Skript zur Vorlesung Systemidentifikation bzw. Prozessanalyse 2. im Sommersemester 2014 für die Studiengänge FZT, II, TKS, EPCE bzw.

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1 Fchgeie Ssemlse Sri zur Vorlesug Ssemideifiio zw. Prozesslse im Sommersemeser 4 für die Sudiegäge FZ, II, KS, EPCE zw. EI, WIW-A Prof. Dr.-Ig. hil. Ch. Ame Sd 3/4 ECHNISCHE UNIVERSIÄ ILMENAU

2 Vorlesug Ssemideifiio / Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Voremeruge Gliederug... - Lierur... - Worum geh s? Mehode der Primärdeufereiug Nowedigei ud Aufge Eree ud Korreur vo Defehler, Erszwersregie Defilerug Eree, Ermilug ud Korreur vo reds Siglmodelle Grudsruur Deermiisische Siglmodelle Grudlge sochsischer Vrile ud Prozesse Sochsische Siglmodelle Prozesslse mi ich-eriodische essigle Nich-rmerische Modelle im Zeiereich Wdlug i rmerische Modelle Prozesslse mi eriodische essigle Nich-rmerische Modelle im Frequezereich Wdlug i rmerische Modelle Prozesslse mi sochsische essigle Korrelioslse im Zeiereich Korrelioslse im Frequezereich Ideifiio zeidisreer Sseme Deermiisische Ideifiio Sochsische Ideifiio Fchgeie Ssemlse

3 Vorlesug Ssemideifiio / Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Voremeruge 7 Reursive Prmeerschäzug Klm-Filer Zeioiuierliche Zusdsrum-Drsellug Zeidisree Zusdsrum-Drsellug Üerrgug sochsischer Prozesse durch Sseme Algorihmus des Klm-Filers Awedug zur echische Digose Komiiere Prmeer- ud Zusdsschäzug Zusmmefssug Nichliere Sseme Seig differezierre Nichlieriäe Nich seig differezierre Nichlieriäe Lierur R. Iserm, M. Müchhof: Ideificio of Dmic Ssems A Iroducio wih Alicios, Sriger Verlg, 96,5 D. Schröder: Ielligee Verfhre Ideifiio ud Regelug ichlierer Sseme, Sriger 79,99 D. Simo: Oiml Se Esimio Klm, H Ifii, d Nolier Aroches, Wile, 6 H. Uehue: Regelugsechi I Klssische Verfhre zur Alse ud Shese lierer oiuierlicher Regelsseme, Vieweg, 5. Auflge 8, 4,99 J. Wersed: Eerimeelle Prozesslse, VEB Verlg echi, 989 Fchgeie Ssemlse

4 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -4 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Voremeruge Worum geh s? Berche m ei dmisches Ssem mi Eigg u ud Ausgg ergee sich uerschiedliche Aufgeselluge, je chdem ws e ud ws gesuch is: Eigg u Ssem Ausgg Aufgesellug gegee gegee gesuch Simulio: Möche m ds Verhle eies ee Ssems uf eie gegeee Aregug u esimme, ds Ssemverhle umerisch simulier werde. gesuch gegee gegee Regelug: Es is die Aufge eier Regelug, die Eiggsgröße u is so zu esimme, dss der Ausgg eiem gegeee Verluf folg. gegee gesuch gegee Ssemideifiio: Is ds Ssem ich oder ich vollsädig e, us de gegeee oder gemessee Ei- ud Ausgäge uf ds Ssemverhle geschlosse werde. Im Zerum dieser Vorlesug seh die zulez eschrieee Aufge der Ssemideifiio. Der some Begriff der eerimeelle Prozesslse uersreich, dss m i der Regel gemessee Sigle des Ei- ud Ausggs zur Grudlge h. Esreched werde im erse Vorlesugsschwerue Sigle wie eisielsweise u ud ehdel. Kiel widme sich der modellfreie Primärdeufereiug, Kiel sell Siglmodelle vor ud führ i die Ideifiio vo Prmeer ei. Im ächse Schweru werde Modelle vorgesell, die der hsilische Esehug Nhe liege. Diese sid zeioiuierlich ud zumeis ich-rmerisch. Uerschiede wird i ich-eriodische Kiel 3, eriodische Kiel 4 ud sochsische Aregug Kiel 5 des Ssems. Für die Imlemeierug geeige sid zeidisree Ssemdrselluge. Die Ideifiio solcher Sseme wird i Kiel 6 vorgesell. Kiel 9 erweier dies säer für ichliere Sseme. De leze Schweru ilde Olie-Verfhre i Kiel 7 ud 8, ei dee die Ssemeschreiug jeweils uf Bsis ueller Messuge gess wird. Dieses Ssemwisse i uerschiedlicher Weise geuz werde, z.b.: Besimmug eies Ssemmodells zur Alse oder Simulio offlie Besimmug eies Ssemmodells für de Regelugs- oder Seuerugsewurf offlie Adio vo Regeluge ud Seueruge olie echische Digose ud Üerwchug vo Sseme zur Lufzei olie Fchgeie Ssemlse

5 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Primärdeufereiug Mehode der Primärdeufereiug. Nowedigei ud Aufge Primärde oder Rohsigle werde dire im Prozess gewoe. Ihre Aufereiug die dzu Söruge zu reduziere oder zu omesiere, Messfehler, die z.b. durch eie Sesordmi esehe, zu vermider. Eie Primärdeufereiug die Quliä der Sigle veresser, so dss chfolgede Schrie z.b. eie Ssemideifiio uf Bsis dieser Sigle essere Ergeisse erreiche. Im Sie eies suere eerimeelle Areies is es er zu emfehle, uch die Rohde zu seicher, so dss der Schri der Primärdeufereiug wiederhol ud chvollzoge werde.. Eree ud Korreur vo Defehler, Erszwersregie Ei ischer Fll für ds Esehe eies Defehlers is die Veräderug der origile er leider uzugägliche Messgröße im Sesor, evor ds Messsigl m Sesorusgg zur Verfügug seh. Ei Korreurssem jez die Aufge üerehme, uf ds origile Sigl zurüczuschließe, lso die Forderug ˆ möglichs gu zu erfülle. Sische, ssemische Fehler Für eie Sesor mi ichlierer Keliie is diese Forderug mi der iverse Keliie F ls Korreur erfüll: Vorussezug is, dss die Iverse eisier ud eideuig is. Auch ei sehr flcher Verluf der Sesoreliie führ zu eiem seile Verluf der Iverse mi der Gefhr großer Aweichuge im orrigiere Sigl ˆ. Dmische, ssemische Fehler I loger Weise ds Sigl m Sesorusgg durch eie Sesordmi gegeüer dem Origilsigl ˆ gesör ud meis verzöger sei. Eie liere Sesord- Fchgeie Ssemlse

6 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Primärdeufereiug mi mi der Üerrgugsfuio Gs wird mi der iverse Üerrgugsfuio G s omesier: Auch hier muss die Iverse eisiere ud relisierr sei. Relisierugsroleme mche differezierede Korreursseme, d sie ei Rusche des Sesors esoders versäre. ozeie im Sesor öe üerhu ich orrigier werde, d die Iverse ich usl is. Plusiiliäsess Es wird gerüf, o der Messwer lusiel, lso ich widersrüchlich, is. Eifche ess rüfe de Wereereich des Messweres. Eie Msse oder eie Zeiose z.b. ich egiv werde. Nich lusile Were werde elimiier. Erszwersregie Fehlede oder ich lusile Messwere werde durch Erszwere ersez. Dies isesodere ei olie-verfhre sivoll sei. Mögliche Sregie sid: Seicherug des leze gülige Weres. Verwedug eies Mielweres der leze gülige Messwere. Verwedug eier modellsiere Prädiio für de fehlede Wer siehe Aschi Defilerug Liege Nuzsigl ud Sörsigl z i uerschiedliche Frequezereiche, so ei Filer verwede werde, um ds Sörsigl frequezsezifisch zu uerdrüce. Neesehed is ds Prizi hd vo Amliudeverläufe verschulich. Eie Sörug, dere Frequezereich oerhl des Nuzsigls lieg, durch eie iefssfiler reduzier werde. ische Filer zur Söromesio sid: iefssfiler, um hochfrequee Söruge Rusche zu reduziere. Hochssfiler, um zeilich ose Offse-Fehler = oder eie lgsme Drif zu vermider. Fchgeie Ssemlse

7 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -3 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Primärdeufereiug Bdserre zur Uerdrücug eier Sörug mi eer Frequez, z.b. ei Nezrumm vo 5 Hz. Bdss, um ei Nuzsigl i eiem defiiere Frequezereich zu seleiere, z.b. ei der Erfssug hrmoischer Ssemwore ei eer Aregugsfrequez..4 Eree, Ermilug ud Korreur vo reds Ei gemessees Sigl durch eie ddiive, zeilich ose Sörug Offse üerlger sei, oder ds Messsigl uerlieg eiem red Drif, der z.b. durch die Erwärmug des Sesors oder eie Verschleiß hervorgerufe werde. Wie i Aschi.3 eschriee, i diesem Fll ei Hochss ls Filer eigesez werde. Eie gezielere Komesio is mi eiem Siglmodell der Sörug möglich. Als Modell der Sörug z eige sich häufig eie olomile Zeifuio ls Asz: z ˆ Sid die Koeffiziee i e, lieg ei Siglmodell der Sörug vor, ds schließed zur Korreur der Messde geuz werde : ˆ zˆ Beisiel -: Korreur eies reds Nchfolged drgeselles Sigl wurde gemesse. Es uerlieg offer eier Drif. Es wird ei qudrischer Modellsz = für z ˆ gemch, ud die Koeffiziee, ud werde esimm. M erhäl schließlich ds orrigiere Sigl ˆ : Die Frge, wie die Koeffiziee i des Modellszes für z ˆ esimm werde öe, wurde isher ich gelär. Geu ds is u.a. Gegesd des folgede Kiels. Fchgeie Ssemlse

8 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Siglmodelle. Grudsruur Ds Modell eies Sigls chrerisier die Sigleigeschfe ud ermöglich eie im Vergleich zu de Rohde omere Drsellug. Es u.a. zur Vorhersge des zuüfige Siglverlufs, zur Sigllse oder zur Korreur eies reds Aschi.4 geuz werde. Als Modellvorsellug wird geomme, dss sich ds gemessee Sigl ls Gesmsigl us der Suerosiio mehrerer Sigleile ergi. Ds chfolgede Beisiel zeig, wie ds Gesmsigl us der Addiio vo drei Sigleile P, ud S eseh. Um zu eiem Siglmodell zu gelge, wird i folgeder Weise vorgegge:. Auf Bsis des vorliegede gemessee Sigls wird eschiede, us welche weseliche Sigleile es ufgeu is. Für die Sigleile werde jeweils Modellsäze fesgeleg.. Die Modellrmeer der eilmodelle werde ideifizier. 3. Die Suerosiio der u ee eilmodelle ilde ds gesuche Modell des Gesmsigls. Als deermiisische Siglmodelle solle i Aschi. olomile Sigle P ud eriodische Sigle vorgesell werde. Zur Modellierug sochsischer Sigle S werde ds AR-, MA- ud ARMA-Modell i Aschi.4 eigeführ. Fchgeie Ssemlse

9 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle. Deermiisische Siglmodelle Im Sie eier Modellvorsellug de sich ds gemessee Sigl us eier Siglquelle herus esde. Dri erzeug eie Zeifuio f ds idele er uzugägliche Sigl, ds schließed mi z gesör werde. Diese gedche Siglquelle wird durch ei rlleles Siglmodell mi der Zeifuio fˆ chgeilde, so dss ds gemessee Sigl mi dem Modellusgg ˆ vergliche werde. Die Modellrmeer des Siglmodells werde im Prmeerveor ˆ zusmmegefss. Der Ausggsfehler is: e A, ˆ ˆ, ˆ Die zu lösede Aufge eseh u dri, de Prmeerveor ˆ zu fide, der de Ausggsfehler e A, ˆ esmöglich miimier. Bewerug Zuächs muss defiier werde, ws uer esmöglich zu versehe is. Dzu wird i de meise Fälle eie qudrische Kosefuio verwede: J ˆ : e A, ˆ d I der Pris seh der Ausggsfehler ur i zeidisree Messzeiue = mi =,,N ud der Aszei zur Verfügug. Für zeidisree Sigle eschräe wir us zuüfig uf eie urze Noio ur uer Verwedug des Zählers : Als Kosefuio d : N Jˆ : e A, ˆ e A ˆ e A ˆ mi e e ˆ e A A A, ˆ N, ˆ Fchgeie Ssemlse

10 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -3 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Fchgeie Ssemlse verwede werde. Drus läss sich uch der roo me squred error RMSE ls Fehlermß ereche: ˆ ˆ J N RMSE Oimierug Mi der oimle Prmeerveor ˆ miimier die Kosefuio ˆ J. Eie geschlossee Lösug is möglich, we es sich um ei lieres Oimierugsrolem hdel. Dzu muss sich der Modellusgg i der Form c ˆ ˆ, ˆ drselle lsse! I diesem Fll gil für lle =,,N Messuge: N c c N e N e e A A A ˆ Die geschlossee Lösug is Herleiug i der Vorlesug Modellildug : ˆ Polomiles Modell Es wird geomme, ds ugesöre Sigl esräche eier olomile Zeifuio: i i i f Eie Zerlegug i eie liere Asz is hier möglich c, f ud es gil folglich für N Messuge: N N

11 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -4 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Beisiel - Ei gesörer, zeilich lierer Fuiosverluf mi =,, ud = wird gemesse siehe Digrmm. Es wird eie lierer Polomsz = ideifizier, ud m erhäl eisielsweise ˆ 5,34 ˆ. ˆ,99 Nchsehed is uch der Modellusgg ˆ, ˆ c ˆ drgesell. Für gemessee De is häufig ich lr, welche Ordug für de Modellsz gewähl werde soll. D es sich eim Siglmodell immer um eie äherugsweise Beschreiug hdel, wird es häufig uch eie richige oder flsche Ssemordug gee. M z.b. ls Fehlermß de RMSE üer der Ordug ufrge, ud escheide, welche mimle Fehler m ich üerschreie möche. I diesem eifche Beisiel ere m, dss eie Erhöhug üer = eie weiere Verrigerug des Fehlers rig: Periodisches Modell Für hrmoische Siglverläufe folgeder Modellsz gewähl werde: i cos i i si i f i Dri sid i die für ds Sigl weseliche Kreisfrequeze. Diese müsse e sei! Häufig m diese us zusäzlichem Wisse üer de Prozess leie. Bei eier Außeemerurmessug z.b. vermue werde, dss der Zeiverluf die Periode eies ges ud die Periode eies Jhres esize wird. Esreched öe = / Fchgeie Ssemlse

12 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -5 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle ud = / gewähl werde. Aleriv m vor eie Sigllse im Frequezereich durchführe s. Kiel 4, um releve Kreisfrequeze i zu fide. Eie Zerlegug i eie liere Asz is uch hier möglich: f, c cos cos si si Ud es is: cos cos N cos cos N si si N si si N Beisiel - Ei gesöres, hrmoisches Sigl wird mi =,, ud = gemesse siehe Digrmm. Es wird eie Schwigug mi =,5 ideifizier. M erhäl eisielsweise ˆ 9,99 ˆ ˆ. 9,9 Nchsehed is uch der Modellusgg ˆ, ˆ c ˆ drgesell. Fchgeie Ssemlse

13 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -6 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle.3 Grudlge sochsischer Vrile ud Prozesse Für die Behdlug sochsischer Siglmodelle i Aschi.4 er uch für die Ssemideifiio Kiel 5 werde chfolged die Grudlge zu sochsische Vrile ud Prozesse zusmmegesell. Häufigei ud Whrscheilichei Es sei A ei zufälliges Ereigis, ds im Rhme eies Eerimees eiree oder ich eiree. Als relive Häufigei ezeiche m ds eerimeell ermiele Verhälis vo Eerimee, i dee A eigeree is, zur Gesmzhl N der Eerimee: h N A N Die Whrscheilichei für ds Ereigis A eschrei diese Siuio heoreisch. Es gi mehrere Möglicheie zur Defiiio: Die Whrscheilichei emirisch defiier werde ud esrich d der eerimeell esimme Häufigei für de Grezüergg uedlich vieler Eerimee: P A lim h A N I dieser Weise die Whrscheilichei ur m Ede der Eerimee ud ur äherugsweise für ei edliches N esimm werde. Die Whrscheilichei uch vor heoreisch ls Verhälis der güsige Ereigisse zu de mögliche Ereigisse esimm werde, we m imm ud druf verru, dss lle Ereigisse gleich whrscheilich sid Llcesche Defiiio: P A Azhl güsige Ereigisse Azhl mögliche Ereigisse Sid i eier Ure 5 roe ud weiße Kugel, so is die Whrscheilichei eie roe Kugel zu ziehe Pro = 5 / 5 = / 3. Um die jeweilige Azhle zu esimme, edie m sich häufig der Komiori; die Whrscheilichei für 6 us 49 is z.b. N P "6 us 49" ,5 8 Heue verwede m ei iomisch defiieres Modell ch Kolmogoroff, 933. Fchgeie Ssemlse

14 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -7 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Sochsische Vrile Defiiio: Die sochsische Vrile som: Zufllsvrile ilde ei zufälliges Elemerereigis uf eie reelle Fuioswer : Whrscheilicheisfeld M Sochsische Vrile Relisiosereich: reelle Achse Xm 3 m 3 m Xm m 4 m Xm 4 Xm Elemerereigis Relisioswer Beschreiug durch Whrscheilicheisvereiluge: Die sochsische Vrile wird durch ihre Vereilugsfuio chrerisier: F X P X Die Zufllsvrile disre oder oiuierlich sei. Im oiuierliche Fll erhäl m die Whrscheilicheisdiche durch Differeiio der Vereilugsfuio: X Whrscheilicheisfuio Vereilugsfuio disree Zufllsvrile P X X X X 3 X 4 X 5 Eizelwhrscheilicheie F P X X Xi F X X X X 3 X 4 X 5 umuliere Whrscheilicheie oiuierliche Zufllsvrile f X Whrscheilicheisdiche f F u du X X dfx fx d F X umulive Whrscheilichei Fchgeie Ssemlse

15 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -8 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Normlvereilug: Die Whrscheilicheisfuio f X X X X X e is smmerisch ud ur vo Mielwer ud Vriz X hägig. Sdrdform der Normlvereilug: X dmi: f X e X Die zugehörige Vereilugsfuio der Sdrd-Normlvereilug F e u du is ich elizi drsellr ud wird dher ellier. Zerler Grezwersz: Die Summe us sochsisch uhägige ud ideisch vereile Zufllsvrile is für eie ormlvereile Zufllsvrile. Die Summe ormlvereiler Zufllsvrile sid wiederum ormlvereil. Kewere: Erwrugswer E der Fuio g is defiier ls: E g i g g f d X P i X i für oiuierliche Zufllsvrile für disree Zufllsvrile Sezielle Kewere für oiuierlich: Mielwer erses Mome g = Qudrmiel zweies Mome g= Vriz zweies zerles Mome g E { } f d E { } f d E { E{ } } f d mi der Sdrdweichug Fchgeie Ssemlse

16 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -9 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Mehrdimesiole sochsische Vrile: Bisher sid wurde zwei Zufllsvrile ud ur voeider uhägig erche: F X P X zw. F P Y X Eie zweidimesiole Vereilugsfuio wird defiier, um zwei Zufllsvrile gemeism zu chrerisiere: F XY P X, Y Die esrechede zweidimesiole Dichefuio erhäl m durch Differeiio: X Y Y f XY, F XY Eeso wird die Defiiio des Erwrugsweres E erweier: E g g, f, d d, für oiuierliche Zufllsvrile Die Zufllsvrile ud heiße sisisch uhägig flls gil: F XY F F zw. f f f Die Zufllsvrile ud heiße uorrelier flls gil: X E Y XY X Y EX EY Die sisische Uhägigei wird lso uf Bsis der Vereilugsfuioe uersuch, währed ei der Alse der Uorrelierhei ur die Erwrugswere eigehe. Die sisische Uhägigei is lso die särere Bedigug, us der die Uorrelierhei folg. Die Korrelio zwische ud is defiier ls: R XY E X Y Esreched is die Kovriz zwische ud : X Y C XY X X Y Y E X Y X Y E Korrelio ud Kovriz sid gleich, flls die Zufllsvrile ud mielwerfrei sid. Veorielle Drsellug: Mehrere sochsische Vrile öe zu eiem Veor zusmmegefss werde: X X X Die Korrelioe zwische de Elemee ls Mri geschriee werde: R X E X X Fchgeie Ssemlse

17 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Sochsischer Prozess som: Zufllsrozess oder sochsisches Sigl Defiiio: Whrscheilicheisfeld M Sochsischer Prozess m 3, m 3 m m, m Elemerereigis m 4 m, m 4, reelle Zeifuio Zei Eigeschfe: Die Eigeschfe eies sioäre Prozesses sid uhägig vom solue Zeiu. Ählich zu eiem zeiivrie Ssem Kewere eies Prozesses öe eweder us der Mielug üer die Schr ller Zeifuioe zu eiem Zeiu, oder üer die Mielug eier Fuio üer die Zei esimm werde. Prozesse, dere Schrmiel ud Zeimiel gleich sid, heiße ergodisch. Zur Beschreiug eies sochsische Prozesses wird log eie Vereilugsfuio geuz: F X, P X Eeso gil für die Dichefuio: FX, f X, Auch die für sochsische Vrile eigeführe Kewere öe erweier ud geuz werde: Die Auoorrelio zwische zwei Zeiue ud ierhl eies Prozesses is: R XX Bzw. die zugehörige Auoovriz is: C XX X, E X X, E X X X X Fchgeie Ssemlse

18 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Für sioäre Prozesse is der solue Zeiu uerhelich ud es gil mi : R XX E X X zw. C XX E X X X X Für mielwerfreie Prozesse sid Korrelio ud Kovriz ideisch. I diesem Fll gil für = : R XX X R XX Die Vriz werde. X ls ei Mß für die Leisug des Prozesses des Sigls ierreier I eiem weiße sochsische Prozess sid zeilich verschiedee Momeufhme des Prozesses immer uorrelier. Es gil lso: R XX X Woei die Imulsfuio is. Zeidisree Prozesse: Sochsische Prozesse öe uch zeidisre sei. Der zeidisree Prozess z. B. durch Asug smlig us eiem zeioiuierliche gewoe werde, i dem i äquidise Zeischrie gese wird: : Veorielle Prozesse: Mehrere sochsische Prozesse öe zu eiem veorielle Prozess zusmmegefss werde: zw. Im Frequezereich: Die serle Leisugsdiche is SXX lim X j, woei X j die Fourierrsformiere des Sigls is. Nch dem heorem vo Wieer-Chischi esrich se- rle Leisugsdiche der Fourierrsformiere der AKF: S XX F R XX Fchgeie Ssemlse

19 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie - Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle.4 Sochsische Siglmodelle Is es möglich, eie zufällige Sigleil durch ei Modell zu eschreie? Ds häg ürlich vo der Nur des zufällige Sigls. Hdel es sich um eie weiße Prozess, gi es eie Korrelio zeilich ufeider folgeder Siglwere ud eie Vorhersge z.b. uf Bsis eies Modells is ich möglich. Häufig sid gemessee sochsische Prozesse er ich weiß. D eseh lso ei Zusmmehg zwische zeilich ufeiderfolgede Were des Prozesses. Dieser modellier ud sächlich voreilhf für die Vorhersge geuz werde. Wie ei de deermiisische Sigle i Aschi. wird ei Modellsz für die Siglquelle formulier, us der m sich de sochsische Sigleil esde de: Dri is ei ormlvereiler, mielwerfreier, ergodischer ud weißer Prozess, der ls Aregug eies dmische Modells Gs die, mi dem u die zeiliche Ahägigeie des idele Prozesses eschriee werde. sächlich schließlich ds eveuell durch z gesöre Sigl gemesse werde. Für die folgede Modellierug wird wieder vo zeidisree Messuge i de Zeiue = mi =,,N ud der Aszei usgegge. Bewerug Im Uerschied zu deermiisische Siglmodelle is die Berechug eies Ausggsfehlers durch de Vergleich mi eiem rllele Modell ich möglich. Ei Modell soll ls oiml gesehe werde, we es uf Bsis der verggee Siglwere,, de uelle Siglwer esmöglich vorhersg. Zur Bewerug dieses Gleichugsfehlers e G ~, ˆ, ˆ mi der modellsiere Vorhersge ~, ˆ muss eie geeigee Kosefuio defiier werde, z.b. eie qudrische Gewichug des Fehlers für lle Messzeiue: N Jˆ : e G, ˆ e G ˆ e G ˆ mi ea, ˆ e Aˆ ea N, ˆ Oimierug Wie i Aschi. miimier der oimle Prmeerveor ˆ die Kosefuio J ˆ. Eie geschlossee Lösug uch hier ur is möglich, we es sich um ei lieres Oimierugsrolem hdel. Dzu muss sich die modellsiere Vorhersge i der Form Fchgeie Ssemlse

20 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -3 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Fchgeie Ssemlse c ˆ ˆ, ~ drselle lsse. D gil uf Bsis ller N Messuge N c c N e N e e A A A ˆ wieder die Lösug: ˆ Auoregressives Modell AR-Modell Als dmisches Ssemmodell wird der Asz eies Auoregressive Modells AR- Modells verwede, der im Blocschlid drgesell is: Dri is z ei Verschieugsoeror, der de m Eigg liegede Wer für eie Aseriode seicher. Aus dem Blocschlild lies m : Dieses Modell verwede werde, um uf Bsis verggeer Were eie Vorhersge für de uelle Siglwer zu mche. D der regede Prozess mielwerfrei is, erhäl m eie Vorhersge us: ~ Dies is eie Lieromiio verggeer Messwere ud dher i ei lieres Oimierugsrolem üerführ werde: c ˆ ˆ, ~ Für die Messuge =N,,N gil: N N N

21 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie -4 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame. Siglmodelle Der Ide der erse Messug N so gewähl werde, dss Siglwere mi egive Idizes vermiede werde. Beisiel -3 Für eie ugesöre sochsische Prozess mi =,, werde mi folgedem Ml-Code die Prmeer eies AR-Modells zweier Ordug ideifizier: = ; N = legh; N = +; % Ordug des AR-Modells % Zhl der Messuge % Erse Messug % Aufu der Mri Gmm zeileweise: Gmm = zerosn,; % Vordefiiio for =N:N Gmm,: = --:-:-'; ed % Lösug für ges. Prmeer: = GmmN:N,:\N:ed _ilde = Gmm*; Die Modellrmeer ud öe orre ideifizier werde s. Vorlesug. Die Sdrdweichug des Gleichugsfehlers e G eräg hier z.b.,7. Sie esrich dmi ew der Sdrdweichug des geregede Prozesses vo =.. Sie wäre größer, we eile der Sigldmi ich vollsädig durch ds AR-Modell geilde werde öe. Movig Averge Modell MA-Modell Aleriv ds dmische Ssemmodell durch de Asz des Movig Averge Modells MA-Modells eschriee werde: Aus dem Blocschlild lies m : m m Allerdigs is es uf Bsis dieses Modells ich möglich, eie liere Fuio für die Vorhersge zu erhle. Dher wird die Prmeerideifiio für ds MA-Modell hier ~ ich weier verfolg. Komiieres ARMA-Modell Ds AR- ud ds MA-Modell öe zum ARMA-Modell omiier werde. Fchgeie Ssemlse

22 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 3- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 3. Prozesslse mi ich-eriodische essigle 3 Prozesslse mi ich-eriodische essigle Es solle jez Ssemmodelle erche werde. Im Uerschied zu de zuvor erchee Siglmodelle esize Sseme eie Eigg u. Dieser geuz werde, um ds uee Ssem durch essigle i geeigeer Weise zurege, so dss die Awor des Ssems m Ausgg möglichs viel Iformio üer ds Ssem reisgi. Folgede Are vo essigle öe uerschiede werde: Srug- ud Imulsfuio sid Beisiele deermiisischer, ich-eriodischer essigle. Kiel 3 Hrmoische Fuioe si, cos oder eie Rechecfolge sid Beisiele für deermiisische, eriodische essigle. Kiel 4 Auch mi sochsische essigle, wie z.b. eiem weiße Ruschrozess, öe deermiisische Ssemmodelle ideifizier werde. Kiel 5 Schließlich is der Fll zugreze, dss ds essigl ich frei vorgegee werde, soder durch de lufede Berie esimm wird. Dies is eisielsweise der Fll, we ds zu ideifizierede Ssem im geschlossee Regelreis eriee wird. D esrich ds essigl der vom Regler usgegeee Sellgröße. Diese Vorgehesweise erforderlich sei, we der lufede geregele Berie ich zur Ideifiio uerroche werde. Aer uch zur Ideifiio isiler Sseme is ei silisiereder Regler owedig. M uerscheide rmerische Ssemmodelle, welche die Form eies mhemische Ausdrucs he ud durch Modellrmeer quifizier werde, vo ichrmerische Ssemmodelle, die ds Ssem z.b. durch eie Messug chrerisiere. Ei rmerisches Ssemmodell is z.b. eie Beschreiug durch eie riole Üerrgugsfuio Gs, Modellrmeer sid die Koeffiziee des Zähler- ud Neeroloms. Ei ich-rmerisches Ssemmodell durch eie gemessee Srugwor oder eie gemessee Frequezgg defiier sei. Wegleich diese Modelldrsellug weiger om is, sie dies usreiche, um z.b. eie Reglerewurf ch Ziegler ud Nichols uf Bsis der Srugwor oder durch Eisellug eier Phsereserve im Bode-Digrmm erfolgreich durchzuführe. 3. Nich-rmerische Modelle im Zeiereich Nich-rmerische Modelle im Zeiereich sid: Srugwor Imulswor Allgemeie Ssemwor uf ei elieig defiieres essigl Fchgeie Ssemlse

23 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 3- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 3. Prozesslse mi ich-eriodische essigle 3. Wdlug i rmerische Modelle Verfhre zur Kewerermilug Eifche Verfhre zur Kewerermilug gee vor, welches Eerime mi dem uee Ssem durchzuführe is. Für eie Reihe vo Referezsseme wurde diese Eerimee eeflls heoreisch oder simuliv durchgeführ ud ellier. Somi lsse sich die Ergeisse zwische dem uee Ssem ud de Referezsseme vergleiche. Ds Referezssem mi der ese Üereisimmug wird ls Modell des uee Ssems ideifizier. Diese Ar der Ideifiio eschrä sich uf eie Klsse vo Sseme die durch die Referezsseme geilde sid. Für de Vergleich öe eie Kosefuio eigeführ werde, häufig wird der Vergleich er eifch grfisch durchgeführ. Verfhre zur Kewerermilug sid z.b.: Küfmüller-Aroimio Verfhre ch Srejc Momeemehode ch Uehue: Regelugsechi Die Koeffiziee i ud i eier riole Üerrgugsfuio G s s... s... s m ms mi = solle eerimeell ideifizier werde. Die Üerrgugsfuio is die Llce-rsformiere der Gewichsfuio: s G s g e d Wird dri der Ausdruc e s i eie lor-reihe im Pu s= ewicel, gil Fchgeie Ssemlse

24 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 3-3 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 3. Prozesslse mi ich-eriodische essigle Fchgeie Ssemlse !! d g s s s s G ud:... 3!! M d g s M d g s M d g s M d g s G Hier werde die Iegrle der zeieschwere Gewichsfuio i g ls Momee d g M i i eigeführ, die eerimeell oder umerisch zu esimme sid. M erhäl somi eie Drsellug der Üerrgugsfuio uf Bsis der Momee... 3!! 3 3 M s M s s M M s G, die i de ursrügliche Asz der riole Üerrgugsfuio eigesez werde : m m s s s s M s M s s M M !! 3 3 Um die m++ uee Koeffiziee der riole Üerrgugsfuio zu esimme, wird ei Koeffizieevergleich der Gleichuge is zum Glied s +m durchgeführ. Es eseh ei lieres Gleichugsssem mi m++ Gleichuge, ds für die uee Koeffiziee gelös werde. Beisiel 3- ch Uehue: Regelugsechi Für ei Ssem mi m= ud = gil ds Gleichugsssem! 3! 3! M M M M M M M M M, ws für gelös werde muss, um ei rmerisches Modell i Form der riole Üerrgugsfuio Gs zu erhle.

25 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 4- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 5. Prozesslse mi sochsische essigle 4 Prozesslse mi eriodische essigle Periodische essigle sid isesodere geeige, de Frequezgg Gj eies uee Ssems zu ermiel. Dieser ilde ei ich-rmerisches Modell des Ssems, ds erforderlicheflls schließed i ei rmerisches Modell gewdel werde. 4. Nich-rmerische Modelle im Frequezereich Währed m Eigg u des Ssems ei eriodisches essigl mi der Periode lieg, wird ds Ausggssigl gemesse. D uch ds Ausggssigl eie eriodische Verluf esize wird, es ls Fourier-Reihe mi =/ drgesell werde: Die Fourier-Koeffiziee sid: i cos i i i si i i cos i d ud i si i d Für die Besimmug des Frequezggs wird ur die Grudschwigug i= erche: cos si Es müsse lso die Fourier-Koeffiziee ud uf Bsis des gemessee Ausggs ereche werde. Aschließed us dem Asz cos si A cos die Amliude ud Phse umgereche werde: A ud Für Süzselle der Kreisfrequez cheider uweise der Frequezgg G j A u j e ereche werde ud z.b. ls Bode-Digrmm drgesell werde. Dri is u die Amliude der Grudschwigug des essigls. Die gezeige Ermilug des Frequezggs uf Bsis der Fourier-Koeffiziee der Grudschwigug h zwei Voreile: ree ich-hrmoische Sigleile i uf eweder wege eier ichhrmoische Aregug durch u oder durch Nichlieriäe des Ssems, lede ds Verfhre höhere erme Oerschwiguge us ud deoch ls Näherugsverfhre gewede werde. Durch die Modulio ud zeiliche Iegrio ei der Berechug der eide Koeffiziee is es rous gegeüer Söruge derer Frequez z.b. gegeüer hochfrequeem Rusche. Fchgeie Ssemlse

26 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 4- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 5. Prozesslse mi sochsische essigle Beisiel 4- Der Frequezggs eies liere dmische Ssems soll uf Bsis eier umerische Simulio i Simuli ermiel werde. Dzu wird ds eigelich uee Ssem i Simuli imlemeier geler Bloc i chfolgeder Drsellug. Aschließed wird die Auswerug wie zuvor eschriee i Simuli imlemeier: Als Aregug wird ds Sigl u = cos verwede, ds uch für die Berechug des Koeffiziee esimm werde muss. Die Disls rechs zeige die umerisch esimme Koeffiziee, sowie A, A db, ei eier Kreisfrequez der Aregug vo =, ud eier Simulioszei vo. Dies esrich eier Süzselle im Bode-Digrmm ud muss esreched für weiere Süzselle wiederhol werde. 4. Wdlug i rmerische Modelle Erier Sie sich die Kosruio vo Bode-Digrmme uf Bsis eier vorliegede Üerrgugsfuio Gs z.b. i der Vorlesug Regelugs- ud Ssemechi? Diese Vorgehesweise im Prizi umgeehr durchlufe werde, um us eiem zuvor eerimeell ermiele Bode-Digrmm die Üerrgugsfuio Gs ls rmerisches Modell zu gewie. Es wird dvo usgegge, dss ds Ssem durch eie Reiheschlug elemerer Üerrgugsglieder eschriee werde : Auf dieser Bsis werde die e der elemere Üerrgugsglieder fesgeleg, dere Prmeer geschäz ud schließlich Fchgeie Ssemlse

27 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 4-3 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 5. Prozesslse mi sochsische essigle die Gesm-Üerrgugsfuio G s G s G s esimm. Sez m vorus, dss ds uee Ssem miimlhsig is lso eie Nullselle i der reche omlee Hleee esiz, is die Beziehug zwische Amliude- ud Phseverluf is uf eie Versärugsfor eideuig, ud m sich zur Ierreio uf de Phseverluf eschräe: Asmoe für : 9 esrich der Azhl der Iegrore Asmoe für : m 9 esrich der Differez zwische Zählergrd m ud Neergrd eier riole Üerrgugsfuio. Soderfll: Eie ozei im Ssem sorg für eie zusäzliche, mi seigeder Frequez mooo fllede Phserücdrehug Dzwische Phserücdrehug: Jedes P -Glied P -Glied dreh die Phse um 9 8 zurüc; i der Ecfrequez eräg die Phserücdrehug Dzwische Phsevordrehug: Jedes P D -Glied P D -Glied dreh die Phse um vor; i der Ecfrequez eräg die Phsevordrehug Beisiel 4- Für ds Ssem us Bs. 4- wird der folgede Phseverluf ermiel: N Alse: Die Phse egi ei leie ei 9, d.h. = Iegror. Die Phse ede für große i 9, d.h. es gil m =. Dzwische zuers eie Phsevordrehug vermulich um +9, d.h. P D -Glied; +45 ew i =,. Dzwische d Phserücdrehug vermulich um 9, d.h. P -Glied; 45 ew i =. Die Gesm-Üerrgugsfuio G s K s s, s Ks K, s s esrich dem Ssem im gele Bloc us Beisiel 4-. Fchgeie Ssemlse

28 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 5-4 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 5. Prozesslse mi sochsische essigle 5 Prozesslse mi sochsische essigle 5. Korrelioslse im Zeiereich u g Als Sigl u m Ssemeigg lieg ei ormlvereiler, sioärer, ergodischer ud mielwerfreier sochsischer Prozess. Eie Chrerisierug des zeiliche Verhles dieses Prozesses liefer die Auoorreliosfuio AKF: R uu lim u u d Ds deermiisische Ssem is durch seie Gewichsfuio g defiier. Aus der Gewichsfuio eie Ssem-AKF ereche werde: R gg lim g g d Auch der Prozess m Ssemusgg d ls ormlvereiler, sioärer, ergodischer ud mielwerfreier sochsischer Prozess ierreier werde. Seie AKF is: R lim d Die Kreuzorreliosfuio schließlich eschrei die Korrelio vo Ei- ud Ausgg im zeiliche Asd : R u lim u d Für die Üerrgug der Auoorreliosfuioe gil: R R R Isesodere ei Aregug mi weißem Rusche R N gil: Dri is R gg gg uu uu R N N W eie Kose =milerer Leisug des Eiggsrozesses. W W Fchgeie Ssemlse

29 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 5-5 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 5. Prozesslse mi sochsische essigle Für die Kreuzorrelio zwische Ei- ud Ausgg gil: R u g R Isesodere ei Aregug mi weißem Rusche R N gil: Bei eer milerer Leisug R g uu uu u N W W N W des Eiggsrozesses drus durch Messug vo R u dire die Gewichsfuio g des Ssems esimm werde. 5. Korrelioslse im Frequezereich Ei deermiisisches Ssem, ds durch seie Üerrgugsfuio G eschriee is, wird durch eie sochsische Prozess u gereg. Folglich is uch ds Sigl m Ausgg des Ssems ei sochsischer Prozess. Nch dem heorem vo Wieer-Chischi sell die Fourierrsformiere der AKF eies Sigls seie serle Leisugsdiche dr: S uu F R Aus der Flug R Rgg Ruu im Zeiereich wird eie muliliive Verüfug im Frequezereich: S uu S S gg Dri is S gg forml eie deermiisische Ssem-Leisugsdiche. Sie esimm lso ds Üerrgugsverhle der Sigl-Leisugsdiche sochsischer Prozesse. Sie is ich mi der Üerrgugsfuio Gj zu verwechsel. Es gil: S gg uu R lim G j F gg Fchgeie Ssemlse

30 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 5-6 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 5. Prozesslse mi sochsische essigle Eie diree Berechug des Frequezggs Gj is ich möglich. Dzu is die Berchug der Kreuzorreliosfuio zwische Eigg ud Ausgg wiederum üzlich: Aus der Beziehug im Zeiereich R g R folg im Frequezereich: u S u uu G j S uu Dri is esreched S u F R u die Kreuzleisugsdiche zwische Eigg ud Ausgg des Ssems ls Fourierrsformiere der Kreuzorreliosfuio. Aufgrud der Esrechug zum Zeiereich wird hier ds Üerrgugsverhle elizi durch Gj eschriee. Für weißes Rusche gil im Frequezereich: S uu R uu FN W NW F Die serle Leisugsdiche is lso üer lle Were hiweg os. Wird ei Ssem mi weißem Rusche gereg ud seie Kreuzleisugsdiche zwische Eigg ud Ausgg esimm, so gil: S G j u N W Drus läss sich lso die Üerrgugsfuio Gj elizi messechisch esimme. Fchgeie Ssemlse

31 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 6- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 6. Ideifiio zeidisreer Sseme 6 Ideifiio zeidisreer Sseme 6. Deermiisische Ideifiio Ei uees Ssem wird mi eiem zeidisree Eiggssigl u gereg ud wore mi dem Ausggssigl. Die Aufge is u, ds uee Üerrgugsverhle dieses Ssems us de Sigle u ud zu esimme. Zur Chrerisierug eies liere ud zeiivrie Ssems wird eie riole zeidisree Üerrgugsfuio ˆ ˆ ˆ m z mz Bˆ z Gˆ z ˆ ˆ ˆ z z Aˆ z ls Modell gesez. Es müsse lso die Koeffiziee â i ud ˆ i ideifizier werde. Die Üerrgugsfuio durch dividier â werde, so dss ohe Beschräug der Allgemeihei ˆ gesez werde. Die m++ uee Prmeer öe zu eiem Prmeerveor ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ m zusmmegefss werde. Mi diesem Modellsz is die Aufge uf die Besimmug der Modellrmeer ˆ reduzier. Die heliegede Mehode is die Berechug eies Ausggsfehlers e A ls Differez des gemessee Ausggs ud dem Modellusgg ˆ : Möche m de Modellusgg ˆ uf Bsis der messre Größe u, ud des ˆ Modells G z ereche, gehe die Prmeer i ˆ ichlier i diese Asz ei. Die Besimmug vo ˆ is d ei ichlieres Oimierugsrolem, für ds eie geschlossee Lösug gegee werde. I diesem Pu erweis sich die Eiführug eies modifiziere Fehlers ls zielführed: ˆ Forml wird der isherige Ausggsfehler durch ds Ssem A z üerrge, um die eue Fehlerdefiiio E z Aˆ z E z zu erhle. Im Blocschlild m de ˆ G A ˆ Bloc A z ud die Summiosselle usche, dei seh A z d jeweils im ˆ Zweig vo sowie vo ˆ. I lezerem ürz sich A z mi dem Neer vo ˆ G z ud m erhäl folgede Sruur: Fchgeie Ssemlse

32 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 6- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 6. Ideifiio zeidisreer Sseme Fchgeie Ssemlse Aus dem Blocschlild lies m : ˆ ˆ z B z U z A z Y z E G Der Fehler e G is lso eie Lieromiio des Eiggs ud seier zurücliegede Were gewiche mi ˆ z B sowie des Ausggs ud seier zurücliegede Were gewiche mi ˆ z A. Die Prmeer i ˆ gehe dher lle lier ei. Der Fehler e G läss sich ls Gleichugsfehler ierreiere: M wdel die Fehlergleichug i de disree Zeiereich ˆ ˆ ˆ ˆ m u u e m G ud i eie veorielle Drsellug:,ˆ ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, c c m u u e m G Dri m ds Sigl ˆ, ~ ds ich im Blocschlild ufuch! ls eie Prädiio für versde werde. Bei ee Eigäge ud Modellrmeer wird uf Bsis der zurücliegede Ausgäge,, eie Schäzug um eie Zeischri für de uelle Wer esimm. Somi is ˆ, ~ ˆ, e G der Gleichugsfehler ei der Prädiio um eie Zeischri. M diese Gleichug u für mehrere disree Zeiue =N,,N zeileweise uereider schreie. D die Prmeer ˆ i jedem Zeischri gleich sei solle, öe sie ch rechs usmulilizier werde: N N m N u N u N N m N u N u N N e N e N e m G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,,

33 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 6-3 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 6. Ideifiio zeidisreer Sseme Amerug: Begi m i der erse Zeile ers mi Zeiu N = mm,+, sehe geug Verggeheiswere vo u ud zur Verfügug, so dss ur osiive Zeischrie verwede werde. Die oimle Lösug für ˆ im Sie eier miimle Kosefuio J, die ls leise Fehlerqudre Les squre defiier wird, liefer schließlich: N Jˆ ~, ˆ e ˆ e ˆ ˆ Bs. 6-: Deermiisische Prmeerideifiio Ei zuächs uees Ssem schwrzer Bloc im chsehede Simuli- Blocschlild wird m Eigg u mi eiem sochsische Prozess gereg. Es werde N = Aswere des Eiggs u ud des ugesöre Ausggs geseicher. G G u Rdom Numer u Prozess o Worsce o Worsce Nchfolged is der Ml-Algorihmus zur Schäzug des Prmeerveors ˆ drgesell: % Feslegug der Ordug der ÜF: m = ; = 3; % Azhl N der Messuge us Ausggsveor : N = legh; % Erser Messwer: N = mm,+; % Vordefiiioe: Gmm = zerosn-n+,m++; % Aufu Mri Gmm zeileweise: for =N:N % Zeischrie Gmm-N+,: = [ u:-:-m' --:-:-' ]; ed % Lösug für ges. Prmeer: _dch = Gmm\N:ed Fchgeie Ssemlse

34 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 6-4 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 6. Ideifiio zeidisreer Sseme M erhäl ls Ergeis: _dch = Nchfolged is ds Blocschlild des zuächs uee Prozesses drgesell; die Prmeer wurde lso orre ideifizier: u z Ui Del3 z Ui Del z Ui Del z Ui Del z Ui Del 6. Sochsische Ideifiio Häufig wird der Messwer gesör. Ds Modell wird um eie ddiive Sörug z mielwerfrei, ergodisch, weiß, ormlvereil erweier: Eie Prmeerschäzug wird ls smoisch erwrugsreu ezeiche, we die Schäzug ˆ des uee Prmeerveors im Grezüergg uedlich vieler Messuge sochsisch gege de sächliche Wer des Prmeerveors overgier: lim ˆ N Es gezeig werde, dss die Schäzug des gesöre Ssems uf Bsis des Gleichugsfehlers e G ich erwrugsreu is! Fchgeie Ssemlse

35 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 6-5 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 6. Ideifiio zeidisreer Sseme Bs. 6-: Deermiisische Ideifiio des gesöre Prozesses Die Awedug des i Bs. 6- gezeige Algorihmus uf ds gesöre Ssem mi Z, führ uf weichede Were des Prmeerveors, die uch mi größerem N ich de sächliche Prmeer esreche: _dch = Mehode der Hilfsvrile Die Schäzgleichug zur Besimmug des Prmeerveors modifizier werde: ˆ H H Dri is H eie Hilfsvrile-Mri. Sie so gewähl werde, dss sie ich mi z zw. orrelier is ud dererseis eie sre Korrelio mi u ufweis. Sie log zur Mri ufgeu werde, woei llerdigs durch ei geeigees ˆ ersez wird. Es gi verschiedee Verfhre eie Hilfsvrile-Mri H zu esimme siehe uch Iserm ud Müchhof,. Drei Verfhre solle vorgesell werde: Ersz durch Eiggswere: I Mri wird der gesöre Ausgg durch zeilich zurücliegede Were des Eiggs u ersez, um H zu erhle. Ierive Besimmug: Es werde folgede Schrie usgeführ:. Besimmug der ich-erwrugsreue Lösug ls Srwer: ˆ Weier mi i = :. Dmi wird eie sörugsfreie Prädiio des Ausggs esimm: ~ i i ˆ 3. Nu wird H ˆ i i verwede, um eie Hilfsvrile-Mri zu esimme: u N u N u N m u N m ~ ~ i i N N ~ i ~ i N N 4. Mi dieser wird die Schäzug des Prmeerveors veresser: ˆ i i H H i 5. Aruch flls risch eie Äderug des Prmeerveors mehr erreich wird, z.b. ˆ i ˆ i sos Wiederholug mi i:= i+ Schri. Fchgeie Ssemlse

36 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 6-6 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 6. Ideifiio zeidisreer Sseme Prlleles Hilfsmodell: Es wird ei rllel reiedes Hilfsmodell oder ei Beocher verwede, um eie ugesöre Schäzug ˆ des Ausggs zu erhle. Auf diese Weise öe üriges uch olie-fähige Prmeerschäzverfhre ufgeu werde. ˆ Fchgeie Ssemlse

37 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 7- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 7. Reursive Prmeerschäzug 7 Reursive Prmeerschäzug Bisher wurde dvo usgegge, dss lle Messgröße ud uch lle Eiggsgröße u vorliege, um uf dieser Bsis eie geschlossee Lösug für de gesuche Prmeerveor ˆ ereche zu öe. D diese Berechug ußerhl des lufede Beries durchgeführ wird, dies uch ls Offlie-Verfhre ezeiche werde. Demgegeüer soll ei Verfhre, ds währed des lufede Beries de Prmeerveor ˆ jeweils uell esimm, ls olie ezeiche werde. Für ei lieres Oimierugsrolem wäre es im Prizi möglich, ch jedem Zeischri de Veor ud die Mri um die uelle Were zu ergäze ud die geschlossee Lösug i der Form ˆ zu esimme. Allerdigs muss dzu i jedem Schri ds gesme Gleichugsssem gelös werde, ws umerisch ufwädig is. Effizieer wäre eie reursive Lösug für ˆ, die druf ufu, dss ˆ us dem leze Zeischri e is. Dies soll chfolged ewicel werde. Herleiug Zur Modellierug des Prozesses gehe wir dvo us, dss die Prmeer i lier i de Ausgg eigehe ud dss der Ausgg durch eie ddiive weiße, ormlvereile, ergodische ud mielwerfreie Sörug v üerlger wird: c v Die Aufge ohe zusäzliche Aufwd uch uf de Fll mehrerer Messgröße erweier werde: C v Wir formuliere eie Asz für eie reursive Schäzer: Auf Bsis des ls e vorusgeseze Prmeerveors ˆ der Ausgg i vorhergesg werde: ~ C ˆ Der Gleichugsfehler zum uell gemessee Wer is e G C ˆ ud soll verwede werde, um die Schäzug des Prmeerveors zu orrigiere: ˆ ˆ K C ˆ Dri is K eie och uee Versärug, mi welcher der Gleichugsfehler e G zur Korreur der Prmeer ˆ gewiche wird. Diese Korreur durch K soll so esimm werde, dss i jedem Zeischri die Vriz des Schäzfehlers ˆ miiml is: mi J E Fchgeie Ssemlse

38 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 7- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 7. Reursive Prmeerschäzug Fchgeie Ssemlse zw. mi sur P E mi E P Bevor diese Miimierugsufge gelös wird, wird ls Zwischeschri die Reursiosgleichuge vom Zeischri uf für de Erwrugswer ereche v E K E C K I E ud drus die Reursio für die Kovriz P des Schäzfehlers: K R K C K I P C K I E P Bei der Berechug wurde vorusgesez, dss Schäzfehler ud Sörug uorrelier sid v E ud die Kovrizmri der Sörug v E v R e is. Dieser reursive Zusmmehg für P i die oe formuliere Miimierugsufge eigesez werde. Um ei Miimum zu fide, wird die Kosefuio J ch der der gesuche Versärug K differezier: sur sur K R K H P H K P K J K mi der Aürzug C K I H Für die Differeiio gil B A A B A A sur flls B smmerisch is ud dmi: H K H H P H J K Dieser Ausdruc wird zu Null gesez ud ch der gesuche Versärug ufgelös: C P C R C P K Die drei eigerhme Gleichuge ilde gemeism eie reursive Vorschrif für die oimle Prmeerschäzug. Am Afg muss ei Srwer für de zu schäzede Prmeer ud für die Kovrizmri P vorgegee werde. Is der Srwer usicher, für die Kovrizmri eie große Sreuug, z.b. I P, vorgegee werde. Algorihmus. Afgswere, P vorgee ud Sr mi Zeischri =. Bereche C P C R C P K 3. Bereche ˆ ˆ ˆ C K ud Ausge 4. Bereche K R K C K I P C K I P 5. Wiederhole Schri für de ächse Zeischri = + Für eie slre Messug we lso ur ei Sesorsigl zur Verfügug seh is uch der zu iverierede Ausdruc i der Gleichug für K slr, d.h. es is ur die Berechug eies slre Kehrwers erforderlich.

39 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 7-3 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 7. Reursive Prmeerschäzug Bs. 7-: Messug vo Kozerioe eies chemische Reors [ch Simo, Emle 3.5] Ei chemischer Reor ehäl Soff mi der Kozerio sowie Soff mi der Kozerio. Ei Sesor is ur i der Lge, die Summe eider Kozerioe + zu messe. Weierhi is e, dss die Kozerio des Soffes ro Zeischri um % imm. Es soll eie Prmeerschäzug relisier werde, die olie die iiile Kozerioe schäz. Es hdel sich um eie Prozess mi eier Messgröße ud zwei zu schäzede Prmeer. Als Modell gesez werde. c v,99 v Der Prozess wird mi = [ 5] ud eier Sörug mi Z =, simulier. Die reursive Prmeerschäzug liefer die chfolged drgeselle Schäzug, die ch ew Zeischrie gege die sächliche Were der Prmeer overgier: Die Bdreie der Sdrdweichug des Schäzfehlers is zusäzlich ls gesrichele Liie eigezeiche. Bs. 7-: Reursive Schäzug eies zeidisree Üerrgugsfuio Esreched Bs. 6- öe mi c u u m Prmeer ˆ ˆ ˆ ˆ werde ˆ m uch die eier zeidisree Üerrgugsfuio geschäz Für de ugesöre Fll is ds Ergeis der reursive Olie-Schäzug ideisch zur geschlossee Offlie-Lösug. Im gesöre Fll is die Schäzug llerdigs wiederum ich erwrugsreu! Fchgeie Ssemlse

40 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 8- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 8. Klm-Filer Fchgeie Ssemlse 8 Klm-Filer Bisher wurde geomme, dss die zu esimmede Größe im Veor zeilich os sid. M srich i diesem Fll vo Prmeer, für welche die Aufge der Prmeerideifiio oder -schäzug zu löse is. Hdel es sich demgegeüer um zeiveräderliche Größe, srich m llgemei vo Zusäde, die i eiem Zusdsveor zw. zusmmegefss werde. I diesem Kiel soll die Aufgesellug uf die Schäzug vo Zusäde erweier werde. Dies mi Hilfe eies Klm-Filers gelös werde. Zuächs soll er die geeigee Drsellug im Zusdsrum für dmische Sseme urz eigeführ werde. 8. Zeioiuierliche Zusdsrum-Drsellug Liere zeioiuierliche Sseme öe durch folgede Drsellug im Zusdsrum eschriee werde: Zusdsdifferezilgleichug: u B A Ausggsgleichug: C Der Eifchhei hler wird geomme, dss die der Eigg u ich dire uf de Ausgg wir, so dss die so gee Durchggsmri Null is. Dies is ei rele Sseme der Fll. mi folgede Größe: Zusdsveor mi : Azhl der Zusäde Eiggsveor u u u m mi m: Azhl der Eigäge Ausggsveor mi : Azhl der Ausgäge Ssemmri A, Eiggsmri m m m B Ausggsmri c c c c c c C

41 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 8- Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 8. Klm-Filer Fchgeie Ssemlse Blocschlild Umwdlug eier Üerrgugsfuio Um ei Ssem, ds durch eie Üerrgugsfuio oder Differeilgleichug gegee is, i eie Zusdsrum-Drsellug umzuwdel, eisielsweise die Beocher- Normlform BNF verwede werde. Gegee is die Üerrgugsfuio s s s s s s G oder die esrechede Differeilgleichug eies Ssems u u u jeweils mi der Normierug = sowie uer der Ahme eies rele Ssems mi =. Die Koeffiziee öe u dire i die esrechede Zusdsrum- Drsellug i BNF üeromme werde: u B A, C Blocschlild

42 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 8-3 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 8. Klm-Filer 8. Zeidisree Zusdsrum-Drsellug Zusdsdifferezegleichug: A B u Ausggsgleichug: C D D Blocschlild Der Verzögerugsoeror z seicher ud verzöger de Zusd üer eie Aseriode hiweg. Umwdlug zeioiuierlicher i zeidisree Sseme Für die Umwdlug des oiuierliche Ssems i ei esrechedes zeidisrees Ssem müsse die Mrize A ud B der Zusdsdiffereilgleichug i A D ud B D der Zusdsdifferezegleichug umgereche werde: A A D e, A BD e B d A AD I B Diese Umrechug wird für eie sezielle Aszei durchgeführ. Es hdel sich ei der Umwdlug ich um eie Näherug, i de Aszeiue is ds Verhle des zeioiuierliche ud des zeidisree Ssems ideisch. Die Ausggsgleichug mi der Mri C lei uveräder. I Ml sehe zur Umwdlug die Fuio cd zw. dc zur Verfügug. Die Mrieoeilfuio lue i Ml em! 8.3 Üerrgug sochsischer Prozesse durch Sseme rsformio eier Dichefuio Eie Zufllsvrile wird durch eie Fuio g uf geilde: g Mi der iverse Fuio h g gil ch [Simo, S. 59] für die Dichefuio der Zufllsvrile : dh fy fx h d Fchgeie Ssemlse

43 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 8-4 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 8. Klm-Filer Normlvereile Prozesse ud liere Sseme Beisielhf wird ds folgede liere Ssem erche. Am Eigg lieg ei ormlvereiler Prozess : Mi oigem Gesez für die Dichefuio gezeig werde, dss ds Sigl m Ausgg eeflls ei ormlvereiler sochsischer Prozess is! Die Kewere sid Mielwer: ud Vriz: Y X. Dies verllgemeier werde: Wird ei lieres Ssem mi ormlvereile Prozesse gereg, so sid lle drus resulierede Sigl dieses Ssem eeflls ormlvereil. Zeidisrees Ssem im Zusdsrum Ei zeidisrees Ssem i Zusdsrum-Drsellug wird durch ei ddiives Prozessrusche w ud ei ddiives Messrusche v gesör. Dmi gil: Zusdsdifferezegleichug: A B u w Ausggsgleichug: C v D D Blocschlild Für eide Sörrozesse wird vorusgesez, dss sie ormlvereil, mielwerfrei E{w} =, E{v} =, ergodisch, weiß, uorrelier zueider E{w v } = ud uorrelier zum Afgszusd E{w } =, E{v } = sid. Fchgeie Ssemlse

44 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 8-5 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 8. Klm-Filer Ihre Kovrizmrize lue: E w w zw. R E v v Q Auch hier hdel es sich um ei lieres Ssem. Dher muss ei ormlvereile Areguge uch der sochsische Prozess des Zusds ormlvereil sei. Er is durch Mielwer ud Vriz vollsädig defiier. Für eide Größe mi Hilfe der Zusdsdifferezegleichug ei reursiver Zusmmehg hergeleie werde: Für de Mielwer des Zusds gil: A B u D D Für die Kovrizmri des Zusds gil: A P A Q P E D D Beisiel 8-: Umwdlug der Ssemdrsellug eies Feder-Msse-Schwigers Am Beisiel des eesehed sizziere Feder-Msse- Schwigers soll die Umwdlug der Ssemdrselluge schriweise gezeig werde.. Modellildug Die Kräfeilz für die Msse m lue: u d m c. Zeioiuierliche Zusdsrum-Drsellug Bei mechische Sseme erhäl m eie mögliche Ssemdrsellug im Zusdsrum, we m für Msseue jeweils ihre Posiio ud Geschwidigei ls Zusäde eiführ. Hier lso ei eiem Msseu zwei Zusäde: : v Dmi erhäl m zwei Differeilgleichuge. Ordug: v Verüfug eider Zusäde c d c v v u us Kräfeilz m m m I veorieller Schreiweise: u c / m d / m c / m Zusdsdiffereilgleichug A B Ausggsgleichug C Fchgeie Ssemlse

45 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 8-6 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 8. Klm-Filer 3. Zeidisree Zusdsrum-Drsellug Für die Prmeer m =,; c =,5; d =,5 ud die Aszei =, erhäl m: A,943,867,57 A D e, BD A AD I B,8,76,8 Dieses Ssem läss sich so i eier eifche Schleife simuliere, z.b. Berechug der Srugwor i Ml: N = 8; = [ ]'; u = ; = zeros,n; for =:N = Ad* + Bd*u; = C*; ed sirs,'r' % Simulioshorizo % Afgswer % Aregug % Seicher lloiere % Schleife üer Zeischrie % Zusdsdiff-Gl. % Ausggs-Gl. % Ausge Nchsehed is die Srugwor des zeioiuierliche ud zeidisree Ssems drgesell. I de Aszeiue sid die Were ideisch. 4. Sochsisches Ssem Es wird ei Prozessrusche mi Q = dig,, geomme. Begied mi dem Afgswer P = dig wird u uch die Kovriz P des Zusds reursiv ereche. Nchfolged is mi Sdrdweichug P gesrichel drgesell., Fchgeie Ssemlse

46 Vorlesug Ssemideifiio / Eerimeelle Prozesslse Seie 8-7 Prof. Dr.-Ig. Ch. Ame 8. Klm-Filer 8.4 Algorihmus des Klm-Filers Im Kiel 7 wurde ei reursiver Algorihmus ewicel, der eie Prmeerveor uf Bsis ueller Messwere olie schäz. Um diese u uch für dmische Zusäde zu erweier, wird er mi der zeidisree Zusdsrum-Beschreiug us Aschi 8.3 omiier. Somi eseh der Algorihmus des Klm-Filers i jedem Zeischri us zwei eile: Prädiio: Esreched Aschi 8.3 werde der Zusd ud seie Kovriz der Ssemdmi esreched ereche. Dzu werde die eide eigerhme Gleichuge i Aschi 8.3 eöig. Korreur: Wie ei der Prmeerschäzug i Kiel 7 u ei Agleich mi dem uelle Messwer erfolge. Dzu werde die drei Gleichuge des Algorihmus us Kiel 7 verwede. Um die Größe useider hle zu öe, werde die Größe m Ede der Prädiio mi ud m Ede der Korreur mi + mrier. Der Algorihmus des Klm-Filers lue:. Srwere ˆ ud P vorgegee ud Sr mi Zeischri =. Prädiio: P A P A Q ˆ A D D D ˆ B D u 3. Korreur: K P C ˆ ˆ P R C P C K C ˆ I K C P I K C K R K 4. Wiederholug. für de ächse Zeischri = +. Beisiel 8-: Zusdsschäzug eies Feder-Msse-Schwigers Für ds Ssem des Feder-Msse-Schwigers us Beisiel 8- wird die Posiio gemesse, welche mi eier Sörug üerlger is Sdrdweichug v =,5. Nchfolged is der Ml-Code zur Olie-Schäzug des Zusds ˆ drgesell: N = 6; u = ; v =.5; _dch = [ ]'; P =.*ee; R = v^; Q = e-3 * ee; % Simulioshorizo % Aregug % Sdrdweichug Sörug % Afgswer Mielwer % Afgswer Kovriz % Kovriz Messrusche % Kovriz Prozessrusche Fchgeie Ssemlse