Beispiele zum Wiederholen und zur Differenzierung des Geometrieunterrichts

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1 Krlhort Meyer Beipiele zum Wiederholen und zur Differenzierung de Geometrieunterricht In jüngter Zeit beobchten mnche Lehrerinnen und Lehrer, d im Fch Mthemtik die Unterchiede im Können und der Leitungbereitchft der Schülerinnen und Schülern innerhlb einer Kle immer größer werden, w ich letztlich uch in chlechten Klendurchchnittnoten äußert. Mnche chlgen zur Verbeerung der Klenitutionen eine innere Differenzierung de Unterricht vor, wobei nicht immer klr it, w dmit gemeint it, w icher im vorliegenden Artikel uch nicht geklärt werden knn. Der Autor geht dvon u, d e unbhängig von einer olchen Klärung vor llem gilt, Beipiele zu finden, die zeigen, wie mn im Rhmen einer Differenzierung mit den Schülerinnen und Schülern rbeitet, die in der Lge ind, rch mnchml für den Lehrer unngenehm rch zu Neuem überzugehen, bzw. mit denen, die hierzu nicht in der Lge ind, die etw länger bruchen, um den eben unterrichteten Stoff zu verrbeiten.. Wiederholung wenn möglich, uf einem höheren Niveu Beim Wiederholen in der Kle bechränkt mn ich leider ehr häufig uf ein Aufrgen eine mthemtichen Lerntoff bzw. uf Anwendungbeipiele de unmittelbr vorher gelernten Stoff. Der Autor weiß ntürlich, d uf diee Form de Wiederholen uch zukünftig nicht verzichtet werden knn, doch ollte e nicht der einzige Weg ein. MEYER U. A. hben in [] Brennpunkt Mthemtik (Bände bi 9) um 990 verucht, diee Methode dhingehend weiter zu entwickeln, d bei den Anwendungufgben uch Stoff von ehr viel früheren Kpiteln eingebut worden it. Zugegeben die Löungbände ind dml nicht rechtzeitig erchienen, trotzdem mutet e heute nch dem TIMSS-PISA-Schock chon eigenrtig n, d e häufig gerde diee Wiederholungufgben wren, die Lehrer vernlten, die Buchreihe nicht einzuführen und e ich um einen Aufgbentyp hndelt, den mn heute l eine unvermeidbre Notwendigkeit eine jeden Lehrbuche nieht. Eigentlich gettten betenfll ngekündigte chriftliche Prüfungen, d - zumindet nch dem Buchtben der Vorchriften - über einen größeren Zeitrum bgeprüft und dmit wiederholt werden knn. Aber diee Möglichkeit it uf wenige Fälle im Schuljhr eingechränkt, wenn z. B. Byern die Vorchrift erlen ht, d in den viel häufigeren, unngekündigten Stegreifufgben, nur der Stoff der letzten beiden Unterrichttunden Verwendung finden drf. Im Nchhinein ht mn die Vorchrift dhingehend ufgelockert, d ntürlich d Grundwien immer bgefrgt werden knn; nur ht mn ich zumindet öffentlich nicht drüber geeinigt, w zum Grundwien gehört. Vermutlich knn mn ich hierüber gr nicht o einigen, d bei Klgen vor Gericht der Begriff Grundwien klr it; die führt dzu, d ich die llerwenigten Lehrer truen, Grundwien chriftlich bzufrgen. Die Idee de Wiederholen ht wohl uch dzu geführt, erte Beipiele für den Fächerübergriff (vergl. MEYER []) zu chffen. Später z. B. BARTH U. A. [] (Bände mit 0) ind e dnn gechichtliche Apekte geween, die im Mthemtikunterricht den Fächerübergriff weiter ugebut hben. Aber uch der Fächerübergriff it bei Lehrern und Schülern nicht beonder beliebt. Al extrem hbe ich e dnn immer empfunden, wenn e in der Kollegtufe nicht möglich geween it, trotz eine neunjährigen Englichunterricht eine mthemtiche Frge oder Antwort in der Fremdprche zu formulieren. Aber zurück zum Wiederholen mthemticher Inhlte. Niemnd betreitet, d Wiederholen uch in der Mthemtik lernnotwendig it. Mn ollte ich uch nicht mehr uf die Behuptung zurückziehen, d der Rhythmu, in dem wiederholt werden mu, von Mench zu Mench verchieden it, lo ozugen d Wiederholen in der Kle durch einen Lehrer cheinbr im Widerpruch zur Wiederholitution de einzelnen Schüler tehen mu. Die meiten Lehrer ind ich ber wohl einig, d uch m Gymnium d Wiederholen heute nicht mehr der Selbtändigkeit de einzelnen Jugendlichen überlen werden knn, ondern vom Lehrer zu teuern it. Au ll dieen Gründen wird dehlb potuliert:. Alleinige Abfrgen de früher gelehrten Stoff reicht nicht und wird in den Klen l lngweilig empfunden.

2 8. Wiederholen gechieht nch dem Einüben eine neuen Stoffe, der jetzt in Beziehung zu Früherem und nicht nur zum letzten Kpitel geetzt wird. Hierbei it wichtig, d die Wiederholitution vom Schüler nicht l olche empfunden wird. D Wiederholen knn nhnd von Fächerübergriff gechehen, mu ber nicht.. Wie bereit bei MEYER [] Seite 08ff gefordert worden it, benötigt mn hierzu ein eigene Beipielmteril, uf d mn gleich dem Spirlprinzip immer wieder zurückgreifen knn und bei jedem Wiederufgreifen weiter ubuen knn.. Wir bruchen ber uch eine Unterrichttechnik, die e getttet, d Wiederholen zu differenzieren und dnn uch der Begbtenförderung nzupen. Unter olchen Apekten, benötigen wir eine neue Wiederholkultur, die n mthemtiche Bedürfnie uzurichten it. Hierbei geht e um d Auffinden gnzer Stoffgebiete, ber vor llem um chöne d. h. interente Aufgbenbeipiele, die hierzu geeignet ind. D mn dvon ugehen mu, d e nicht gleich olche Beipiele in einer hinreichenden Anzhl geben wird, ollte mn pende Mteril mmeln, publizieren, um e zu einem päteren Zeitpunkt vielleicht in Lehrbücher ber uch Lehrerhndbücher einzubuen. Einige olche Beipiele mt ihren Grenzen werden im Folgenden vorgetellt:. Differenzierende Beipiele.. Wo it d erte Beipiel im Curriculum eingebettet? E geht um die Geometrie der Jhrgngtufe 8 (lo Strhlentz, Ähnlichkeit und Stzgruppe de PY- THAGORAS ind nicht gelehrt). Die Berechnung de Flächeninhlt von Rechtecken, Prllelogrmmen und Dreiecken it beknnt. Eine erte Vortellung vom Begriff der Zerlegunggleichheit zweier Flächen it vorhnden. Zur Vertiefung findet mn dnn in mnchen Lehrbüchern (hier MEYER U. A. [] Geometrie 8, Seite 66) die folgende Aufgbe: Aufgbe..: Die beiden Bilder zeigen, d die Rechtecke cheinbr zerlegunggleich ind. Wrum knn d nicht timmen? W it flch? Schneide beide Rechtecke und ihre Teile u Ppier u (Mße in cm) und füge ie uf die ngegebenen Weien zummen. Alle Schülerinnen und Schüler können wohl die Sitution mit den ugechnittenen Dreiecken nchtellen. Alle Schülerinnen und Schüler eine Gymnium ollten erkennen, d die Flächeninhlte der beiden Figuren die verchiedenen Größen 6 cm bzw. 6 cm ergeben. D knn bei einer Zerlegunggleichheit nicht ein. Die bebichtigte Verwirrung it groß. Alle ollten nch einiger Zeit erkennen wenn mn n der Flächenmßdefinition der Schule nicht rütteln will, d die größere Fläche irgendwo ein nicht entdeckte Loch ht. Nicht lle Schülerinnen und Schüler werden die Urche de Loch erkennen. Hiermit knn mn die Kle bereit in zwei verchiedene Level einteilen, differenzieren.

3 9 Bemerkung: An dieem Beipiel zeigt ich der Wert einer genuen Zeichnung in der Geometrie: Zeichnet mn die Sitution de Rechteck mit der Einheit cm genu, o ieht mn ehr wohl d Loch. Die Begbten werden erkennen: Lät mn die gleich lngen Strecken der Teile im Rechteck neinnder toßen, o it die cheinbre Digonle in Wirklichkeit ein leere Prllelogrmm, d offenichtlich den Flächeninhlt cm ht. Mit dieer Erkenntni hben ber uch die Begbten die Sitution kum vertnden. Hier it noch einige zu tun, w mn zur Differenzierung de weiteren Unterrichtgechehen nutzen knn. Vorher ber ollte mn llen Schülerinnen und Schülern noch die folgende Aufgbe vorlegen: Aufgbe..: Sind die biher geführten Unteruchungen mit der Zerlegunggleichheit flch? Wehlb wr die Überlegung zur nebentehenden Zeichnung erlubt? Auch der zukünftige Unterricht wird keine totle Differenzierung gettten, ondern wird wie biher dvon Gebruch mchen müen, d gelegentlich wie oft? begbtere Schülerinnen und Schüler Dinge erkennen, die den nicht o begbten zunächt nur mitgeteilt werden können; trotzdem hndelt e ich hier um Dinge, die ie ich merken müen: Die Zerlegunggleichheit der Aufgbe.. it nur eine cheinbre, weil d Rechteck u den Teilen de Qudrt zummengeetzt wird. Dzu im Gegentz it bei nebentehender Figur ber ein Abluf ngegeben (iehe die Nummern in den Kreien und die eingezeichneten Prllelitäten), der zeigt, wie d Rechteck und d Prllelogrmm zerlegt werden. Anchließend knn dnn z. B. mit den Kongruenzätzen bewieen werden, d die mit gleichen Nummern verehenen Teile jeweil kongruent ind. D in ller Regel olche Erkenntnie nicht in den Lehrbüchern tehen, mu diee Ergebni den Schülerinnen und Schülern in Heft diktiert werden. E wäre nämlich bwegig nzunehmen, d ein Schüler, der diee Ergebni elbt nicht erknnt und ohne chriftliche Fixierung nur gegt bekommen ht, diee drei Wochen päter reproduzieren knn. Hier it icher zwichen den Schülern einer Kle ein Unterchied, den mn veruchen mu uzugleichen, wenn mn zukünftig den Lehrerfolg heben will. Nun wird die Kle geteilt: Die Begbten bekommen ein Arbeitbltt mit Frgen zur Vertiefung deen, w bei Aufgbe.. gechehen it, während die nderen weitere einfche Aufgben zur Zerlegunggleichheit unter Auficht de Lehrer z. B. mit Kongruenzbeweien u.. löen; der Lehrer intereiert ich nur gelegentlich für die Fortchritte der Gruppe der Begbten... Aufgbenbltt Aufgbe..0: Unteruche und hinterfrge Aufgbe.. und lie die folgenden Frgen nicht. Fll du diee Problem nicht löen knnt, ind dir die folgenden Frgen eine Hilfe: Aufgbe..: W it d Weentliche für die Zerlegung de Qudrt mit der Kntenlänge 8 cm in Teile? Aufgbe..: ) Erhält mn immer die Problemtik der Aufgbe.., wenn mn die Knte de Qudrt mit der Kntenlänge 8 cm in der vorgegebenen Weie nicht in cm und cm teilt? b) Löe die gefundene Gleichung näherungweie.

4 0 c) Wie viele Löungen ind bei b) Löungen de Problem? d) Gib eine hlbweg exkte Löung n (frge u. U. hierzu den Lehrer). Aufgbe..: Wehlb ind lle Überlegungen unbhängig von der Whl der Kntenlänge de Qudrt in Aufgbe..? Aufgbe..: Finde eine Qudrtknte von Aufgbe.. o, d die Teilunglänge x der Aufgbe. eine ntürliche Zhl it. Aufgbe..: Wrum knn mn nicht mit Kongruenzätzen, Winkeln n prllelen Gerden u. ä. erklären, wehlb die beiden Flächeninhlte der Aufgbe.. verchieden ind? Aufgbe..6: Berechne ein Mß der Lücke im Rechteck der Aufgbe.., d nicht ein Flächeninhlt it. Aufgbe..7: Kontruiere eine ähnliche Sitution zu Aufgbe... Aufgbe..8 (nch Trigonometrie nicht erforderlich): Wie mu mn die Teilungpunkte und Winkel im Qudrt wählen, dmit die folgende Zerlegunggleichheit möglich it? D Endprodukt oll ein gleicheitige Dreieck ein. Ht mn Schülerinnen und Schüler die mit Aufgbe..0 etw nfngen können, o knn mn ich d Aufgbenbltt pren. In ller Regel werden die ber nicht lle begbten Schülerinnen und Schüler einer Kle ein. So wird mn wohl den Weg eine Aufgbenbltt gehen müen. Auch wird der Eintieg in einen differenzierten Unterricht icher nicht n dieer Stelle gelingen, wenn nicht chon vorher dieer Unterrichttil durchgeführt worden it. Die begbteren Schülerinnen und Schüler ziehen ich in eine Ecke de Klenzimmer zurück, dürfen miteinnder leie reden, um ich elbt zu kontrollieren... Löungen und Grenzen de Hinterfrgen Löung zu Aufgbe..: Mn mu d Qudrt o zerchneiden, d e Knten gibt, die gleich lng ind, dmit mn die Teile neinnder etzen knn. Um den Effekt der Aufgbe.. zu erzielen, mu mn drüber hinu erreichen, d z. B. nicht nur rechte Winkel bei der Zerlegung vorkommen. β x Löung zur Aufgbe..: Mn geht lo dvon u, d d Qudrt der Aufgbe.. mit der Kntenlänge 8 cm in Trpeze und Dreiecke zerlegt wird. Mn möge die Bezeichnungen der nebentehenden Skizze bechten. ) Der Flächeninhlt de Rechteck in Aufgbe α = 8.. it dnn (8 + 8 x)(8 x), wobei 0 < x < 8 ein mu. Die Doppelungleichung werden uch die begbteren Schülerinnen und Schüler nicht in jeder Kle finden, wenn ie nicht bereit vorher erfhren hben, d ft immer beim Auftellen eine mthem-

5 tichen Term u einer prktichen Sitution der Term nicht univerell ondern eingechränkt gilt. Erte Beipiele hierfür ergeben ich bei den Proportionen der Jhrgngtufen 6 oder 7: E it nur richtig, d der Prei direkt proportionl zur Me innerhlb gewier Grenzen it. Überteigt oder uch unterteigt mn diee Grenzen, o ergibt ich ein ndere Verhältni. D Problem der Aufgbe.. it, d ich der Flächeninhlt von 6 untercheidet. Alo verucht mn die folgende Gleichung zu löen: y = (8 + 8 x)(8 x) = 6 mit der Nebenbedingung 0 < x < 8. Vereinfcht zu: x x + 6 = 0 und 0 < x < 8 b) Schüler der Kle 8 können d nicht. E ei denn, ie hben in Kle dvon gehört, d mn durch bloße Einetzen (gechickt oder nicht gechickt) häufig eine Löung einer olchen zunächt unlöbren Gleichung errten oder zumindet uf beliebige Genuigkeit ngeben knn, w z. B. bei Benutzung eine Tchenrechner ehr chnell durchgeführt werden knn. Ergebni (in cm bzw. cm ): x y D mn offenichtlich jede Zhl zwichen den gewählten Rändern und einetzen knn, it vertändlich, d ich jeder Zwichenwert für zwei benchbrte y-werte ergeben knn (og. intuitive Stetigkeit). Alo findet mn: c) E gibt offenbr bei x = und bei x = Löungen dieer Gleichung. Für letzteren Wert gilt ber nicht die Zutzbedingung; lo findet mn: Für diee Problem gibt e genu eine Löung. d) D eben gechilderte Verfhren knn dzu dienen, weitere Nchkommtellen der Löung x =, zu finden. Mn knn e ber uch nder mchen: Viele der Mthemtiknwender benutzen bei ihren meiten Problemen Formelmmlungen, Tbellenbücher und ndere Unterlgen, ohne genuer den zugrunde gelegten mthemtichen Schverhlt zu unteruchen. Auch d will gelernt ein; dehlb ergibt ich die Frge, ob mn nicht gelegentlich Schülern eine Formel u. ä. geben oll, dmit ie weiterkommen. Im vorliegenden Fll benötigt mn die Löungformel der qudrtichen Gleichung und den Wurzelbegriff. Beide dürfte begbten Schülerinnen und Schülern keine Probleme mchen und knn chnell gegt ein. Tchenrechner-Ergebni (in cm): x =, Löung zu Aufgbe..: E ei die Qudrtkntenlänge; dnn erhält mn die folgenden Bedingungen: ( x)( x) = mit 0 < x <. Al Löungen findet mn x= und + x= > ; letztere Löung it lo nicht zu gebruchen. Löung zu Aufgbe..: D Problem it, wie beeitigt mn über ein zu wählende die Wurzel im Ergebni von Aufgben... Der Schüler mu noch die Definition der Wurzel und die Formel wien: (u-v)(u + v) = u v. Er findet + = und lle Vielfchen hiervon. Löung zur Aufgbe..: Der Eintz der gennnten Sätze wäre unbhängig von der Kntenlänge u Aufgbe.. möglich; d ber die biher gelöten Aufgben zeigen, d e uch Fälle gibt, in denen kein Loch entteht, knn ein olcher Weg nicht zur Unteruchung der Problemtik dienen. Löung zur Aufgbe..6: Hier hilft nur die Definition de Tngen, unter Umtänden uch d Tngendditiontheorem, weiter. Mit den Mßen u Aufgbe.. findet mn tn α = / und tn β = /8 bzw. tn (α+β) = 6, lo α + β = 88,76,7.. o. Die Lücke wird lo durch die Differenz zu 90 o verurcht. Löung zur Aufgbe..7: Alle Mße ind in mm gegeben.

6 Auch eine genue Zeichnung hilft hier nicht weiter (wrum?). Die genuen Berechnungen der Flächeninhlte ergeben 00 cm bzw. 00,6 cm. Löung zu Aufgbe..8: Die Aufgbe ieht mn uf der Titeleite der Mitteilungen von Mthemtik-Olympiden e. V. 00 Heft. Dort it uch die Internetdree ngegeben. Leider kommt wie o oft die Verbindung nicht zutnde. Der Autor der vorliegenden Abhndlung mute ich lo elbt Gednken mchen. D Ergebni oll nicht wie bei mthemtichen Publiktionen üblich einfch drgetellt werden, ondern uch der Weg dorthin kizziert werden. E it zwr richtig, d mn Mthemtik durch Vorführen von Problemen mt deren Löungen eiten eine Lehrer lernt und d e uch immer wieder Hochbegbte gibt, denen d Vorführen von Muterlöungen reicht, ber mn mu uch etw für die Nicht-Hochbegbten tun. Ihnen mu mn zeigen, wie mn zu Löungen kommt. Hierbei it bei den Kluuren der Mthemtik-Olympiden immer wieder zu beobchten, d Neulinge bei dieen Verntltungen nicht wien, w ie zu tun hben, eine Löung zu finden und nchließend den Löungweg vernünftig drzutellen. Die folgende Löung it ber nicht nur für Hochbegbte wichtig. E wird ein Beipiel vorgeführt, d zeigt, wie mn uf hohem Niveu in einer Kle wiederholen knn. Wir gliedern dehlb die Löung zu..8 in unüblicher Form:..8. Hilfetellungen: Bevor mn Löungen beweit, mu mn ie ert hben; d. h.: Welche Mittel knn mn nutzen, eine geometriche Löungidee zu finden: - Mn fertigt eine genue Zeichnung. Im vorliegenden Fll bedeutet die, mn teilt ehr exkt d Qudrt in der ngegebenen Form. Mn mu llerding zugeben, d dnn die Kontruktion de Dreieck einen nicht unerheblichen Arbeitufwnd mit ich bringt, der unnötig die Überlegungen verzögert, wenn mn nicht dynmiche Geometrieoftwre verwendet. Dehlb it d Folgende gechickter: - Mn fertigt mit Ppier und Schere ein Modell...8. Sinnvolle Einchränkungen: D Endprodukt E oll ein gleicheitige Dreieck ein. Hier wird uf einml ehr viel verlngt: - E it ein Dreieck. - E it gleichchenklig. - E it gleicheitig. Oft it e innvoll, bei einer derrtigen Stufung nicht lle uf einml nzutreben. Mn begnügt ich im vorliegenden Fll zunächt einml dmit, zu unteruchen, ob eine derrtige Zerlegung ein Dreieck ergibt, um hierfür die Bedingungen zu lokliieren. Mn mu llerding uch zugeben: Eine olche Verllgemeinerung der erten Frgetellung knn uch die Schwierigkeit de Problem vergrößern. E knn ich bei einem olchen Vorgehen nur um einen Veruch hndeln, der nicht erfolgreich zu ein brucht...8. D experimentelle Vorgehen und der Bewei: Grundätzlich veruchen wir, immer mehr notwendige Bedingungen für die Unterteilung de Qudrt (iehe die folgende linke Zeichnung) zu finden, bi die Bedingungen für d Endprodukt (iehe die folgende rechte Zeichnung) hinreichend ind:

7 7 H 8 A 9 E 0 α K β γ F B D 6 G C..8..: D Qudrt wird in der ngegebenen Weie irgendwie zerlegt und dnn verucht, die Teile zu einem Dreieck zummenzufügen: Mn gibt den Seiten der Zerlegungteile Nmen (iehe die Abbildungen). Beginnt mn wie uf der rechten Zeichnung mit und fügt o n, d die Strecken 7 und 8 o ufeinnder zu liegen kommen, d ie einen oberen Endpunkt gemeinm hben, und fügt und zuletzt n, o tellt mn fet: Mn erhält kein Dreieck ondern i. Allg. ein Neuneck. Die entcheidenden Seiten de euneck zeigen ber in die richtigen Richtungen. () Begründung: 9 und bilden im Endprodukt eine Gerde, weil ie im Qudrt zummenfllen und gegenüber 8 denelben Winkel einchließen; d ber bei der Enttehung de Endprodukt die Teile nur verchoben und gedreht, nicht ber gewendet werden, ind 8 und nch der Umkehrung de Winkeltze n prllelen Gerden prllel und liegen dehlb uf einer Gerden. Die vier rechten Winkel de Qudrt (iehe die linke Zeichnung) bewirken, d ich die Figuren und mit und läng einer Gerden im Endprodukt (iehe die rechte Zeichnung) treffen. Anlog: Im Qudrt (linke Zeichnung) bilden mit 7 bzw. mit den gleichen Winkel (Z-Winkel); lo ind im Endprodukt und (iehe die rechte Zeichnung) prllel. Im Qudrt (linke Zeichnung) erkennt mn weiter, d 9 mit den Strecken 0, und den gleichen Winkel bilden. Alo ind diee Strecken im Endprodukt (der rechten Zeichnung) prllel...8..: Dmit e ein Dreieck wird, mu offenbr gelten: =, = 6 und + 7 = + 8 Bezeichnet mn die Qudrteite mit, o folgt hieru + 7 = ( ) + 7 = + ( 7 ). Alo gilt notwendig im Qudrt = 7 bzw. = 8. Dmit d Endprodukt ein Dreieck it, müen nch () E und G die Mitten der Qudrteiten ein und nch (b) F und H die gegenüber liegenden Qudrteiten im elben Verhältni teilen. () Dehlb ind im Qudrt die Dreiecke EBF und GDH kongruent und inbeondere die Strecken EF und GH prllel und gleich lng...8..: It d Enddreieck gleichchenklig, o gilt z. B. 9 + = +. In der Qudrtzerlegung ind 9 = und =. Hieru folgt 9 = = =. () It d Enddreieck gleichchenklig, o mu d Dreieck GHK ebenfll gleichchenklig ein. Dmit ind in der Qudrtzerlegung α = γ, weil GH und EF prllel ind. () (b) ()

8 ..8..: It d Enddreieck gleicheitig, o gilt: = 9 + = + Wegen der biher bewieenen notwendigen Bedingungen folgt hieru: = 9 = D Enddreieck knn lo nur gleicheitig ein, wenn bei der Qudrtzerlegung gilt: EF = KG= KH (6)..8..: Etw n dieer Stelle wurde verucht, d Retproblem durch Einführung von Koordinten zu löen. E ergb ich eine Gleichung. Ordnung in Abhängigkeit von, deren Koeffizienten ußer beim lineren Glied lle von null verchieden wren. Sehr häufig ind geometriche Probleme nur ehr chlecht mit Koordinten zu löen. E wurde d Ergebni dhingehend gewertet, d d Retproblem in zwei Unteruchungen zerlegt werden mu, w dnn uch zum Ziel führte : Die Idee: Auf der Strecke GH mu ein gleicheitige Dreieck errichtet werden, deen Spitze uf der Gerden EF liegt. E mu lo die Höhe de gleicheitigen Dreieck gleich dem Abtnd der Gerden GH und EF ein. Hinwei: In der nächten Zeichnug geht d Lot uf HG durch F nicht durch G! Zum Bewei nimmt mn n, d d Lot von F uf HL durch den Mittelpunkt G der Seite CD geht. Durch Anwendung de Lehrtze von PYTHAGORAS folgt dnn, d uch F die Mitte einer Qudrteite it. Dnn ber it d Dreieck HGK nicht gleicheitig. Mn möge in der unteren Zeichnung die Winkel δ bechten, die nch dem Stz über Winkel mit prweie ufeinnder enkrecht tehenden Schenkeln gleich groß ind. D G die Mitte einer Qudrteite it, gilt wegen (): EBF GDH GCL Vereinfcht mn = b und erinnert ich, d die Qudrteite heißt, o findet mn: FL= (7) Für den Abtnd d = d(g,h) gilt dnn: d = coδ= = + tn δ b + Hieru folgt: H d= (7) F + b δ d Die Bi GH de gleicheitigen Dreieck ht h + b nch PYTHAGORAS die Länge. D Alo ht d gleicheitige Dreieck die Höhe G δ C h = + b. (8) b Nch obigen Überlegungen mu gelten h = d. Au (7) und (8) findet mn dehlb: L = + b (9) + b Hieru folgt mit einer einfchen Rechnung für d Verhältni, in der die Qudrteite geteilt werden mu: b = = Geht mn von einer Qudrteite der Länge 0 u, o ergibt ich für b = A E K g B BE= DH =,77.. b

9 ..8..7:. Verbeerung de letzten Schritte: Al dnn der Autor uf dem byerichen Trininglger für die Mthemtik-Olympide d Beipiel vorführte, fnd ein Schüler für den letzten Schritt eine Verbeerung, die ohne Kenntnie in Trigonometrie verwirklicht werden knn: Am Qudrt erkennt mn 0 + =. Im gleicheitigen Dreieck mit der Seitenlänge c gilt = c; lo it = c:. D Qudrt und gleicheitige Dreieck flächengleich ein ollen, gilt findet mn d Dreieck EBF: b c=. Alo it = = c. Hieru. Hiermit ergibt ich nch dem Stz de PYTHAGORAS ngewndt uf = =, lo b= ; d it d vorher gefundene Ergebni :. Verbeerung von..8..6: Auf der. Tgung Forum zur Begbtenförderung in Mthemtik vom. bi.. 00 n der Univerität Stuttgrt ht Profeor Dr. Rudolf Sträer (TU Lule Schweden) Obige kennen gelernt. Ihn ht vor llem der lgebriche Weg von getört. In einem Schreiben ht er mir dnn wie folgt letztere gelöt: ) Mn zeichnet in ein Qudrt ABCD die Seitenmitten E und G bzw. die Punkte F und H wie biher o ein, d BF= DH (vgl....8.) it. Spiegle EBF n E zu EAF. D bei der Punktpiegelung Gerden in hierzu prllele übergehen, liegen H, A und F uf einer Gerden. Spiegle F HK n H zu F HK. Spiegle GCFK n G zu GDF*K*. E it hier noch zu zeigen, wehlb gilt F = F* und K, F = F* und K* uf einer Gerden liegen. Dmit it gezeigt: D Qudrt ABCD it flächengleich mit dem Dreieck K KK*. K" F* F' A H D F* F" K* E G B K F C b) Will mn nun ein gleicheitige Dreieck HGK erzeugen, o mu der Winkel EKG 0 o groß werden, lo K uf dem Peripheriewinkelkrei zu dieem Winkel über EG liegen. An dieer Stelle zeigt ich der Vorteil einer Geometrieoftwre: Errichtet mn bei vriblen H uf AD über HG gleicheitige Dreiecke und verfolgt deren Spitze S, o tellt mn fet, d S uf einer zu AD gleich lngen Strecke UV liegt. Begründung: UV geht u AD durch Drehung um G um 60 o hervor. A D 60 o E 60 o 60 o D geuchte Punkt K it der Schnittpunkt de Peripheriewinkelkreie mit UV. Mn ieht uch deutlich: E gibt nur einen Schnittpunkt. Die in der Zeichnung ngegebenen Nummern geben die Kontruktionchritte bei einer Hndzeichnung n. : Kontruktion de Peripheriewinkelkreie. : Die 60 o -Drehung von AD um G. : Kontruktion von EK, wobei K der Schnitt de Kreie mit der gedrehten Strecke it. : BF= DH : Der Ret der Aufteilung de Qudrte. H U G K B F C V

10 : Die ufgetellten Bedingungen (), (), und (6) ind für die Zerlegunggleichheit hinreichend. Begründung: (), (), und (6) geben eine Einteilung eine Qudrt in der gewünchten Form. Jede vorgegebene Einteilung ergibt d Neuneck mit und bzw. 0, und prllel, deen Seiten wegen der Bedingung () ein Dreieck bilden. D Endprodukt it wegen den Bedingungen () gleichchenklig, weil nch Kontruktion = und 9 = ind. Wegen (9) ht die Fläche n entcheidender Stelle einen 60 o -Winkel; lo it d gleichchenklige Endprodukt gleicheitig. Dmit it uch die Exitenz von Qudrteinteilungen gegeben, die zu beliebigen bzw. gleichchenkligen, flächengleichen Dreiecken führen.. W hben olche Beipiele mit mthemtichem Arbeiten zu tun? Eine gnze Reihe von grundätzlichen Techniken de mthemtichen Forchen werden inbeondere n Aufgbe...8 u Kpitel. deutlich. Mn ollte zukünftig diee übergeordneten Techniken im Unterricht nennen und nicht verchweigen, wie mn zu den Ideen kommt. Mthemtik drf zukünftig uch n der Schule keine Geheimwienchft mehr ein.. Ert durch Intuition (Fntie) knn mn Behuptungen uftellen. D Auformlieren von ihnen teht n. Stelle; dnn ert kommt d Beweien olcher Behuptungen. Selbtvertändlich wird nicht jede Intuition zu beweibren Behuptungen führen, doch zeigt die Erfhrung, d derjenige, der dieen Weg bewut geht, immer häufiger Augen uftellt, die mn dnn uch beweien knn. Experimente fördern die Intuition. So wird mn immer wieder veruchen, Grundätzliche u gerechneten Beipielen zu entdecken. Die Rechnung wird in der Geometrie durch Zeichnungen bzw. u. U. uch durch Modelle eretzt. Leider wird dieer Weg n der Schule viel zu wenig gepflegt.. Mn verucht, immer mehr notwendige Bedingungen ufzutellen, und hofft, d ihre Gemtmenge hinreichend wird.. Mthemtiche Entdeckungen werden oft durch d Wechelpiel zwichen Speziliieren und Verllgemeinern oder umgekehrt gemcht. Diee Wechelpiel gehört zu den übergeordneten Grundlehrzielen eine jeden Mthemtikunterricht.. Die folgende Bemerkung geht uf ARTIN [] zurück: D Koordintiieren geometricher Probleme führt häufig zu vermeidbren lgebrichen Schwierigkeiten. Mn gewinnt mehr Einicht über die Allgemeingültigkeit einer Auge, wenn mn ie ynthetich löt. Auch hierbei ging die Schule der Vergngenheit mit ihrer Euphorie der Univerlität der Vektorrechnung nicht den richtigen Weg, wie ich uch drn zeigt, d nicht elten Reifeprüfungufgben viel rcher und dmit elegnter ynthetich l mit Vektorrechnung gelöt werden können.. Jeder it glücklich, der ein Problem gelöt ht. Doch nicht elten, erkennt mn elbt oder ein nderer päter, wie ich der Weg vereinfchen lät. D it norml und ht nicht mit der Unerfhrenheit de Schüler zu tun. 6. Ht mn ein Problem gelöt, o gehört e eigentlich zum Mthemtichen dzu, neue Frgen zu finden, zumindet zu veruchen, wie der drgetellte Problembluf verllgemeinert werden knn. Ht mn wirklich die Abicht, die mthemtiche Bildung der Schule erfolgreicher werden zu len, o wird mn nicht umhinkommen, die lle zukünftig im Unterricht klrer werden zu len.. Geeignete Beipielgruppen zur Differenzierung und Wiederholung Die in Kpitel. getroffene Drtellung lät doch deutlich werden, d wohl nicht jeder Lehrer bereit ein wird, den Weg de Differenzieren zu gehen, wenngleich zugegeben werden mu, d e uch nicht o chwierige Beipiele gibt.

11 7 Ein Weg, den ich für die Gemtitution bereit früher (99 MEYER []) vorgechlgen hbe: Mn ollte bei chönen Schulbeipielen im Lufe de Curriculum immer wieder uf diee qui uf einer höheren Stufe zurückkommen, wie ich die etw BRUNER, der Schöpfer de Spirlprinzip, in nderem Zummenhng vorgetellt hben mg. So knn mn gerde durch d vorgeführte Beipiel eine interente Anwendung für die qudrtiche Gleichung bzw. u. U. den Tngen ehen, wie die dem Autor wohl chon 980 in MEYER [] z. B. Seite vorchwebte. In unerem Fll wäre e dnn eine gute Gelegenheit bei den qudrtichen Gleichungen der Kle 9 bzw. beim Tngen in Kle 0 Obige ufzunehmen. So könnte mn in ntürlicher Weie wiederholen, wenn mn wie im vorliegenden Beipiel in den päteren Schuljhren noch einml uf die Zerlegunggleichheit von Flächen zurückkommen könnte. E würden icher viele Lerninhlte nicht o chnell in Vergeenheit gerten, wie die heute leider der Fll it, w beim vorliegenden Beipielmteril icher der Integrlrechnung der Schule zugute kommen könnte. In MEYER [] wird ein Beipielmteril unter der Überchrift Beondere Punkte im Dreieck zummengetellt, d n den erten einchlägigen Erfhrungen (z. B. 7. Jhrgngtufe) mit den Schnitten der Höhen, Seitenhlbierenden, Mittelenkrechten und Winkelhlbierenden m Dreieck in der gehobenen Mitteltufe (9. Jhrgngtufe) mit den Sätzen von MENELAOS, CEVA, APOLLONIUS und FEUERBACH fortgeetzt wird, d ber dnn uch Stoff für die Kollegtufe bietet (vgl. MEYER []). Eine weitere übergeordnete Beipielgruppe ergäbe ich, wenn mn m Gymnium endlich ufhören würde, lle, w mit Kurvendikuion zu tun ht, gewltm in die Kollegtufe zu verchieben. Der Funktionbegriff it b dem Betrchten von Digrmmen in der Jhrgngtufe im Unterricht tet präent, uch wenn er häufig ert in Jhrgngtufe 8 l Begriff ercheint. Die Proportionlitäten der Jhrgngtufen 6 oder 7 führen notwendigerweie zum Betrchten der zugehörigen Grphen. Späteten jedoch b Jhrgngtufe 8 it im Zummenhng mit dem Kennen-lernen der lineren, qudrtichen, trigonometrichen und e-funktionen die Kurvendikuion lufend weiter o uzubuen, d zu Beginn der Kollegtufe eigentlich nur noch d biher Beknnte durch Grenzwertbetrchtungen uzubuen it. Mn könnte o erheblich die von llen empfundene Überltung der Jhrgngtufe bbuen.. Bemerkungen der Herugeber der Mthemtikinformtion Bedenkt mn die Arbeitzeit, die für den Entwurf diee Abhndlung erforderlich wr, o it klr, d eine innere Differenzierung dieer Art nicht vom einzelnen Lehrer entworfen werden knn, weil e ihm hierzu n Arbeitzeit fehlt. Die Aufnhme olcher Ideen in ein Schulbuch oder Lehrerhndbuch it uch ehr frglich, weil dnn die Untercheidung zwichen geeigneten und weniger geeigneten Schülern für eine Begbtenförderung llzu leicht z. B. durch pende Nchhilfe unterlufen werden könnte. Mn ollte dehlb zumindet eine Zeit lng olche Einzelideen eigen in Zeitchriften veröffentlichen und mmeln. Die Mthemtikinformtion könnte hierzu ein Forum ein. So mögen lle, die Ideen hben, ermutigt werden, ihr Können der Zeitchrift zur Verfügung zu tellen und nicht gluben, d e immer große Ideen ein müen, die in der Mthemtikinformtion publiziert werden. 6. Litertur Artin, E. []: Geometric Algebr, Intercience Publiher, Inc. New York 96 Brth u.. Meyer u.. []: Anchuliche Mthemtik, Ehrenwirth-Verlg München []: Brennpunkt Geometrie 8, Schroedel-Schulbuchverlg 99 vergriffen Meyer Krlhort []: Gymniler Mthemtikunterricht im Wndel, frnzbecker 99

12 8 []: Anwendungufgben im Mthemtikunterricht: Algebr und Geometrie, Hirchgrben- Verlg Frnkfurt/Min 980 vergriffen []: Beondere Punkte und Linien im Dreieck, Mthemtikinformtion 0, in Vorbereitung Anchrift de Autor: Dr. Krlhort Meyer Kyffhäuertrße Neubiberg