu zeichnen u( 4V*in ((3/ec*,5V*co((5/ec*. Ampliude/V 4V,5V /ec 3/ec 5/ec /ec Bild.6: Ampliudenpekrum für Beipiel. Da Spekrum enhäl zwei Spekrallinien für die beiden Frequenzen 3/ec und 5/ec. Die ere Spekrallinie ha die Höhe 4V, die zweie Spekrallinie die Höhe von,5v. Da Spekrum zeig unmielbar, da da Signal zwei inuförmige Signalaneile enhäl

20 Signale Jede periodiche Signal lä ich mi der Fourieranalye in eine Summe von inuförmigen Signalen zerlegen. Beipiel.: Da recheckförmige periodiche Signal (Bild.7 lä ich in eine Reihe von inuförmigen Funkionen zerlegen. E handel ich um ein periodiche recheckförmige Signal für da gil f(+ f(-. E i alo eine gerade Funkion. f( T A T B Bild.7: Periodiche Recheckignal: Die Periodendauer i T. Die Pule der Höhe A haben eine Breie von T B. Mi der Fourieranalye kann man die periodiche Recheckfunkion al Reihe mi unendlich vielen Gliedern darellen, wobei π/t die Grundkreifrequenz der periodichen Funkion darell ATB A TB TB f ( + in( π co( + in(π co( + T π T T. Zuammengefa erhäl man: T A f B A + T π n TB in( n π co( n. n T ( Gl.(. Neben der Grundkreifrequenz reen in Gl.(. Vielfache der Grundfrequenz wie, 3, 4 uw. auf. Man bezeichne diee Aneile auch al Oberwellen.

21 Signale Für den Sonderfall, T B T/ vereinfach ich die Beziehung Gl.(., da dann die geradzahligen Oberwellen mi den Kreifrequenzen, 4, 6 uw. enfallen. Hiefür erhäl man: A A f ( + co( co(3 + co(5 co(7 + π Gl.(. Da Ampliudenpekrum von Gl.(. ha die Geal: A A/ o o 3 o 4 o 5 o Bild.8: Ampliudenpekrum enprechend Gl.(. Die Ampliuden der Oberwellen nehmen mi wachender Frequenz ark ab. Im Anchlu oll gezeig werden, welche Geal die periodiche Funkion annimm, wenn man nur den Mielwer A/, die Grundwelle und die drei Oberwellen bei 3, 5 und 7 berückichig. Die höheren Oberwellen werden vernachläig. Parameer: A, T ec, π/t π/ec 3.4/ec, T B T/ ec. 3

22 Signale f( genäher Genähere Recheckfunkion /ec Bild.9: Näherung der Recheckfunkion Gl.(. bi zur 7. Oberwelle Bild.9 zeig, da die Vernachläigung der höheren Oberwellen dazu führ, da die Seilhei der Flanken und die Ecken der Recheckfunkion nich gu wiedergegeben werden. Generell gil: Seile Flanken, Spizen und Ecken in periodichen Funkionen werden nur dann gu wiedergegeben, wenn die hohen Frequenzaneile berückichig werden. Al näche wird gezeig, wie man eine periodiche Funkion in eine Fourier-Reihe enwickel. f( ei eine periodiche Funkion mi der Periodendauer T. Die Reihenenwicklung ha die allgemeine Form: a a f + [ an co( n + bn in( n ] + d n in( n + ϕ n ( n n Gl.(.3 4

23 Signale i die Kreifrequenz der Grundwelle bzw. de periodichen Signal. E gil: π/t. a, a n und bn ind die zu berechnenden Koeffizienen. Au a n und b n folg d n und ϕ n. Die Koeffizienen werden mi folgenden Formeln berechne ( n,, 3,: + T / + T / a f ( d, an f ( co( n d T T T / b n T / T / f ( in( n d. T T /, Gln. (.4 a / i der Mielwer der periodichen Funkion. Die Inegraion erfolg bei allen drei Inegralen über eine Periode der periodichen Funkion, alo der Zei T. Au a n und b n kann man d n und ϕ n mi den folgenden Beziehungen berechnen: d a n n ( an + bn, ϕ n arcan Gln. (.5 bn Handel e ich bei der Funkion f( um eine gerade Funkion, dann i f( f(-. In dieem Fall i b n e Null (n,, 3,. I f( eine ungerade Funkion, dann gil f( -f(-. Die ha zur Folge, da alle a n -Were Null ind. 5

24 Signale Beipiel.3: 3 Zweiweggleichrichung.5 u(/v /ec Bild.: Gleichgerichee Spannung u( 3V* in ((3,4/ec* Für die gleichgerichee Spannung oll die Fourier Reihe enwickel werden. E handel ich um eine gerade Funkion u(- u(, daher ind die Koeffizienen b n alle Null. Die Periodendauer von u( beräg T ec, ie i halb o groß wie die Periodendauer der Sinupannung vor der Gleichrichung. Dami folg: π/t. E gil nach Gl.(.4: a T π 4 3V 3V in( d T, T π a n T T π 3V in( co( T π n d. T Mi der rigonomerichen Beziehung in(co(β,5[in(-β+ in(+β] lä ich da obige Inegral löen, iehe [5]. Man erhäl da Ergebni a n, für n, 3, 5,... 6

25 Signale a n V π ( n ( n +, für n, 4, 6,... Mi den berechneen a n -Weren ergib ich die Fourier-Reihe zu u(,9 V 3,8V co( + co( 4 + co( Übungaufgabe.: a. Für die folgende periodiche Funkion i die Fourier-Reihe zu enwickeln. f( - 4 /ec - Bild.: periodiche Funkion b Zeichnen Sie da Ampliudenpekrum! In Formelammlungen, Tachenbüchern und Lehrbüchern finde man Tabellen, in denen für viele verchiedene periodiche Funkionen die Fourier- Reihen angegeben ind, z.b. in [5, 6, 7]. Sinuförmige Funkionen pielen in der Technik und dami auch in der Syemheorie eine große Rolle. Al Beipiel ei auf elekriche Wechelromchalungen verwieen, bei denen die Spannungen und 7

26 Signale Sröme of inuförmig ind. Sind bei einem linearen zeiinvarianen Syem die Eingangignale inuförmig, dann ind auch die Augangignale inuförmig und haben die gleiche Frequenz wie die Eingangignale. Für die Berechnungen bei olchen Syemen ha e ich al voreilhaf erwieen, die komplexe Rechnung einzuezen. Im Anchlu wird gezeig, da auch bei der Fourier-Tranformaion mi komplexen Funkionen gerechne werden kann. Die Kennni der komplexen Zahlen und da Rechnen mi komplexen Zahlen wird voraugeez. In den Lehrbüchern [6] und [7] und in dem Tachenbuch [5] wird da Rechnen mi komplexen Zahlen behandel. j Zwichen dem komplexen Zeiger e und den rigonomerichen Funkionen gil folgender Zuammenhang: e j co( + j in( co( j in( Dami erhäl man e j. Gl.(.6 j j j j co( ( e + e und in( ( e e. j Somi gil für die nachehende inuförmige Schwingung A j j f ( Aco( ( e + e f( beiz zwei Spekralaneile bei den Frequenzen und -.. Gln.(.7. Gl.(.8 A/ - + Bild.: Spekrallinien für die Funkion f( Aco( Biher hae die Funkion f( Aco( nur eine Spekrallinie bei mi der Höhe A. Beim komplexen Fourierpekrum komm dazu eine zweie Spekrallinie bei - Die beiden Spekrallinien ind allerding nur halb o hoch nämlich A/. Die Spekrallinienvereilung beim komplexen Spekrum i 8

27 Signale ymmerich zur Kreifrequenz. Beipiel.4: Beim Beipiel. wurde da Ampliudenpekrum der Funkion u( 4V*in ((3/ec*,5V*co((5/ec* dargeell. E enhäl die Spekrallinien bei den Kreifrequenzen 3/ec und 5/ec. Für die Funkion u( i da komplexe Fourierpekrum zu zeichnen!.5v V -5/ec -3/ec 3/ec 5/ec Bild.3: Spekrallinien der obigen Funkion Zuäzlich reen Spekrallinien bei 3/ec und 5/ec auf. Die Höhe der Spekrallinien ha ich halbier. Die Reihenenwicklung einer periodichen Funkion f( ha bei der komplexen Darellung die Geal + f ( c n e n j n Die Koeffizienen c n berechnen ich mi der Beziehung c n + T / j n T T / f ( e d T i die Periodendauer der periodichen Funkion f(.. Gl.(.9. Gl.(. Zwichen den Koeffizienen a n, b n der Fourier Reihe nach Gl.(.3 bzw. den Gln.(.4 und dem Koeffizienen der komplexen Fourier-Reihe c n beeh folgender Zuammenhang: 9

28 Signale c n,5( a n - jb n, für n >, c n,5a, für n, c n,5( a n + jb n, für n <. Darau folg, da gil:c -n c n *. Der Audruck c n * i die konjugier komplexe Größe von c n. In der Lieraur [5,6,8] finde man verchiedene berechnee Beipiele... Fourier-Analye aperiodicher Signale Auch nichperiodiche Signale kann man einer Fourier-Analye unerziehen. Dieer Vorgang wird al Fourier-Tranformaion bezeichne. Man ag auch da Zeiignal f( wird in den Frequenzbereich ranformier. Die Tranformaionbeziehung, die auch al Fourier-Inegral bezeichne wird, ha die Geal F + j ( j f ( e d Gl.(. F(j wird al Fourier-Tranformiere von f( bezeichne Symbolich wird der Zuammenhang zwichen Zeifunkion und zugehörige Fourier-Tranformiere wie folg dargeell: f( F(j Die Fourier-Tranformaion i immer möglich, wenn die folgende Bedingung erfüll i: + f ( d <. Da Inegral über den Berag der Funkion f( mu alo exiieren, e darf nich unendlich werden Umgekehr kann man auch augehend von einer Fourier-Tranformieren F(j die zugehörige Zeifunkion f( berechnen. Die wird mi dem nachehenden Umkehrinegral durchgeführ.

29 Signale π d e j F f j + ( ( Gl.(. Beipiel.5: Bei dieem Beipiel wird ein Recheckimpul, der ymmerich i zum Nullpunk der Zeiache i, einer Fourier-Tranformaion unerworfen T/ a Pulhöhe: a Puldauer: T -T/ f( T/ a Pulhöhe: a Puldauer: T -T/ f( Bild.4: Recheckimpul ymmerich zur Ordinae [ ] / / / / / / ( ( T j T j T T j T T j j e e j a e j a d e a d e f j F / in( ( ( / / T a j e e a j F T j T j, iehe Gln. (.7. Die obige Beziehung führ zu einer Sandardfunkion. E gil / ( / / in( ( T i a T T T a T j F. Die i-funkion i die Abkürzung für die in(x/x Funkion.

30 Signale Spekrum Recheckimpul π π T/ Bild.5: Spekrum de Recheckimpule Da Bild zeig die Funkion F(j/(T a. Die obige Funkion enhäl die Informaion über da Ampliuden- und da Phaenpekrum. Der Berag der Funkion i da Ampliudenpekrum. Da Phaenpekrum ha den Wer wenn die obige Funkion poiiv i. Die Phae i 8 bei negaiven Weren. Inerean i, da da Spekrum einer nichperiodichen Funkion Aneile bei allen Frequenzen beiz. Bei den periodichen Funkionen i die nich der Fall, ie haben dikree Spekrallinien bei der Grundwelle und den Oberwellen. Da Ampliudenpekrum nimm mi wachender Frequenz ark ab. Man kann darau erkennen welcher Frequenzbereich von einem Syem überragen werden mu, wenn der Recheckimpul beim Durchlaufen de Syem nich allzu ehr veränder werden darf. Beipiel.6: E wird da Spekrum eine Recheckimpule berechne, der zum Zeipunk Null beginn.

31 Signale f( a Pulhöhe: a Puldauer: T Bild.6: Recheckimpul bei beginnend T Die Berechnung wird wie beim vorigen Beipiel.5 durchgeführ. Man erhäl al Ergebni: F( j a T i ( T / e j T / Der ere Teil de Ergebnie i idenich mi dem Ergebni von Beipiel.5. Zuäzlich ri noch eine Phaenverchiebung auf, mi dem Verlauf - T/. Da Ampliudenpekrum i daher idenich mi dem von Beipiel.5. Beim Phaenpekrum addier ich die zuäzliche frequenzabhängige Phaenverchiebung - T/ zu dem Phaenverlauf vom vorigen Beipiel. Beipiel.7: /T f( Pulhöhe: /T Puldauer: T -T/ T/ Bild.7: Übergang von einem zur Ordinae ymmerichen Recheckimpul zum Einheiimpul Da Beipiel.5 wird zum Einheipul fegeleg. Die Puldauer i T, die Pulhöhe /T. Dami i die Pulfläche immer. Reduzier man bei konaner Pulfläche die Puldauer T, dann wäch die Pulhöhe. Im Exremfall geh die Puldauer T und die Pulhöhe gegen Unendlich. Man erhäl den idealen Einheiimpul, der auch al Dirac-Soß bezeichne wird. Beim Spekrum (Bild.5 liegen die eren Nulldurchgänge bei T/ ± π alo bei ± π /T. Für T gehen diee Durchrifrequenzen gegen unendlich. Bei genauerer Berachung erhäl man da Spekrum nach Bild.8. 3

32 Signale F( Bild.8: Spekrum de Dirac-Soße Da Spekrum enhäl alle Frequenzen mi der gleichen Ampliudendiche. Die Phae i durchweg Null. Erreg man ein Syem am Eingang mi dem Dirac-Soß, dann wird jede Frequenz gleich wirkam angereg. Da Spekrum de Augangignal zeig dann nur die Eigenchafen de Syem. Für heoreiche Berachungen in der Syemheorie wird dehalb der Dirac-Soß öfer angewende. Zuammengefa zeig ich, da owohl die periodichen Funkionen wie auch die aperiodichen Funkionen ich al eine Summe von inuförmigen Signalen darellen laen. Kenn man alo die Reakion eine Syem auf inuförmige Eingangignale, dann lä ich dami da Verhalen de Syem abchäzen bzw. berechnen. 4

33 Signale Übungaufgabe.3: Die Spannung u( 5V e - /ec, für > ec und u( V, für < ec oll mi der Fourier-Tranformaion in den Frequenzbereich ranformier werden. a. Skizzieren Sie die Funkion u(! b. Berechnen Sie die Fourier-Tranformiere der Funkion u(! c. Skizzieren Sie da Spekrum der Fourier-Tranformieren (Ampliudenpekrum und Phaenpekrum!. Laplace-Tranformaion Die Laplace-Tranformaion i ein ehr wervolle Hilfmiel zur Berechnung der Augangfunkionen von Überragunggliedern. I alo die Eingangfunkion und der Frequenzgang (Überragungfunkion de Überragunggliede bekann, dann kann man dami mei die Augangfunkion, z.b. Sprunganwor berechnen. Dami i die Laplace- Tranformaion (L-Tranformaion auch zur Berechnung von Einchwingvorgängen bei elekrichen Nezwerken ehr gu geeigne... Begriff und Sinn einer Tranformaion Der Begriff und Sinn einer Tranformaion wird an einem Beipiel erklär. E i da Produk z a b zu bilden. Die i direk (ohne Tranformaion oder indirek über eine Tranformaion möglich. 5

34 Signale Originalbereich a b direk a. b Tranformaion (logarihmieren Bildbereich lg a lg b lg a + lg b lg(a. b Rückranformaion (delogarihmieren Bild.9: Prinzip der Tranformaion und Rückranformaion Da Tranformieren bzw. Rückranformieren kann bei dieem Beipiel mi einer Logarihmenafel vorgenommen werden. Bei der Laplace- Tranformaion wird enprechend vorgegangen. Der Voreil von Tranformaionen lieg of darin, da die Berechnungen im Bildbereich einfacher ind al im Originalbereich (iehe oben, a muliplizieren addieren... Laplace-Tranformaion einer Zeifunkion Ha man im Originalbereich eine Zeifunkion x(, dann kann diee mi der Tranformaionbeziehung (Laplace-Inegral { x } x e ( ( d X ( L Laplace-Tranformaion Gl. (.3 In den Bildbereich ranformier werden. X( i die Laplace-Tranformiere von x(. Man kürz die auch o ab: X( x( Bildbereich (Frequenz- bereich Originalbereich (Zeibereich (L-Bereich б + j. ; i eine komplexe Größe mi dem Realeil б und dem Imaginäreil. 6

35 Signale 7 Beipiel.8: L-Tranformaion eine Sprunge: x(a. σ( a ( ( a x σ a ( ( a x σ Bild.: Sprungfunkion } { a a e e a X e a d e a X d e a a L X ( ( ( ( + + σ Man darf den Realeil von alo б immer o wählen, da da Laplace- Inegral (Gl..3 konvergier. Bei dieem Beipiel i б poiiv, dami i e. } { (. ( ( a a bzw a a L X σ σ Übungaufgabe.4: Die L-Tranformiere der Funkion e k x ( i zu berechnen. Wie im Beipiel gezeig, laen ich Zeifunkionen über eine Inegraion Laplace-ranformieren. Da die Inegraion nur im Zeibereich bi erfolg (Inegraiongrenzen!, wird nur der Verlauf der Zeifunkion x( zwichen und bei der Laplace-Tranformaion berückichig. Haben alo zwei Zeifunkionen für bi den gleichen Verlauf, unercheiden ich jedoch im Zeibereich - bi, o haben ie dieelbe L-Tranformiere.

36 Signale Beipiel: f(.8.6 f( Bild.: Funkionen, die ich nur für < unercheiden f( und f( haben dieelbe L-Tranformiere. F( f( f( f( für < F( f( f( f( für Im weieren oll dehalb mei voraugeez werden, da die Zeifunkionen für < gleich Null ind. Für die wichigen Zeifunkionen ind in der Tabelle. (Korrepondenzafel die L-Tranformieren angegeben (Nr. 3. Am Ende der Tabelle. ind einige wichige Regeln der Laplace-Tranformaion angegeben (Nr

37 Signale Beipiel.9: Laplace-Tranformaion mi Tabelle. : 3 x x( Bild.: Zeifunkion x( 3 5 L-Tranformaion: L 5 5 { 3 } 3 L{ } mi X ( 5! 3 6 Tabelle., Formel Nr..6 : { } L 5!. 6 Übungaufgabe.5: Welche Zeifunkion x( gehör zur L-Tranformieren X (? + 9 ec b Zeichnen Sie die Funkion x(, x( für <! 9

38 Signale Tabelle.: Laplace-Tranformaion-Tabelle Nr. F( f( Einhei- Doppelimpul lim A A Einhei-Impul A A A lim A 3 Einheiprung A 4 Einheirampe n n n! n+ K + ( ( n! n K e e ; kon. ; kon +. 3

39 Signale 3 9 n ( +. ;! ( kon e n n (! + + n n. ; kon e n + in( + co( 3 ( + +. ; in( kon e 4 ( ; co( kon e in( co( + 6 ( +. ; ( kon e 7 ( ( β ; ( kon kon e + β β β 8 ( ( β + +..; ; ( kon kon e + β β β β 9 ( + [ ].. ; ( kon e + ( ( + β +..; ( kon kon e e + β β β β β β

40 Signale 3 β ( + ( + β ( e e ( + γ ( + ( + β ( + d + β kon.; β kon. γ γ β β γ + e + β β ( β ( β + kon.; β kon; γ kon.. d d mi und d < mi ϕ arcan T 4 F( d f ( d 5 F( f ( d τ 6 e F( 7 F( f ( τ f ( e in d d ( d ϕ und 9 < ϕ < 8 e 8 9 df ( f ( d F ( d f (..3 Wichige Regeln der L-Tranformaion Um die L-Tranformaion anwenden zu können, z.b. zum Löen von Differenzialgleichungen, werden im Anchlu einige wichige Regeln behandel. a. Differenziaion im Zeibereich Gegeben ei die Zeifunkion x( und dami die zugehörige L-Tranformiere. dx ( Gefrag i: welche L-Tranformiere gehör dann zu? d 3

41 Signale E gil: X( x( dx( X ( x( + Differenziaionregel Gl. (.4 d x(+ i der Anfangwer von x( Verallgemeiner auf höhere Ableiungen folg enprechend: n X ( n x( + n x'( +... x ( n ( + n d x(, n d n,,,3,4,... Gl. (.5 Übungaufgabe.6: Zu in( gehör die L-Tranformiere + Tranformiere gehör dann zu co (?. Welche L- Übungaufgabe.7: Einheiprung x( σ( ha die L-Tranformiere /. Welche Zeifunkion x( gehör zur L-Tranformieren X(? b. Inegraion im Zeibereich Gegeben: x( X(, geuch: x( d? Die Inegraion i die Umkehrung der Differenziaion. Hier gil daher: x( X(. x( d X ( Inegraionregel Gl. (.6 33

42 Signale Enprechend folg dann für die Mehrfachinegraion, z.b. Dreifachinegraion: x( d X (. 3 Beipiel.: Wenn man den Einheiprung inegrier, erhäl man eine Einheirampe. Einheirampe Einheiprung Bild.3: Einheirampe al Inegraion de Einheiprunge Sie ha folgende L-Tranformiere: σ (. σ ( d c. Verchiebung einer Zeifunkion Wird eine Funkion z.b. x( um die Zei τ verchoben aber anonen nich veränder, dann gil: x( x(-τ mi τ ; x( für <. 34

43 Signale X( X( τ Bild.4: Funkion x( und deren Verchiebung um die Zei τ Hier erhäl man für die L-Tranformaion: x( X(. x( x(-τ τ X ( e Verchiebungregel! Gl. (.7 Übungaufgabe.8: Am Eingang eine Tozeigliede mi der Tozei T 5 ec wird die Zeifunkion x( e ec aufgechale. Ein Tozeiglied veränder die Form de Signale x( nich. Da Eingangignal x( wird um die Tozei T (Laufzei vom Eingang zum Augang verzöger; y( x(- T, T x( Tozeiglied T : Tozei y( a Welche L-Tranformaion X( ha die Eingangfunkion? b Beimmen ie die L-Tranformaion der Augangfunkion 35

44 Signale d. Anfangwer- und Endweraz.4 X( x( Die Funkion x( reb von poiiven -Weren herkommend für gegen den Wer x(+ X( x(+ lim + x( x( +. x(+ i der Anfangwer von x(. Bild.5: Anfangwer bei + und Endwer einer Funkion lim Für reb x( gegen x( : x( x( x( i der Endwer von x(. I x(+ bzw. x( endlich alo nich, dann kann man au der L-Tranformieren von x( X( direk x(+ bzw. x( berechnen. x ( + lim[ X ( ] Anfangweraz Gl. (.8 x ( lim[ X ( ] Endweraz Gl. (.9 36

45 Signale Beipiel.: T Gegeben: x ( e für, x( für <. Darau folg: T Anfangwer x ( + e Endwer: x ( e T Geuch: Anfang- und Endwer ind mi dem Anfang- und Endweraz zu überprüfen. -6 Bild.6: Exponeniell abklingende Funkion Löung T x( e e, T Mi Formel 7 in Tabelle. folg: X ( + + T T T + Beimmung de Anfangwere mi Anfangweraz: x( + ( X ( lim T T + lim ; imm! Beimmung de Endwere mi dem Endweraz: lim x( ( X ( lim T T + ; imm! 37

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47 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. 3 Mahemaiche Bechreibung von Überragunggliedern (Syeme In dieem Abchni werden verchiedene Mehoden gezeig, mi denen man in der Lage i da Verhalen von Überragunggliedern zu bechreiben. Anhand eine einfachen Überragunggliede (RL-Glied werden die Mehoden demonrier. R L u E ( i( R u A ( u E ( RL- Glied u A ( Bild 3.: RL-Glied mi Übergang zu Blockdarellung Am Augang wird da RL Glied nich belae, d.h. der Srom i( fließ durch alle drei Bauelemene Die Berachungen bechränken ich auf Lineare Zeiinvariane Syeme (LTI-Syeme. Zeiinvarianz: Ha ein Überragungglied da Eingangignal y( und da Augangignal x(, dann i e zeiinvarian, wenn ein beimm geforme Eingangignal y( unabhängig vom Zeipunk, an dem e aufgechale wird, immer da gleiche Augangignal x( erzeug. Die Eigenchafen de Syem verändern ich alo nich im Laufe der Zei. Da RL-Glied i zeiinvarian, wenn die Were der drei Bauelemene nich zeiabhängig ind. y( Überragungglied x( Bild 3.: Überragungglied in Blockdarellung Lineariä: Ein lineare Syem erfüll da Überlagerungprinzip und da Verärkerprinzip. y( und y( eien Eingangignale; x( und x( die zugehörigen Augangignale. 39

48 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. Verärkerprinzip: y( > x(, k y( > k x(. k i der Verärkungfakor. Überlagerungprinzip: y( > x(, y( > x(, y( + y( > x( + x(. Da RL-Glied i linear, wenn die drei Bauelemene, unabhängig vom durchfließenden Srom i(, ihre Were nich verändern. 3. Differenzialgleichung LTI-Syeme werden in ihrem Verhalen durch gewöhnliche lineare Differenzialgleichungen mi konanen Koeffizienen a...a n bechrieben (Gl. 3.. a x a x a x a x ' + a x ( n ( n ( n n + n + n y ( Gl.(3. y( i die Eingangfunkion de Überragunggliede; x( die Augangfunkion, x (n ell die n-e. Ableiung der Augangfunkion x( nach der Zei dar; y( wird in den mahemaichen Lehrbüchern [7]auch al Sörfunkion bezeichne Die höche Ableiung der Augangfunkion beimm die Ordnung der Differenzialgleichung (Dgl.. I die Eingangfunkion y( für > bekann und kenn man auch die Anfangwere der Augangfunkion zum Zeipunk Null x(+, x (+,..., x (n (+, dann kann man den Verlauf von x( für > berechnen. Man ag auch die Dgl. kann gelö werden. Der allgemeine Löungweg wird kurz aufgezeig, er i in mahemaichen Lehrbüchern [7] auführlich dargeell. Die Löung beeh au zwei Aneilen, der homogenen Löung x h ( und der parikulären Löung x p (. x( x h ( + x p (. Homogene Löung: Der homogene Aneil der Dgl. ha die Geal: 4

49 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. 6. Reihenchalung Anhand von zwei Überragunggliedern wird diee Srukur vorgeell. x e ( F( x a (x e ( F( x a ( Die zwei in Serie gechaleen Blöcke laen ich zu einem Block zuammenfaen. F( F( F( x e ( F( x a ( Die Überragungfunkionen bzw. Frequenzgänge der in Serie gechaleen Blöcke werden bei der Zuammenfaung mieinander muliplizier. In Exponenialform gechrieben, gil daher ( (, ( ( jϕ( jϕ (. F j F j e F j F j e Zuammengefa Darau folg F ( j F( j F ( j F( j F( j e j( ϕ( + ϕ ( Berag der Reihenchalung: F(j F(j F(j. Phae der Reihenchalung: φ( φ( + φ(. Im Bode-Diagramm gil Berag: F( j lg F( j lg F( j + lg F( j, db Phae: φ( φ( + φ(. Im Bode-Diagramm i die Zuammenfaung beonder einfach. Die Beräge 4

50 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. in db werden, wie auch die Phaenwinkel in grd oder rad, einfach addier. Beipiel 6.: PTn-Glied Beim PTn-Glied ind n PT-Glieder mi der gleichen Zeikonane T in Serie gechale. x e ( n x a ( kp. T +. T +. T + x a ( x e ( kp ( T + n x a ( Bild 6.: oben: Hinereinanderchalung von n PT-Gliedern unen: Zuammenfaung der n PT-Glieder zu einem PTn-Glied Normiere Sprunganwor PTn-Glied.9.8 n xa(/(kp xeo n Bild 6.: normiere Sprunganwor für PTn-Glieder für n von bi 8. /T 4

51 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. Da Bild 6. zeig, da mi wachendem n-wer die Verzögerung zwichen Eingang- und Augangignal zunimm. Bild 6.3 zeig da normiere Bode-Diagramm de PTn-Gliede. Für die Darellung de Berage und der Frequenzache gil F ( j /( kp xeo Normierer Berag: db, Normiere Frequenz; T. Da PTn-Glied ell einen Tiefpa dar. Ab ewa der Kreifrequenz /T bzw. T werden die höheren Frequenzaneile mi wachender Frequenz zunehmend ärker gedämpf. Die Dämpfung fäll umo ärker au je größer n i. Die Phaenverchiebung nimm mi wachender Frequenz und mi größer werdendem n beragmäßig ebenfall zu. E gil für die Phaenverchiebung ϕ ( n arcan( T. Die Phaenbeziehung müe linear ein, wenn jeder Frequenzaneil um die gleiche Zei verzöger werden olle, o wie beim Tozeiglied. Da PTn-Glied ell daher keinen idealen Tiefpa dar. -5 Bode Diagram n Magniude (db n8-3 n Phae (deg n8-7 - Frequency (rad/ec Bild 6.3: normiere Bode-Diagramm für n von bi 8. 43

52 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. Ein idealer Tiefpa häe folgenden Beragverlauf und Phaenverlauf F ( j ϕ( g g g g Bild 6.4: Berag- und Phaenverlauf eine idealen Tiefpae Im Frequenzbereich von - g bi + g i der Berag F(j und der Phaenverlauf linear φ( - T. Dami würden die Frequenzaneile zwichen - g und + g unveränder vom Eingang zum Augang überragen. Die Verzögerungzei (Laufzei i für alle Frequenzaneile gleich T. Frequenzaneile mi Frequenzen größer + g bzw. kleiner - g würden volländig unerdrück, da F(j in dieem Bereich Null i. Leider i der ideale Tiefpa nich realiierbar. In der Lieraur wird gezeig, da er da Kaualiäprinzip verlez [8]. Berechne man die Impulanwor für diee Filer, dann i diee Funkion, chon bevor der Impul aufgechale wird, vom Impul beeinflu. E wurden verchiedene Sandard-Tiefpa-Filer enwickel, die realiierbare Näherungen de idealen Filer darellen. In [5] werden olche Filer vorgeell. Bekanne Typen ind der Buerworh-Tiefpa, der Tchebycheff- Tiefpa und der Beel-Tiefpa. Die enprechenden Zuammenhänge gelen auch für Hochpa-Filer, Bandpa-Filer und Bandperren-Filer [8]. Bei der Reihenchalung von einzelnen Überragunggliedern bleiben alle Pole und Nullellen der beeiligen Überragungfunkionen erhalen, d.h. im Pol- Nullellenplan addieren ich Pole und Nullellen. Dabei kann e vorkommen, da ein Pol und eine Nullelle der beeiligen Überragungglieder auf die elbe Selle in der komplexen Ebene fallen. Bei dieem Fall kompenieren ich Pol- und Nullelle. Bei der geamen Überragungfunkion kann man hierbei einen Pol mi einer Nullelle kürzen. Beipiel 6.: Die beiden Überragungfunkionen 5( + / ec F (, und ( + 4 / ec 44

53 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. 4( + / ec+ j3/ ec ( + / ec j3/ ec F ( ( + / ec ( / ec werden in Reihe gechale. Man erhäl F( F( F(, eingeez ergib ich ( + / ec ( + / ec+ j3/ ec ( + j3/ ec ( ( + 4 / ec ( + / ec( / ec F. Die Nullelle bei /ec kürz ich mi der Polelle am gleichen Or. Dami folg ( + / ec+ j3/ ec ( + j3/ ec ( ( + 4 / ec ( / ec F. Pol-Nullellen Ebene im j3/ec im im j3/ec -4/ec -/ec x x x re re re j3/ec -/ec /ec -4/ec -/ec x /ec F( F( F( j3/ec Bild 6.5: Hinereinanderchalung von Überragunggliedern dargeell am Pol-Nullellen-Diagramm F( und F( und dami auch F( ind inabil, da jeweil ein Pol in der poiiven komplexen Halbebene bzw. im Urprung lieg. 45

54 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. 6. Parallelchalung Parallel gechalee Überragungglieder bekommen da gleiche Eingangignal aufgechale. Die Augangignale werden addier bzw. ubrahier. Anhand von zwei parallel gechaleen Überragunggliedern wird die Srukur aufgezeig. X( F( x e ( x a ( x e ( x a ( F( X( F( Bild 6.6: Parallelchalung von Überragunggliedern F( F( - F( Die Überragungfunkionen werden uner Berückichigung de Vorzeichen bei der Addiionelle addier. Beim obigen Fall wird da Signal x( negaiv gewere. E i mi einem Minu-Zeichen bei der Addiionelle verehen.. Da Signal x( wird addier, da beim Eingang diee Signal in da Addiionymbol kein Minu-Zeichen vorlieg. Beipiel 6.3: Ein P-Glied und ein PT-Glied ind parallel gechale. P [F(] x e ( 4.,5ec+ x a ( 4 P : F(, PT: F(.,5ec+ Zuammenfaung: 4 (,5ec+ + 4,5ec+ F( F( + F( +,5ec+,5ec+,5ec+. Da Ergebni zeig, da die Parallelchalung einen abilen Allpa. Ordnung darell. 46

55 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. Übungaufgabe 6.: Ein of eingeezer Regler i der PI-Regler. Er lä ich mi folgender Srukur realiieren xd( P-Glied kp I-Glied /( T N y( a. Faen Sie die Srukur zu einem Block zuammen. Geben Sie die Überragungfunkion F( de Regler an! b. Skizzieren Sie den Pol- Nullellen- Plan für kp und T N 4ec! c. Skizzieren Sie die Orkurve de PI-Regler mi den Zahlenweren von b.! d. Beimmen Sie da Bode- Diagramm mi den Zahlenweren von b.! Bei der Parallelchalung bleiben die Pole der parallel gechaleen Glieder erhalen. Die Nullellen dagegen ändern ich. Der Pol-Nullellen-Plan der Parallelchalung enhäl alle Pole der parallel gechaleen Überragungglieder. Die Nullellen enehen neu durch die Parallelchalung. Naürlich kann e auch hier vorkommen, da ich Pole und Nullellen kompenieren 6.3 Rückkopplung Man unercheide zwei Typen von Rückkopplungen, die Gegenkopplung und die Mikopplung. In der Regelungechnik ell die Grundrukur eine Regelkreie eine Gegenkopplung dar. 47

56 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden Gegenkopplung x e ( x d ( Fo( x a ( x e ( F( x a ( Bild 6.7: Gegenkopplungrukur Die Überragungfunkion Fo( i in eine Gegenkopplungrukur eingebee. Die Gegenkopplungrukur kann zu einem Block mi der Überragungfunkion F( zuammengefa werden. F( wird im Laplace - Bereich beimm. Mi den Laplace-Tranformieren erhäl man Xe( L{xe(}, Xd( L{xd(}, Xa( L{xa(}. Xd( Xe( - Xa(, Xa( Fo( Xd(. Eingeez: Aufgelö nach Xa(: Xa( Fo( [Xe( Xa(]. Xa( [ + Fo(] Fo( Xe(, Fo( Xa( Xe(. + Fo( Dami ergib für die Gegenkopplungrukur die wichige Beziehung Fo( F(. Gl.(6. + Fo( Fo( i of eine raional gebrochene Funkion mi einem Polynom Zo(im Zähler und einem Polynom No( im Nenner Zo( Fo (. No( In die Gl. (6. eingeez folg 48

57 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. Zo( No( Zo( F(. Zo( No( + Zo( + No( Gl.(6. Gl.(6. zeig, da bei der Gegenkopplungrukur die Nullellen von Fo( erhalen bleiben, ich jedoch die Polellen ändern. F( ha alo die gleichen Nullellen wie Fo(. Die Pole von F( ind geänder gegenüber den Polen von Fo(. Die i ehr wichig für die Regelungechnik. I z.b. Fo( inabil, dann kann mi der Gegenkopplung erreich werden, da F( abil wird. Beipiel 6.4: Ein inabiler Allpa mi der Überragungfunkion + ec Fo( kp ec wird in eine Gegenkopplungrukur eingebee. Für welche kp Were i die Gegenkopplungrukur mi ihrer Überragungfunkion F( abil? Fo( kp ( + ec kp ( + ec F(, + Fo( ( ec + kp ( + ec ec ( kp + + kp kp + ec F (. + kp ec ( kp + kp + Die Polelle von F( lieg omi bei kp + p. ( kp ec F( ha eine Polelle p auf der reellen Ache. Für kp < lieg die Polelle auf der poiiv reellen Ache. Dami i für dieen kp-bereich F( inabil. Für kp > i F( abil. Übungaufgabe 6.: Im Abchni 5.. wird da IT-Glied vorgeell, e beiz einen Pol im Nullpunk beim Pol-Nullellen-Plan und i daher inabil. Gegeben i da IT-Glied mi der Überragungfunkion k Fo (. 3ec( ec+ Da Überragungglied wird in den Vorwärzweig einer Gegenkopplung eingefüg. 49

58 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. x e ( x d ( Fo( x a ( a, Beimmen Sie die Überragungfunkion F( zwichen x e ( und x a (! b. I F( für k > abil? c. Wo liegen die Pole von F( für k,5, k,5 und k 3? d Am Eingang wird x e ( al Sprung aufgechale. Enhäl für die k- Were von c. die Sprunganwor periodiche Aneile? 6.3. Mikopplung x e ( x d ( Fo( x a ( x e ( F( x a ( Bild 6.8: Mikopplungrukur Bei der Mikopplung wird da Augangignal zu Eingangignal addier. Die Überragung-funkion F( der Zuammenfaung lä ich auf gleichem Weg wie bei der Gegenkopplung beimmen. Man erhäl al Ergebni für die Mikopplung Fo( F(. Gl.(6.3 Fo( Beipiel 6.5: Ein PT-Glied wird in eine Mikopplungrukur eingefüg. Da PT-Glied ha die Überragungfunkion kp Fo (, 5ec+ i alo abil. Die Überragungfunkion der geamen Mikopplungrukur ergib ich zu 5

59 Fehler! Verweiquelle konne nich gefunden werden. Fo( kp kp F (. Gl. (6.4 Fo( 5ec+ kp kp 5ec ( + kp 5ec Die Zeikonane T i negaiv für kp >, d.h, für kp > i F( kp inabil und für kp < i F( abil. Schale man am Eingang zum Zeipunk Null einen Einheiprung auf, dann erhäl man bei verchwindendem Anfangwer xa( kp Xa( F(. kp 5ec ( + kp Die Rückranformaion in den Zeibereich ergib kp kp 5ec xa( ( e für > ec. kp Für kp > wird der Exponen der e-funkion poiiv, d.h. die Funkion xa( reb dann für ebenfall gegen unendlich. Nach Abchni 4. i ein Syem inabil, wenn bei begrenzem Eingangignal da Augangignal gegen Unendlich reb. Inerean i noch der Fall kp. Sez man in der Gl. (6.4 kp, dann ergib ich F (. 5ec F( i in dieem Spezialfall ein I-Glied und dami auch inabil. 5

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61 Lieraurverzeichni Lieraurverzeichni [] Sein, U.: Einieg in da Programmieren mi Malab. Haner Verlag, München [] Mann, H.; Schiffelgen, H.; Froriep, R.: Einführung in die Regelungechnik. Haner Verlag, München [3] Chrioph, G.; Hackel, H.: Sarhilfe Sochaik. Teubner Verlag, Sugar [4] Unbehauen, H.: Regelungechnnik II. Friedr. Vieweg-Verlag, Braunchweig [5] Söcker, H.: Tachenbuch Mahemaicher Formeln Und Moderner Verfahren. Harri Deuch-Verlag, Frankfur/Main [6] Föllinger, O.: Laplace und Fourier-Tranformaion. Hühig-Verlag, Heidelberg [7] Papula, L.: Mahemaik für Ingenieure und Naurwienchafler. Band, Vieweg-Verlag, Braunchweig [8] Scheihauer, R.: Signale und Syeme. Teubner-Verlag, Sugar [9] Föllinger, O.: Regelungechnik. Hüig-Verlag, Heidelberg [] Freund, E.: Regelungyeme im Zuandraum. Band I und II, Oldenbourg-Verlag, München [] Unbehauen, H.: Regelungechnnik III. Friedr. Vieweg-Verlag, Braunchweig [] Luz, H.: Wend, W.: Tachenbuch der Regelungechnik. Verlag Harri Deuch, Frankfur/Main [3] Bode, H.: Malab in der Regelungechnik. Teubner-Verlag, Sugar 53

62 Lieraurverzeichni [4] Kaufmann, H.: Dynamiche Vorgänge in linearen Syemen der Nachrichen- und Regelungechnik. Oldenbourg-Verlag, München [5] Tieze, U.; Schenk, Ch.: Halbleier Schalungechnik. Springer-Verlag, Berlin 54

63 Sichworverzeichni Sichworverzeichni Allpa 89 Ampliudenpekrum 3, 3 Anfangweraz 36 aperiodicher Signale Beragkennlinie 66, 8 Blockchalbild Bode-Diagramm 65, Charakeriiche Gleichung 4 Differenzialgleichung 4 Differenzier Glied (D-Glied 3 Differenzierglied mi Verzögerung. Ordnung (DT-Glied 6 Eigenwere 4, 85 Elekriche Nezwerke 67 Endweraz 36 Feder-Mae Syem 83 Feder-Mae-Modell 49 Feder-Mae-Syem 74, 3 Fourier-Analye, Fourier-Inegral Fourier-Reihe 4, 7 Fourierpekrum 8 Fourier-Tranformaion 8, Frequenzbereich 55 Frequenzgang 59 Frequenzkennlinien 65 Frequenzpekrum, Gegenkopplung 38 Gewichfunkion 53, 75 Homogene Löung 4 Impulanwor 53 Inabiliä 88 Inegraionglied 6, 7 Inegrierer 7 Inegrier Glied 6 Kennkreifrequenz 8 komplexe Ebene 63 Komplexe Pole 88 komplexe Ebene 8 Laplace-Inegral 6 Laplace-Tranformaion 5, 6 Laplace-Tranformaion-Tabelle 3 Lineare Zeiinvariane Syeme (LTI- Syeme 39 LTI-Überragunggliedern 57 Minimumphaenyem 89 Mikopplung 4 Niveauregelung Nullellen 4,, 39 Orkurve 63, 9, 96,, 7, 4, 5, 8, 4, 7 Parallelchalung 36 Parialbruchzerlegung 77, 78, 79, 8 Parikuläre Löung 43 Phaenkennlinie 66, 96, 5, 5, 8 Phaenpekrum 3 Pol-Nullellen-Diagramm 9,,,,, 5, 36 Pol-Nullellen-Plan 93 Polellen 8, 8 PT- Glied 97 PT-Glied PTn-Glied 3 Rampenanwor 53, 73 Reihenchalung 3 Reonanzfrequenz 8 Rückkopplung 38 Spekrallinien, 8, Spekrum 4 Sprunganwor 7, 5, 5, 53, 9, 96, 99, 4, 4,, 4, 33 Sabiliä 85 Syemheorie Tefunkionen 5 Tozeiglied Überlagerungprinzip 4 Überragungfunkion 69 Überragungglied, 39 Verärkerprinzip 4 Zeiger 8, 58, 63 55

64 Sichworverzeichni Zeibereich 5 Zeiinvarianz 39 Zuandraum 45 56