AUTONOME BEWEGUNGEN TOTALZWANGLÄUFIGER KOPPELGETRIEBE MIT KONSTANTER KINETISCHER ENERGIE

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1 evsta Mecasme ş Mapulatoare, Vol. 5, Nr., pag AoTMM-IFToMM AUTONOME BEWEGUNGEN TOTALZWANGLÄUFIGE KOPPELGETIEBE MIT KONSTANTE KINETISCHE ENEGIE Wll EHWALD*, Kurt LUCK** *) IFToMM TC Lkages & Cams,Hoorary Member, E-mal: **) IFToMM TC Lkages & Cams,Hoorary Member, E-mal: Abstract: The paper vestgates the autoomous movemet of totally costraed mechasms by costat ketc eergy. The equatos of KÜ (velocty) ad KÜ (accelerato) demostrate that KÜ s vers proportoal wth respect to the geeralzed mass. The course of the geeralzed mass of a mechasm ever s costat, therefore the KÜ ever ca be costat. Each mechasm s characterzed by a specal course of geeralzed mass; therefore the vestgato of such varables ca be carred out oly for cocret examples. The results demostrate that the dstrbuto of ketc eergy, cosderg the lks, vares each posto. It s remarkable, that the ketc eergy of lks ad ts dstrbuto wth respect to the rotatory ad traslatory moved mass chages by the mechacal work of the reactoforces the jots. Ths demostrates that the put-lk (), eve by autoomous movemet, ever rotates wth costat velocty. Moreover t appears, that the ketc eergy of the lks s ever costat, although the mechasm rotates by costat ketc eergy. The vestgato of autoomous movemets demostrates, what s gog o movg mechasms.. Eletug Koppelgetrebe sd defert als Verbäde beweglch mteader verbudeer starrer Körper. De ezele Körper werde Gleder geat. De Gleder sd durch Geleke verbude. Be ebee Koppelgetrebe verbde Dreh-, Schub-, Zah- ud Kurvegeleke de Gleder mteader. De Gleder ebeer Koppelgetrebe lege parallele Ebee. Köe alle übrge Gleder hre Lage gegeüber eem Gled ur gemesam äder, da sd Koppelgetrebe totalzwagläufg, d. h. es ka sch ur der Wert eer Koordate uabhägg äder. Totalzwagläufge Koppelgetrebe habe ur ee Frehetsgrad. De Zahl der Gleder ud de Art hrer Verbduge bestmme de Typ ees Koppelgetrebes. De Gleder werde fortlaufed umerert. Das ruhede Gled, Gestell, erhält de 0. Mt Gled (0) drehbar verbude st Gled (). See Lage der Koordateebee vo Gled (0) bestmmt der vo de Abszsse der Koordatesysteme beder Gleder egeschlossee Wkel, der de uabhägge Veräderlche darstellt. Jeder Wert der Uabhägge legt ee Stellug edeutg fest. Dskrete Werte der Stellugs- ud Massevertelugsparameter bestmme verschedee Koppelgetrebe ees Typs. Stellugsparameter sd feste Werte: des Abstads vo zwe Drehgelekmttelpukte auf der Abszsse des gledfeste Koordatesystems, des lotrechte Abstads des Koordateursprugs vo der Achse ees Schubgeleks, der Koordate ees Drehgelekmttelpukts m Koordatesystem ees Gleds, des vo eer Schubgelekachse ud der Abszsse des gledfeste Koordatesystems egeschlossee Wkels. Massevertelugsparameter sd de kostate Werte: der Gledmasse, der Koordate der Gledschwerpukte de Koordatesysteme der Gleder ud der Masseträghetsmomete um ee Sekrechte zur Bewegugsebee durch de Gledschwerpukte. Bewege sch Koppelgetrebe, da äder de Gleder hre elatvlage. Beweguge werde beschrebe, dem für bestmmte, mest äqudstate Werte der uabhägge Veräderlche, folgede Varable ermttelt werde: De Zet t, de set Verlasse eer Afagsstellug verstrche st, De Geschwdgket, KÜ, vo bem Durchlaufe der ezele Stelluge, De Beschleugug, KÜ, der uabhägge Veräderlche de ezele Stelluge, De KÜ ud de KÜ4der uabhägge Veräderlche de ezele Stelluge. De KÜ, Kematsche Übertragugsfuktoe, sd de Dfferetalquotete aller Varable ach der Zet. De KÜ st der Dfferetalquotet erster, de KÜ der Dfferetalquotet zweter Ordug etc. ach der Zet t. Ees ehetlche Sprachgebrauchs wege werde de Dfferetalquotete her KÜ geat, de für de höhere Orduge gbt es kee Name //. 75

2 . Autoome Beweguge zwagläufger Koppelgetrebe Sd de Gleder vo totalzwagläufge Koppelgetrebe Kräfte ud Momete egeprägt, da bewege se sch m allgemee. Ee besodere Klasse sd de autoome Beweguge. Be he st etweder de ketsche Eerge oder de Summe der ketsche ud potetelle Eerge kostat. Be Beweguge mt kostater ketscher Eerge sd keem Gled Kräfte ud/oder Momete egeprägt. Be Beweguge mt kostater Summe der ketsche ud potetelle Eerge sd de Gleder ur koservatve Kräfte ud/oder Momete egeprägt. Koservatve Kräfte sd de Schwerkräfte ud Kräfte elastscher Zug- ud/oder Druckfeder. Koservatve Momete werde de Gleder vo Drehfeder egeprägt. Im Se der Koppelgetrebe-Mechak sd Koppelgetrebe jedes erdeklche Typs für sch alle, oder zu rgedwelche SYKOs (Mechasme mt glechem ) zusammegeschlosse, Schwugschebe mt stellugsabhäggem Masseträghetsmomet. Se uterschede sch also ur durch de Verlauf hrer geeralserte Masse, de das perodsch veräderlche Masseträghetsmomet ud desse Äderuge darstelle. Es gelte de explzte Bestmmugsglechuge: x m S (.) für de geeralserte Masse, m S S x x (.) für de geeralserte Masse erster Ordug, m S S S x x x (.) für de geeralserte Masse zweter Ordug, m S S S S 4 4 x x x x (.4) für de geeralserte Masse drtter Ordug, Q k j q j P j M p F x für de geeralserte Kraft, p Q für de GÜ der geeralserte Kraft, (.5) k q j P, j j P, j p p F x F x M M (.6) j p k q Q F j xp, j F, j x P, j F, jxp, j M p M p M p (.7) j p für de GÜ der geeralserte Kraft, E E [] [ ] (.8) für de ketsche Eerge E bzw. de KÜ der uabhägge Veräderlche, [] Q [] (.9) für de KÜ der uabhägge Veräderlche, 76

3 [] [] [] [] Q [] (.0) für de KÜ der uabhägge Veräderlche, []4 [] [] [] [] Q Q [] [] [] 7 [4] (.) für de KÜ4 der uabhägge Veräderlche, sofer: m de Masse ees gegeüber dem Gestell bewegte Gledes, x de GÜ-Vektor des Ortsvektors zum Schwerpukt ees Gleds gegeüber dem Gestell, S x S de GÜ-Vektor des Ortsvektors zum Schwerpukt ees Gleds gegeüber dem Gestell, x de GÜ-Vektor des Ortsvektors zum Schwerpukt ees Gleds gegeüber dem Gestell, S 4 x de GÜ4-Vektor des Ortsvektors zum Schwerpukt ees Gleds gegeüber dem Gestell, S das Masseträghetsmomet ees Gleds um ee Achse sekrecht zur Bewegugsebee durch see Schwerpukt, de GÜ des Drehwkels ees Gleds gegeüber dem Gestell, de GÜ des Drehwkels ees Gleds gegeüber dem Gestell, de GÜ des Drehwkels ees Gleds gegeüber dem Gestell, 4 de GÜ4 des Drehwkels ees Gleds gegeüber dem Gestell, de geeralserte Masse des Koppelgetrebes oder SYKOs, de geeralserte Masse erster Ordug des Koppelgetrebes oder SYKOs, de geeralserte Masse zweter Ordug des Koppelgetrebes oder SYKOs, de geeralserte Masse drtter Ordug des Koppelgetrebes oder SYKOs, E de ketsche Eerge des Koppelgetrebes oder SYKOs, Q de geeralserte Kraft aller de Gleder ees Koppelgetrebes oder SYKOs egeprägte Kräfte ud Momete, Q de GÜ der geeralserte Kraft aller de Gleder ees Koppelgetrebes oder SYKOs egeprägte Kräfte ud Momete, Q de GÜ der geeralserte Kraft aller de Gleder ees Koppelgetrebes oder SYKOs egeprägte Kräfte ud Momete, [] de KÜ, Wkelgeschwdgket, der uabhägge Veräderlche, [] [] [4] de KÜ, Wkelbeschleugug, der uabhägge Veräderlche, de KÜ der uabhägge Veräderlche ud de KÜ4 der uabhägge Veräderlche repräsetere. De Wrkug sämtlcher de Gleder egeprägte Kräfte ud Momete wrd der Koppelgetrebe- Mechak durch e perodsch veräderlches, dem Gled () egeprägtes Momet erfasst. Deses Momet st de geeralserte Kraft aller egeprägte Kräfte ud Momete. De her utersuchte Beweguge bestmmter Koppelgetrebe lasse sch glecher Wese mt Koppelgetrebe aller adere Type durchführe. De Ergebsse sd etspreched verschede. Ist de Summe der ketsche ud potetelle Eerge größer als de maxmale potetelle Eerge für de jewelge Glechgewchtsstellug, da ädert sch der Wert der Uabhägge esg. Ierhalb eer Mute wrd de gleche Stellug vo Gled () k mal errecht. Vom Beg bs zum Ede eer Bewegugsperode verstrecht ee bestmmte Zet t. Ee Äderug des Wertes der uabhägge Veräderlche um stellt ee Bewegugsperode dar. Sowohl de Perode der geeralserte Kraft als auch der geeralserte Masse lege alle oder gemesam de Perode eer Bewegug fest. 77

4 Ist de Summe der ketsche ud potetelle Eerge kleer als de maxmale potetelle Eerge, da führe Koppelgetrebe oder SYKOs chtleare Schwguge um stable Glechgewchtsstelluge aus. Dabe dreht sch Gled () abwechseld postver ud egatver chtug. De Dffereze der Drehwkel vo Gled (), dee de Drehrchtug umkehrt, ud dem Drehwkel der Glechgewchtsstellug stelle de Größe der postve bzw. egatve Ampltude dar. De Drehwkel für de Umkehrstelluge werde vo der Eergesumme bestmmt, de da glech der potetelle Eerge st. Über de Phäomee der Schwgbeweguge vo Koppelgetrebe muß a aderer Stelle berchtet werde.. Autoome Beweguge mt kostater ketscher Eerge Bld : E Koppelgetrebe des Typs A.--0 Mt kostater ketscher Eerge bewege sch Koppelgetrebe autoom. De Beweguge sd perodsch mt, der Perode der geeralserte Masse. Wel de geeralserte Masse jeglcher Ordug stellugsabhägg sd, sd des auch de KÜ der uabhägge Veräderlche. De ketsche Eerge st jeder Stellug aders auf de Gleder vertelt. Auch de der Traslatos- ud der otatosbewegug der Gledmasse gespecherte Eerge ädert sch vo Stellug zu Stellug. Wrd de KÜ ees Gleddrehwkels Null eer belebge Stellug, da wrd es auch de ketsche Eerge seer rotatorsch bewegte Masse. Verschwdet eer Stellug de KÜ des Ortsvektors zum Schwerpukt ees Gleds, da tut des auch de ketsche Eerge seer traslatorsch bewegte Masse. De mechasche Arbet der Gelekreaktoe ädert de ketsche Eerge der Gleder ud hre Vertelug auf hre traslatorsch ud rotatorsch bewegte Masse. Deshalb übertrage de Geleke auch be deser vo auße ubeeflusste Bewegug eaktoe auf de Gleder. Aus Glechug (.8) folgt [] cost (.) De KÜ der uabhägge Veräderlche ädert sch also rezprok zur Wurzel aus der geeralserte Masse. Für de KÜ der uabhägge Veräderlche ergbt sch aus (.9) für Q = 0 [] cost (.) De KÜ der uabhägge Veräderlche st be Beweguge mt kostater ketscher Eerge proportoal dem Quotete aus der geeralserte Masse erster Ordug dvdert durch das Quadrat der geeralserte Masse. Für de KÜ ud KÜ4 der Uabhägge ergebe sch: [] cost 5 7 (.) [4] 5 cost (.4) Alle Varable sd mt der geeralserte Masse perodsch; sehe folgede Bespele. Bespel : De Werte der Stellugsparameter ees Koppelgetrebes vom Typ A.--0, Bld, sd:. 50; l 75; l 00; Ok ; x0. 75; y0. 86,60 ud de Werte der Massevertelugsparameter betrage: m,; 0; 0; 50; m 0,5; 0; 0; 450; m 0,6; 40; 0; S S S S S S. We verlaufe über dem Drehwkel vo Gled (): De KÜ ud KÜ des Drehwkels vo Gled (), de geeralserte Masse des Koppelgetrebes sowe de set Verlasse der Stellug 0 verstrchee Zet t? 78. 0*. 0. Bld : E Koppelgetrebe des Typs..--0-A

5 . We verlaufe über dem Drehwkel vo Gled (): De ketsche Eerge E des Koppelgetrebes ud seer Gleder sowe de de traslatorsch ud rotatorsch bewegte Gledmasse gespecherte ketsche Eerge?. Welche eaktoe werde vo de Geleke auf de Gleder übertrage, we Gled () des Koppelgetrebes 600 U/m ausführt? Bespel : De Werte der Stellugsparameter ees Koppelgetrebes vom Typ.--0-A.--0, Bld, sd:. 99;. 0; 0* 0,5;. 66;. 0; l l4 90; x0.5 0; y ud de Werte der Massevertelugsparameter betrage: m,6; 60; 0; 4570; m 0,8; 50 0 S S S S 0; 450; m 0,5; S 40; S 0; 750; m4 0,6; S 4 50; S 4 0; We verlaufe über dem Drehwkel vo Gled (): De KÜ ud KÜ des Drehwkels vo Gled (), de geeralserte Masse des Koppelgetrebes sowe de set Verlasse der Stellug 0 verstrchee Zet t?. We verlaufe über dem Drehwkel vo Gled (): De ketsche Eerge E des Koppelgetrebes ud seer Gleder sowe de de traslatorsch ud rotatorsch bewegte Gledmasse gespecherte ketsche Eerge?. Welche eaktoe werde vo de Geleke auf de Gleder überrage, we Gled () des Koppelgetrebes 600 U/m ausführt?.. Lösug zur Aufgabe De Fuktosverläufe vo KÜ ud KÜ sd chtlear, d.h. Gled () dreht sch cht mt kostater Wkelgeschwdgket; hr Betrag hat ee Schwakug vo ca. 00%. Auch der Verlauf der geeralserte Masse sowe der Zet t sd chtlear. De Taktzet beträgt geau 0 ms, Bld. KÜ KÜ t Bld 4 Bld 4 E Bld De ketsche Eerge des Koppelgetrebes sowe der Gleder (), () ud () sd Bld 4 dargestellt. I jeder Getrebestellug st de Eergesumme der dre bewegte Getrebegleder kostat, d.h. glech der ketsche Eerge E des Gesamtgetrebes. De ketsche Eerge des Gledes () west zwe Nullstelle auf, ud zwar geau de Umkehrlage vo Gled (). De ketsche Eerge der bewegte Getrebegleder sowe hrer traslatorsch ud rotatorsch bewegte Masse st de Blder 5 bs 7 aufgezechet. Se west für das Gled () beträchtlche Schwakuge auf, s. Bld 5. I jeder Getrebestellug ergbt de Summe des traslatorsche ud rotatorsche Atels de jewelge Wert der ketsche Eerge des Getrebegledes, s. Bld 5, 6 ud 7. 79

6 Bld 5 Bld 7 Bld 6 Bld 8 De ketsche Eerge des Gledes () st ahezu kostat. I de bede Umkehrstelluge des Gledes () st der rotatorsche Atel Null ud de Gesamteerge des Gledes befdet sch der traslatorsch bewegte Masse, hre Summe ergbt de jewelge Wert der ketsche Eerge des Gledes (), Bld 6. De ketsche Eerge des Gledes () schwakt eorm ud st de zwe Umkehrstelluge Null. I jeder Stellug st se glech der Summe vo rotatorschem ud traslatorschem Atel, Bld 7. De Blder 8 ud 9 demostrere Hodografeform de eaktoskräfte, de de Drehgeleke 0.;.;. ud 0. auf de Gleder übertrage werde; ebeso werde de Beträge deser Kräfte für jede Getrebestellug Dagramme dargestellt. Dese Kräfte verrchte a dem ee Gled postve ud a dem ader Gled glech grosse egatve mechasche Arbet. De postve Arbet erhöht de ketsche Eerge des betreffede Gledes ud de egatve verrgert se. Das Kräftepaar verrchtet somt de Gelekelemete ees Gledes mechasche Arbet. Ist dese postv, da erhöht sch de der rotatorsch bewegte Masse gespecherte ketsche Eerge; st se hgege egatv, da gescheht das umgekehrte. De Abahme der der rotatorsch bewegte Masse gespecherte Eerge ka sowohl ee Zuahme der der traslatorsch bewegte Masse desselbe Gledes gespecherte Eerge, als auch de Zuahme der ketsche Eerge ees beachbarte Gledes bewrke. 80

7 Bld 9 KÜ t KÜ E Bld 0 8

8 Im vorlegede Bespel, s. Bld 5 ud 6, gebe m Berech 0 7 de Gleder () ud () ketsche Eerge a Gled () ab. Im Gled () mmt desem Berech aber ur de der rotatorsch bewegte Masse gespecherte Eerge ab, d.h. desem Falle erhöht e Tel der vo der rotatorsch bewegte Masse abgegebee Eerge de der traslatorsch bewegte Masse gespecherte Eerge, der adere Tel wrd a das Gled () abgegebe... Lösug zur Aufgabe De Fuktosverläufe vo KÜ ud KÜ (Bld 0) sd chtlear. Gled () dreht sch cht mt kostater Wkelgeschwdgket; hr Betrag schwakt um ca. 0%. Auch der Verlauf der geeralserte Masse sowe der Zet sd chtlear. De Taktzet beträgt 0 ms, wel de Perode folge vo *0 =-0,5 glech 4π st //. De ketsche Eerge des Koppelgetrebes sowe der Gleder (), (), () ud (4) sd Bld dargestellt. I jeder Getrebestellug st de Eergesumme der ver bewegte Getrebegleder kostat, d.h. glech der ketsche Eerge des Gesamtgetrebes. De ketsche Eerge der Gleder () ud (4) west ee Nullstelle be 60 0 auf. I deser Getrebestellug wrd der Gelekpukt. geometrscher Pol. Ordug, d.h. de Gleder () ud (4) sd geau deser Stellug uhe ud bestze daher kee ketsche Eerge. 0 0 De vo de Gleder () ud (4), sbesodere dem Berech abgegebee 0 ketsche Eerge fleßt drekt de Gleder () ud (), dere Eergewerte be 60 jewels e. Bld Bld Maxmum erreche. De ketsche Eerge der bewegte Getrebegleder sowe hrer traslatorsch ud rotatorsch bewegte Masse st de Blder bs 5 dargestellt. Se west für de Gleder () ud () beträchtlche Schwakuge auf, s. Blder ud. I jeder Getrebestellug ergbt de Summe des traslatorsche ud rotatorsche Atels de zugehörge ketsche Eerge des Getrebegledes. 0 De Blder 4 ud 5 zege sehr deutlch de uhestellug der Gleder () ud (4) be 60 ; d.h. de ketsche Eerge st bede Fälle jewels glech Null. Bld 6 zegt ee Besoderhet; der Verlauf der ketsche Eerge der traslatorsch bewegte Masse des Gledes () west zwe Nullstelle auf, ud zwar de Stelluge 80 0 ud

9 0 De Nullstelle be 80 resultert aus der Tatsache, dass desem Falle der Schwerpukt des Gledes () geau be 80 0 zum geometrsche Pol. Ordug wrd, so daß de Traslatosbewegug ud damt auch de zugehörge ketsche Eerge der traslatorsch bewegte Masse des Gledes () glech Null st. I desem Falle hat der Schwerpukt S de Koordate 90. S 0 ud S Bld Bld 4 Bld 5 Bld 6 Bld 7 zegt Hodografeform de Verlauf der eaktoskräfte, de de Drehgeleke 0.; ud.; auf de Gleder übertrage werde; ebeso werde de Beträge deser Kräfte für jede Getrebestellug Dagramme dargestellt. Dese Kräfte verrchte a dem ee Gled postve ud a dem ader Gled glech grosse egatve mechasche Arbet. De postve Arbet erhöht de ketsche Eerge des betreffede Gledes ud de egatve verrgert se. 8

10 Bld 7 4. Zusammefassug ud Ausblck Der vorlegede Betrag behadelt de autoome Bewegug totalzwagläufger Koppelgetrebe mt kostater ketscher Eerge. Aus de Glechuge vo KÜ ud KÜ der uabhägge Koordate geht hervor, dass de KÜ umgekehrt proportoal zur geeralserte Masse st. Wel de geeralserte Masse e kostat st, ka es auch de KÜ cht se. Wel der Verlauf der geeralserte Masse für jedes Getrebe aders st, köe dese Varable ur a Bespele utersucht werde. De Ergebsse zege sehr deutlch, dass de ketsche Eerge jeder Stellug aders auf de Gleder vertelt st. Dasselbe glt für de Auftelug der ketsche Eerge der Gleder auf hre traslatorsch ud rotatorsch bewegte Masse. Bemerkeswert st, dass sch de ketsche Eerge der Gleder sowe hre Auftelug auf de rotatorsch ud traslatorsch bewegte Masse durch de vo de eaktoe verrchtete mechasche Arbet ädert. Dadurch st erwese, dass sch Gled () selbst be autoomer Bewegug emals mt kostater Wkelgeschwdgket drehe ka. Außerdem wrd deutlch, dass de ketsche Eerge der Gleder selbst be kostater ketscher Eerge des Koppelgetrebes cht kostat st. A de Ergebsse autoomer Beweguge wrd deutlch, was sch bewegede Koppelgetrebe vor sch geht. Lteratur. ehwald, W.; Luck, K.: KOSIM - Koppelgetrebesmulato. Fortschrtt - Berchte VDI, ehe, Nr., ISBN , VDI Verlag GmbH, Düsseldorf 000,. Dresg, H.; Vulf so, I.I.: Dyamk der Mechasme. VEB Deutscher Verlag der Wsseschafte, Berl 989,. Dresg, H.: Schwguge mechascher Atrebssysteme. Sprger-Verlag Berl 000, 4. ehwald, W.: Ketsche Bewegugsaalyse ebeer, uglechförmg übersetzeder Getrebe. VDI-Forschugsheft 50, VDI-Verlag