Grundaussagen der modernen Portfoliotheorie

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1 Grudaussage der modere Portfoliotheorie Auch we die modere Portfoliotheorie bereits 50 Jahre alt ist, sid dere Grudaussage auch heute och Basiswerkzeug im Portfoliomaagemet. Gerade im Umgag mit der istitutioelle Kudschaft im ahme eier spezifische Portfoliomaager-Kliete Beziehug kommt der modere Portfoliotheorie eorme praktische Bedeutug zu. De speziell im istitutioelle Asset Maagemet etscheidet der Kude i hohem Maße im ahme der Strategische Asset Allocatio ud der damit heute übliche Defiitio eies Alageuiversums ud eier Meßlatte für de Erfolg, eier sog. Bechmark, über die Basisausrichtug seies Ivestmets. Er wirkt sehr direkt ud bided auf die weitere Portfolioausrichtug ei, die vom Portfoliomaager realisiert wird. Die Aufgabe der Strategische Asset Allocatio werde später och äher beschriebe. Portfolio Selectio I eier ratioale Welt ist es uagezweifelt, daß ei Ivestor bei der Wahl zweier Alagealterative diejeige wählt, dere isiko bei gleicher zu erwarteder edite kleier ist. Ma spricht i diesem Zusammehag vo der isikoaversio des Ivestors. Die auf Harr Markowitz zurückgehede Erketisse erweiter im Ker das Deke über die Allokatio vo Vermöge vom eidimesioale editeaspekt zum zweidimesioale edite-isiko-aspekt. Utrebar mit dem Name Markowitz verbude ist das Phäome der Diversifikatio. Ist ma sich vor Markowitz Aufsatz bereits der sogeate aive Diversifikatio 2 bewußt gewese, icht alles auf eie Karte zu setze, soder sei Vermöge auf mehrere Alage zu verteile, so geligt es Markowitz u, mathematisch achzuweise, daß es eie Möglichkeit gibt, Alage so zu kombiiere, daß ma uter Eischluß vo Alage, dere Erträge sich wechselseitig icht proportioal ud gleichläufig verhalte, ei Vgl. Markowitz (952). 2 Vgl. Fabozzi (995), S.50.

2 Portfolio erhält, welches bei gleicher editeerwartug ei iedrigeres isiko mit sich führt. Dazu mehr i Kapitel Ihm geligt es also, eie sstematische Prozeß zu defiiere, wie ei Ivestor uter Ketis lediglich dreier empirischer Kezahle, ametlich der erwartete edite der eizele Alage, dere empirischer Stadardabweichug ud der jeweilige Korrelatioe zwische de eizele edite der jeweilige Alagealterative, ei optimales (ei sog. effizietes) ud risikoreduzieredes Wertpapierportfolio kostruiere ka. Uter effizietem Portfolio versteht ma dasjeige, welches de höchste Ertrag aller vergleichbare Portfolios mit gleichem isiko erzielt bzw. das gerigste isiko aller vergleichbare Portfolios mit gleicher zu erwarteder edite mit sich führt. Somit ka der Begriff der Diversifikatio ach Markowitz zusammegefaßt werde als das Mische vo Alagealterative, so daß sich die Eizelrisike icht eifach addiere, soder zum Teil gegeseitig eutralisiere 3. Nachfolged werde die drei elemetare Begriffe der Portfolio Selectio - Theorie, edite, isiko ud Korrelatio äher erläutert. edite Der editebegriff ist defiiert als relatives Maß für de Erfolg eier Ivestitio bezoge auf eie Zeitraum 4, wohigege der Ertrag ei absolutes Maß a Wertdifferez beziffert. Im ahme der modere Portfoliotheorie wird vo der E post-edite ud, im eigetliche Sie, vo der zufällige edite gesproche. Diese köe liear ud kotiuierlich berechet werde. Die E post-edite berechet de Erfolg am Ede der editeperiode auf der Basis aller Iformatioe über Zahluge ud Wertetwickluge der Ivestitiosprodukte 5. 3 Vgl. Garz u.a. (998). 4 Vgl. Cremers (2000), S. A3.. 5 Vgl. Cremers (2000), S. A3.. 2

3 Die zufällige edite basiert auf dem E post-begriff - iterpretiert diese aber zu Begi der editeperiode als Zufallsvariable. Bei der Kostruktio vo optimale Portfolios bediet sich Markowitz dieses editebegriffs am Afag der Ivestitiosperiode. Auch i der Kapitalmarkttheorie fließt diese editebezeichug bei der Berechug des Marktportfolios mit ei. I Zusammehag mit der Verteilug dieser Zufallsvariable, immt ma der Eifachheit der Modellierug halber häufig kotiuierliche edite, um dem Wusch der i der modere Portfoliotheorie uterstellte Normalverteilug vo edite gerecht zu werde 6. Die Normalverteilugshpothese stellt eie Basisprämisse des Modells dar, de diese Verteilug läßt sich durch die obe agesprochee zwei Parameter erwartete edite ud Stadardabweichug vollstädig darstelle. Über die additive Verkettug der kotiuierliche edite gelagt ma zum mehrperiodische editebegriff. Dieser ist aufgrud des Zetrale Grezwertsatzes ormalverteilt. Der Zetrale Grezwertsatz besagt, daß die Folge der zetrierte (stadardisierte) Summe S eier idetische ud uabhägige Folge i ihrer Verteilug gege die Stadardormalverteilug kovergiert 7. Da die historische edite im Stichprobeverfahre als uabhägig ud idetisch agesehe werde köe 8, ist also bei der hohe Azahl a Date, die i die Messreihe eigehe, eie Normalverteilug gegebe. Die kotiuierliche edite berechet sich wie folgt 9 : Edwert co = l () Afagswert wobei der Edwert der aktuelle Wert zum Zeitpukt t zusätzlich aller dem Ivestor seit dem Kauf i t0 zugeflossee Zahluge ist ud der Afagswert der Kaufpreis zum Zeitpukt t0 ist. 6 Über weitere Vorteile, wie z.b. die Praktikabilität der Summierug eizelperiodischer kotiuierlicher edite zu mehrperiodische Alagezeiträume, Vgl. Geer (2000). 7 Vgl. Schmid u.a. (988), S, 8. 8 Vgl. Fama (970). 9 Vgl. Cremers (2000), S. A3.5. 3

4 Kotiuierliche edite habe de Vorteil, daß gleiche absolute Abweichuge vo edite ach obe ud ach ute auch gleiche prozetuale Folge habe. Eie Aktie, die z.b. vo 68,- auf 73,- steigt ud aschließed wieder auf 68,- fällt, weist über die additive Verkettug der beide kotiuierliche edite l (73/68) ud l (68/73) eie edite vo Null aus, was der absolute Wertetwicklug der Alage über mehrere Periode etspricht 0. Die lieare editeberechug wird ahad achsteheder Formel vorgeomme : li = Edwert Afagswert Afagswert (2) Um u auf die E post-basierte zufällige edite zu komme, wird das arithmetische Mittel der historische edite gleicher Periode berechet, welches als erwartete edite bezeichet wird, aber eigetlich eie geschätzte Zufallsvariable sei soll : _ = (3) i,li i= mit = Azahl der Periode Die edite eies Portfolios aus mehrere Wertpapiere setzt sich aus de Summe aller Eizelerträge zusamme oder, um i der editesprache zu bleibe, als die gewichtete Summe der Eizelredite : = ω (4) PF i= i i,li mit = Azahl der Wertpapiere ω i = Marktwert des Wertpapiers i Marktwert des Portfolios 0 Vgl. Brus u.a. (2000), S. 5. 4

5 isiko I der Literatur uterscheidet ma de Begriff der Usicherheit zwische Ugewißheit ud isiko. Ersterer geht vo eier Umöglichkeit der Vorhersagbarkeit zuküftiger edite aus, letzterer arbeitet mit Wahrscheilichkeite zuküftiger editeetwickluge. I dieser Arbeit wird aus Grüde der Modellierbarkeit mit dem Begriff des isikos gearbeitet, wobei die i diesem Zusammehag stehede Wahrscheilichkeite aus eiperiodische historische editeetwickluge (liearer Berechug) resultiere. Da ferer auch die modere Portfoliotheorie rei quatitativer Natur ist, wird der isikoaspekt vo mir i verschiedee Momete der Wahrscheilichkeitsverteiluge eigeteilt. Variaz eizeler Wertpapiere Die Variaz zählt zu der Klasse der zetrale Momete eier Wahrscheilichkeitsverteilug. Errechet aus de durchschittliche quadrierte Abweichuge der historische edite zur erwartete edite, beutzt ma achstehede Formel. Da es sich icht um eie Grudgesamtheit a edite, soder um ei sog. Stichprobeverfahre hadelt, wird ei erwartugstreuer Schätzwert der Variaz 2 errechet; dies geschieht mit eier kleie Adjustierug der Variaz mittels des Terms /(-) ; ma spricht vo der empirische Variaz : s 2 = i= ( ) 2 i (5) mit = Azahl der Periode Vgl. Hollidt (999), S Vgl. Schmid u.a. (988). 5

6 Es muß darauf verwiese werde, daß edite immer Zeitraumgröße darstelle ud daher immer i Periode, ie, wie häufig i der Literatur zu fide ist, i Zeitpukte dargestellt werde. Um auf die gleiche Dimesio wie die erwartete edite zu gelage, immt ma die Wurzel der empirische Variaz ud erhält so die empirische Stadardabweichug : 2 s = s (6) Vo der Volatilität spricht ma bei eier Aualisierug dieses Wertes. Da edite häufig als p.a. Zahle dargestellt werde, ist das dazugehörige isiko für die gleiche Periode, also p.a., darzustelle. Ei weiterer Vorteil der Aualisierug besteht i der eifache Verwedugsmöglichkeit zur Ermittlug weiterer Kezahle, für dere Errechug meist geerell auf aualisierte Date zurückgegriffe wird. Über eie Zusatzfaktor ist dies für die Volatilität wie folgt darzustelle : s p.a. = s T T2 (7) mit T = Jahr (ausgedrückt i Eiheite der Periode i T2) mit T2 = Periode der zur Stadardabweichug zugrudeliegede edite Aus eier Datereihe moatlicher edite trasformiert ma also die errechete empirische Stadardabweichug i eie aualisierte Zahl, idem sie mit dem Faktor 2 multipliziert wird. Die Trasformatio täglicher edite wird i verschiedeer Weise vorgeomme. Häufig fidet ma als Faktor 250, da ma pauschal vo 250 Hadelstage pro Jahr ausgeht. Variaz mehrerer Wertpapiere Das isiko vo Portfolios mehrerer Wertpapiere ist etwas aders zu bereche, da der Zusammehag der editeetwicklug jeweils eizeler Wertpapiere utereiader eie große olle bei der isikoquatifizierug spielt. 6

7 Es gilt daher, eie weitere zetrale Baustei der modere Portfoliotheorie zu berücksichtige: Die Kovariaz bzw. Korrelatio zweier Wertpapiere. Kovariaz Es wurde bereits gezeigt, daß Markowitz mittels der empirische Stadardabweichug das isiko eies eizele Wertpapiers beziffert. Betrachtet ma u zwei Wertpapiere, so muß ma die Itesität ud die ichtug der jeweilige Abweichug i eiem etsprechede Zeitraum aalsiere. Als Beispiel sei i achfolgeder Tabelle gezeigt, wie zwei stark gegeläufige Abweichuge zweier Wertpapiere (jeweils zu jeder Periode hälftig i eiem Portfolio zusammegefaßt) das Gesamtrisiko (die mittlere Schwakugsbreite) eies Portfolios stark reduziere. Tab. : Diversifikatioseffekte im gleichgewichtete Zwei-Wertpapier-Fall Zeitraum lieare edite vo lieare edite vo lieare edite vom Wertpapier Wertpapier Portfolio t0 - t 3,00% -3,00% 0,00% t - t2 4,80% -3,80%,00% t2 - t3 7,20% -5,50%,70% t3 - t4 6,00% -4,80%,20% t4 - t5 7,80% -6,00%,80% t5 - t6 6,00% -4,90%,0% t6 - t7 4,80% -4,0% 0,70% t7 - t8 6,60% -4,80%,80% t8 - t9 9,00% -6,40% 2,60% t9 - t0 7,80% -5,50% 2,30% t0 - t 0,20% -6,90% 3,30% t - t2 2,00% -8,00% 4,00% t2 - t3 0,00% -8,0%,90% t3 - t4 8,0% -6,80%,30% t4 - t5 2,0% -9,50% 2,60% emp. Stadardabweichug 2,64%,77%,03% lieare edite 202,7% -59,76% 39,03% Quelle: eigee Erstellug 7

8 Um de lieare Zusammehag zweier Wertpapiere i bezug auf ihr isiko herauszufide, bediet ma sich der Kovariaz. Diese besitzt allerdigs keie Eiheit wie eie Geldbetrag oder Prozet. Eie positive Kovariaz zeigt, daß sich zwei Wertpapiere zumidest i die gleiche ichtug bewege ud vice versa. Über die Stärke des Gleichlaufs ist och ichts ausgesagt 3. Die Formel ist folgede : s = i= ( ) ( ) i i= i (8) mit = Azahl der ud = i ud = i i i Periode edite des Wertpapiers bzw. i der Periode i edite des Wertpapiers bzw. i der Periode i Korrelatio Mit Hilfe der Korrelatio zweier Wertpapiere ka ma de Grad des Gleichlaufs zweier Wertpapiere messe. Um der Kovariaz eie höhere Aussagekraft zu vermittel, setzt ma sie is Verhältis zu de eizele Stadardabweichuge der beide zur Kovariaz zusammegefaßte Wertpapiere. Der dadurch ermittelte Korrelatioskoeffiziet errechet sich wie folgt : τ s = s s (9) Er ergibt sich aus dem Quotiete der empirische Kovariaz zweier Wertpapiere dividiert durch das Produkt der empirische Stadardabweichuge beider Wertpapiere. Der Korrelatioskoeffiziet ka Werte zwische - ud aehme. - bedeutet die geau liear gegeläufige ichtug der edite zweier 3 Vgl. Lev u.a. (994), S

9 Wertpapiere, wohigege die geau liear gleichgerichtete Bewegug der edite ausdrückt. Ei Wert vo Null beschreibt, daß zwei Wertpapiere i keierlei Zusammehag stehe. Somit wird mittels des Korrelatioskoeffiziete der Diversifikatioseffekt meßbar. Utestehed ist graphisch die Wertetwicklug vo je zwei Wertpapiere mit uterschiedlichem Korrelatioskoeffiziete dargestellt. Abb. : Aktiekursverlauf zweier voll- Abb. 2: Korrelatio likssteheder städig positiv korrelierter Aktie Aktiekursverläufe Aktiekurs Korrelatioskoeffiziet = edite Aktie Zeitablauf edite Aktie Kurs Wertpapier Quelle: eigee Erstellug Kurs Wertpapier edite Aktie / edite Aktie Quelle: eigee Erstellug Abb. 3: Aktiekursverlauf zweier voll- Abb. 4: Korrelatio likssteheder städig egativ korrelierter Aktie Aktiekursverläufe Aktiekurs Korrelatioskoeffiziet = - edite Aktie Zeitablauf edite Aktie Kurs Wertpapier Quelle: eigee Erstellug Kurs Wertpapier edite Aktie / edite Aktie Quelle: eigee Erstellug Abb. 5: Aktiekursverlauf zweier Abb. 6: Korrelatio likssteheder kaum miteiader korrelierter Aktie Aktiekursverläufe Korrelatioskoeffiziet = 0 7 Aktiekurs Zeitablauf edite Aktie edite Aktie Kurs Wertpapier Quelle: eigee Erstellug Kurs Wertpapier edite Aktie / edite Aktie Quelle: eigee Erstellug A der Darstellug des jeweils rechte Schaubildes erket ma, daß das Verhältis der edite zweier Wertpapiere im Fall vollstädig positiver ud egativer Korrelatio als Ursprugsgerade dargestellt werde ka. 9

10 Portfoliovariaz Im Zwei-Wertpapier-Fall ergibt sich folgede Formel für die Portfoliovariaz : PF s² = ω s + ω s + 2 ω ω s s τ 2 (0) Nachfolged stellt ei Beispiel zweier Wertpapiere mit verschiedee Korrelatioe die Effekte der Diversifikatio graphisch darstelle. Dazu werde verschiedee Portfolios i eiem i der Prais übliche µ-σ-diagramm modelliert. Ahad der Formel lasse sich bereits erste Erketisse ablese. Bei icht korrelierte Wertpapiere wird sich das Portfoliorisiko lediglich aus de gewichtete Eizelvariaze zusammesetze, bei eiem egative Korrelatioskoeffiziete wird das Portfoliorisiko durch de egative dritte Summade iedriger als die Summe der gewichtete Eizelvariaze. Abb. 7: Möglichkeite der isikoreduktio im Zwei-Wertpapier-Fall bei verschiedee Korrelatioskoeffiziete µ Wertpapier τ = PF τ = 0,5 τ = 0 τ = τ = Wertpapier σ Quelle : eigee Erstellug i Alehug a Elto u.a. (995), S. 79 Bei eiem Korrelatioskoeffiziete vo führe die verschiedee Gewichtuge der beide Wertpapiere zu eier Gerade, da jede editeabweichug i ihrer ichtug ud Itesität geau gleichgerichtet ist. Je 0

11 geriger der Korrelatioskoeffiziet ist, um so kokaver wird die Verbidugskurve, was die bessere Diversifikatio beschreibt, bis letzte Edes eie optimale Diversifikatio bei eiem Korrelatioskoeffiziet vo - erreicht ist. Geeralisiert erhält ma folgede Formel für die Variaz eies Portfolios 4 : s² = PF ω ω s = = () mit = Azahl der Wertpapiere Da mathematisch saa= s²(a) ud die sab = sba gilt, erhält ma der bessere Übersicht halber folgede Formel : = 2 2 PF ω s + 2 = = = + s² ω ω s (2) Ma sieht, daß sich das isiko eies Portfolios aus de gewichtete Eizelvariaze der Wertpapiere zusätzlich eies Terms jeder paarweise miteiader verküpfte Kovariaze der jeweilige Wertpapiere zusammesetzt. Bei eiem Portfolio aus Wertpapiere muß ma also (²-) Kovariaze bereche. Kritik am isikomaß vo Markowitz Die empirische Variaz bzw. Stadardabweichug ist die zetrale Kezahl zur isikoquatifizierug vo Wertpapiere im modere Portfoliomaagemet. Nach Markowitz stellt der Ivestor bei seie Alageetscheiduge ur edite ud isikoüberleguge a ud ka somit ahad der zwei Parameter erwartete edite ud Variaz seie Etscheiduge vorehme. Ma spricht daher auch vom Zwei-Parameter-Modell, oder vom mea-variace-model 5. Über die Sihaftigkeit der Verwedug der empirische Variaz als isikokeziffer läßt sich streite 6. So streut die Variaz als zweiseitiges 4 Vgl. Garz u.a. (998), S Vgl. Markowitz (952). 6 Vgl. Dowd (999).

12 isikomaß beidseitig um de Mittelwert. Als isiko läßt sich allerdigs jedoch ur das Uterschreite der erwartete edite bezeiche, icht das Übertreffe. Ma ka somit die Variaz i zwei Teile spalte. Zum eie das sog. dowside risk (das isiko, eie zu erwartede edite zu verfehle; i eier statistische Verteilug reflektiert durch Werte liks vom Mittelwert), zum adere das sog. upward potetial (die Chace, eie zu erwartede edite och zu übertreffe; dargestellt durch Werte rechts vom Mittelwert i eier statistische Verteilug). Eie eifache Methode, de Teil des Übertreffes der erwartete edite zu elimiiere ist die Nichtberücksichtigug der positive editeabweichuge vo der erwartete edite (bei eier ormalverteilte editekurve also die Halbierug der Variaz); ma erhält die Semivariaz. Der Wert a Zusatziformatio bleibt aber sehr beschräkt. Die euere Etwicklug forscht im Bereich des sog. shortfall risk. Begriffe wie Value at isk oder Lower Partial Momets", auf die aber i dieser Arbeit icht weiter eigegage wird, werde dort kalkuliert ud iterpretiert 7. Weitere isikomaße Iteressat wird die Betrachtug des dowside-risks bei asmmetrische editeverteiluge. Hier biete sich zwei weitere Momete der Wahrscheilichkeitsverteilug a : Die Schiefe ud die Wölbug eier Verteilug. Schiefe Um die Smmetrie eier Verteilug zu charakterisiere, bediet ma sich des dritte zetrale Momets der Wahrscheilichkeitsverteilug, der Schiefe 8. Sie berechet sich bei eier Stichprobe wie folgt : Schiefe = mit ( ) ( 2) = Azahl der Periode ( ) 3 i= i s (3) 7 Vgl. Harlow (99), Johasso u.a. (999) oder Berstei (992). 8 Vgl. Brus u.a. (2000), S

13 Durch de ugerade Epoete erket ma bereits, daß egative Abweichuge vom Mittelwert etspreched poteziert i das Ergebis eifließe. Durch die Potez vo drei werde ebe dem Effekt der Berücksichtigug egativer Abweichuge auch relativ starke Saktioieruge hoher Abweichuge vom Mittelwert vorgeomme. Aufgrud der Smmetrie der Normalverteilug erhält ma hier eie Wert vo Null. Liksschiefe Verteiluge habe Werte kleier Null, echtsschiefe Verteiluge größer Null. Abb. 8: echtsschiefe editeverteiluge Wahrscheilichkeit Quelle:eigee Erstellug i Alehug a Brus u.a. (2000), S.40 Abb. 9: Liksschiefe editeverteiluge edite Wahrscheilichkeit edite Quelle : eigee Erstellug i Alehug a Brus u.a. (2000), S. 40 Aleger bevorzuge rechtsschiefe Verteiluge, da der egative editebereich sehr viel kleier ist als bei eier liksschiefe Verteilug. Bei gleicher zu erwarteder edite ud gleicher empirischer Stadardabweichug ist die Gefahr hoher egativer Etremwerte bei liksschiefe Verteiluge sehr 3

14 viel höher. I Literaturagabe 9 zu lieare (diskrete) editeverteiluge fidet ma meist rechtsschiefe Verteiluge vor, was damit zusammehägt, daß der Verlust mit maimal 00% beziffert werde ka, der Gewi aber (theoretisch) ach obe offe ist. Auch hier sieht ma wieder die Sihaftigkeit der Beutzug liearer edite bei historische Utersuchuge, da ei Ivestor drei Totalausfälle i seiem Portfolio mit dem 300%ige Wertzuwachs eies adere Wertpapiers (uter der Voraussetzug der jeweils gleiche ivestierte Beträge) kompesiere ka, was durch die lieare edite dargestellt werde ka, ahad der logarithmierte Berechug allerdigs icht, da ei Logarithmus vo Null 20 icht eistiert. Wölbug Die Erfahrug ud viele empirische Utersuchuge 2 zeige, daß sich gerade bei Aktie die edite sehr stark um de Mittelwert bewege ud häufiger Etremwerte a de äder der Verteilug auftauche als dies bei ormalverteilte edite der Fall ist. Ma spricht vo dem Phäome der fat tails. Die Wölbug (Kurtosis) der Verteilug diet als viertes Momet der Wahrscheilichkeitsverteilug zur weitere isikoeischätzug vo Alage. Bei Normalverteiluge liegt der Wert bei drei. Zieht ma diese Wert vo der Kurtosis der utersuchte Verteilug ab, erhält ma de sog. Ezeß. Die Formel lautet bei Vorliege eier Stichprobe : ( ) Ezeß + = ( ) ( 2) ( 3) i 4 ( ) ( ) i 3 = ( 2) ( 3) s 2 (4) mit = Azahl der Periode 9 Vgl. Dresder Kleiwort Beso esearch (2000). 20 Gem. Formel () wäre der Quotiet durch de Wert vo Null des Edwerts im Zähler auch Null, was allerdigs als Logarithmus icht defiiert ist. 2 Vgl. Dresder Kleiwort Beso esearch (2000). 4

15 Diese Zahl gibt a, iwieweit sich die utersuchte Verteilug vo der Normalverteilug uterscheidet. Werte größer Null stelle eie spitzgipflige bzw. leptokurtische Verteilug dar. Das heißt, daß die edite sich sehr viel eger um die erwartete edite balle, aber dafür die Wahrscheilichkeit vo Etremredite a de äder der Verteiluge höher ist. Durch die Potez vo vier (ud die damit überproportioal gewichtete starke Etremabweichuge) werde diese fat tails i eier graphische Verteilugsdarstellug augescheilich. Werte kleier Null stelle eie flachere bzw. platkurtische Verteilug dar, dere Dichte a de äder der Verteilug icht so groß wie bei der Normalverteilug ist ud dere Dichte um de Mittelwert recht hoch ist. Awedug fidet dieses Momet der Stochastik i der Utersuchug eier Kapitalalagegesellschaft, iwieweit Potetial zur Erzielug eier über dem Marktdurchschitt liegede edite vorhade ist, iwieweit es also Si macht, mittels aktivem Maagemet Vermöge zu verwalte. Abb. 0 : Wölbug vo editeverteiluge Wahrscheilichkeit Normalverteilug edite leptokurtische Verteilug platkurtische Verteilug Quelle : eigee Erstellug i Alehug a Brus u.a. (2000), S.4 5

16 Effiziete Portfolios Ahad der statistische Date der eizele Wertpapiere (erwartete edite, empirische Stadardabweichug) sowie der paarweise verküpfte Wertpapiere (Kovariaz) ist es u möglich, eie Vielzahl a Portfolios zu kostruiere, die ebefalls durch die Merkmale erwartete edite ud empirische Stadardabweichug charakterisiert werde. Dies geschieht durch die Kombiatio verschiedeer Wertpapiere ud dere verschiedeartige Gewichtuge. Hierbei gelte, wie im übrige der Portfoliotheorie auch, die Prämisse der icht vorhadee Trasaktioskoste ud der beliebige Teilbarkeit vo Wertpapiere 22. Nu wird es ach Markowitz Portfolios gebe, die ei gerigeres isiko ausweise als adere bei jedoch gleicher zu erwarteder edite. Es ist u möglich, zu jeder gegebee edite eie Portfoliozusammesetzug zu fide, die alle adere Portfoliozusammesetzuge mit gleicher edite hisichtlich des isikos domiiert ; also ei gerigeres isiko ausweist. Dieses Portfolio wird als optimales bzw. effizietes Portfolio bezeichet. Die Verbidug aller effiziete Portfolios wird als Effiziezliie im µ-σ-diagramm dargestellt. Diese Liie verkörpert diejeige Portfolios, die alle adere Portfolios bei jeweils gegebeer edite oder gegebeem isiko domiiere. Eie Effiziezliie stellt dabei die Mege aller effiziete Wertpapierkombiatioe dar, d.h. es gibt keie Wertpapierkombiatio, die bei gegebeem isiko eie höhere edite erwirtschaftet oder bei gegebeer edite ei gerigeres isiko aufweist. 23 Mathematisch erhält ma solche effiziete Portfolios durch Vorgabe eier etsprechede edite als Bedigug, um alle zur Erzielug dieser edite mögliche Wertpapierkombiatioe im Portfolio herauszufide, die da i der Formel zur Portfoliovariazberechug aschließed Verwedug fide, um das zum vorgegebee editeiveau jeweilige Miimum-Variaz-Portfolio zu bereche. Hierzu ist die erste ud zweite Ableitug der Formel zur Portfoliovariazberechug ötig. 22 Zu weitere Prämisse siehe Kapitel Vgl. Elto u.a. (995), S

17 Vorabbedigug (vorgegebee edite) PF = i= ω i i (5) Zu miimierede Zielfuktio (Portfoliovariazberechug) : = 2 2 PF ω s + 2 = = = + s² ω ω s (6) uter de Nebebediguge : i= w i = ud w i 0 (7) Gemäß der erste Nebebedigug muß die Summe der Gewichtuge aller Wertpapiere 00% ergebe (d.h. Vollivestitio). Da i der Budesrepublik Leerverkäufe für Kapitalalagegesellschafte ausgeschlosse sid ( 9 Abs. 5 KAGG), ist die zweite Nebebedigug aufgeführt. Es wird deutlich, daß dieses Verfahre ur mit Hilfe vo Computerprogramme möglich ist, da es eie Vielzahl vo Algorithme zu bereche gilt. Theoretisch müßte zu alle erzielbare editeiveaus alle jeweils mögliche Wertpapierkombiatioe hisichtlich ihres Portfoliorisikos getestet werde. I der Prais geschieht dies mittels Berechug riesiger Variaz-Kovariaz- Matritze ud der Simulatio verschiedester diskreter Wertpapiergewichtuge. Allei bei eier Auswahl zwische 50 Wertpapiere sid 224 Kovariaze zu erreche. Bei Wertpapiere sid (²-)/2 Kovariaze zu bereche. Nicht zu vergesse, daß Gleichuge mit Ubekate aufgestellt ud gelöst werde müsse. Awedug i der Prais I der Prais ist häufig mit mehr Nebebediguge zu reche. Allei aufgrud achfolgeder zu berücksichtigede ahmebediguge wird es bereits oftmals schwierig, effiziete Portfolios zu geeriere. 7

18 I Deutschlad hat der Gesetzgeber bereits eigegriffe ud Obergreze für die Alage i eizele Titel ( 8ff KAGG) festgelegt. So darf der Marktwert der Aktie eies eizele Emittete i eiem Wertpapier-Sodervermöge (wie z.b. eiem Spezialfods) icht mehr als 0% des gesamte Sodervermöges betrage. Vo Aussteller, dere Marktwert der Aktie ei höheres Gewicht als 5% im Wertpapier-Sodervermöge besitze, dürfe i der Summe höchstes 40% des Wertpapier-Sodervermöges gehalte werde. Ferer köe aus rechtliche Aforderuge a de Aleger (dies ist besoders für die Alage vo Mittel des Deckugsstocks bei Versicherugsgesellschafte ud Bausparkasse der Fall, aber auch für Sozialversicherugsträger) weitere Alagegreze vorgegebe sei ( 54 VAG, 38 SGB). Ei immer wichtigerer Aspekt ist die ethische Alagepolitik macher Kude; im spezielle sid hier religiöse Eirichtuge oder Nicht-egierugs- Orgaisatioe zu ee. All diese Pukte sid i der quadratische Programmierug mit zu berücksichtige. Besodere Bedeutug des optimale Portfolios im istitutioelle Asset Maagemet Es liegt u am Ivestor das optimale Portfolio für sich herauszusuche. Hier offeriert gerade die istitutioelle Vermögesverwaltug eie auf de Ivestor geau maßgescheiderte Gelegeheit 24. Damit ei Aleger etscheide ka, welches auf der Effiziezkurve liegede Portfolio er auswähle soll, muß seie idividuelle isikoeigug bekat sei. Es wird oft versucht die isikoeigug mit Hilfe vo Nutzefuktioe zu ermittel. Diese aggregiere sowohl de edite- als auch de isikoaspekt zu eiem eizige Präferezwert 25. Üblicherweise werde Nutzefuktioe durch Nutzeidifferezliie im µ-σ Diagramm graphisch dargestellt. Vo eier Quatifizierug der Nutzefuktio i Form vo Nutzeidifferezliie wird i dieser Arbeit jedoch abgesehe, da bisher och keie 24 Vgl. Fabozzi (997), S Für eie kokrete Formel siehe Assoé (999), S.6. 8

19 befriedigede Lösug gefude wurde ud aktuell auch och keie Alterative Eigag i die Prais des Portfoliomaagemets gefude hat 26. Es geht vielmehr um das Prizip 27. Abb. : Graphische Bestimmug des optimale Portfolios µ U U2 U3 Nutzeidifferezlie mit U > U2 > U3 P Effiziezliie Tagetialpukt σ Quelle: eigee Erstellug i Alehug a Steier u.a. (2000), S.3 Je ach Verwedug des Geldes ud der geerelle isikoeigug (ausgedrückt durch die Forderug des Etschädigugsgrades durch edite mit steigedem isiko) des Ivestors wird der Verlauf (die Höhe) der Nutzeidifferezkurve charakterisiert. Auf der Kurve a sich ist der Nutze des Ivestors auf jedem Pukt gleich groß. Nu muß der Pukt gefude werde, wo die Tagete der Idifferezkurve gleich der Steigug der Effiziezliie ist ud diese berührt. Dieser stellt das optimale Marktportfolio für de Ivestor dar. Die Lage dieses optimale Portfolios (P) liegt also geau im Tagetialpukt zwische der Effiziezkurve ud der Isoutzekurve. Das Nutzeiveau ist um so größer, je weiter der Tagetialpukt obe liks liegt. Je weiter obe liks die Nutzeidifferezkurve liegt, desto höher ist die edite bei gleichem isiko. 26 Eie Versuch hierzu machte Bierma i folgedem Artikel : Bierma (998). 27 Vgl. Steier (2000) ud Fabozzi (995). 9

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