3. Stochastische Prozesse und ARIMA-Modelle

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1 3. Sochsische Prozesse und ARIMA-Modelle 3. Sochsische Prozesse und Sionriä Sochsischer Prozess X T X T Sochsischer Prozess (Menge von Zufllsvriblen) T X Menge der Zeipunke, für die der Prozess definier is wenn T koninuierlich (meis, lso T R) X,, 3,, wenn T diskre (i.d.r. oder,,3,, lso T ) lso T Relision eines sochsischen Prozesses ( Zeireihe),,, n ˆ

2 Abbildung 3.: Sochsischer Prozess und Zeireihe X, X : IR Zeireihe mögliche Relisionen eines soch. Prozesses

3 Übersich 3.: Sochsischer Prozess und Zufllsvorgänge fes vribel fes vribel Relision der Zufllsvriblen X X X Zufllsvrible (zu einem bes. Zeipunk) T T X Zeireihe volls. soch. Prozess Definiion: Ein sochsischer Prozess is eine Folge von Zufllsvriblen, X T in der T die Menge der Zeipunke bezeichne, für die der Prozess definier is. Flls T Z T IR is, sprich mn von einem diskreen sochsischen Prozess, bei von einem seigen sochsischen Prozess. Inerpreion: Einem sochsischen Prozess lieg ein Zufllsvorgng zugrunde. Es sei ein Elemen des Sichprobenrums. Ds Ergebnis des Zufllsvorgngs zieh somi den Wer der Zufllsvriblen X X nch sich. Sochsischer Prozess ls "ensemble" von Zeireihen (Zeipfden, Trjekorien). Jedes Miglied dieses "ensembles" (dieser Fmilie) is eine mögliche Relision eines sochsischen Prozesses. Die beobchee Zeireihe is eine spezielle Relision.

4 Ergodiziä: In der indukiven Sisik werden im Allgemeinen unbhängige und idenisch vereile Sichprobenvriblen bei der Schäzung der Prmeer einer Grundgesmhei vorusgesez. Es lssen sich dnn i.d.r. Schäzfunkionen konsruieren, die die Konsisenzeigenschf besizen. Z.B. sind X und S konsisene Schäzer für die Prmeer und. In der Zeireihennlyse is die Unbhängigkeisnnhme im Allgemeinen gerde nich erfüll. Vielmehr werden die Zeireihenwere ls Relisionen verschiedener bhängiger Zufllsvriblen ufgefss. Zu jedem Zeipunk (Periode) lieg nur eine einzige Beobchung der bercheen Zufllsvriblen vor. Wenn mn rozdem die n Zeireihenwere nlog wie Querschniswere zur Prmeerschäzung verwenden will, müssen besimme Vorussezungen erfüll sein. Zullerers is zu klären, uner welchen Bedingungen ds zeiliche Miel n Xn X n gegen ds Ensemble-Miel konvergier, d.h. eine konsisene Schäzung von durch X n möglich is. Aufklärung hierüber geben die Ergodensäze. Die Konvergenz is gesicher, wenn der berchee sochsische Prozess ergodisch is. Wie sich zeig, sind schwch sionäre Prozesse mi einer besimmen Zuszeigenschf ergodisch.

5 Im Flle der Mielwerergodiziä gil z.b. n (3..) lim Ε X μ n n ws bei einem (schwch) sionären sochsischen Prozess gegeben is, wenn seine Auokovrinzfunkion bsolu summierbr is. Ds Ensemblemiel läss sich dnn konsisen durch ds zeiliche Miel schäzen. Eine Zeireihe is eine spezielle Relision us einer i.d.r. unendlichen Menge von möglichen Relisionen von X T X n. Zu jedem Zeipunk lieg nur Beobchung für die Zufllsvrible X vor, während gewöhnlich bei sisischen Problemen mehrere Beobchungen zur Schäzung einer Whrscheinlichkeisvereilung oder ihrer Chrkerisiken verfügbr sind. Es werden dher zur Schäzung der gemeinsmen Whrscheinlichkeisvereilung von X,X,, X Resrikionen einzuführen sein. n

6 Momene eines sochsischen Prozesses (Momene erser und zweier Ordnung): Mielwerfunkion : (-folge) (3..) X Vrinzfunkion : (3..3) Vr X (-folge),s Auokovrinzfunkion : (ACVF) (-folge) (3..4) Für die Auokorrelionsfunkion (ACF) folg dnn (3..5),s,s Cov X,Xs X Xs s Die Mielwerfolge gib die durchschniliche Zeifolge n, um die die Relisierungen des Prozesses schwnken. Mielung über lle Zeifolgen des "ensembles" (= Ensemblemiel). Dgegen ergib sich bei Mielung der einzelnen relisieren Beobchungen über lle ds zeiliche Miel n n Die Vrinzfolge gib für jeden Zeipunk n, in welchem Ausmß die Zufllsvrible X um den Wer der Mielwerfolge sreu. Bei einem sochsischen Prozess sind die Zufllsvriblen X ypischerweise voneinnder sochsisch bhängig. Ds Hupineresse lieg in der Anlyse der Abhängigkeissrukuren miels geeigneer Modelle. Richung und Särke der Abhängigkei werden miels der Auokovrinzfolge (ACVF),s und der Auokorrelionsfolge (ACF) gemessen.,s,s s

7 Schwch sionärer Prozess: (3..6) (3..7) (3..8) für,s s für oder, wenn mn s (3..8 ), s lle lle sez: (3..8 ) besg, dss die Kovrinz zwischen X und X s is nur von der zeilichen Differenz bhängig, nich jedoch von den Zeipunken. Für die ACF folg dmi (3..9),s s s mi oder mi (3..8) (3..9 ),s

8 Ekurs: Trendeliminion durch Differenzenbildung Linerer Trend Durch Bildung der ersen Differenzen läss sich ein linerer Trend usschlen. Qudrischer Trend Δ Durch Bildung der zweien Differenzen läss sich ein qudrischer Trend usschlen.

9 3. Spezielle sochsische Prozesse Whie-Noise-Prozess Ein sochsischer Prozess E U Vr U U und s heiß Whie-Noise-Prozess, wenn er die Eigenschfen i.. wird E U gesez, Cov U, Us für besiz. Beim Whie-Noise-Prozess werden llein die beiden ersen Momene berche. D die Auokovrinzen verschwinden, beseh keine linere Beziehung zwischen den vergngenen, kuellen und zukünfigen Relisionen der Zufllsvriblen U. Ds bedeue, dss U h, h uf der Bsis eines lineren Zeireihenmodells nich prognosizier werden knn. Wenn llerdings höhere Momene des sochsischen Prozesses U ungleich null sind, könne U h ggf. uner Verwendung eines nichlineren Modells vorhergesg werden. Unbhängige und idenische Vereilung (i.i.d.) Eine Zufllsvrible U is unbhängig und idenisch vereil [independen nd ideniclly disribued (= i.i.d.)], wenn lle Terme zeilich unbhängig sind und dieselbe Vereilung hben. Die Dichefunkionen sind dnn für lle idenisch, fu f U für lle, und die gemeinsme Dichefunkion f,,,t U,U,, UT is dnn gleich dem Produk der mrginlen Dichefunkionen : f U T f T,,,T U,U,,UT f U f U. Die Kennnis vergngener und kueller Were von Uliefer dnn keine prognosisch verwerbren Informionen für. U h, h

10 Rndom Wlk Es sei U eine unbhängig idenisch vereile Zufllsvrible (i.i.d.) mi den Prmeern U und. Vr Dnn folg die Zufllsvrible, X U (3..4) einem Rndom Wlk. Mn sprich von einem Rndom Wlk, wenn der kuelle Wer einer Zufllsvriblen sich us dem Vorperiodenwer plus einer Relision einer i.i.d.-zufllsvriblen ergib. Auf diese Weise ergib sich ein Zufllspfd, der nich-sionär is, d.h. sich beliebig von seinem Mielwer enfernen knn. Hierus h sich der Begriff der Irrfhr gepräg, die gelegenlich z.b. bei Akienkursen und nderen spekuliven Preisen zu beobchen is, wenn die Märke effizien sind. Um den Erwrungswer und die Vrinz des Prozesses zu ermieln, sezen wir den Anfngswer X ohne Einschränkung der Allgemeinhei gleich null: (3..5) X. Dnn ergib sich die Folge (X ) us X U (3..6) X X X X 3 X U U U U U U U U 3 U Uner Verwendung von (3..6) läss sich leich der Erwrungswer

11 (3..7) X U U U U U U bleien. Gleichermßen erhäl mn die unbedinge Vrinz des Prozesses us (3..8) Vr X Vr U U U Vr U Vr U Vr U unbh., d.h. bei unendl. lng nduerndem Prozess geh die Vrinz gegen unendlich.] [Für Während der Erwrungswer eines Rndom Wlks zeilich konsn is, riff dies für seine Vrinz nich zu. Vielmehr nimm sie mi wchsendem zu und is dher zeivribel. Der Rndom Wlk-Prozess (3..4) is dher mielwersionär, ber nich vrinzsionär. Wie sich zeigen läss, is der Rndom Wlk (3..4) ebenflls nich kovrinzsionär. Wegen (3..9) CovX X s, s häng seine Kovrinz wie die Vrinz vom Zeiinde b. Die Auokorrelionsfunkion des Rndom Wlks, (3..),s, is nich nur eine Funkion s der zeilichen Differenz s, sondern uch von den konkreen Zeiperioden und s bhängig, für die sie berche wird. Abbildung 3. gib eine ypische Relision eines Rndom Wlks in einem Zeireihendigrmm wieder. Die im Zeibluf zunehmende Vrinz bewirk, dss sich die Relisionen im Miel immer weier voneinnder enfernen.

12 Abbildung 3.: Zeipfd eines Rndom Wlks X Durch Differenzenbildung läss sich der nichsionäre Prozess in einen sionären Prozess X überführen: (3..) X U Wie us (3..) hervorgeh, is X ein i.i.d.-prozess, dessen Prmeer mi denen des i.i.d.-prozesses U übereinsimmen. Der bedinge Erwrungswer X,,, is unbhängig von,3,,, d sich modellmäßig lle Informionen bis zur Periode im Vorperiodenwer widerspiegeln: (3..) X,,, U U X

13 Die Beziehung (3..) knn zur Besimmung eines Prognosewers Xˆ n, für die Periode n+ uner Berücksichigung der gesmen Zeireihenhisorie verwende werden. Der Prognosewer Xˆ n, is durch den bedingen Erwrungswer (3..3) gegeben, d.h. die Ein-Schriprognose ensprich genu dem lezen beknnen Zeireihenwer. Anlog ergib sich der Prognosewer Xˆ n, us (3..4) Xˆ n, Xn n,n,, n Un n Un n Xˆ n, Xn n, n,, n Un Un n Un Un n worus durch Verllgemeinerung leich (3..5) Xˆ n,h Xnh n,n,, n gezeig werden knn. Der h-schri-prognosewer simm dmi bei einem Rndom Wlk mi dem Ein-Schri-Prognosewer überein. Gleichwohl is die h-schri-prognose mi zunehmendem Zeihorizon mi einer immer größeren Unsicherhei behfe. Mn erkenn dies n der Vrinz des Prognosefehlers. Bei der Ein-Schri- Prognose lue der Prognosefehler en, Xn Xˆ n, n Un n Un

14 so dss seine Vrinz durch Vr e n, Vr Un gegeben is. Der -Schri-Prognosefehler en, Xn Xˆ n, n Un Un n h dgegen die Vrinz Vr e Vr U U n, unbh. Vr U Vr U CovU,U Un Un Allgemein is die Vrinz eines h-schri-prognosefehlers durch (3..6) Vr e n,h h gegeben, ws bedeue, dss sich der Sndrdfehler der Prognose (3..7) e h in der h-en Periode um den Fkor h gegenüber der Ein-Schriff-Prognose vergrößer. Aus Abbildung 3.3 geh die dmi einhergehende Verbreierung des Prognoseinervlls (Konfidenzinervll der Prognose) mi zunehmendem Zeihorizon hervor. e n,h

15 Abbildung 3.3: Prognoseinervll n K onfidenzinervll e n,h n X Xˆ n, Xˆ, X

16 In Gleichung (3..4) is ein Rndom Wlk ohne Drif drgesell worden. Bei einem Rndom Wlk ohne Drif is z.b. die erwree Änderung eines Akienkurses gegeben die Informionen bis zur Periode ses gleich null: X,,, E(X ) U U. Trendmäßig seigende Akienkurse können z.b. durch Einführung eines Drifprmeers in (3..4) berücksichig werden: [] (3..8) X b X. u Gleichung (3..8) chrkerisier einen Rndom Wlk mi Drif. Die beding erwree Kursänderung einer Akie würde dnn genu dem Drifprmeer b ensprechen: X,,, E(X ) b U b U b Alernive Formulierungen der Rndom Wlk-Hypohese beziehen sich uf eine Lockerung der Annhmen hinsichlich des Zufllsprozesses U. Zum einen können lerniv unbhängige, ber nich idenisch vereile Innovionen unersell werden. Hieruner fllen vor llem Prozesse mi heeroskedsischen Vrinzen. Zum nderen wird gelegenlich die Unbhängigkeisnnhme durch die Unkorrelierheisnnhme ersez, ws einem Whie-Noise-Prozess für implizier. [] Es hndel sich hierbei jedoch nich um einen deerminisischen Trend, sondern um einen sochsischen Trend, ws konkreer in Kpiel 4 (Nichsionäriä und Koinegrion) zu erläuern sein wird. U