Berufsmaturität GIBB. Mathematik. BMS GEW Skript. Autoren: B. Jakob, A. Göldi, M. Saier

Transkript

1 Beufsmtuität GIBB Mthemtik BMS GEW Skipt Autoen: B. Jkob, A. Göldi, M. Sie

2

3 Inhltsvezeichnis Geometie Plnimetie... S. 8 Plnimetie... S. 9 6 Steeometie... S Tigonometie Tigonometie... S Tigonometie... S Tigonometie... S Linee Optimieung Ungleichungssysteme und Linee Optimieung... S. 9

4 Plnimetie Abeitsnleitung / Theoie Gundlgen de Plnimetie Es gilt wesentliche Gundlgen de Plnimetie zu epetieen. Dzu benutzen wi unsee Fomel- Smmlung (FS, im Intenet). De jeweilige Inhlt muss mit Hilfe de Aufgben und de FS epetiet weden. Im Folgenden sind nu die Titel (linke Splte in de FS), welche bebeitet weden, ufgefüht. Die Zhlen in Klmmen geben die Seiten in de FS n. Zusätzliche Bemekungen sind kusiv gehlten.. Winkel (FS S., ) Nebenwinkel / Scheitelwinkel / Stufenwinkel / Wechselwinkel / Stz des Thles. Deiecke (FS, 5, 6) Sie wissen wie ein Deieck bezeichnet wid. Winkelsummen / Besondee Punkte und Linien im Deieck: Mittelsenkechte / Umkeis / Winkelhlbieende /Inkeis / Höhen / Seitenhlbieende (Schweelinien) bechte ds Teilvehältnis : Flächeninhlt. Spezielle Deiecke (FS 8): Rechtwinkliges Deieck / Gleichseitiges Deieck (bechte die Fomel fü die Höhe h!!) Konguenzbbildungen / Konguenzsätze ( SSS, SWS, WSW, SSW/SsW) (FS 0) ds Symbol bedeutet gleiche Fom und gleiche Fläche. Vieecke (FS, ) Sie wissen wie Vieecke bezeichnet weden. Winkelsumme / Tpez / Dchenvieeck / Pllelogmm / Rhombus (Rute) / Rechteck / Qudt (bechte die Digonle d ) 4. Vielecke (FS 4) Winkelsummen / Regelmässiges Vieleck h= 5. Keis und Keisteile (FS 5, 6) Bezeichnungen m Keis / Keisumfng / Keisinhlt (Keisfläche) / Flächeninhlt des Keissektos 6. Pythgos (FS 7, 8) Whscheinlich ht Pythgos (geb. um 565 v. Ch.; gest um 480 v. Ch.) seinen Stz, von dem mn vemutet, dss e zu seine Zeit schon Allgemeingut de Hochkultuen w, von seinen weiten Reisen mitgebcht. Pythgos wude im Altetum lledings nicht in este Linie ls Mthemtike betchtet, sonde ls eligiöse Pophet, de Unsteblichkeit de Seele, die Seelenwndeung und die Wiedekeh lle Dinge in ewigem Keisluf lehte. Seine Lehe ht unse bendländisches Denken, nchhltig beeinflusst d = 90 + b = c Beweis: b (+b) = +b+b (Alg.) = c b (+b) = b+c (Figu) b = c b c b c b+c = +b+b c c = +b c b c 7. Ähnlichkeit (FS 4, 5) ds Symbol bedeutet gleiche Fom Sthlensätze / Zentische Steckung b 0.0. gibb bms gest / gew

5 Plnimetie.Winkel.. Beechnen Sie den Winkel! zwischen den Käften N und G uf de schiefen Ebene, wenn! = 58 G! N Aufgben ".. Ein Kugellge ht Kugeln. Welchen Winkel schliessen die Mittellinien zweie ufeinndefolgenden Kugeln ein? (Mittellinien = Linien duch je ein Zentum de Kugeln und ds Zentum des Kugellges).. Um welchen Winkel! muss de Meisselhlte de Hobelmschine vestellt weden?! Ds Qudt ABCD ist gegeben. Fene gilt AK = BG = CH = DJ. D J H C Beweisen Sie, dss ds Vieeck KGHJ ebenflls nu echte Winkel ht. G A K B.5. Beechnen Sie jeweils die Winkel. (W! ist die Winkelhlbieende von!) )! = b) " = c)! =! A 59 A " = C $ B B 47 C B! C D # AB//CD 56!DC" = "AD" A d) # = e) # = f) ABCD ist ein Pllelogmm W# C $ = 6! = D C!! " A B 4 6 A B A W" gibb bms gest / gew # =! B " C

6 Plnimetie Aufgben. Deiecke.. Konstuieen Sie ein echtwinkliges Deieck mit: ) c = 7, cm b = 5 cm b) = 4,5 cm! = 6 c) c = 6,7 cm! = 9 d) = 5 cm! = 4.. Konstuieen Sie ein Deieck mit: ) = 5 cm b = 6 cm! = 45 b) c = 6 cm! = 50! = 40 c) = 7 cm b = 4,5 cm! = 0 d) = 6 cm! = 40 = 4,6 cm (Umkeisdius) e) c = 5 cm! = 65 h = 4,8 cm (Höhe) f) b = 7 cm! = 80 w! = 7,5 cm (Winkelhkbieende) g) c = 6 cm s = 4,8 cm h) h c = 4 cm h = 4,5 cm s b = 5, cm (Schweelinien / Seitenhlbieende)! = 50 i) c = 5 cm h = cm h b = cm k) h c = 4 cm! = 75! = 60.. Teile ein beliebiges Deieck in dei flächengleiche Deiecke..4. Beechnen Sie den Flächeninhlt eines gleichseitigen Deiecks mit ) de Seitenlänge = 6, cm b) dem Umkeisdius = 5 m c) dem Inkeisdius! = 0 mm.5. Beechnen Sie den Flächeninhlt ) eines Deiecks mit = 6,7 cm und h = 4 cm b) eines echtwinkligen Deiecks mit den Ktheten = 6,4 m und b = 5, m.6. Beechnen Sie in einem Deieck ds gesuchte Stück: ) A = 40 cm = 5 cm b = 5 cm gesucht: h, h b b) =,50 m h = 90 cm h c =,6 m gesucht: c. Vieecke.. Beechnen Sie den Flächeninhlt eines Qudtes mit ) de Seitenlänge = 9 cm b) de Digonle d = 6,40 m c) dem Umfng U = 8 cm d) dem Umkeisdius = mm e) dem Inkeisdius! = 5, cm.. Beechnen Sie den Flächeninhlt eines Rechtecks mit ) de Seitenlänge = 5 m und de Digonlen e = 68 m b) de Seitenlänge = 5 cm und dem Umfng U = 47 cm c) de Seitenlänge = 70 cm und dem Umkeisdius = 7 cm.. Ein Rechteck, bei dem die eine Seite doppelt so lng ist wie die ndee, ht einen Flächeninhlt von 5,68 dm. Wie lng sind die Seiten?.4. Beechnen Sie den Flächeninhlt eines Pllelogmms mit ) de Seitenlänge = 6, cm und de Höhe h = 7 cm b) de Seitenlänge b = 5,6 m und de Höhe h b =,5 m c) den Seitenlängen = 76 cm, b = 58 cm und dem Winkel! = gibb bms gest / gew

7 Plnimetie Aufgben.5. Beechnen Sie in einem Pllelogmm ds gesuchte Stück: ) = 7 cm b = 5 cm h =5 cm gesucht: h b b) = 4,4 m h =,5 m h b =,5 m gesucht: b c) = 7,7 m b = 5,4 m h b =, m gesucht: h.6. Beechnen Sie den Flächeninhlt eines Tpezes mit ) den pllelen Seitenlängen = 7 cm, c= cm und de Höhe h = 8,5 cm b) de mittleen Länge m = 9 cm und de Höhe h =,m.7.beechnen Sie den Flächeninhlt eine Rute mit ) den Digonlen e = cm und f = 6 cm b) de Seitenlänge = 64 mm und dem Winkel! = Vielecke 5. Keis und Keisteile 5.. Von einem Keissekto sind ) gegeben: = 5cm ;! =60 gesucht: A b) gegeben: A = 0m ; = 4m gesucht:! c) gegeben: A = 0cm ;! = 7 gesucht: 5.. Beechnen Sie den Flächeninhlt eines Keises us dem Umfng u. (llgemein!) 5..Ein Qudt, ein gleichseitiges Deieck und ein Keis hben den gleichen Umfng. Beechnen Sie ds Flächenvehältnis A Qudt : A Deieck : A Keis. ( Sie können uch Zhlenwete einsetzen. Alledings ist gundsätzlich eine llgemeine Beechnung gefgt.) 5.4. Jede de dei Keisingteile ht denselben Flächeninhlt wie de innee Keis. Beechnen Sie die Beite des Keisinges us. A A A A 5.5. De In- und Umkeis eines eguläen Sechsecks bilden einen Keising. Beechnen Sie dessen Flächeninhlt us de Seitenlänge des Sechsecks Wie goss ist de Zentiwinkel eines Sektos, dessen Bogen 4ml so lng ist wie de Rdius? 5.7. De Inhlt de mkieten Fläche soll duch usgedückt weden. 6. Pythgos Es ist sinnvoll vo de Abeit zum Them Pythgos folgende Gundlgen zu epetieen: Binomische Fomeln / Potenzgesetze / Wuzelgesetze 6.. In einem echtwinkligen Deieck misst die Hypothenuse 0 cm. Die eine Kthete ist deiml so goss wie die ndee. Beechnen Sie die küzee Kthete gibb bms gest / gew

8 Plnimetie Aufgben 6.. Beechnen Sie die Höhe in einem gleichseitigen Deieck, wenn die Länge de Seite ) = 4 cm ist. b) =,4 m ist 6.. In einem echtwinkligen Deieck mit den Winkeln 0 und 60 ist die kleinee Kthete gegeben. Beechnen Sie die ndeen Deiecksseiten: ) kleinee Kthete = 5 cm b) llgemein (kleinee Kthete = cm) 6.4. Beechnen Sie die Länge eine Seite eines Rechtecks, wenn die ndee Seite 8,64 cm und die Digonle 9 cm lng sind Gegeben ist de Umfng u eines Qudtes. Beechnen Sie die Länge seine Digonlen: ) u = 8 cm b) u = 48 cm 6.6. De Umfng eines gleichschenkligen Deiecks, dessen Bsis 4 cm länge ist ls eine de Schenkel, misst cm. Beechnen Sie den Flächeninhlt Beechnen Sie den Flächeninhlt eines Rechtecks mit ) den Seitenlängen = 6, cm und b = 4,9 cm b) de Digonlen e = 7,7 m und dem Umfng U =,04 m (Gleichungssystem / qudtische Gleichung) 6.8. Beechnen Sie den Flächeninhlt eine Rute mit de Seitenlänge = 58 cm und de Digonlen e = 80 cm 6.9. Beechnen Sie den Flächeninhlt ) eines echtwinkligen Deiecks mit de Kthete = 75 cm und de Hypotenuse c =,5 m b) eines gleichschenkligen Deiecks mit dem Schenkel =,06 m und de Bsis c =, m c) eines gleichschenkligen Deiecks mit dem Schenkel = 6,90 m und de Höhe h = 6 m d) eines Geodeiecks (45,90,45 ) mit de Hypotenuse c = 44 cm 6.0. Beechnen Sie die Länge eine Sehne im Keis mit dem Rdius = 6 cm, wenn ih Abstnd vom Keismittelpunkt gleich h = 4 cm ist. 6.. Gegeben sind ein Keis mit dem Rdius = 7. cm und in ihm zwei pllele Sehnen de Länge = 9,6 cm und b = cm. Beechnen Sie den Abstnd zwischen den beiden Sehnen. (Zwei Lösungen) 6.. De Tngentenbschnitt von einem Punkt P n einen Keis mit dem Rdius = 0 cm ht die Länge t = 5 cm. Beechnen Sie den Abstnd von P zum Keismittelpunkt. 6.. Von einem Punkt P ussehlb eines Keises mit dem Rdius weden die Tngenten n den Keis konstuiet. Wie lnge sind die Tngentenbschnitte t bis zu den Beühungspunkten, wenn P den Abstnd von de Keislinie ht? (Ohne einsetzen von Zhlen, lso llgemein lösen.) 6.4. Ein Rhombus ist duch die beiden Digonlen e und f gegeben. Beechnen Sie die Seite Gegeben sind = BC und b = AC Dücken Sie die Gesmtheit de Flächeninhlte de beiden schffieten Figuen duch und b us C A B gibb bms gest / gew

9 Plnimetie Aufgben 6.6. Dücken Sie duch us: 4 7. Ähnlichkeit 7.. Um die Beite eines Flusses zu bestimmen, sind die in de Skizze eingetgenen Messungen usgefüht woden. Beechnen Sie die Flussbeite. ) b) 0 m 4 m m m 0 m 0 m 7.. Beechne jeweils den fehlenden Steckenbschnitt: c b ) = cm c = cm e = 4 cm m f = b) = 5 cm e = cm f = 6 cm c = c) c = 0 cm e = cm f = 8 cm = d) = cm b = 4 cm f = 4 cm e = e) = 4 cm b = 5 cm f = 0 cm e = f) = 5 cm b = 6 cm b = 0 cm = g) = cm c = 4 cm = 8 cm c = c b e f gibb bms gest / gew

10 Plnimetie Aufgben Lösungen. Winkel..! =.. 0..! = 5.4. %AKJ & %KBG & %GCH & %HDJ ' KG = GH = HJ = JK (JHD + (CHG = 90 ' (GHJ = )! = 7 b) " = c)! = " =4 d) # =58 $ = e) # = 0 f)! = # = 6.Deiecke.. Konstuktion.. Konstuktion.. z.b. eine Seite in Teile unteteilen ' wi ehlten Deiecke mit gleiche Bsis und gleiche Höhe. Ode ) 6,64 cm b),48 m c) 9,59 mm.5. ),4 cm b) 6,96 cm.6. ) h = 56 cm h b = 4 cm b) c =,5 m.vieecke.. ) 6 cm b) 48,48 m c) 40,5 cm d) 946,88 cm e) 9,04 cm.. ) 4'00,65 m b) 7,5 cm c) 680 cm.. =,8 dm b = 5,6.4. ),4 cm b) 4 m c) 04 cm.5. ) 4, cm b),4 cm c) 6,6 m.6. ) 70 cm b),0m.7. ) 68 cm b) 5,47 cm 4.Vielecke 5.Keis und Keisteile 5.. ) A =,09 cm b)! = 7,6 c) = 5,64 cm 5.. U =! ' = U U ' A =! 4! & U # U 5.. A Qudt = $! = ; A Deieck = % 4 " 6 : 0,77 :,7 U U! U!! = ; A Keis =! 6 ( U % U & # "! = '! $ 4! ' : : 6 6 4! ' gibb bms gest / gew

11 Plnimetie Aufgben Lösungen ! = ( + )! ' = ( = - ist nicht in G enthlten) 5.5. A =!( " ) =! (" ) =! "! "! 4 " " b = ' 4 = ;! = = = 9,8 ode ) = = = 9, !!!! 5.7. Hlbkeis(mit ) (Vietelkeis (mit R = ) + )! ( )! ' " + = 4 6.Pythgos 6.. = 40 = 6, cm 6.. ),46 cm b),078 m 6.. ) s = 0 cm h = 8,66 cm b) s = h = 6.4.,5 cm 6.5. ),8 cm b) 6,97 cm ,96 cm 6.7. ) 0,87 cm b) + b =,04 ( ) + b = 7, 7 ' us este Gl.' = 0,5-b einsetzen in zweite Gl.' (0,5 b) +b = (7,7) 0,670-,04b+b +b = 59,5984 b -,04b+5,07 = 0 ' qud. Gl. ' A = 5,5 cm cm 6.9. ) '750 cm b) 0,504 m c) 9,6 m d) 484 cm ,94 cm 6.. = h h = 0,7 cm = h + h = 0, cm 6.. = 6.. t = = + t = 8,0 cm e + f 6.5. A = b 6.6. = 8 = 7. Ähnlichkeit 7.. ) = 5 m b) = 8,574 m 7.. ) 6 b) 0 c),5 d) 6 e) 4, 4 f) 8, g) gibb bms gest / gew

12 Plnimetie Aufgben. Deiecke / Vielecke.. Beechnen Sie den Flächeninhlt und die Länge de Hypothenuse c eines gleichschenkligen, echtwinkligen Deiecks, wenn die Kthete k gegeben ist. (D.h. dücken Sie den Flächeninhlt und die Hypothenuse mit Hilfe de Viblen k us.).. De Umkeis eines gleichseitigen Deiecks ht den Rdius. Beechnen Sie die Seitenlänge s und den Flächeninhlt des Deiecks llgemein... Von einem gleichschenkligen Tpez sind die Längen de pllelen Seiten = 80cm und c = 0cm sowie de Schenkel b = 50cm gegeben. Beechnen Sie die Höhe h, den Flächeninhlt A sowie die Länge de Digonlen d und die Winkel zwischen den Tpezseiten..4. Vom gleichschenkligen Deieck ABC kennt mn den Umkeisdius und die Höhe h uf die Bsis AB. Beechnen Sie die Schenkellänge Beechnen Sie uch die Winkel des Deiecks. BC.5. In einem Ktesischen Koodintensystem sind zwei Punkte A( 4 / 85 ) und B( -5 / 8 ) gegeben. Beechnen Sie den Abstnd zwischen A und B (Länge de Stecke = Hypothenuse im Steigungsdeieck)..6. Gegeben ist ein Rechteck mit de Länge = 0 cm und de Beite b = 7 cm. Beechnen Sie den Flächeninhlt des schffieten Qudtes. b.7. Von einem Deieck sind gegeben: Die Seite b und zwei Winkel. Beechnen sie die Seite ( = ). 0 b ( = ) Gegeben ist de Umkeisdius des gleichseitigen Deiecks. Beechnen Sie den Flächeninhlt de schffieten Fläche in Abhängigkeit von..9. Aus eine Keisfläche mit Rdius wid ds gösstmögliche Rechteck von / Beite usgeschnitten. Beechnen Sie die Länge s des Rechtecks us..0. Die Hypothenuse c eines echtwinkligen Deiecks sei gegeben. Beechnen Sie beide Ktheten, wenn die eine deiml so lng ist wie die ndee... Im Rechteck ABCD mit AB und BC sind übe AB und CD Hlbkeise gezeichnet, die sich in P und Q schneiden. Beechnen Sie PQ us gibb bms gest / gew

13 Plnimetie Aufgben. Keis (Beühkeisufgben) Beechnen Sie jeweils die Stecke. Lösungshilfen:. In den Hilfsskizzen mit Fbe Gegebenes von Gesuchtem unteschieden. Gegebenes und Gesuchtes wid n möglichst veschiedenen Stellen eingezeichnet. Dbei chten wi duf, dss gegebene und gesuchte Stecken uf eine Gede zu liegen kommen, so dss wi sie ddieen ode subthieen können. Bei Aufgben mit Keisen gelingt uns ds, wenn wi die Zenten de Keise miteinnde und mit Beühpunkten von zwei Keisen bzw. einem Keis und eine Tngente vebinden. (Siehe dzu die kleinen Keise bei Aufgbe..). Lösungsnsätze A Wi suchen veschiedene echtwinklige Deiecke. Wi bezeichnen/beechnen lle dei Seiten des echtwinkligen Deiecks ohne den Stz des Pythgos zu gebuchen. Dbei wenden wi uch Wissen n: z.b. die Digonle im Qudt ode die Höhe im gleichseitigen Deieck Anschliessend vewenden wi den Stz des Pythgos und ehlten eine Gleichung. B Wi suchen veschiedene echtwinklige Deiecke. Hben zwei echtwinklige Deiecke eine Seite gemeinsm, so können wi diese Seite uf zwei veschiedene Aten bezeichnen/beechnen und ehlten so eine Gleichung D Beechnen Sie den Rdius und die schffiete Fläche A fü = 0cm..8. Die schffiete Fläche soll duch usgedückt weden. (Koeffizienten uf dei Stellen nch dem Komm unden) gibb bms gest / gew

14 Plnimetie Aufgben. Köpe.. Gegeben ist ein Wüfel mit Kntenlänge cm. Beechnen Sie die Länge eine Köpedigonlen d Beechnen Sie den Steigungswinkel de Köpedigonle zu Gundfläche. Beechnen Sie den Winkel zwischen Köpedigonle und Seitenknte... Gegeben ist ein Wüfel mit de Köpedigonle 0 cm. Beechnen Sie die Länge eine Wüfelseite... Beechnen Sie die Länge de Köpedigonlen eines Qudes und deen Steigungswinkel, wenn die Länge seine Seiten mit = 4 cm, b = cm und c = 8 cm gegeben sind..4. Von einem Qude kennt mn die Köpedigonle d und die Knten und b. Stellen Sie die Fomel uf zu Beechnung de Knte c us den gegebenen Viblen (Stecken)..5. Beechnen Sie die Köpehöhe h eines eguläen Tetedes mit de Kntenlänge s = 0 cm. Beechnen Sie weite den Winkel welchen zwei Seiten einschliessen und den Steigungswinkel eine Seitenknte zu Gundfläche..6. Beechnen Sie die Kntenlänge s eines Tetedes mit de Köpehöhe h = 0 cm..7. Beechnen Sie die Köpehöhe h eine qudtischen Pymide (Gundfläche ist ein Qudt). gegeben: Gundknte = 5 m; Seitenknte s = 6 m. Weite beechnen Sie den Steigungswinkel de Seitenknte zu Gundfläche und den Steigungswinkel de Seitenfläche zu Gundfläche. s s h s s 4. Vemessungen Tiefenwinkel: Winkel von de Hoizontlen nch unten Höhenwinkel: Winkel von de Hoizontlen nch oben S 4.. Eine Begspitze S escheint von einem Punkt A us unte einem Höhenwinkel von A B = 8. Beechnen Sie BS fü AB = 50m. 4.. Aus 0m Höhe sieht mn den Fuss eines Tumes unte einem Tiefenwinkel von, die Spitze des Tumes unte einem Höhenwinkel von 5. Wie hoch ist de Tum? 0 m 5 h 4.. Von einem Tum mit eine Höhe von 4m eblickt mn zwei hinteeinndeliegende Punkte A und B unte den Tiefenwinkeln von und 8. Beechnen Sie AB Ein Luftblon wid von zwei Pesonen, die,8 km voneinnde entfent sind, gleichzeitig beobchtet. Die eine eblickt den Blon senkecht übe sich, die ndee unte einem Höhenwinkel von 6. In welche Höhe h fliegt de Bllon? gibb bms gest / gew

15 Plnimetie Aufgben Lösungen. Deiecke / Vielecke k.. c = k ; A =.. h =.. h = s ; h = sh s A = = = 4 A = D = = 40 cm c h = 000 cm s = 64,0cm = s = s = 0 0 = 80 cos = = ccos = 5, ; = 80 - = 6, c = 0 d h b = s = s s s h M s.4. y = h = = h y = h h h = h h = h h h h csin csin h csin h h h h csin h = 96, 40 ( ) y 45 b.6. =.7. b = 0 b b = ode: mit TRIGO.8.. Weg: A = = 4 8 0,649 h. Weg: h = ; s = b b 45 4,5cm (ode: mit TRIGO) tn 45 A = sh = 0, y,5 s s.9. s 6 s = s 6.0. c c 0 0 c c 0,6c ; 0,6 0,949c gibb bms gest / gew

16 Plnimetie Aufgben Lösungen PQ Keis (Beühkeisufgben) D A P Q C B.. die Digonle im Qudt ist = 0 0 = 0 = 0 8,8cm.. h = (0-0,5) - 5 und h = (,5 + 0,5),5 (0 0,5) 5 = (,5 + 0,5), ,5 5 = 6,5 +,5 + 0, =,5 75 =,5 6 = = 6 cm, = = 6 =,5 h 0 0, D D D D D D D D D D D D D ( + ) = ( ) + () + + = = D + -- D 4 D = (0 ) + 5 = = = 75,75cm 0,75 tn ctn 6, ,87,75 A = = cm gibb bms gest / gew

17 Plnimetie Aufgben Lösungen.8. sin5 = = sin5 = 0,46 sin65 = y y = sin65 = 0,906 0 A = = y = 60 A = 0,754 6 = (,45, 80 0,80 0 ) y. Köpe.. d = s = =,46 cm ; tn ctn 54, s = 0 s 5,78 cm.. d und d 4 8 9,4 cm S 4 8 tn ctn 5, 64 tn ctn 8, cm d cm 4 cm d S cm d cm 8 cm.4. d b c d b c d b c.5. h s 0 8,6 cm 60 0 cm 0 cos ccos 54, 76 0 A.6. h s s h 0,5 cm 0 cm D h c d B C 0 cm b A 0 cm h 0 D 0 d ,54 cm h 6 6,5 4,848 m 5 5 cos ccos ,848 4,848 tn ctn 6. 79,5, h d gibb bms gest / gew

18 Plnimetie Aufgben Lösungen 4. Vemessung 4.. BS BS tn BS = 50 tn8 BS 4 m AB tn 47,046 m tn y 0 tn 5 tn 5 y tn 5,98 m tn h = 0 + y h m 5 y 0 m 4.. tn 4 4 0,99 m tn tn y 80,87m y tn 8 AB y,48 m 4 m 8 4 m 4.4. h tn 6 h,8 tn 6,76km,8 y gibb bms gest / gew

19 Plnimetie Aufgben gibb bms gest / gew

20 Köpe (Beechnungen) Theoie / Abeitsnleitung Köpe (Beechnungen) / Repetition Es gilt wesentliche Gundlgen de Steeometie zu epetieen. Dzu benutzen wi unsee Fomel- Smmlung. Die Fomeln finden Sie in de Fomelsmmlung. Sie benötigen uch Kenntnisse zu Beechnung von Flächen. Infomtionen zu diesem Them finden Sie ebenflls in de Fomelsmmlung (FS). Lenziele: Sie kennen die wichtigsten Köpe: Ds heisst, Sie können die Köpe skizzieen und wissen, wo Sie die Fomeln zu Beechnung finden. Sie beheschen den echneischen und lgebischen Umgng mit den Köpe- Fomeln: Ds heisst, Sie können bei gegebenen Zhlenweten Beechnungen duchfühen. Sie können die Fomeln lgebisch umfomen. Lösungshilfen: Eine Skizze ist unelässlich. Skizzieen Sie mit Bleistift. Fomt: c. 5cm X 5cm. Vewenden Sie zu Dstellung de Köpe eine Pllelpojektion (Isometie, Dimetie...). Legen Sie einen Schnitt duch den Köpe und zeichnen sie diese Schnittebene heus. So können viele Aufgben uf die zweite Dimension eduziet weden. Anwenden von Fomeln: Aus den Skizzen (Figuen) lesen Sie die Bedeutung de Viblen b. Z.B M: Mntelfläche ode S: Obefläche etc. ACHTUNG: Oft sind unteschiedliche Viblen gebäuchlich! (z.b. fü Flächen: A, F, S) Zu den Aufgben: Kenstoff: Diese Aufgben müssen Sie lösen und outinemässig beheschen. Übungsstoff: Flls Sie beim Lösen des Kenstoffs Schwieigkeiten hben, finden Sie hie zusätzliche Aufgben mit gleichem Schwieigkeitsgd. Zustzstoff: Sie sind untefodet und wollen schwieigee, weitefühende Aufgben lösen. Die untestichenen Aufgben weden mit de Klsse bespochen. Them / Lektionen Pymide / Gede Köpe / Spitze Köpe ( L.) Kenstoff ( zu epetieende Inhlte /Fetigkeiten ) subee Zeichnung Schnitt Fomelsmmlung (FS) Teme (in Abhängigkeit von... ) Algeb: & s # $! % " Pozentechnung s = 4 etc. Pythgos (FS 7, 8) & s Algeb:! # h = s $ % " Wuzelgesetze (FS 7) 4, 5, 6 kg 7 Dichte ρ : dm Msse m: kg Volumen V: dm Fomel: m = ρ V 8, 9, 0 einbeschiebene Köpe,, 4 Übungsstoff 5, 6,7, 8, 9, 0,,, Them / Lektionen Kenstoff Übungsstoff gibb bms gest.

21 Köpe (Beechnungen) Theoie / Abeitsnleitung Zylinde / Kegel / (bgeschnittene) spitze Köpe (Köpestümpfe) (,5L.) Kugel (,5L.) Umgng mit Fomeln (,5L) ( zu epetieende Inhlte /Fetigkeiten ) 4 5 Bezeichnungen m Kegel 6 Teme (in Abhängigkeit von...) 7, 8, 9, 0 (Lite = dm = 000cm ) Sthlensätze (FS 5, 6) 6 Teme, Fomel 7,8 9 Gleichung ufstellen Pozentechnung 40 Kubikwuzel Tschenechne 4 geeignete Schnitt 50 Gleichungslehe Aequivlenzgesetze Umstellen von Fomeln,, 4, 5 4, 4, 44, 45, 46, 47, 48, 49 Weitee selbst gewählte Beispiele us de Fomelsmmlung gibb bms gest.

22 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen. ) Zeichnen Sie zu jede Pymide einen Schnitt und beschiften Sie diesen (Seitenlänge, Höhe). b) Odnen Sie die Pymiden nch de Steilheit ihe Seitenflächen. Ds heisst Sie beechnen die jeweilige Steigung in de Mitte de Seitenflächen. (Siehe dzu FS 4 oben) Runden Sie uf dei Stellen nch dem Komm. Bei den folgenden Pymiden liegen die Spitzen senkecht übe dem Mittelpunkt de qudtischen Gundfläche. Ot Ebue Buzeit Seitenlänge des Höhe Gundqudtes Medum Huni/Snofu um v.ch. 46,7 m 9 m Dhschu Snofu Um m 99 m Gizeh Cheops um ,4 m 46,6 m Gizeh Mykeinos um ,5 m 66,5 m. Die Seitenlänge des Wüfels ist s. Geben Sie in llen Situtionen (-i) ds Pymidenvolumen ls Buchteil des Wüfelvolumens n. (Bechten Sie: Alle Pymidenecken sind Wüfelecken ode Mittelpunkte von Wüfelknten bzw. Wüfelflächen.) ) b) c) d) e) f) g) h) i) gibb bms gest.

23 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen. Skizzieen Sie ein Tetede. (Eine deiseitige Pymide, deen Knten lle gleich lng sind, heisst Tetede.) ) Geben Sie n, wie mn die Höhe de Seitenfläche h s us de Kntenlänge beechnet. b) Geben Sie n, wie mn die Köpehöhe h k us de Kntenlänge beechnet. c) Geben Sie n, wie mn ds Volumen us de Kntenlänge beechnet. h s h k 4. In diesem Wüfel sind die äumlichen Digonlen eingezeichnet. Sie bestimmen Pymiden, deen Spitzen im Wüfelzentum liegen. ) In wie viele Pymiden zefällt dduch de Wüfel? b) Vegleichen Sie Gundfläche, Höhe und Ruminhlt eine Pymide mit den Entspechenden Gössen beim Wüfel. 5. Aus einem Qude weden Pymiden usgeschnitten. Die echteckige Gundfläche de Pymide ist eine Fläche des Qudes, die Spitze de Pymide ist eine Ecke des Qudes. Beechnen Sie ds Volumen de Pymiden. ) b) c c b b 6. Gegeben ist eine geden Pymide mit qudtische Gundfläche. ) Wie luten die Fomeln fü den Mntel M und die Obefläche S. k h k k h s b) Beechnen Sie die fehlenden Gössen: s k s Gundknte s [ cm] Köpehöhe Deieckshöhe h k cm [ ] h s [ cm] Knte k [ cm] Mntel [ cm ] gibb bms gest. M Obefläche S [ cm ] Volumen V [ cm ] `568`000

24 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 7. Gegeben: Pofileisen (Busthl); ϕ =7,8 kg/dm ; (Einheit: mm) Gesucht: Msse in kg Gegeben: Fühungspltte (Gusseisen); ϕ =7, kg/dm ; (Einheit: mm) Gesucht: Msse in kg Ein Schwimmbssin ist 5.5m lng, 8.4m beit und m hoch mit Wsse gefüllt. Wie viele Lite Wsse fsst es? Wie viele m sind dies? 0. Aus einem Block von 80mm 80mm 500mm wid ein Flchsthl von 5mm 0mm gewlzt. Wie lng wid de Flchsthl?. Eine geden qudtischen Pymide ( = cm, h = 7cm)ist ein Keiskegel einbeschieben. Wie goss ist de Obeflächeninhlt S des Kegels?. Aus mm stkem Zinkblech (ρ = 7. kg/dm ) soll eine echteckige Pymide (Gundfläche = 65mm 0mm, Höhe = 00mm) hegestellt weden. Welche Msse wid die Pymide hben?. Die Pymide des Cheob ht einen Ruminhlt von und '899'00 m. Wie hoch ist sie, wenn die Knte de qudtischen Gundfläche = 40m lng ist? Wie goss ist ih Mntelflächeninhlt? 4. Beechnen Sie den Obeflächeninhlt und den Ruminhlt eines Oktedes ( = 4cm) (Ein Oktede wid von cht gleichseitigen Deiecken begenzt.) gibb bms gest.

25 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 5. Beechnen Sie ds Volumen: ) Pymide mit echteckige Gundfläche = 0cm, b = 0cm, h = 0cm b) Pymide mit echtwinkligem Deieck ls Gundfläche = 5cm, b = cm, h = 0cm h b h b c) Pymide mit egelmässigem Deieck ls Gundfläche = 0cm, h = 4cm h d) Pymide mit egelmässigem Sechseck ls Gundfläche = 5cm, h = 0cm h 6. ) Beechnen Sie die Obefläche eine geden qudtischen Pymide und eine qudtischen Pymide, deen Spitze senkecht übe eine Ecke de Gundfläche steht. Vegleichen Sie die Obeflächen. b) Vegleichen Sie die Volumen. s = h = 0cm h s h s 7. Gegeben: Lochscheibe (Sthl); ϕ =7,8 kg/dm ; (Einheit: mm) Gesucht: Msse in kg gibb bms gest.

26 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 8. Gegeben: Sthlbolzen mit qudtischem Kopf ; ϕ =7,8 kg/dm ; (Einheit: mm) Gesucht: Msse in kg Aus eine Blechtfel (m.5m) weden Scheiben (Duchmesse 00mm) usgeschnitten. ) Wie viel Pozent betägt de Abfll (Veschnitt)? b) Welche Msse hben die Scheiben, wenn ds Blech.4mm dick ist (ρ = 7.85 kg/dm ) 0. De Mntelflächeninhlt eines geden Keiskegels, dessen Achsenschnitt ein gleichseitiges Deieck ist, betägt 0.5dm. Wie goss ist de Ruminhlt des Kegels?. Einem geden Keiskegels (d = 0 5cm, h = 6cm) ist eine qudtische Pymide einbeschieben. Beechnen Sie den Obeflächeninhlt de Pymide.. Ein Oktede ( = cm) wid n beiden Spitzen gleichmässig bgestumpft. Die Eckknten sind nchhe nu noch hlb so lng. ) Wie goss sind Ruminhlt und Obeflächeninhlt des bgestumpften Köpes? b) Wie goss ist de Ruminhlt de bgeschnittenen Stücke?. In einen Wüfel (k = cm) ist ein Tetede so eingeschieben, dss dessen Knten die Flächendigonlen des Wüfels sind. Wie goss sind Ruminhlt V und Obeflächeninhlt S des Tetedes? (Ein Tetede wid von vie gleichseitigen Deiecken begenzt.) 4. ) Stellen Sie sich eine Tüte he: Welche Fom muss ein Stück Ppie hben, dmit dus eine Tüte hegestellt weden knn? b) Schneiden Sie dei Keissektoen us mit folgenden Mssen: Keisdius je 9cm; Winkel im Zentum 0, 40, 0. Fetigen Sie dus dei Tüten n. Welche ht nch Ihe Meinung ds Gösste Volumen? k k k gibb bms gest.

27 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 5. Die Abwicklung eines Keiskegels besteht us einem Keissekto (= Mntel) und einem Keis (= Gundfläche): s = Mntellinie; b = Bogen; u = Umfng de Gundfl.; = Rdius de Gundfl.; h k = Köpehöhe α = 5 s = 8cm b u h k s = 8cm ) Von den vie Gössen, b, s, und u sind zwei gleich. Nennen Sie ds P. b) Beechnen Sie den Rdius de Kegelgundfläche. c) Beechnen Sie die Mntelfläche M des Kegels. d) Beechnen Sie die Gundfläche G des Kegels. e) Beechnen Sie die Obefläche S des Kegels. f) Beechnen Sie die Köpehöhe h K des Kegels. g) Beechnen Sie ds Volumen des Kegels. h) Die Mntelfläche entspicht dem Flächeninhlt des Keissektos. De Flächeninhlt b s des Keissektos beechnet sich mit de Fomel. (Vegleichen Sie uch FS ). Diese Fomel gleicht de Beechnungsfomel eines Deiecks. Ekläen Sie den Zusmmenhng. 6. Ein Zylinde ht einen Gundkeisdius und eine Höhe h. Ihm weden Pymiden einbeschieben, deen Gundfläche egelmässige Vieecke sind. h ) Beechnen Sie je ds Volumen des Zylindes. b) Wie viel Pozent des Zylindevolumens mcht ds Volumen de Pymide mit qudtische Gundfläche us? c) Wie viel Pozent egibt es bei de Pymide mit sechseckige Gundfläche? d) Wie viel Pozent (bzw. welche Buchteil) des Zylindevolumens wid uch bei beliebig hohe Eckenzhl nicht übeschitten gibb bms gest.

28 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 7. Gegeben ist ein echtwinklig-gleichschenkliges Deieck mit den Ktheten. ) Wid dieses echtwinklig-gleichschenklige Deieck um eine Kthete otiet, so entsteht ein Kegel. Beechnen Sie sein Volumen. b) Dehen wi ds echtwinklig-gleichschenklige Deieck um seine Hypotenuse, so ezeugen wi einen Doppelkegel. Wie goss ist sein Volumen? 8. Gegeben ist ein gleichseitiges Deieck mit de Seite s = 6cm ) Beechnen Sie ds Volumen des Kegels, de ezeugt wid, wenn ds Deieck um eine Höhe otiet. (Eine Skizze ist sinnvoll.) c) Beechnen Sie ds Volumen des Doppelkegels, de ezeugt wid, wenn ds Deieck um eine Seite otiet. (Eine Skizze ist sinnvoll.) 9. Wi lssen ein echtwinkliges Deieck mit de Kntenlänge 7.5cm und 0cm um jede de dei Seiten otieen. ) Bescheiben Sie die entstehenden Köpe. b) Beechnen Sie die Volumen. 0. Ein Eime (gede Keiskegelstumpf) mit d = cm, D = cm und h = 4cm wid mit Wsse gefüllt. Wie viele Lite Wsse fsst e?. De Stmm eine Tnne ht die Fom eines Kegelstumpfes: d = 9cm, D = cm, h = 7.75m ) Wie viele Festmete (m ) Holz enthält de Stmm.? b) Welche Msse ht ds Holz (ρ = 0.75 kg/dm )?. V = Volumen, A = Gundfläche, = Gundkeisdius, h = Höhe Wie hoch sind die folgenden Kegel? (Rechnen Sie im Kopf.) ) V = m A = 4m d) V = m = m b) V = 6m A = 4m e) V = 6m = m c) V = m A = 8m f) V = m = m Wie viel misst de Gundkeisdius bei folgenden Kegeln? (Benutzen Sie dbei fü π den Näheungswet.) g) V = m h= m i) V = m h= 4m h) V = 6m h= m k) V = 6m h= 4m. Beechnen Sie den Mntel und die Obefläche de Kegel: ) = 4cm h = 8cm c) = cm h = 8cm b) = 4cm h = 4cm d) = cm h = 4cm 4. Beechnen Sie ds Volumen V, den Mntel M und die Obefläche O de Kegelstumpfe: ) R = 8cm = 6cm h = 5cm b) R = 8cm = 4cm h = 5cm c) R = cm = 8cm h = 5cm Zu Beechnung de Höhe des Egänzungskegels vewenden Sie einen Sthlenstz (FS 4). Egänzungskegel H h R s S gibb bms gest.

29 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 5. Gegeben: Konusbuchse (Gusseisen); ϕ =7, kg/dm ; (Angbe de Einheiten in mm) Gesucht: Msse in kg Wi vegleichen den Ruminhlt eines Zylindes, eines Keiskegels und eine Hlbkugel. Sie kennen die Beechnungsfomeln lle dei Köpe (FS 0,). ) Geben sie die Fomeln fü V Zylinde,V Kegel und V Hlbkugel in diesem speziellen Fll n. b) Vegleichen Sie die Volumen de dei Köpe. Schnitte 7. Von diesem Zylinde wid ein Kegel weggenommen. Geben Sie ds Volumen des Restköpes n. 8. Gegeben sind ein Zylinde, ein Kegel und eine Kugel. ) Scheiben Sie fü lle dei Köpe eine Volumenfomel uf mit ls einzige Viblen. b) Wie viele Kugeln hben zusmmen ds gleiche Volumen wie zwei Zylinde? c) Wie viele Kegel hben zusmmen ds gleiche Volumen wie zwei Zylinde? gibb bms gest.

30 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 9. Wie viele Schotköne (d =.5mm) knn mn us kg Blei (ρ =.4 kg/dm ) hestellen, wenn 5% Schmelzveluste veloen gehen. 40. Eine Kugel us Holz (ρ = 0.75 kg/dm ) wiegt kg. ) Wie lng ist ih Duchmesse, und b) wie goss ist de Obeflächeninhlt de Kugel? 4. Eine Kugel ist ein Wüfel ( = 0cm) einbeschieben. Welchen Ruminhlt ht die Kugel? 4. Gegeben ist eine Kugel mit dem Rdius. ) Beechnen Sie ih Volumen b) Beechnen Sie ds Volumen eine Kugel mit dem doppelten Rdius. c) Beechnen Sie ds Volumen eine Kugel mit dem hlben Rdius. d) Beechnen Sie den Rdius eine Kugel mit dem 7fchen des unte ) beechneten Volumens. e) Bestimmen Sie den Rdius eine Kugel mit 64 des unte ) beechneten Volumens. 4. Einem Wüfel ist ein Oktede einbeschieben. Geben Sie ds Volumen des Oktedes ls Buchteil des Wüfelvolumens n. Gegeben ist die Wüfelknte k. 44. Einem Wüfel ist ein Tetede einbeschieben. Geben Sie ds Volumen des Tetedes ls Buchteil des Wüfelvolumens n. Gegeben ist die Wüfelknte k. 45. Eine hlbe Holkugel ht einen Aussenduchmesse von 5cm und eine Wndstäke von 5mm. Wie viele Lite Wsse fsst sie? 46. Dei gleichgosse Bleikugeln mit dem Duchmesse d = 6mm weden zu eine einzigen Kugel zusmmengeschmolzen. ) Beechnen Sie den Duchmesse de neuen Kugel. b) Geben Sie die Obefläche de gossen Kugel in % de Gesmtobefläche de dei kleinen Kugeln n. 47. Einem Wüfel mit de Kntenlänge K = 0cm ist eine Kugel einbeschieben, diese Kugel ist wiedeum ein Wüfel einbeschieben und diesem Wüfel wiedeum eine Kugel. ) Beechnen Sie die Volumen de vie Köpe. b) Geben Sie ds Volumen des kleinen Wüfels in % des Volumens des gossen Wüfel n. c) Geben Sie ds Volumen de kleinen Kugel in % des Volumens de gossen Kugel n. K = 0cm K gibb bms gest.

31 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 48. Wi untesuchen ds Volumen eine Hlbkugel: Wi vegleichen eine Hlbkugel mit einem Köpe, bestehend us einem Zylinde in welchen ein Kegel eingelssen wude. Wi legen einen ebenen Schnitt duch beide Köpe in beliebige Höhe : 45 Schnittebene A A Aufsicht uf die Schnittebene ) Geben Sie den Flächeninhlt A n (Keising). b) Geben Sie den Flächeninhlt A n (Keisfläche). ( finden Sie mit dem Stz von Pythgos.) c) Vegleichen Sie die Teme von A und A miteinnde. d) Wenn Sie Ihe Aussge us c) mit dem Cvliei-Pinzip (FS ) vegleichen, ws stellen Sie fest? e) Leiten Sie nun die Fomel fü die Hlbkugel he, indem Sie ds Volumen des Keiskegels vom Volumen des Zylindes subthieen. f) Duch Vedoppelung ehlten Sie die Volumenfomel de Kugel. Vegleichen Sie mit de Fomel in de FS. 49. Um die Kugelobefläche S zu beechnen, bingen wi sie in eine Beziehung zum Kugelvolumen. Wi denken uns die Kugel zelegt in pymidentige Teile, deen Anzhl wi unbegenzt wchsen lssen. ) Welche Zusmmenhng besteht zwischen: V Pymide = A h und V Kugel = S M b) Setzen Sie die echten Seiten de folgenden Fomeln einnde gleich und lösen Sie nch S uf. V = S und V = π gibb bms gest.

32 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen 50. In de mthemtischen Auseinndesetzung mit Köpebeechnungen spielen uch Fomeln eine Rolle. Dbei ist es imme wiede notwendig, dss wi sie nch eine bestimmten Viblen uflösen müssen. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch den veschiedenen Viblen uf. (Sondefälle weden nicht diskutiet.) ) s = vt Kinemtik (FS.8) b) A = gh Deiecksbeechnung (FS.0) + c c) A = h Tpetzbeechnung (FS.) d) e) p Z = K Zinsechnung (FS.0) 00 K = K0 + K0 p 00 πr f) b = α Keis und Keisteile (FS.) 60 g) Suchen Sie selbe zwei, dei Fomeln us de Fomelsmmlung heus und lösen Sie diese nch eine ndeen Viblen uf gibb bms gest.

33 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen. Reihenfolge de Steilheit von ägyptischen Pymiden Wi zeichnen den Köpe und legen einen geeigneten Schnitt. Jetzt suchen wi einen Tem, de die Steilheit usdückt. (De Winkel zwischen de Fllgeden und de Gundfläche wäe ein geeignetes Mss. Ohne Kenntnisse de Tigonometie ist es uns be noch nicht möglich, diesen Winkel zu beechnen.) hk s h,. Ot Höhe h k Länge m m Wi begnügen uns mit de Vehältniszhl Medum Dhschu Gyzeh Gyzeh Steilheit s h, hk h k Pymiden nch Steilheit geodnet: Gyzeh > Medum > Gyzeh > Dhschu. ) b) c) d) e) f) N O G h V ½ s s /6 s b ¼ s s / s c /8 s s /4 s d ½ s s /6 s e ½ s s /6 s f ½ s s /6 s g ½ s ½ s / s h ½ s ½ s / s i ½ s ½ s / s g) h) i). ) h s (siehe uch FS) b) h h h c) V G h k V h s h k h k gibb bms gest.

34 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen 4. ) Es entstehen 6 Pymiden ) G Pymide = G Wüfel h Pymide = / k Wüfel V Pymide = /6 V Wüfel (egibt sich us )) 5. ) V bc ) b) b) V cb c b c b 6. ) Abwicklung: Die gesuchten Teme fü Mntel M und Obefläche S enthlten die Deieckshöhe Mntel s hs M s; hs ) 4 s hs ( Obefläche S( s; h ) s h s. b) De Tem zu Beechnung des Volumens V enthält die Köpehöhe h k. Volumen V( s, hk ) s hk D i e K ö p e h ö h e h k und die Deieckshöhe h s sind Seiten im echtwinkligen Deieck. Es gilt folgende Zusmmenhng (Pythgos): s hs hk ode h s h k s gibb bms gest. h k h s h hs s s s Aus den Angben in de Tbelle lässt sich entwede die Köpehöhe h k ode die Deieckshöhe h s einfch beechnen. Die jeweils noch nicht beechnete Höhe ehlten wi duch Einsetzen de Zhlenwete in die oben ngegebenen Fomeln. Beispiel: Geg:. 568 m ; h. 4 m.568 s. 4 s. 4 m Die Beechnung de Kntenlänge k efolgt mit Hilfe des echtwinkligen Deiecks (Pyth). V Zhlenwete einsetzen! Gundknte Köpehöhe Deieckshöhe s cm h k cm cm k s h s s h s hk h s s k Knte k cm Mntel M cm Obefläche S cm s Volumen V cm `000 89`600 `568`000 s h s s h s s h s h s h s.

35 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen zu 6. Repetition Msseinheiten. Längen: m dm cm mm Flächen: m dm cm mm 00 0`000 `000`000 Volumin: m dm cm mm `000 `000`000 `000`000`000 Hohlmss Volumenmss: dm = Lite 7. Die Dichte eines Mteils ist eine Mteilkonstnte. m V und m V Zu Beechnung de Msse eines Köpes benötigen wi lso sein Volumen und seine Dichte. V mm 0,79 dm m 7,8 0,79 6,79 kg m kg. V dm V '000mm 0,40dm m 7, 0,40,94kg 0 9. V 8,4 5,5 90,6m 90600dm Lite V V mm Block Flchsthl. De Mntel eines Kegels ist ein Sekto (FS S. ). 7 s b Mntel Abwicklung = 0.5 s s s s 7.75cm M s cm S G M cm ode S ( s) 0.5 ( ) 779.7cm gibb bms gest.

36 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen. Dichte siehe Aufgbe 7) s mm s mm S mm mit mm Blechdicke: V mm dm m kg 65 s 7 s 0. V '899'00m '899' h h 5m s m M m 40 s hs A S cm 4 h k cm V cm h k h s h s h k 5. ) b) c) d) V cm 5 V 0 600cm V V cm cm s 0 s 0 V V ) s S S 0 4.4cm b) V = V, d G = G und h = h cm gibb bms gest.

37 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen 7. Rechnen Sie lle Einheiten in dm umechnen. m = (V gosse Scheibe V Loch ) = ( ) 7.8 = 4. kg 8. Rechnen Sie lle Einheiten in dm umechnen. m = (V g + V m + V k ) = ( ) 7.8 = o.484 kg 9. Rechnen Sie lle Einheiten in m umechnen. F Blechtfel =.5 =.5 m F Scheiben = 0. =.067 m F Abfll = = 0.46 ) Abfll in % = 0.885%.5 b) Einheiten in dm umechnen m = F Scheiben = = 0. M = s = = M = = h K = M = s 0.5 = V = h K = = dm = =.6 dm h K s =. = d = 5 = cm / h =6 cm; d = 5 cm h s = h + = h = 6 h = 8.79 cm S = h + 4 s = = cm (V Pymide = Gh = h = = cm ). ) V = 7 cm S = 446 cm c) V = 0 cm h d h s gibb bms gest.

38 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen. V 4 576cm h S cm 6 h 4. ) Keissekto b) Umfng u cm Duchmesse d cm Höhe h cm Volumen V cm ) b = u b) u b u s cm c) 8 M s 60 d) G 8. cm e) S M G 0.7cm cm 60 f) h k s cm g) 7.4 V G hk cm h) Idee: Wi teilen den Keissekto in imme kleine wedende gleichschenklige Deiecke, welche ihe Bsis uf dem Bogen hben und ihe Spitzen im Mittelpunkt. h k b = u 5 s = 8cm 6. ) V Zylinde = Gh = h b) V qudtische Pymide = h h h.% ) V Sechseck-Pymide = 6 h h 7.57% b) V Pymide mit vielen Ecken = h. % 7. ) V Kegel = b) V Doppelkegel = gibb bms gest.

39 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen 8. ) V Kegel = b) V Doppelkegel = s s s s s 4 s 4 s s s s 4 4 s s s s s s s s 9. ) Bei de Rottion um die Ktheten entstehen Kegel. Bei de Rottion um die Hypotenuse entsteht ein Doppelkegel. 0 b) V = cm 6 8 V = cm V = cm h 0. V = (FS 0): = 0.5cm = 6cm V = 4 ( ) 90.8cm 9.0dm 9.0Lite h. V = (FS 0): = 0.045m = 0.05m 7.75 V = ( ) 0.m 0dm m kg. V h ) h m b) h m c) h m d) h m A 4 8 e) h 6m f) h m 4 V V g).m h).7m i) 0.87m k).m h h. u s M ) s 80 cm s h b) s cm S M c) s 68 cm d) s 0 cm M.4 cm M 7.cm M 5.8 cm M 8.cm S 6 cm S cm S 64.4 cm S 40.7 cm u h s gibb bms gest.

40 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen 4. Um ds Volumen zu Beechnen können Sie die Fomel us de Fomelsmmlung (FS 0) vewenden ode mit de hie ufgefühten Fomel echnen: R H V R H s S U S u s R S s H M R S s Egänzungskegel O R M (R ) M h R 5 ) Sthlenstz: V cm 8 M O 8 S 6 s cm cm b) Sthlenstz: V cm M O 8 S 4 s cm cm c) Sthlenstz: V cm M O S 8 s cm cm Konus VZylinde mit d V '7'6 mm VZylinde mit d V Konusbuchse V K V Z: '6mm V 76'75 mm Z:50 '90'57 mm,9dm m,9 7, kg 8 6. ) 4 V Zylinde V Kegel V Kugel ) Ds Hlbkugelvolumen liegt genu zwischen den beiden ndeen Volumen. 7. V Zylinde ; V Kegel V Restköpe V Z V K gibb bms gest.

41 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen 8. ) V Zylinde ; V Kegel b) ; V Kugel Kugelvolumen entspechen Zylindevolumen Kegelvolumen entspechen Zylindevolumen. c) 6 9. V.4 Blei dm mm VBlei 5% VBlei mm 00 V Schotkon mm V Anzhl Schotköne V Blei5% Schotkon 8486 Schotköne m ) V.6 dm.6 Kugel 0.86 dm d.7 dm b) S dm 90 cm 4. DuchmesseKugel RumdigonleWüfel RKugel 4 V Kugel 4 4. ) V 4 b) V c) 4 4 V VKugel cm.77 dm d) 7 V 7 7 V ode R e) V V ode R VWüfel k Schnittfläche duch die Mittelebene k k k k k k VOktede V Pymide k 4 6 k k Ds Oktedevolumen ist 6 des Wüfelvolumens. Duch Übelegungen kommen wi zum selben Ziel: Die Doppelpymide fssen wi ls eine Pymide uf ( des Wüfelvolumens), zudem ist die Gundfläche de Doppelpymide hlb so goss wie die Gundfläche des Wüfels ( des Wüfelvolumens). 6 k gibb bms gest.

42 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen gibb bms gest. Lösungen 44. Wüfel k V k 4 k k 6 k k G Tetede k h Tetede Tetede k k k h G V ode: Pymide Wüfel Tetede k k 4 k k k 4 k V 4 V V 45. Lite V 46. ) Kugelklein goss Kugel 4 4 V V goss Kugel D 6 D 8 4 D 4 V 8.75 mm R 7.5 mm 4 6 D 4 6 D D 6 4 b) goss Kugel mm S klein Kugel mm S 69.% ) klein Wüfel goss Wüfel cm V ; 000 cm 0 V Kugelklein goss Kugel cm V ; 5.60 cm 5 4 V b) % c) % k k k k k 0.05 dm.5 dm K = 0cm K K k k k K R R = 5cm cm 0 k cm 0 R K = 0cm K K

43 Köpe (Beechnungen) Aufgben/Lösungen Lösungen 48. ) A b) A d c) Die beiden Flächen sind unbhängig von imme gleich goss. d) Auch die beiden seh unteschiedlich gefomten Volumen sind gleich goss. e) VHlbkugel VZylinde VKeiskegel f) VKugel ) Zählen wi die Gundflächen de veschiedenen Pymiden zusmmen, ehlten wi einen Näheungswet fü die Kugelobefläche. (Je kleine wi zudem die einzelnen Gundflächen de Pymiden weden lssen, umso nähe kommen wi de Kugelobefläche.) A = S Dbei entspicht die Höhe de Pymiden h dem Kugeldius. b) S 4 S 4 S 4 45 A A M 50. In de mthemtischen Auseinndesetzung mit Köpebeechnungen spielen uch Fomeln eine Rolle. Dbei ist es imme wiede notwendig, dss wi sie nch eine bestimmten Viblen uflösen müssen. Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch den veschiedenen Viblen uf. (Sondefälle weden nicht diskutiet.) ) s = vt s v t s t v b) A gh A g h A h g c A A c) A h c c h h A h c d) Z K p Z K p 00 Z p K e) K K 0 K0 p 00 K 0 K p K p K K 0 0 R f) b 60 b 60 R b 60 R g) Suchen Sie selbe zwei, dei Fomeln us de Fomelsmmlung heus und lösen Sie diese nch eine ndeen Viblen uf gibb bms gest.

44 Tigonometie Theoie / Abeitsnleitung.0. Vobemekung zu Goniometie und Tigonometie Mit Lehsätzen und Fomeln de PLANIMETRIE lssen sich Stecken us Stecken sowie Winkel us Winkeln beechnen. Die Stzguppe von Pythgos stellt Beziehungen zwischen Stecken im echt-winkligen Deieck he; die Keiswinkelsätze stellen Beziehungen he zwischen Peipheiewinkeln, Zentiwinkeln und Sehnentngentenwinkeln im Keis. Ds Poblem de Beechnung von Stecken us Winkeln und umgekeht bleibt in de Plnimetie jedoch ungelöst: diese Lücke wid duch die Goniometie und die Tigonometie geschlossen. Die Goniometie ist die Lehe von den Winkelfunktionen. Sie stellt Beziehungen zwischen Winkeln und Stecken he (giech. goni = de Winkel). Die Tigonometie ist die Lehe von de Deiecksbeechnung mit Hilfe de Goniometie. (giech. tigon = ds Deieck)... Die tigonometischen Funktionen spitze Winkel... Tigonometie m echtwinkligen Deieck In ähnlichen Deiecken sind lle entspechenden Winkel gleich. Aussedem ist ds Vehältnis entspechende Seiten gleich. So ist in den unten gezeichneten, ähnlichen echtwinkligen Deiecken ds Seitenvehältnis zum Beispiel : c = : c = : c = konstnt. Dhe können wi dem Winkel ds Seitenvehältnis : c = : c = : c eindeutig zuodnen (d.h. unbhängig von de Gösse des echtwinkligen Deiecks knn einem bestimmten Winkel stets ein bestimmtes Seitenvehältnis : c zugeodnet weden und umgekeht.). b'' b' c b' c' Sttt ds Vehältnis : c könnten wi uch ein ndes Vehältnis, z. B. b : c dem Winkel eindeutig zuodnen. Geht mn lle Möglichkeiten duch, so findet mn 6 Seitenvehältnisse, die je dem Winkel eindeutig zugeodnet weden können. Es sind jedoch nu dei solche Vehältnisse ls tigonometische Funktionen gebäuchlich und uf dem Rechne zu finden. c'' ' '' Definitionen: Bezeichnungen: GK: Gegenkthete AK: Ankthete HYP: Hypothenuse Def. : Def. : Def. : SINUS: COSINUS TANGENS sin = cos = tn = GK HYP AK HYP GK AK sin (flls 90 ) c b cos (flls 90 ) c tn (flls 90 ) b AK (Häufig teffen wi noch den COTANGENS n cot = = / Rechne cot GK tn Bemekungen: Zwei Scheibweisen sind gebäuchlich: tn = tg und cot = ctg weite gilt: sin = sin () und sin = (sin ) ) tn gibb bms gest. / gew.

45 Tigonometie Theoie / Abeitsnleitung Am echtwinkligen Deieck sind sofot folgende Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus esichtlich: C b A c B sin cos ode sin cos 90 sin cos sin 90 cos ode Ebenso geht us dem echtwinkligen Deieck die (voläufige) Beschänkung de Definitionsmenge D uf spitze Winkel hevo: Ein de Hypothenuse nliegende Winkel (z.b. ) knn lle Wete zwischen 0 und 90 nnehmen - es gilt lso Beeits n diese Stelle eweiten wi die Definitionsmenge um die beiden Agumente 0 und 90. Die weitee Ausdehnung des Definitionsbeeichs uf beliebige Winkel stellt kein Poblem d und wid in Kpitel behndelt.... Tigonometie und Funktionsbegiff Die dei Seitenvehältnisse sind je eindeutige Zuodnungen zum Winkel. Die tigonometischen Funktionen (ode Winkelfunktionen) sin, cos und tn besitzen je die Definitionsmenge D, die lle Winkel 0 < < 90 umfsst. Die Wetemenge W besteht je us llen zugeodneten Seitenvehältnissen. Definitionsmenge D Wetemenge W Winkel mit 0 90 tn ; sin ; cos ctn ode tn csin ode sin ccos ode cos Seitenvehältnisse: b ; ; ; b c c Die Pfeilichtung odnet dem Winkel ein Seitenvehältnis zu. Diese Funktionen heissen: tngens ; sinus ; cosinus Die Pfeilichtung odnet dem Seitenvehältnis den Winkel zu. Diese Umkehfunktionen heissen: custngens b ; cussinus c ; cuscosinus c b Lenziele Definitionen de tigonometischen Funktionen uswendig können und nwenden. Mit Hilfe des TR die Wete de tigonometischen Funktionen und Umkehfunktionen beechnen. Winkel und Seiten von echtwinkligen Deiecken beechnen gibb bms gest. / gew.

46 Tigonometie Theoie / Abeitsnleitung Lösungshilfen Rundungsegeln: Bei Steckenvehältnissen (z. B. tn = b ) unden wi uf 4 Kommstellen, bei Winkeln (z. B. ) unden wi uf Kommstelle. Beispiel (N., 5, 8) sin 0.5,? Wi buchen die Umkehfunktion: csin Beispiel (N., 6, 9, ) Gegeben ist ds echtwinklige Deieck ABC ( Gk sin 0 sin 5. cm H 0 Ak b cos b 0 cos 8.5 cm H 0 Beispiel (N. 0): tn cos0,? 90 ) mit c = 0 cm und. =?, b =? tn ctn Beispiel 4 (N. ): Zeigen Sie, dss folgende Beziehung stimmt: cos sin. Zu zeigen: L = R, wobei linke Seite L = cos ; echte Seite R =sin. Beweis: Wi setzen definitionsgemäss die Seitenvehältnisse ein und fomen um: Pythgos R = c L b c b c c b c c c Aufgben, N. - Inhlt Kenstoff Übungsstoff Zustzstoff Sinus Cosinus Tngens vemischt c 4 5 6c ce ce bc b 6b 0 bdf bdf d gibb bms gest. / gew.

47 Tigonometie Theoie / Abeitsnleitung... Wichtige Funktionswete de Winkelfunktionen Einige Funktionswete lssen sich (mit Hilfe des Stzes von Pythgos und de Definitionen) beechnen. Wi betchten dzu zwei spezielle echtwinklige Deiecke: gleichschenklig-echtwinkliges Deieck ( Funktionswete fü 45 blesen) hlbes gleichseitiges Deieck (Funktionswete fü 0 und 60 blesen) Zu Veeinfchung weden die Längen de Ktheten mit ngenommen. Zu Veeinfchung wid die Deiecksseitenlänge des zugehöigen gleichseitigen Deiecks mit, die hlbe Seitenlänge mit ngenommen. Füllen Sie die Tbelle us und kontollieen Sie nschliessend mit de Fomelsmmlung: Winkelf. = 0 = 0 = 45 = 60 = 90 sin 0 cos 0 tn 0 nicht def. Lenziele Wichtige Funktionswete de Tigonometischen Funktionen mit Hilfe des gleischenklig-echtwinkligen und des hlben gleichseitigen Deiecks heleiten. Aufgben, N. Inhlt Kenstoff Übungsstoff Zustzstoff Funktionswete bc df e gibb bms gest. / gew.

48 Tigonometie Theoie / Abeitsnleitung..4. Definition de Tigonometischen Funktionen m Einheitskeis (0 90 ) Wi können die Tigonometischen Funktionen uch m Einheitskeis definieen. Wi zeichnen im Uspung des Koodintensystems einen Keis mit Rdius =. Wi betchten nun m Keis einen veändelichen Mittelpunktswinkel, wobei de eine Schenkel imme uf de -Achse liegt, de ndee duch den uf de Keislinie wndenden Punkt beweglich ist und lle Wete zwischen 0 und 90 nnimmt. Definitionen des Sinus und Cosinus: Wi entdecken m Einheitskeis ds echtwinklige Deieck OQP und vewenden die uns beknnten Definitionen: GK PQ sin PQ HYP cos AK HYP OQ OQ = O cos P Q = sin Definitionen des Tngens Wi velängen m Einheitskeis den Schenkel des Winkels und zeichnen echts eine senkechte Tngente n den Keis, so dss ds echtwinklige Deieck ORS entsteht. Nun vewenden wi die uns beknnte Definition: P S tn tn GK AK RS RS = sin O cos Q = R Auf ds Koodintensystem bezogen entspicht lso die -Koodinte des Punktes P dem Cosinus von, die y-koodinte des Punktes P dem Sinus von : P ( cos / sin ) Am Einheitskeis sind uch leicht die Funktionswete fü 0 und 90 bzulesen, die schon in de Tbelle Wichtige Funktionswete de Winkelfunktionen vogekommen sind: Winkelfunktion = 0 = 90 sin 0 cos 0 tn 0 nicht definiet Am Einheitskeis lssen sich uch zwei einfche Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen heleiten: sin cos sin tn cos gibb bms gest. / gew.

49 Tigonometie Theoie / Abeitsnleitung Lenziele Sie kennen die Definitionen de tigonometischen Funktionen m Einheitskeis, ebenso können Sie die wichtigsten Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen heleiten. Sie können m Einheitskeis die Wete von sin, cos und tn blesen und einzeichnen. Lösungshilfen Beispiel (N. 4): Wi illustieen unsee Übelegungen n einem Keis (Rdius c. = cm) und beschiften mit =. Im Zentum zeichnen wi den Winkel mit Fbe ein. Die entspechenden Steckenlängen sin, bzw. cos, bzw. tn, mkieen wi mit deselben Fbe wie den zugehöigen Winkel. = tn sin cos Aufgben, N. 4-7 Inhlt Kenstoff Übungsstoff Zustzstoff Einheitskeis 4 5bdeghklno 6 5cfim Steigungen Die Steigung (bzw. ds Gefälle) wid ls Quotient ode in Pozent ngegeben: Steigungsvehältnis: d.h. Steigung ls Quotient: m = l h Steigung: h d.h. Steigung in Pozent: p = 00 % l Hoizontle Länge l Höhendiffeenz h h = l Steigung m = ode p = 00 % = 45 De Quotient l h entspicht be uch de Definition des Tngens im echtwinkligen Steigungsdeieck, so dss folgende Beziehungen gelten: = h ctn m = tn, p = 00 tn l gibb bms gest. / gew.