1 Klassische Finanzmathematik

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1 Klasssche Fazahea. Efache Verzsug Aufzse (auf K ) Abzse (auf K ) ( Dsoere) K K ( ) + K K + epu; a auch gebrochee ahl se Ewer oalche vorschüssge Ree ach Jahr Ewer oalche achschüssge Ree ach Jahr ( + 6, ) E r 5 ( + 5, ) E r 5 r l. Reezahlug ssaz p.a. (Absoluzahl) r l. Reezahlug ssaz p.a. (Absoluzahl). seszsrechug Ewer Barwer K K ( + ) K K K K ( + ) K K v p + erres srae (Absoluzahl) (gaze) eroe v / (Abzsugsfaor) Ewer be gescher, aggeauer Verzsug ( )( ) ( ) K K E A / gebrochee er. a LF Afag/ Ee gaze eroe K A Afagsapal EW be relaver uerährger Verzsug K ( ) E K + Azahl er uerährge eroe (Subperoe) Ewer be Augeblcsverzsug K K e E we

2 Effevverzsug ( Jahresree) be uerährger Verzsug eff + eff > Urechug uerährger s Jahreszs (äuvalee uerährge srae zu p.a. ; seszseffe) sesä - ssaz bezoge auf Subperoe p.a. - Jahreszssaz - Subperoe ( ouerlche Verzsug) - eroeverzsug e - ouerlche Verzsug Effevverzsug (p.a.) be folg. uerährge Verzsuge () uerährger Verzsg. () Augeblcsverzsug p p ( + ). a. +. a. l( + ) K () eff K K ( ) e eff E << < () < < () - Subperoe Durchschsree (.) K F K K (.) F F (Wachsus-) Faor (3.) F.3 Reerechug Ewer achschüssge Ree E ach r r - Reezahluge - Marzssaz (Absoluzahl) + - eroe Ewer vorschüssge Ree E r vor Barwer (allg.) B E Barwer achschüssge Ree B ach r ( )

3 Barwer vorschüssge Ree B vor r ( ) Barwer ewge Ree - achschüssg - B ach r r Barwer ewge Ree - vorschüssg - vor r r B

4 Gegewarswere ( Barwer rese Value Kurs rce). Gegewarswere u Opporuäsose DCF eho B (scoue cash flow) Iveso urchführe we B > IRR eho (Ieral Rae of Reur) (erer sfuss)! + Iveso urchführe, we > (Marverzsug + Rsopräe) ( Opporuäs ose) Gegewarswere vo osae Auäe B A.: ur szahlug; ee Rüczahlug szahlug Gegewarswere vo Auäe Dyaserugsfaor B s s s + g Dyaserugsfaor + Gegewarswere vo Auäe Dyaserugsfaor - uelche Rehe - B g ur für > g svoll be < g ur svoll für elche Rehe ahlug (Auä; se bzw. Ree) B be achschüssge. Gegewarswere vo Alehe (Bewerug vo Alehe) allgee: Kursforel Alehe : - gazährge ResLF - alerave Schrebwese: N B + B p T + B ( ) T + N - Noalberag er Alehe - (pero.) ahluge - eroe T - Rüczahlug (es zu ) p - Kupo (Noalzs er Alehe %; z.b. p 8 [%]) - ehäl Marzs : p eff + p eff - Marzs ( ch Kupo!)

5 Kursforel Alehe : - gebrochee ResLF - B p a + T a - gebrochee eroe (ge. Usace) Barwer be uerährge szahluge B K T + - äuvalee uerährge srae + - Subperoe K - Kupo pro (Haup-)eroe - (Haup-)eroe.3 Gegewarswere vo Ae (Bewerug vo Ae)... uelch vele eroe D D D be D D... D : BW uel. Rehe: D Kurse zu epue ehäl Kalulaoszssaz D Dvee zu epue (D, s geschäz a zuüfg)... eroe + D... Wachsusfaor D g Wachsusrae (Absoluzahl); g g (,) s + g ( Wachsusfaor) 3 Erlug er Effevverzsug / Ree 3. Grubegrffe Laufee Verzsug (curre yel, eres yel, coe yel, fla yel) Efache Verzsug (sple yel o aury) Kupo c Kurs s R Kupo + No. verzsug Kapalesaz c s Näherug für Ree s s Näherug für Ree R Rüczahlug Kurs Reslaufze

6 Ree (Effevverzsug) ( ) () f ) p + T () f ( )! p - Kupo ( - Kurs (res), T - Tlg. () Lösug über uersches NV öglch Newo.: Ierao vo,,... : f ( ) + f ( ) Sarwer Urechug Eff-Rae zwsche Bass 365 u Eff vo Gelarpapere (Dsopapere) Effevzsrae... vo W ealger szahlug be Fällge (eher sele) Effevzsrae... vo W ohe szahlug (Dsopapere: Haelswechsel, Coercal apers, Treasury Blls) e R + p ( T T ) 36 T T T + p R R + (, ) - prce p - Süczse (T - T ) Haleauer T - Bezugszepu es W T - ser R - Rüczahlug - rce (Kurs) - gebrochee eroe ge. Usace: 3/36 o. ac/ Eff vo Alehe be glaer Reslaufze... be ährlcher sverrechug (fve szahlug)... be halbährlcher sverrechug (fve szahlug) e R R e + - gaze eroe (LF) R - Rüczahlug - rce e / rela. uerährge srae e p. a. R

7 ... allgee be uerährger sverrechug (fv) e p. a. R - Subperoe er fve sverrechug - gaze eroe (er LF)... be ouerlcher sverrechug eff R l vgl. sesä 3.4 Eff vo Alehe be gebrocheer Reslaufze AIBD (ISMA) eho - gebrochee LF - - gazzahlge LF - + S f T + p p + + T - rce (Kurs) S - Süczse (Rchug :!) - Azahl (gazer) eroe be eroe p.a. : f - gebrochee eroe (Rchug :!) - Az. er Kupos p.a. p - Kupo er eroe Soerfall : RLF <,.h. + S ( R+ p ) f e ( + ) SIA eho e R + C ( + S ) + S e C - Gazahresupo US Treasury eho + p + S + f ( ) R + Urechug (aus ) auf Jahreszs: e Moosüller we US Treasury, aers: Urechug (aus ) auf Jahreszs: ( + ) e

8 Süczse p S N - espae zwsche lezer Kupozahlug u Erwerbszepu beache Usace: 3/36, ac/36, ac/ac N - Noalberag p - Kupo 3.5 De ssruururve 3.5. Spo Raes u Forwar Raes Alehebewerug (Barwer, res) be uerschelche Spo Raes Spo Rae (frsgesabhägge Ree) p p p+ R ( + ) ( + ) ( + ) K + T K V Mehoe beache e ssruururve ges.: ; geg.: p, Spo Raes ( srae vo heue bs, ageg. p.a.) p Kupo er zu beweree Alehe Ieraves Verfahre : e Spo Raes für e verscheee eroe bs öe ur schrwese erel were... V - rese Value (Barwer) Ree eer Alehe (Effevverzsug) p p + p ges.: (bzw. ) Lösug über u. NV erozssaz (par (yel) rae) p + p (s.a. 3..[3]) üslch osruerer erobo eraves Verfahre ( + ) p - Swap-Saz (Kupo) (er LF ) Dsofaore ( + ) Sue - Sue er Dsofaore über alle eroe vo bs - - Spo Rae - a gazzahlg oer gebroche se

9 Forwar-Base- Ierpolao f 36 ( + ) ( + ) 36 Spo Raes u Forwar Raes f f f3,,, 3 s s s Spo Raes als Bewerugsreru

10 4 Fazovaoe 4. Forwar Rae Agreee (FRA) Forwar-ssaz gebrochee eroe (leare Verzsug; es be < ) gaze eroe (geoersche Verzsug; es be > ) gaze eroe (allgee) Ausglechszahlug f f + s ( s+ ) + s f ( ) s ( + ) s ( + ) s ( + s ( )) ( + ) s ( ) ( lbor f ) A N + lbor s s w s f s - Spo Rae (er eroe bzw. ) f - Forwar ssaz (gesuch) s - Vorlaufperoe (gebrochee er.) - Kreperoe (gebrochee er.) w - gaze eroe - gebrochee eroe (geäß Usace) N - Kre-/ Alageberag A Kre s 4. sswaps (Ieres Rae Swaps (IRS)) rcg ees Swaps (Fessaz ees Swaps p (ar Rae)) fs p! s s auflöse ach p (Swap-Saz) 4.3 Fuures

11 5 Rsoezahle 5. Defo u Egeschafe wchger Rsoezahle 5.. Bass o Value (BV) BV ( ) (Tageeverfahre) BV BV + ( + ) B,% /. - Cash Flow s (ahlugssro),..., (eroe) BV be uerährge (gebrochee) Laufzee els BV BV + BV T ( + ) ( + ). (,) BV ( ) (Seaeverfahre) BV BV ees orfolos BV orfolo BV Ezelel 5.. Mofe Durao Mofe Durao B MoDur MD[%] + ( + ) MoDur [%] - Kurs - ählvarable er eroelf alerave For : MD[%]

12 / els MD MD[%] selaszä ε () ε % Urechug BV MD[%] BV MD[%] BV MD[%].. MD (MoDur) [%] - Ausgagsurs (vor Reao auf säerug) MD ees F MD u Elaszä F MD w MD[%] ε MD w Gewchsfaore MD - MoDur er Ezelel 5..3 Durao. Ierpreao : Elaszä, Sesblä Durao u Elaszä + Dur () + ε ε - Elaszä els Durao D + - urspr. Marzs - säerug D - Durao - urspr. Kurs

13 . Ierpreao : easpe I (Iuäszepu) Durao: alerave For: geschlossee Forel: - für gaze eroe - Dur ( + ) ( + ) Dur ( + ) + p + T Dur p ( ) ( ) + T Dur [Jahre] (geauer: speroe),..., (ahlugszepue) - eroe (Reslaufze) - Marzssaz + - ahlugsrücflüsse epu - Kurs (Barwer) p - Kupo - für gebrochee er.- + Dur a + ( + ) ( + ) + p p T [ ] T a - gebrochee eroe sosges... Urechug MD Dur ( ) Dur MD[%] + MD [%] Dur + Durao ees orfolos Dur F N w Dur w - Ael a orfolo (Gewche es Barweres) N w w >

14 5..4 Kovexä Kovexä (allg.) Kov ( + ) () ( + ) ( + ) - be uerährger Alehe (z.b. Floaer) : (,) - Noalberag Floaer + se für erau Kov ees erobos Kov ees Floaers Kov eer ewge Ree Kov Kov Kov ( + ) ( + ) ( + ) ( + )... Näherugsforel Kov 6 ( + ) + ( ) ( ) ( ) B B els Kovexä Kovexä ees orfolos ( ) ( ) + B BV B + Kov ( ) Kov F N w Kov - urspr. Kurs B - Basspue ( B) BV - Bass o Value ( ) - Absoluzahl 5..5 Thea Thea (BW-Äerug Abhägge vo Reslaufze) els Thea Θ ( T ) Θ l ( + ) Θ T T 36 T - ResLF [Jahre, 3/36] - urspr. BW - absoluer uwachs a GE T - LF [3/36 Tage] erso

15 5..6 Dela-lus-Asaz els Dela-lus-Asaz BV + Kov ( ) Θ 36 T... Dela-lus-Asaz lefer bese Approxao für T - RLF [gebrochee eroe ge. Usace] - säerug [B] - absolue Kursäerug 5..7 Value a Rs (VaR)

16 6 Oposheore 6. Grulage 6.. Grubegrffe 6.. Iuve räeerlärug 6..3 Bewerug ach Cox / Ross / Rubse Ierer Wer er Opo K X (Wer es Call epu ) X - sre (Ausübugspres, Bass-pres) K - aueller Aeurs Erwarugswer er Opospräe (Call) T (Forel ohe seuo-wk) C ( + ) K K + K K u K u - Aeurs Fall (up) K - Aeurs Fall (ow) K - Aeurs T... (Forel seuo-wk) (Beroull rzp) ( p) + seuowahrschelche für up : p u für ow : (- p) δ SD u u e SD δ e C p u + u - (erer) Wer er Opo usa up es epues u - upse chage (,) - owse chage (,); egaves Vorzeche! - Marzs (,) - Ael es Jahres, (,) δ - SD (bezoge auf Jahr) u, : für uerährge erau (grober) Hege-Rao K o o u u K o, u - oberser bzw. uerser Opospres (erer Wer) K o, K u - oberser bzw. uerser Aeurs - belebger (sreer) epu ( > )

17 6..4 Bewerug ach Blac / Scholes Opospräe (Call) ( ) Φ( ) C K Φ X e K l + + σ σ X K l + σ σ X Φ () - Verelugsfuo er Noralverelug Were es Φ zwsche,5 bs! Φ( x) Φ( x) - ouerlcher s (egelch als Sybol) - ResLF er Opo 6. Abhägge es Opospreses vo verscheee Eflussgröße (The Grees) 6.. Dela Dela Abhägge vo Aeurs K K Φ( ) 6.. Gaa Gaa Veräerug es Dela ϕ Γ K Kσ ϕ( ) Φ ( ) ( ) 6..3 Thea Thea Kσϕ( ) Θ + Xe Φ( ) 6..4 Laba (Vega) Laba (Vega) Λ K ϕ( ) σ

18 6..5 Oega Oega K Ω Φ( ) K 6..6 Weere Größe Abhägge vo Sre-res X X ( ) e Φ Abhägge vo ssaz ( ) X e Φ 6..7 Hege Sraege x + Γ K 6.3 u-call-arä + Xe K u Call - ouerlcher ssaz 6.4 Bewerugsproblee be Aerca Syle Opos

19 6.5 Aweuge er Opospresheore 6.5. Aeopoe 6.5. Devseopoe u Opoe auf Fuures Devseopo... Kassaurs c E e a Φ E l + σ X ( ) Xe Φ( ) ( ) a σ + E - Kassaurs eer Devse - läscher ssaz a - ausläscher ssaz X - Sre (gewüscher Ausübugsurs) σ Devseopo... Terurs (Blac-Moell) c e ( E Φ( ) XΦ( )) Ter ETer l σ X σ + σ erwareer Terevseurs ouerlche Verzsug efache Verzsug E E E E e ( ) a ( + ( ) ) a E - Terevseurs E - Devseurs (res er Frewährug hescher Währug ausgerüc) sopoe Caps a Floors Cap Bewerug + e Cap N τ + τ f f l σ f [ Φ( ) Φ( )] f sc + σ f sc - Ausglechsberag sc - Sre Cap (Cap Saz) f - Forwar-ssaz - rsoloser s τ - abzuscherer erau ( erau er Forwar Rae) - Oposfrs es Caps σ f, σ f - Volalä es Forwar-Sazes

20 6.5.5 Swapos Sruurere roue: Floore a Collare Floaer, Super Floaer, Reverse Floaer, Sep-Up-Bo, Callable a uable Bo Schäzug er Volalä