Elektrizitätslehre. Formelsammlung. Preis: 0,90. Prof. Wachutka (TU München) SN: Stand: Urheberrecht: Simon Blank

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1 Elektztätslehe Pof. Wachutka (T München) Fomelsammlung Stand: hebeecht: Smon Blank Duck und Veteb: Fachschaft Elekto- und Infomatonstechnk e.v. Pes:,9 S:.3.

2 Vowot zu 7. Auflage: Gundlage dese Fomelsammlung st de Estsemeste-Volesung "Elektztätslehe", welche He Pof. D. Wachutka m Wntesemeste 999/ an de T München fü Studeende de Fachchtung "Elektotechnk und Infomatonstechnk" gehalten hat. Alle Kaptel- und Fomelnummeeungen stmmen mt den ummeeungen aus de Volesung übeen. Fü de 6. Auflage habe ch de Fomelsammlung mt Hlfe des aktuellen Ognalskptums (von Hen Pof. D. Wachutka, welches wähend de Volesung an de Tafel gescheben wd) m Jul 3 komplett übeabetet und nhaltlch ewetet. Dabe habe ch enen klenen Fehle n Fomel (.4) und n Kaptel 5.3. (be Zegeadon) übesehen, de ch hemt koget habe. wchtge Hnwes: Dese Fomelsammlung daf lede ncht n de Püfung Elektztätslehe an de T München vewendet weden, sonden nu (auße dem Skptum de Vogängepofessoen und ene mathematschen Fomelsammlung) 5 Blätte DI-A4 egene handschftlche Aufzechnungen. Kontakt: De jewels aktuelle (fabge) Veson dese Fomelsammlung und andees (Fomelsammlungen fü andee Fäche, Lnksammlungen etc.) kann man sch auf mene Websete heunteladen: Koektu- und Vebesseungsvoschläge snd jedezet hezlch wllkommen. Ich bn unte folgende E-Mal- Adesse zu eechen: smonblank@gmx.de

3 letzte Aktualseung: Elektztätslehe - Fomelsammlung Inhaltsvezechns Kaptel : Elektostatk. Käfte zwschen elektschen Punktladungen S.. Supepostonspnzp S..3 Elektsche Feldstäke S..4 Elektsche Abet S..5 Elektsche Spannung und Potenzal S..6 Elektsche Felde n polasebaen mateellen Meden S. 3.7 Kontnuelche Ladungsvetelungen S. 4.8 Elektostatsche Felde zwschen letenden Meden S. 5.9 Kondensatoaggegate S. 6. Elektostatsche Feldenege S. 7 Kaptel : statonäe Stöme. Stomstäke, Stomdchte S. 8. Ladungstanspot m elektschen Feld S. 8.3 Ladungsehaltung S..4 Schaltungen mt Wdeständen S..5 Elektsche etzweke aus galvansch gekoppelten Glechstomkesen S..6 Elektsche Lestung und Enegeübetagung S. Kaptel 3: Magnetostatk 3. Käfte auf bewegte Ladungen S Kaft und Dehmoment auf Stom fühende Lete S Pemanentmagnete S Quellenfehet des B-Feldes S Ezeugung magnetostatsche Felde S Beechnung magnetostatsche Felde und Käfte aus gegebene Stomvetelung S Magnetsche Kese S. 7 Kaptel 4: nduzete elektsche Felde und Spannungen 4. Bewegungsndukton S Galvanomagnetsmus (Halleffekt) S uhendukton S. 4.4 Allgemene Fom des Induktonsgesetzes S. 4.5 Induktvtät S. 4.6 Tansfomatoen S. 4.7 Magnetostatsche Feldenege S. Kaptel 5: Elemente de Wechselstomlehe 5. Gundbegffe S Wechselstomschaltungen mt lneaen Bauelementen S Wechselstomechnung mt Hlfe komplexe Zahlen S Enfache Schaltungen aus, L und C S Lestung und Effektvwete S Gedämpfte Schwngkes S Tansfomato n komplexe echnung S. 34

4 π π Elektztätslehe - Fomelsammlung Kaptel : Elektostatk. Käfte zwschen elektschen Punktladungen (.) q q F F ( ) Coulombsches Gesetz 3 4 π ε. Supepostonspnzp (.) q q F ( ) ( ) 3 q 4 ε auf ene wetee Ladung q am Ot ausübt. ( ).3 Elektsche Feldstäke Kaft, de ene Anodnung von Ladungen q ( ) an den Oten (.3) q E 4 π ε 3 ( ) E -Feld ene dsketen Ladungsvetelung ( q, ) ; Enhet: dm( E ) V m () Spezalfall: Feld ene Punktladung q am Ot (.4) E 4 ε ( ) ( ) q 3 (v) Spezalfall: Dpolfeld, Ladungen Q, und Q, (.5) Q E 4 π ε ( ) ( ) Elektsche Abet (.6) l W F( (s) ) t ( s) ds : F( ) d C( P, P ) d De Wet des Wegntegals F( ) P P bebehalten wd. (, ) C P P d st unabhängg von de Paametedastellung, solange de Oenteung - -

5 () konsevatve Kaftfelde En Kaftfeld F( ) heßt konsevatv, wenn das Wegntegal F( ) Wahl des vebndenden Weges C( P, P ) abhängt. (, ) C P P d nu von P und P, abe ncht von de Es glt: F( ) F F fü alle,j j x x j konsevatv <> ( ) j.5 Elektsche Spannung und Potental (.7) Def.: W E d q C( P,P ) Elektsche Spannung; Enheten: dm( W ) J, dm( ) V Da elektostatsche Felde konsevatv snd, st wegunabhängg! () Folgeung: In de Elektostatk glt: (.8) E d C fü jede geschlossene Kuve C! (v) Defnton des elektschen Potentals (.9a) Punkt. ( ) P E d Insbesondee glt: P P P P E d P, : bzgl. P ; P (am Ot ) feste efeenzpunkt, P (am Ot ) belebge (v) Folgeung: (.) PP ( ) ( ) (.9b) P() ( ) ( ) E ( ) d, wobe ( ) P belebg zu wählen st. (v) Äqupotentalflächen E steht senkecht auf allen Tangenten an de Äqupotentalflächen ( ) const., d.h., E st zu Obeflächennomale. Zechenekläung: paallel - -

6 ε ε ε : ε (v) Bespel: Potental ene Punktladung Q am Ot Q (.) (.) P( ) P( ) Q E d 4 π ε Q Q ( ) : Q ( ) ( ) Q + fü efeenzpunkt 4 π ε (x) Bespel: Potental ene dsketen Ladungsvetelung (q );..., (.3) ( ) q 4 π ε.6 Elektsche Felde n polasebaen mateellen Meden (Delektkum).6. Delektztätskonstante (elektsche Pemttvtät) (.4) q q Fq ( ) Fq,Vakuum ( ) 3 ε 4 π ε ε.6. Delektsche Veschebung, Gaußsches Gesetz (.5) D : E ( ) E ( ) () Veallgemeneung: belebge Ot von Q und belebge Hüllfläche (.6) Q V D da V H V (v) Gaußsches Gesetz (fü Punktladungen) (.7) H V D da Q V q V (v) Enschub: Flächenntegale n 3 da da t t dudv ( ) Vektoelles Obeflächenelement v u F da : F( ( u, v) ) dudv u v S v u Fluss enes Vektofeldes F( ) duch de Fläche S - 3 -

7 σ ρ ρ σ σ ρ σ σ ρ ρ ρ σ.7 Kontnuelche Ladungsvetelungen.7. aumladungsdchte () Idee Zahl de Ladungen n V( ) () fü V V () Defnton 3 ( ) d ( x, y, z) dxdydz 3 ( ) d ( x, y, z) dxdydz Q( V) V st de m Volumenelement dxdydz enthaltene Ladung dq, sodass glt: fü belebge Volumna V, de engeschlossene Ladung egbt..7. Obeflächenladungsdchte () Idee In Leten stzt elektostatsche Ladung auf seh dünne Schcht an de Obefläche S vetelt. ( ) Zahl de Ladungen n A( ) fü A A () Defnton S dudv st de n Obeflächenelement da enthaltene Ladung dq, so dass u v ( ) da ( ( u, v) ) ( ) da Q( S) fü belebge Flächenstücke S de enthaltene Ladung egbt..7.3 Gaußsches Gesetz (fü aumladungsvetelungen) () aumladungsvetelung (.8) D da Q V H V V 3 d fü jedes Gebet V mt Hüllfläche V. () Obeflächenladungsvetelung (.9) D da Q V S da H V S V fü jedes Gebet V, das ene Leteobefläche S schnedet. (.) D auf Leteobeflächen außehalb des Letes ( zegt vom Lete nach außen) - 4 -

8 σ ε ε.8 Elektostatsche Felde zwschen letenden Meden.8. Influenz () Defnton von Lete En Lete bestzt seh vele ( - 3 ) Ladungstäge po Volumen (cm 3 ). > Lete snd Äqupotentalgebete (-flächen) E const. > Lete haben wegen delektsche Abschmung kene aumladung: () Wd en Lete enem äußeen elektostatschen Feld ausgesetzt, so wd duch Ladungsveschebung ene Obeflächenladung σ nduzet, so dass glt:. E m Inneen des Letes. E Leteobefläche (außen) 3. σ D auf Leteobefläche (Influenz)..8. Kapaztät () Defnton E d he: > ; Lete habe de Ladung Q, Lete de Ladung Q Q D da H um "" (.) (.) Q C > C H "" "" E da E d > C f ( ε, Geomete), unabhängg von E! () Bespel: Plattenkondensato (.3) Q A C mt d Q D da D A ε E A H und E d E d Q D D D const. A Flächenladungsdchte - 5 -

9 σ π ε ε σ ε () Bespel: Kugelkondensato (.4) Q a b C 4 mt a : Innenadus, b : Außenadus, b a Q D da E da E 4 π und K(,) b b K(,) Q Q Q b a E ( ) d d 4 π ε 4 π ε a b 4 π ε a b a a C 4 π ε a mt b Kugelkapaztät gegen Zwe koaxale Metallzylnde (senkecht zu Zechenebene unendlch ausgedehnt; nach Lösung von Übung 5) Q q L D da mt da e π dz und H Q π L D D e D q D ( ) π q E ( ) πε Dabe glt: : adus ( a b ) und L : Höhe ene zylndschen Hüllfläche. Q ql q A π al π a Q q L q Obeflächenladungen A π b L π b mt a : adus von Innenlete (Ladung: q ) und b : adus von Außenlete (Ladung: q ) a q b ( a) ( b) E ( ) d ln Potentale πε a b q π ε c b ln a Kapaztät po Längenenhet.9 Kondensatoaggegate () Paallelschaltung (.5) Qtotal C p C mt C p C paallel () Seenschaltung (.6) C s C mt C s C seell - 6 -

10 ε ε ε σ σ ε ε ε ε ε ε ε () Paallele delektsche Matealen (.7) Q A ε A C + mt Q ( A + A ) d d d Dabe glt: Q Q+ Q A+ A E A+ E A D D (v) Seelle delektsche Matealen Q D D A d d (.8) Q A d d C mt E d + E d + Q d d A +. Elektostatsche Feldenege () Enege enes aufgeladenen Kondensatos (.9) Q Wel Q C C () Enegedchte des E -Feldes (.3) w el ( E D) aus W E D V ε el w el : E D - 7 -

11 ρ ρ Kaptel : statonäe Stöme. Stomstäke, Stomdchte () Stom Ladungsfluss Stom: Zet (.) I A dq A ( A) Enhet: dm( A) C s () Stomdchte: ( A) IA j fü A und A Stomfluss ; de chtung von j st de Tangente an den Ladungsflusslnen A (Ladungstajektoen) (.) d Q j da A m Enhet: dm( j) st de po Zetenhet duch da fleßende Ladung > d IA > j da IA A j da A () Zusammenhang mt aumladungsdchte ( ) q n ( ) mt n : Tägekonzentaton Tägeanzahl Volumen q n fü mehee Tägesoten glt: und q : Ladung enes Täges De m Volumen dv da d befndlchen Ladungstäge snd genau de, de n de Zet de Kontollfläche da passet haben: dq j da q n dv q n da v (.3) j q n v glt nu fü ene Tägesote; j : Stomdchte (.4) j q n v glt fü mehee Tägesoten. Ladungstanspot m elektschen Feld.. Tanspot ohne Stoßpozesse (Vakuum) dv m q E( ) glt nu fü enen Ladungstäge - 8 -

12 σ σ (.5) m ( v v ) q v() q m wenn glt: Anfangsgeschwndgket.. Tanspot mt Stoßpozessen (Lete; Dftbewegung) () Beweglchket v Vele Ladungstäge, de an Steuzenten gesteut weden. Statstk > mttlee Dftgeschwndgket v v( E), mttlee Stoßzet τ und effektve Masse * m * v * v q τ q E m m v E * t τ m sgn( q ) lneae Ansatz mt : Beweglchket. Dabe glt: µ > (.6) (.7) v sgn q E j q n E mt v : mttlee (Dft-)Geschwndgket Stomdchte fü ene Tägesote (.8) k j q n E ( ) Stomdchte fü mehee Tägesoten () Ohmsches Gesetz n lokale Fom (.9) j σ E mt k q n : spezfsche elektsche Letfähgket; Enhet: dm σ A S σ Vm m Ω m () Ohmsches Gesetz n ntegale Fom (.) I G mt und l : Länge des Letes) A I j da E da A A l G ( A : homogene Queschntt, σ : homogene Letfähgket (.) (.) G A l σ elektsche Letwet; Enhet: dm( G) I mt G S Ω - 9 -

13 (.3) l l σ ρ elektsche Wdestand A A (.4) σ ρ spezfsche elektsche Wdestand; Enhet: dm mm ρ Ω m Ω m Flusschtung von I : vom höheen Potentalwet zum nedgeen Potentalwet.3 Ladungsehaltung () ntegete Dastellung (allgemen gültg) (.5) V dq V j da Fü ene statonäe Stomvetelung glt: d fü jede belebge Hüllfläche V fü statonäen Fall (wg. Q V zetlch konstant) > j da V () Kchhoffsche Knotenegel (.6) k I k.4 Schaltungen mt Wdeständen () seelle Schaltung (.7) I s () Paallelschaltung (.8) und (.9) p G G.5 Elektsche etzweke aus galvansch gekoppelten Glechstomkesen () Spannungsquelle (.) und I + Last I k : Klemmenspannung k k I mt : engepägte Spannung, : Innenwdestand Fü max. Stomfluss glt: I k max - -

14 () Stomquelle k I I I Klemmenspannung; mt I : engepägte Stom und ene Stomquelle : Innenwdestand () Kchhoffsche Maschenegel (.) Es glt fü jede Masche K,K,...,K, K + : K gechtete Spannung längs des Stomzweges K K bezechnet. (: geschlossene Knotenfolge), wobe : ( K K ) de (v) Allgemene egeln fü etzwekanalyse. Bestmme K Anzahl de Knoten (: Veknüpfung von meh als zwe Zwegen) des etzweks. Bestmme Z Anzahl de Zwege (: Folge von enfachen Kanten zwschen zwe Knoten) nbekannte: Zwegstöme I,I,...,I Z (es glt: Z Z ) n den Zwegen ohne Stomquellen Spannungen,,..., Z Z n den Z Z Zwegen mt engepägtem Stom > also Z nbekannte Glechungen: K lnea unabhängge Knotenglechungen M Z K lnea unabhängge Maschenglechungen egel: Jede neue Maschenglechung muss übe noch ncht genutzte Zwege des etzwekes fühen. Snd ( I, I,..., I Z ;,,..., Z Z ) bestmmt, lassen sch Zwegspannungen gemäß k k Ik ( k Z ) bestmmen..6 Elektsche Lestung und Enegeübetagung () Lestungsbegff (allgemen) P dw q E d q E v el el glt nu fü enen Ladungstäge (.) el P q v E Lestungsumsatz po (Ladungs-)Täge de Sote () Lestung be bewegte aumladung j k q n v Stomdchte; vgl. (.4) (.3) k k pel Pel n q n v E j E Elektsche Lestungsdchte - -

15 η η σ ρ () (Velust-)Lestungsdchte be ohmsche Dftbewegung (.4) p j E σ E j j el (v) Velustlestung am ohmschen Wdestand (de Länge l mt dem Queschntt A) P el p el A l j A E l I aus I j A und E l I (.5) P I I falls I el glt; Enhet: dm P W VA el (v) Elektsche Enegeübetagungsveluste Ene Enegequelle spest n ene Letung (Wdestand de Letung: L ) de Spannung E, den Stom I und de tanspotete Lestung zum Enegevebauche (Engangsspannung: ). Dann glt: V Ezeugte Lestung: Vebauchte Lestung: P P E V E I I mt I V V E L (.5) Heletung: L PE Übetagungswkungsgad E PV V E L I L I P η Es glt: fü E E E E E - -

16 π Kaptel 3: Magnetostatk 3. Käfte auf bewegte Ladungen m Magnetfeld () Loentzkaft (3.) F L q ( v B ) mt F L : Loentzkaft und B : magnetsche Kaftflussdchte (Indukton) ode B -Feld ( Magnetfeld ). V Vs dm( vb) dm ( B) T m m mt T : Tesla () Supepostonspnzp: elektomagnetsche Kaftwkung (3.) F q E+ v B () Lestung m B -Feld P magn dwmagn d q ( v B ) mt magn L v dw F d q v B d > En Magnetfeld lestet kene Abet! (v) Bewegung m homogenen Magnetfeld dv m q ( v B ) mt q : Ladung und m : Masse enes Massenpunktes (3.4) q B f mt : Gyatonsfequenz m Tajektoe m Otsaum: t v x t x t v t x t cos t t Ω ( ) + x ( ) Ω ( ) t t v y t y t v t y t sn t t Ω ( ) + y ( ) + Ω ( ) t + ( ) z t z t v t t mt v v ( t ) v ( t ) + x y (3.5) v adus ene Schaubenlne n 3 ; - 3 -

17 (v) Kaft auf Stomvetelung (3.6) f L j B mt f L : Loentzkaftdchte; k Heletung: f L q ( v B ) n q n v B k j 3. Kaft und Dehmoment auf Stom fühende Lete () Gundvostellung (3.7) De Kaft auf m Lete bewegte Ladungen wd vollständg auf das Substatmateal (z.b. Wtsgtte) übetagen: 3 F Lete j( ) B( ) d V () lnenfömge Lete ( Dähte ) (3.8) F B s I ds Lete C I j s da const. mt A( s) Dffeentelle Schebwese (3.9) F Lete C df mt df I ds B () Dehmoment auf Leteschlefe Dehmoment an Hebel ( ) F M Dehmoment auf echteckge Leteschlefen M df M I b B ( Achse ) C Gesamtdehmoment; mt b : Länge paallel zu Dehachse und : adusvekto (halbe Bete senkecht zu Dehachse) (3.) ( A B ) M I glt fü belebg gefomte Leteschlefen C (3.), (3.) und (3.3) M m H mt m I A und H B ; mt m : magnetsches Moment, H : magn. Feldstäke und : magn. Pemeabltät 3.3 Pemanentmagnete En Pemanentmagnet besteht aus enem Mateal, n dem vele atomae ngstöme glech oentete magnetsche Momente m betagen. De Oenteung des magnetschen Moments st von Süden nach oden

18 π κ κ M n m Magnetseung; mt n : Zahl de ngstöme po Volumen M V( n m ) H V M H Dehmoment auf Dauemagnet; M m mt m : gesamtes magnetsches Moment und V : Volumen > Dauemagnete und ngstöme zegen gleches Vehalten! 3.4 Quellenfehet des B -Feldes () expementelle Efahung Es gbt kene magnetschen Ladungen bzw. Monopole (nu magnetsche Dpole) () Dvegenzsatz V D da Q V Elektostatk; vgl. (.7) (3.4) B da V Magnetostatk (de Wet deses Integals st, da es kene magnetschen Dpole gbt!) 3.5 Ezeugung magnetostatsche Felde () Ampèesches Duchflutungsgesetz (3.5) B d I A A expementelle Befund fü alle (oenteten) Flächen A ; 7 s mt 4 : magnetsche Feldkonstante (auch: Vakuumpemeabltät und : elatve Pemeabltät m (Koektufakto, dmensonslos). Im Vakuum glt: und κ. (3.6) und (3.) µ : (absolute) Pemeabltät κ : magnetsche Suszeptbltät () magnetsche Feldstäke (3.7) H µ H + µ κ H mt H : magnetsche Feldstäke und B : magnetsche Kaftflussdchte B Damagnetsmus: µ < bzw. <, abe κ << Paamagnetsmus: µ > bzw. >, abe κ << Feomagnetsmus: µ >> bzw. κ >> (3.8) A H d I ( A ) glt n magnetsebaen Meden. Fazt: H hängt nu von dem ezeugenden Stom, ncht vom umgebenden Mateal ab! - 5 -

19 () allgemene Fom des Duchflutungsgesetzes (3.9) A H d A j da (v) Analoge zwschen E-Statk und H-Statk: E-Statk: M-Statk: Kaft wkt auf: uhende Pobeladung bewegte Pobeladung At de Kaft: elektsche Kaft Loentzkaft Symbol: E B Bemekung: E und B snd matealabhängge Gößen! Wkung von: E-Statk: Ladungsvetelung M-Statk: j ρ( Stomvetelung ( ) ) Gesetz: Gauß Ampèe Symbol: D H Bemekung: D und H snd nu von Quellen abhängg! D ε E B µ H Matealgesetze 3.6 Beechnung magnetostatsche Felde und Käfte aus gegebene Stomvetelung 3.6. Mt Hlfe des Ampèeschen Gesetzes () Bespel: unendlch lange, geade Daht (3.) H I e π ϕ mt e ϕ sn ϕ cos ϕ (3.) df I I e ds π a Kaft po Längenenhet zwschen zwe paallelen, geaden Dähten. e west von nach, e > paallele Stöme zehen sch an. () Bespel: allgemene zylndesymmetsche Stomvetelung (3.3) Hϕ ( ) H ( ) eϕ j( ) d () Spezalfall: geade und unendlch lange Daht mt adus a I fü a j() a π fü >a - 6 -

20 I π a H ϕ () I π fü a fü >a H ϕ fü >a vehält sch we H -Feld enes lnenfömgen Letes! 3.6. Feldbeechnung mt Hlfe des Bot-Savatschen Gesetzes () Bot-Savatsche Satz (3.4) j H ( ) d 4 π V ( ) 3 duch gegebene Stomvetelung j 3 ( ) ezeugtes Magnetfeld H ( ) () Spezalfall: lnenfömge Stomlete ( Dähte ) (3.5) H I ds s 3 4 π s C () Magnetfeld enes ngstomes H I ϕ π ( a a) ez + za e ( ϕ) 3 4 π s d > ellptsche Integale fü allgemenen Aufpunkt ( x, y, z) ( ϕ) H,, z I a e 3 a z ( + ) z Spezalfall: auf z -Achse 3.7 Magnetsche Kese 3.7. Magnetsebae Ken mt Luftspalt Annahmen: Magnetfeld nu n Ken (Esen) und Luftspalt (gute äheung fü µ Ken >> ) kene Steufelde außehalb, homogenes Feld nnehalb des Kens (3.7) B Ken B Spalt : B (3.8) H H Spalt Ken Ken Spalt >> mt B H Spalt µ µ Spalt und B H Ken µ µ Ken () Stom-Feld-Bezehung (3.9) w B I mt w : Wndungszahl de Spule, l Ken : Kenlänge und l Spalt : Spaltbete l l Ken Spalt + Ken Spalt - 7 -

21 3.7. Allgemene magnetsche Kes () Analoge: Elektsche Stomkes - magnetsche Stomkes sehe auch Skpt Elektztätslehe auf S. 9- (3.6.4 Veglech zwschen magnetschen Kesen und elektschen Stomkesen) Analoge st duch folgende Koespondenzen gegeben: j σ E B µ H : j B, σ µ, E H I V m m : Vm,, I m Defntonen (3.3) A : B da A magnetsche Kaftfluss (3.3) P V m : H d P magnetsche Spannung (ev. Wegabhängg beachten!) (3.3) V + magnetsche Wdestand m m m Ken mspalt (3.33) m j l j j A j magnetsche Seenwdestände - 8 -

22 π Kaptel 4: nduzete elektsche Felde und Spannungen 4. Bewegungsndukton () letfähges Medum wd duch Magnetfeld B mt Geschwndgket v bewegt (4.) F q L End v B mt F L :Loentzkaft () bewegte Leteschlefe mt de Fläche A (4.) nd d ( A) mt A B da B A A : magnetsche Fluss (4.3) d nd ( V B) d B da A( t) C( t) A( t) allgemen gültge Dastellung; glt fü zetlch veändelche (Lete-)Schlefe A( t) n zetlch konstantem Magnetfeld B( ) () npola-maschnen (4.4) B d B a nd a Balowsches ad; mt f und a : Außenadus 4. Galvanomagnetsmus (Halleffekt) Im letfähgen, uhenden Medum bewegen sch Ladungstäge mt de Ladung q und de Geschwndgket v. Loentzkaft: FL q ( v B) zusätzlches E FL -Feld: EH v B q > Heustsches Modell fü Stomtanspot: mt v j q n j σ E + E σ E + v B Potentalgadent el H (4.5) j σ E + H j B goose Tanspottheoe; mt H Fakto q n,7,3 (4.6) E d d j B H H H Hallspannung - 9 -

23 ψ ψ 4.3 uhendukton (4.7) (4.8) nd nd d A ( A) B da t (Leteschlefe zetlch unveändet, d.h. B B( t) ) 4.4 Allgemene Fom des Induktonsgesetzes (4.9) zetlch unveändet B nd v(, t) B(, t) d (, t) da t A(t) A(t) Leteschlefe A ( t) und Magnetfeld B(, t) (4.) nd d d ( A( t) ) B(, t) da A(t) (4.) d nd End (, t) d B(, t) da A( t) A( t) (Maxwellsche Hypothese: A ( t) kann auch mmateell sen!) 4.5 Induktvtät () geneelle Annahmen Otsfeste Anodnung von Leteschlefen (Spulen) C ( ), de von Stömen nu uhendukton di Quasstatonäe Ändeung de Stöme: ezeugt kene Stahlungsfelde (kene Antennen) I t duchflossen weden > (v) Flussbeechnung be magnetsch gekoppelten Stomkesen (4.) ( t ) L I ( t ) j j j mt w, w st Wndungszahl de Spule (4.3) L j L j mt, j Dabe gelten folgende Bezechnungen: L j : Induktvtätskoeffzenten L : Selbstnduktonskoeffzenten L j, j : Gegennduktonskoeffzenten - -

24 4.6 Tansfomatoen () Leteschlefe (4.4) di j I + L Tansfomatoglechungen; mt : Innenwdestand j j () Spezalfall: zwe Spulen (,j ), ken Innenwdestand (4.5) t L ɺI + L Iɺ t L ɺI + L Iɺ (4.6) I L L M L Spannungsübesetzung es glt: L : L, L : L und M : L L (4.7) I L M I L L Stomübesetzung (4.8) M K: Stomübesetzung Spannungsübesetzung Kopplungsfakto: K st en Maß fü das Ve- L L hältns zwschen Sekundä- und Pmälestung () Beechnung fü spezelle Geomete: Deschenkelken (4.9a), (4.9b) und (4.9c) w L m m3 ( ) L + mt w : Wndungszahl de Spule w L m m3 ( ) L + w w L L M m3 (4.) K ( + )( + ) m m3 m3 M Kopplungsfakto ( K ) L L m m3 (4.) M m3 w w K L + w w I m m3 falls m m Spannungsübesetzung - -

25 ψ ψ ψ (4.) I M m 3 w w K I L + w w m m falls m m Stomübesetzung 4.7 Magnetostatsche Feldenege () Enege ene stomduchflossenen Induktvtät L di (4.3) I W mag LÎ dî LI Enegenhalt be Stomansteg von Î bs Î I (4.4) W mag LI I äquvalente Fomuleung zu (4.3) wegen w L I L W L I I glt be gekoppelten Induktvtäten mag j j, j Wmag LI + L I + M I I Bespel: Tansfomato ( ) () Enegedchte des Magnetfeldes (4.5) und (4.6) w mag H B H B falls B µ H und µ const. - -

26 Kaptel 5: Elemente de Wechselstomlehe Zetlch peodsche, nsbesondee snusfömge ( hamonsche ) Stom- und Spannungsveläufe snd technsch außeodentlch wchtg: Tansfomebaket ( > Enegeübetagung) Modellebaket ( > Infomatonsübetagung) Anpassung an Geneatoen und Motoen 5. Gundbegffe 5.. Wechselspannungsgeneato () Ezeugungspnzpen: n B -Feld oteende Lete (klene Fequenzen, hohe Lestung) Schwngkes (hohe Fequenzen, klene bs mttlee Lestungen) () Bespel: oteende Leteschlefe ezeugt nduzete Spannung u( t ) (5.) ϕ ( t) ωt+ ϕ Dehwnkel mt Kesfequenz d ϕ ω const. (5.) u ( t) Û sn( ωt+ ϕ ) nduzete Spannung; mt Û ω A B : Schetelwet (Ampltude) de Spannung max 5.. Kenngößen snusfömge Wechselspannungen und -stöme (5.3) u ( t + kt) u ( t) mt T : Zet fü ene Peode und k Z 5..3 Zegedagamm () Idee (5.4) ( t) Û cos ϕ t u t : u t ˆ sn u t ϕ De Zege Û : u ( t ) hat de Länge Û und den Dehwnkel ϕ > Û chaakteset (be feste Kesfequenz ω ) den Spannungsvelauf u ( t) ˆ sn ( t ) () allgemene Zegedastellung ω + ϕ endeutg (5.5) (5.6) t D t ˆ cos ωt sn ωt Û cos ϕ u ω sn ωt cos ωt ˆ sn ϕ u Î cos ϕ Î sn ϕ ω I t D t mt D( t) ω : Dehmatx

27 π π π π π π π π π 5. Wechselstomschaltungen mt lneaen Bauelementen 5.. Ohmsche Wdestand (5.7a) und (5.7b) Û Î ϕ u ϕ (5.8) Û Î 5.. Induktvtät ( Spule ) (5.9a) und (5.9b) Û ω L Î ϕ u ϕ (5.) Û ω L D Î mt D ; ω L D π entspcht Wdestand mt Phasendehung um + (Blndwdestand, eaktanz) 5..3 Kapaztät ( Kondensato ) (5.a) und (5.b) Î ω C Û ϕ u ϕ (5.) Û D Î mt ω C D ; D ω C π entspcht Wdestand mt Phasendehung um (Blndwdestand, eaktanz) ω C D π entspcht Letwet mt Phasendehung um + (Blndletwet, Suszeptanz) 5..4 Paastäe Elemente, Gültgket de quasstatonäen äheung u α α ω mn,, also be klenen Fequenzen abeten. Typsche Wete: f MHz Lp α Cp uα mt L p : Letungsnduktvtät, C p : Letungskapaztät und α,l,c - 4 -

28 5..5 Kchhoffsche egeln be quasstatonäen Bedngungen () Momentanwete am Zetpunkt t (paastäe Stöme und Spannungen venachlässgt) (5.3) und (5.4) k ( t) am Knoten t t k uk ( t) ue ( t) längs Maschen; mt u e k t : engepägte Spannungen () Zegedastellung (falls alle Stöme und Spannungen snusfömg) (5.5) und (5.6) k k Kchhoffsche egeln n Zegedastellung Î Û k Û e k 5.3 Wechselstomechnung mt Hlfe komplexe Zahlen 5.3. Komplexe Zahlen () komplexe Zahlen Zege mt Adon und Multplkaton C, +, ) V + V + V + : + V + j + V V + V Zegeadon V V V V V V + j V + V V V + V Zegemultplkaton () Satz: C, +, ) st en Köpe Es gelten fü komplexe Zahlen deselben echenegeln we be eellen Zahlen (5.7) j mt j : e () Dastellung n eal- und Imagnätel (katessche Koodnaten) (5.8) + j (v) Dastellung n Polakoodnaten (5.9) (5.a) cos ϕ Z cos ϕ + j sn ϕ sn ϕ Z : a + b Länge des Zeges Z ; mt a Z : b - 5 -

29 π (5.b) b tan a b ϕ actan mt ϕ π a ϕ > ag ( z) (v) konjuget komplexe Zahl * j z a jb cosϕ + j sn ϕ e ϕ (v) Beechnung von Quotenten ( enne eell machen ) * V : V * V V V V * 5.3. Dehungen n C ; Eulesche Fomel () komplexe Exponentalfunkton (5.) (5.) e Z ϕ e j Z n! n cosϕ + j sn ϕ n Eulesche Fomel () (5.3) j Z cos ϕ + j sn ϕ e ϕ z z e j ag z (5.4) jϕ ( ϕ) cosϕ + j sn ϕ e d mt ϕ < ( Enhetszege ) Multplkaton von d ( ϕ ) mt Z C st Dehung von Z um Wnkel ϕ m Gegenzegesnn () Dehungen n ( C ) snd adv: j ϕ jψ d ϕ d ψ e e d ( ϕ + ψ ) D( ϕ) D( ψ ) D( ϕ + ψ ) Matxschebwese; mt D( t) ω : Dehmatx Komplexe Zahlen als Dehsteckungen m () Dehung um ϕ entspcht ene Multplkaton mt Steckung um Fakto entspcht ene Multplkaton mt jϕ e > Ene Dehsteckung entspcht ene Multplkaton mt e jϕ () Jede komplexe Zahl lässt sch als Dehsteckung m auffassen und umgekeht - 6 -

30 ψ j ψ π π () (5.5) spezell glt: Z Z fü Z, C Wechselstomzegedagamm n komplexe Dastellung () Spannungs- und Stomzege (5.6) und (5.7) Û jϕu jϕ Û e Î Î e Anfangswete (5.8) und (5.9) t D t ˆ e ˆ ˆ e ω +ϕ j ( t ) j ω t u ω Momentanwete ˆ j ω t ˆ ˆ j ( t ) I t D ω t I e I I e ω +ϕ () lneae Bauelemente (5.3) ˆ Z ˆI komplexes Ohmsches Gesetz; mt Z : komplexe Schenwdestand (Impedanz) (5.3) und (5.3) Û Z Î fü z j z e ψ ; mt Z : Impedanz (5.33) ϕ u + ϕ ag Z Î Û Y Û mt Z Y e : komplexe Schenletwet (Admttanz) Z Z () Bespele: a) Ohmsche Wdestand Z Y G Z Z ϕu ϕ ag Z b) Induktvtät (5.34) ˆ jωl ˆI Z Y Z L jωl ω ϕ ϕ ag( Z) u c) Kapaztät (5.35) ˆ Iˆ jωc Z Y jω C Z C ϕ ϕ ag( Z) ω u - 7 -

31 5.4 Enfache Schaltungen aus, L und C 5.4. und L n See geschaltet (L-Gled) (5.36) Z + jω L Impedanz Z + ω L Schenwdestand (5.37) Z Z + Z Seenschaltung von Impedanzen (5.37a) und (5.37b) Û e + ω L Î ωl ϕe ϕ ag ( Z) actan Übungsaufgabe 3: Schenlestung und Wklestung ( und L n See) P s Û Î Schenlestung P w ˆ ˆ I cos ϕ PB PS PW Wklestung P w und Blndlestung P B 5.4. und C paallel geschaltet (C-Gled) (5.38) Y G+ jω C + jω C Admttanz Y G + ω C Schenletwet Z + Z Y Y + Y + Y Paallelschaltung zwee Impedanzen Z und Z Z Z Z Z Z (5.39a) und (5.39b) ˆ + ω ˆ ωc ϕ ϕ e ag ( Y) actan actan ( ω C) G Ie G C e π mt ϕe ϕ Gedämpftes LC-Gled ZL + jω L Seenschaltung von und L, paallel zu C (5.4) (5.4) Y jω C+ Z Z Y L ω LC+ jω C + jωl - 8 -

32 (5.4) Y + ω C LC + ω L C 4 + ω L (5.43) und (5.44) ω L ωl ag ( Y) ϕ ϕ e actan actan actan C ω ( + ω L ) ωl ω LC Phasenwnkel 5.5 Lestung und Effektvwete 5.5. Momentane Lestung (5.45) (5.46) p(t) ˆ ˆI cos ϕu ϕ I cos ω t+ ϕ u + ϕ P m ˆ ˆ Mttelwet: Pm Mttelwet: Û Î cos( ϕ u ϕ ) Mttelwet Ene Schaltung enthält enen Enegespeche (z.b Wklestung, Effektvwete () Def. C ode L I ), falls ϕ ϕu ϕ (5.47) T ˆ ˆ T m P w : p t P I cos ϕ mt ϕ ϕu ϕ (5.48) eff : T T u ( t ) (5.49) I eff : T T ( t ) (5.5) und (5.5) eff Û I eff Î (5.5) (5.53) Pw eff Ieff cos ϕu ϕ eff Ieff cos ϕ mt ϕ ϕu ϕ : elatve Phasenwnkel ; oft wd eff weggelassen! Û I Î komplexe Effektvwete - 9 -

33 () komplexe Schebwese fü Lestung (5.54) * * P : ˆ ˆ I I Pw + j PB komplexe Lestungszege (5.55) und (5.56) ( ϕ + ϕ ) P e( P) P I cos j sn eff eff () Bespele a) ohmsche Wdestand w mt ϕ ϕu ϕ (5.57) b) Spule P w I, also cos ϕ! eff eff w P e P, also cos ϕ mt π ϕ! c) Kondensato w P e P, also cos ϕ mt π ϕ! Enegespechende Elemente () Spule (5.58) dwmag ˆ p t ωl I sn ω t T PW p( t) T () Kondensato (5.59) dw p t u t t C ˆ sn t el ω ( ω ) T PW p( t) T Schenlestung und Blndlestung () Lestungsblanz be lneaen Elementen (5.6) p t e Z t + Im Z I eff sn ωt zugefühte Antel an m Zunahme ode Abnahme an gespechete (etto ) System vebauchte > Lestung dw Lestung Enege < - 3 -

34 (5.6) p dw ( t ) ( t ) Lestungsblanzglechung mt : e( Z) w + dw Im Z I sn t eff ω w (Wkwdestand) und T P p t t e Z I () Blndlestung T mttlee vebauchte Lestung W w eff T T (5.63) (5.64) B P : Im Z I Blndlestung eff w ( ( ω )) + B ( ω ) p t P cos t P sn t (v) komplexe Zegedastellung (5.65a) (5.66) (5.65b) (5.67) (5.68) P Z I I Z I * eff P e Z Ieff + j Im Z Ieff Pw PB P I Y Y * * * eff P s : P Schenlestung s w P P + P B (5.69) P s I * I eff I eff (5.7) und (5.7) Pw Ps cos ϕ PB Ps sn ϕ (5.7) Im Z tan ϕ e Z - 3 -

35 π π Enegeaustausch zwschen Kapaztäten und Induktvtäten () Impedanz (be Paallelschaltung von Kondensato und Spule) (5.73) ˆ jωl Iˆ ω L C e (5.74) und (5.75) ωl Z( ω ) ω LC () Lestung +, fü ω < LC ϕ ϕu ϕ ω >, fü LC P w ωl ω LC P I ω LC ωl B eff eff Spezalfall fü ω : LC-Gled nmmt übehaupt kene momentane Lestung auf, d.h. p ( t ) L C () gespechete Enege (5.76) (5.77) WL ( t) L L ( t) L Iˆ L sn ( ω t) Enege n Spule WC ( t) C u ( t) cos ( ω t) C ˆ ω C L ˆI L cos ( ω t) Enege n Kondensato W ( t) WL ( t) + WC ( t) L Iˆ L ( sn ( ω t) + ω L C cos ( ω t) ) gespechete Gesamtenege (5.78a) und (5.78b) dw ˆ ˆ IL ( ω L C) sn ( ωt) cos( ω t) zetlche Ändeung de Gesamtenege ω Û sn ωt cos ωt ωl dw LC Spezalfall: ω (esonanz): L C dw W t const. dw ω LC p t sn t cos t ωl ˆ ( ω ) ( ω ) zugefühte Lestung Falls ω (esonanz): L C p t > es wd nu zwschen L und C Enege ausgetauscht ( > Schwngkes) - 3 -

36 5.6 Gedämpfte Schwngkes - ene Fallstude (LC-Paallelkes, und L n ehe) 5.6. esonanzvehalten be ezwungene Schwngung [vgl. (5.4) und Übungsaufgabe 3] () komplexe Impedanz (5.8) Z + jωl + jωτ ω LC + jωc ω + jωτ ω ( ω ) L mt τ :, τ : C und ω : LC () Schwenwdestand (5.8) Z ω + ω τ ω + ω τ + ω ω 4 () esonanzveschebung (5.8) ω ω + τ τ τ τ (v) Dämpfungsvehalten (5.83) C L τ τ < + Fazt: be ezwungenen Schwngungen glt : Wdestand Dämpfung esonanzfequenz Impedanz ngedämpft ω ω hat Pol be ω C L < + untektsch C L + ktsch C L > + übektsch ken (v) Phasenwnkel < ω < ω hat Maxmum Z ω Z ω Z ω ω ω > (5.84) (5.85) 3 τ ϕu ϕ actan ω ( τ τ ) + ω actan f ( ω) ω C ω ω L

37 Es glt: ω ω ω exstet nu m untektschen und ktschen Fall, d.h. nu fü ω ω ω : ω be ϕu ϕ mt ω : ω be ϕu ϕ mt C L Enegeblanz fü ezwungene Schwngungen () Lestung (5.86) (5.87) P P + ω L + ω τ eff eff W B ω ω τ τ τ ω + ω τ eff Wklestung Blndlestung Es glt: P W > (wegen ohmschen Velust) C Falls τ > τ > L C Falls τ τ L : P ω < fü alle ω B : P () momentane Lestungs- und Enegeblanz B > fü < ω < ω ω < fü ω < ω (5.88) dwl dwc p( t) p ( t) + + > > < 5.7 Tansfomato n komplexe echnung 5.7. Tansfomato-Glechungen d u t t L t k + + k k k kj j k und Lk Lk befnden sch n ehe. Es glt: Lkj L jk

38 (v) komplexe Tafo-Glechungen (5.89) k ( k + ω kk ) k k + ω k j j komplexe Tafo-Glechungen j k j L I j L I + jωl I jωl jωl I jω L + jωl jω L + jωl I Matxschebwese (v) Spezalfall: Tafo mt zwe Wcklungen (Pmä- und Sekundäwcklung) (5.9) und (5.9) I + jωl jωm jω M + jωl I mt L : L, L : L und M : L L entspcht dem Wdestand enes Zwetos (bzw. Vepols): Z Z I ( I und I fleßen n den Vepol hnen) I Z Z 6.7. Tansfomato mt sekundäsetgem Vebauche Schaltplan: sehe Skpt Elektztätslehe auf S. (5.6. Sekundäsetg belastete Tansfomato) (5.9) jωm Z j L Z j L M I + ω + + ω + ω I Z + + jωl ( + jωl ) ( Z + + jω L ) + ω M mt : Spannungsquelle; Z : Impedanz des Vebauchenetzweks; und L bzw. und L n See () Kenngößen (5.93) ωm + ω L I Spannungsübesetzung (5.93) I ωm I + ω L Stomübesetzung I ωm I + ω L + ω L I Kopplungsfakto