Einführung in den Shor-Algorithmus

Transkript

1 Eiführug i de Shor-Algorithmus Ausarbeitug des Semiarvortrags Daiel Truh Faktorisiere eier Zahl Um das Problem zu löse, eie Zahl i Primfaktore zu zerlege ist es offesichtlich, dass es ausreicht eie effiziete Algorithmus zu fide, der eie Zahl i zwei beliebige Faktore zerlegt. Dieser Algorithmus ka da iterativ agewedet werde, bis ma bei der Primfaktorzerlegug agekomme ist. Gesucht sei im Folgede also die Zerlegug eier Zahl N i Faktore. Es wird sich zeige, dass die Rechuge Modulo N diese Aufgabe vereifache köe: Ageomme, wir hätte eie Zahl r gefude, die (i de Modulo N Rechuge) eie ichttriviale Darstellug der ist: r = mod N r = N (r + )(r ) = N I Worte besagt diese Gleichug uter aderem als dass alle Primfaktore, die auf der rechte Seite stehe auch auf der like Seite stehe müsse. We u weder (r + ) och (r ) ei Vielfaches vo N ist, so stecke otwedigerweise eiige (geauer gesagt zumidest eier) der Faktore i (r + ) ud auch eiige i (r ). Da köe wir us darauf beschräke, de größte gemeisame Teiler vo (r + ) ud N zu fide. Glücklicherweise gibt es für diese Aufgabe bereits eie effiziete Algorithmus (de sogeate euklidische Algorithmus). Hätte wir also eie Zahl r mit obige Eigeschafte gefude, so wäre das Problem gelöst. Der Grud, warum die Faktorisierug eier Zahl so schwierig ist liegt aber gerade i dieser Aufgabe. Gemeihi versucht ma sie zu bewältige, idem ma die Ordug eier Zahl Modulo N fidet. Was heißt das? Als Ordug eier Zahl q Modulo N bezeichet ma die kleiste gaze Zahl k mit der Eigeschaft, dass q k mod N =

2 Hier ist ei Beispiel sicherlich gaz ützlich: Wir suche die Ordug vo Modulo 5. = mod 5 = 4 mod 5 3 = 8 mod 5 4 = 6 mod 5 = mod 5 Die gesuchte Ordug ist i diesem Fall also 4 A diesem Beispiel sieht ma auch bereits, iwieweit das Ordugsfide weiterhelfe ka: ist die Ordug zufällig eie gerade Zahl l(was mit geüged hoher Wahrscheilichkeit der Fall ist), so wählt ma eifach r = q l. I userem Beispiel wäre also l = 4 = ud somit r = = 4. Nach obiger Argumetatio hat (r ) = (4 ) = 3 eie gemeisame Teiler mit N = 5. (Trivialerweise 3) auch (r + ) = (4 + ) = 5 hat de gemeisame Teiler 5 mit 5. Ma geht so vor, dass ma sich eie zufällige Zahl a < N vorgibt, dere Ordug berechet, ud da (falls die Ordug gerade ist) leicht ichttriviale Faktore vo N ausreche ka. Die Brute Force Methode die Ordug eier Zahl q mod N zu bestimme, wäre acheiader die Poteze q, q, q 3,... auszureche, bis ma bei agekomme ist. Offesichtlich ist dieses Vorgehe bei sehr große Zahle N icht mehr sivoll. Eie adere Beobachtug ka helfe, die Ordug effizieter auszureche: geht ma obige Folge immer weiter durch, so sieht ma leicht, dass es eie periodische Folge mit der Ordug als Periode ist: Wede wir us u mehr der quatemechaische Betrachtugsweise zu: Defiiere wir de uitäre Operator Û, der auf de Zustad x folgedermaße wirke soll (wobei der größte gemeisame Teiler vo N ud q eis ist, dies garatiert die Existez der Eiheit i de mod N Rechuge): Û x = xq mod N Der Operator dreht de Zyklus sozusage eie Stufe weiter. We der Operator k mal (k sei die Ordug vo a mod N) agewedet wird, so muss

3 der Zustad der reigesteckt wird wieder exakt der gleiche sei, der ach der Awedug des Operators rauskommt, de Û k = I. Daher lässt sich folgede wichtige Aussage über die Eigewerte des Operators Û treffe: Û u s = λ s u s λ k s = λ s = e iπs/k Die Eigevektore zu diesem Operator lasse sich sogar explizit kostruiere. Ituitiv scheit es sivoll, dass sich die Eigezustäde aus de Fourierzustäde rekrutiere. Die Situatio ist aalog zu eiem eidimesioale Gitter mit periodische Radbediguge. Nach ei weig Nachdeke lasse sich die Eigezustäde hischreibe: u s := k e i π k sl x l mod N k l=0 Wie erwartet sid die Eigewerte λ s = e π k s. Ei zetraler Schritt des Shor-Algorithmus besteht dari, diese Eigewerte zu bestimme. Hat ma die Eigewerte ämlich rausgefude, so lässt sich damit die Ordug k mit etwas weiterem Aufwad bestimme (Cotiued Fractio Methode). Die diskrete Fouriertrasformatio Gegebe seie Werte (x 0, x,..., x ). Die Fouriertrasformatio erzeugt aus diese Werte umkehrbar eideutig eie eue Vektor (y 0, y,..., y ) ach der Formel: y k = e i π lk x l Dies lässt sich auch eifacher i Matrixschreibweise darstelle, we ma die Matrix F defiiert als l=0 (F ) kl := e i π (l )(k ) Da lautet die diskrete Fouriertrasformatio (i Matrixschreibweise, x ud y als Vektor gelese): Die Matrix F ist uitär: y = F x 3

4 (F ) kl (F ) lm = l= e i π (k )(l ) e i π (l )(m ) = l= { k = m; (e i π (k m) ) (l ) = = 0 k m. l= (e i π (k m) ) (e i π (k m) ) 3 Diskrete Fouriertrasformatio für Qubits Ageomme, wir hätte ei System vo Qubits gegebe. Um eie uitäre Trasformatio eideutig festzulege, geügt es, die Wirkug auf die reie Produktzustäde azugebe (ei solcher Zustad für =4 Qubits wäre z.b.: 0 0 := 5, oder auch := ): Ma defiiert folgede uitäre Operatio (Wirkug auf eie Basiszustad j ): j e i π jk k Nach eier kleie Rechug sieht ma, welche Wirkug dieser uitäre Operator auf eie beliebige Zustad Ψ hat: N j=0 x j j N j=0 N x j e i π N jk k = N N N x j e i π N jk k = N j=0 N y k k Die obe defiierte uitäre Trasformatio wirkt also eifach als diskrete Fouriertrasformatio auf die Vorfaktore der Basiszustäde 0,,..., N. Wede wir us u dem Problem zu, die Fouriertrasformatio als eie Schaltug vo quatemechaische Gatter durchzuführe, wobei die Gatter jeweils ur auf Teilche wirke. Hierfür ist es sivoll, i der Dualdarstellug zu arbeite: j = j l l l= Für Qubits gibt es N = verschiedee Produktzustäde. Damit gilt: 4

5 j = j j j e i π jk k = k =0 k =0 k =0 k =0 k =0 k =0 l= e iπj(p l= k l l) k k k = e iπj(k l l) k k k = [ l= e iπj(k l l) k l ] = k l =0 [ 0 + e iπj l ] = l= [ 0 + eiπ0.j ] [ 0 + e iπ0.j j ] [ 0 + e iπ0.j j...j ] Zur Erläuterug, wie 0.j j...j zu verstehe ist: gemeit ist hier ebefalls die Dualdarstellug, die die Notatio etwas vereifacht. Ei kurzes Beispiel sagt mehr als lage Erkläruge: 0.0 = Das Gatter, das die Fouriertrasformatio vorimmt sieht da folgedermaße aus: Die uitäre Trasformatio R k ist dabei folgedermaße defiiert: 5

6 ( 0 R k = 0 e πi/k ) Das Gatter versucht ma am beste kompoeteweise zu verstehe: Das Hadamard-Gate, das auf das uterste Gate wirkt, erzeugt geau das. Qubit der Fouriertrasformierte. We ämlich j auf 0 gesetzt ist, erzeugt es de Zustad ( 0 + ), im adere Fall de Zustad ( 0 ). Ma überlegt sich leicht, dass die Expoetialfuktio im. Qubit der Fouriertrasformierte ist für de Fall, dass j = 0 ud - für de Fall dass j =. Damit habe wir also de gewüschte Zustad des. Qubits. (I obiger Skizze sid der Übersichtlichkeit halber die Vorfaktore weggelasse worde. Wichtig ist, dass ma das Hadamard Gate als letztes awedet, um die Iformatio i j vorher och für die adere Qubits zu utze. (Die volle Iformatio steckt atürlich auch och ach Awedug des Hadamard Gates i dem Zustad, ur ist sie icht mehr so eifah zu utze wie bei obigem Gate) Die weitere Operatioe um die adere Qubits zu erzeuge erkläre sich beiahe vo selbst. Die uitäre Operatio R k setzt immer och eie weitere Phasefaktor vor de Zustad. Die kotrollierte Operatio sorgt dafür, dass da mit keiem Phasefaktor multipliziert wird, we das betreffede Kotrollbit 0 ist. Um tatsächlich de gewüschte Zustad zu erzeuge fehlt allerdigs och ei weiterer Schritt. Bedigt durchh obiges Problem, erst das letzte Qubit zu erzeuge, liege die Qubits am Ausgag i umgekehrter Reihefolge vor. Es ist also och eie Vertauschug der Reihefolge der Qubits ötig, ei sogeater Bit-swap. 4 Phase Estimatio Der Algorithmus der im Folgede vorgestellt wird, diet dazu, die Eigewerte eies uitäte Operators Û zu bestimme. Zuächst setze wir voraus, dass wir eie Eigezustad u des Operators gegebe habe, de wir i de Algorithmus eisetze köe. Der ubekate Eigewert vo u sei e πiφ. u selber wird i dem Algorithmus uverädert bleibe, der Speicher, auf de wir schreibe besteht aus de t qubits die afags im Zustad 0 sid. 6

7 Dieses Gatter führt auf de eue Zustad des Speichers : t [ 0 + eiπt φ ] [ 0 + e iπt φ ] [ 0 + e iπ0φ ] Dieser Zustad hat große Ählichkeit mit jeem, de wir aus der Fouriertrasformatio erhalte hatte. Lässt sich ämlich φ i der Dualdarstellug mit bis zu t Nachkommastelle exakt ausdrücke (φ = 0.φ φ...φ t ), so habe wir: [ 0 + t eiπ0.φt ] [ 0 + e iπ0.φ t φ t ] [ 0 + e iπ0.φ φ...φ t ] Das ist i diesem Fall geau der Zustad aus der Fouriertrasformatio. D.h. we wir die iverse Trasformatio awede erhalte wir exakt de Zustad (da das Gatter reversibel ist, braucht ma es gedaklich lediglich vo rechts ach liks zu durchlaufe ud erhält da ei Gatter, das die iverse Fouriertrasformatio vorimmt) φ u Ud die Messug der erste t qubits ergibt de gesuchte Wert φ. Nu ist i der Eigewert i de allermeiste Fälle icht mit t qubits geau 7

8 darstellbar. Ma ka allerdigs zeige, dass ma da deoch eie gute Schätzwert erhält, der sich dem wahre Wert beliebig geau aähert, we ma die Azahl der qubits t erhöht. Ei Problem beim Shor Algorithmus ist, dass ma de Eigezustad u, icht zur Verfügug hat, de dieser würde bereits die Ketis der Ordug voraussetze. Daher setzt ma astelle vo u de Zustad ei. Hierfür gilt: = k u s k Ma erhält daher als Messergebis eie Zufällige der k verschiedee Eigewerte. Dies ist aber immer och ausreiched, um die Ordug k effiziet bestimme zu köe. s=0 5 Zusammefassug Nachdem wir u die eizele Schritte des Shor-Algorithmus i grobe Züge besproche habe, u ocheimal der gesamte Algorithmus i der Zusammefassug: Gegebe sei eie Zahl N, gesucht ist ei ichttrivialer Faktor.. Schritt: Prüfe ob N gerade ist, falls ja Faktor ist.. Schritt: Prüfe ob N die Potez eier Primzahl ist. We ja bestimme diese mit eiem effiziete klassische Algorithmus ud liefere die Primzahl als Faktor. 3. Schritt: wähle eie zufällige Zahl < q < N ud prüfe ob der größte gemeisame Teiler ist. Falls der ggt größer als ist liefere diese Zahl als Faktor zurück 4. Schritt: Beutze de quatemechaische Algorithmus, um die Ordug k vo q mod N zu bestimme 5. Schritt: Falls k gerade ist, da prüfe, ob der größte gemeisame Teiler vo q k ud N eie ichttriviale Faktor liefert. Falls ja, so liefere ih zurück. Falls ei, so begie wieder bei Schritt 3 8

9 6 Literatur Michael A. Nielse ad Isaac L. Chuag: Iformatio Quatum Computatio ad Meyberg, Vacheauer: Höhere Mathematik I Artur Ekert ad Richard Jozsa: factorig algorithm Quatum Computatio ad Shor s A. Galido ad M.A. Marti-Delgado: Classical ad quatum iformatio From Factorig to Phase Estimatio, Los Alamos Sciece Number 7, 00 9