6.6 Tests auf Ausreißer

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1 1 6 Numerche Tetverfahren 6.6 Tet auf ureßer ureßer n Etremwerte n ener Stchprobe, e unnatürlch wet von en aneren Mermalwerten entfernt legen un be enen aher angenommen weren mu, a e ncht au erelben Grungeamthet tammen we e übrgen Werte. ureßer müen e unahme en. Wr bem uwerten erelben Mermale mmer weer en ureßer gefunen, o tmmt vermutlch e voraugeetzte Vertelungform ncht. De been folgenen Tetverfahren auf ureßer etzen aher vorau, a e Mermalwerte au ener normalvertelten Grungeamthet tammen. De t erfahrunggemäß beannt oer wr urch enen entprechenen Tet überprüft. uch un gerae be er volleletronchen Mewerterfaung un -auwertung ann auf olche Tetverfahren ncht verzchtet weren. De Urachen für ureßer n velfältg: zu früh betätgte Tater be er Mewertübernahme hängen geblebene Mewertaufnehmer eletrche Störmpule mechanche Erchütterungen Schmutz am Prüfobjet etc. Gefunene ureßer önnen n begrüneten Fällen für e uwertung elmnert weren. De Werte elbt ollten erhalten bleben un mt ener emerung verehen weren. Hnwe: In er Pra gbt e mmer weer Duonen, ob ureßer automatch für ene uwertung aufgrun er Ergebne ene Tet auf ureßer entfernt weren ollen oer ncht. Prnzpell t von ener automatchen Elmnerung von Mewerten abzuehen. Kennt man allerng enen Proze ehr genau un n e Urachen für enen ureßer beannt, ann man urchau vom oben genannten Prnzp abwechen. Oftmal n ogar ene Tetverfahren erforerlch, um ureßer zu erennen. Überoer unterchretet bepelwee en Mewert ene vorefnerte Plaubltätgrenze, o ann eer al ureßer angeehen un für e uwertung elmnert weren.

2 6.6 Tet auf ureßer 13 Tet auf ureßer nach Dav, Hartley un Pearon Nullhypothee H 0 lternatvhypothee H 1 Weer er Größtwert ma noch er Klentwert mn t en ureßer. lternatvhypothee Entweer er Größtwert ma oer er Klentwert mn t en ureßer. De Nullhypothee H 0 wr zugunten er lternatvhypothee H 1 verworfen, fall H 1 Prüfgröße rtcher Wert.o. R > 1 α ; n. [37] Sollte e Nullhypothee verworfen weren, o t er Etremwert mt em größeren btan zum arthmetchen Mttelwert en ureßer. Nur be glechem btan beer Etremwerte zum Mttelwert weren aufgrun enmalger Prüfung bee Werte zuglech al ureßer erannt. Wr en Wert al ureßer elmnert, o t er Tet mt en verblebenen Werten zu weerholen. bblung 6.6-1: Tet auf ureßer nach Dav, Hartley, Pearon Für en vorlegenen Datenatz ergbt ch al Prüfgröße 7, Verglchen mt en rtchen Werten e Tet auf ureßer nach Dav, Hartley, Pearon t a Ergebn Nullhypothee wr zum Nveau α 1% verworfen.

3 14 6 Numerche Tetverfahren Tet auf ureßer nach Grubb Nullhypothee H 0 lternatvhypothee H 1 Der Klentwert bzw. er Größtwert t en ureßer. lternatvhypothee Der Klentwert bzw. er Größtwert t en ureßer. De Nullhypothee H 0 wr zugunten er lternatvhypothee H 1 verworfen, fall H 1 Prüfgröße rtcher Wert.o. enetg für Klentwert (1).o. enetg für Größtwert (n) 1 ( n) ( ) > 1 α ;n > 1 α ;n. [37] Wr en ureßer fetgetellt, o t e volltänge uwertung mt en retlchen Werten zu weerholen. bblung 6.6-: Tet auf ureßer nach Grubb Für en vorlegenen Datenatz ergbt ch al Prüfgröße 3, Verglchen mt em rtchen Wert e Tet auf ureßer nach Grubb t a Ergebn Nullhypothee wr zum Nveau α 5% verworfen.

4 6.6 Tet auf ureßer 15 Hampel-Tet De Haupturache für a Veragen e Grubb-Tet t e Schätzung e Mttelwert un er Stanarabwechung. Etreme eobachtungen,.h. potentelle ureßer, haben enen enormen Effet auf ee Werte. eer wäre e emnach, robute Schätzungen zu verwenen. ntatt e Mttelwert legt e nahe, en Mean zu wählen. uch für e Streuung etert en robuter Schätzer, er ogenannte MD (Mean er aboluten bwechungen vom Mean oer Mean bolute Devaton). ezechnet m = mean (,..., n ) en Mean er Stchprobe,..., n, ann t er MD efnert al: MD (,..., n ) = mean ( -m,..., n -m )/0,6745. Damt er MD e Stanarabwechung chätzt, mu abe urch e Kontante 0,6745 vert weren. De neue Tettatt t ann: R = m MD Deer Tet wure von Hampel unterucht un wr ehalb Hampel-Tet genannt. Sene nwenung t analog zum Grubb-Tet. lle eobachtungen, e m ureßerberech begrenzt urch m ± T n,α MD legen, bezechnet man al ureßer gemäß Hampel-Tet. De rtchen Schranen T n,α wuren mt Hlfe von Smulatonen betmmt. Für Fehlerwahrchenlcheten α = 5 % un α = 1 % n olche Werte für vercheene Stchprobenumfänge n n Tabelle aufgeführt. l allgemen gültge grobe Fautregel ann für e rtche Schrane er Wert 5 verwenet weren. Für en vorlegenen Datenatz ergbt ch al Prüfgröße 4,3971. Verglchen mt en rtchen Werten e Tet nach Hampel t a Ergebn Nullhypothee wr zum Nveau α 5% verworfen. bblung 6.6-3: Tet nach Hampel

5 16 6 Numerche Tetverfahren 6.7 Verglech von Varanzen un Mttelwerten Weren Mewerte von unterchelchen Leferungen un Loen owe e Fertgung von glechen Telen auf vercheenen Machnen bzw. n unterchelchen Zeträumen erfat, o repräenteren ee en entprechenen Sachverhalt. Dabe tellt ch e Frage, ob ch bepelwee e Varanz aufgrun er unterchelchen Stuatonen veränert hat oer ncht. Dazu gbt e Tetverfahren, e e Glechhet er Varanz au zwe bzw. mehr Stchproben unteruchen. nalog azu ann gefragt weren, ob e Mttelwerte zweer Grungeamtheten glech n oer ncht. Dabe wr zuätzlch untercheen, ob e Varanzen er Grungeamtheten n. unbeannt un glech, unbeannt un unglech Normalvertelte Mewertrehen Für normalvertelte Mewertrehen ergeben ch je nach ufgabentellung folgene Tetverfahren: bblung 6.7-1: Tetverfahren tetge Vertelungen (normalvertelt)

6 6.7 Verglech von Varanzen un Mttelwerten 17 Verglech er Varanzen von zwe Grungeamtheten (F-Tet) ufgrun zweer Stchprobenvaranzen un oll überprüft weren, ob ch e Varanzen er been Grungeamtheten weentlch vonenaner untercheen. Dee Tetverfahren wr auch al F-Tet bezechnet. Dee Verfahren wr be er Prozeanalye verwenet, um urch e nalye von Varanzen fetzutellen, ob er Mttelwert er Grungeamthet über e Zet al ontant angeehen weren ann. Nullhypothee H 0 lternatvhypothee H 1 σ = σ bzw. σ σ σ σ bzw. σ < σ lternatvhypothee De Nullhypothee H 0 wr zugunten er lternatvhypothee H 1 verworfen, fall H 1 Prüfgröße rtcher Wert σ σ F 1 ;f 1;f zweetg > α f 1 = n 1 σ >σ enetg F1 ;f 1;f > α f = n 1 Hnwe: De Inzerung t mmer o zu wählen, a e größere Varanz zugeornet wr. bblung 6.7-: F-Tet Für en vorlegenen Datenatz ergbt ch al Prüfgröße, Verglchen mt en rtchen Werten e F-Tet t a Ergebn Nullhypothee wr zum Nveau α 1% verworfen.

7 18 6 Numerche Tetverfahren Verglech er Varanzen mehrerer Grungeamtheten (artlett-tet) Nullhypothee H 0 lternatvhypothee H 1 σ 1 = σ = = σ = σ σ σ für mneten en Paar (, j) j Vorauetzung: f 5 lternatvhypothee De Nullhypothee H 0 wr zugunten er lternatvhypothee H 1 verworfen, fall H 1 Prüfgröße rtcher Wert.o. mt 1 c > fln 1 f = c f f f g f 1 f /f g 1 1 g χ 1;1 α bblung artlett-tet

8 6.7 Verglech von Varanzen un Mttelwerten 19 Verglech er Mttelwerte zweer Grungeamtheten, be er e Varanzen unbeannt un unglech n (t-tet) Nullhypothee H 0 lternatvhypothee H 1 = > < erechnung er Hlfgröße: n n 1 lternatvhypothee De Nullhypothee H 0 wr zugunten er lternatvhypothee H 1 verworfen, fall H 1 Prüfgröße rtcher Wert zweetg > enetg < enetg > t α 1 ;f > t1 α ;f < t1 α ;f 1 c 1 c f n 1 n 1 mt n c n n bblung 6.7-4: t-tet Für en vorlegenen Datenatz ergbt ch al Prüfgröße 1, Verglchen mt en rtchen Werten e t-tet t a Ergebn Nullhypothee wr ncht werlegt.

9 0 6 Numerche Tetverfahren Verglech er Mttelwerte mehrerer Grungeamtheten mt unbeannten, aber al glech voraugeetzten Varanzen σ (enfache NOV) lternatvhypothee Nullhypothee H 0 lternatvhypothee H 1 1 = = = j für mneten en Paar (, j) De Nullhypothee H 0 wr zugunten er lternatvhypothee H 1 verworfen, fall H 1 Prüfgröße rtcher Wert.o. n n 1 1 n 1 1 F > 1 α ;f 1;f f 1 1 f n mt 1 1 n n 1 n 1 n bblung 6.7-5: enfache NOV

10 6.7 Verglech von Varanzen un Mttelwerten 1 Verglech er Mttelwerte zweer Grungeamtheten, be enen e Varanzen unbeannt, aber glech n (Zwetchproben t-tet) Nullhypothee H 0 lternatvhypothee H 1 = > < erechnung er Hlfgröße: ( ) ( ) fall n = n = n: lternatvhypothee n 1 + n 1 n + n = n + n n n = + n De Nullhypothee H 0 wr zugunten er lternatvhypothee H 1 verworfen, fall H 1 Prüfgröße rtcher Wert zweetg > enetg < enetg > t α 1 ;f > t1 α ;f < t1 α ;f f n n bblung 6.7-6: Zwetchproben t-tet