Geometrie Formelsammlung Niklaus Burren

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1 Geometie Fomelsmmlung Niklus Buen

2 Fomelsmmlung Geometie Inhltsvezeichnis. Plnimetie Winkel n geschnittenen Pllelen Winkel m Deieck Winkel m Keis Stz des Pythgos Höhenstz Kthetenstz Gleichseitiges Deieck Gleichschenklig echtwinkliges Deieck Flächeninhlte Innenwinkelsumme eines elieigen n-ecks Tngentenschnitte Tngentenvieeck Keis und Keising Bogenmss Potenzeihen fü sin(x), cos(x) und tn(x) Keissekto Keissegment Sthlensätze Inkeis..... Umkeis..... Schwepunkt eines Deiecks..... Höhelinien..... Mittellinien Winkelhlieende im Deieck Zentische Steckung Einescheiungsufgen Ähnliche Figuen Ähnliche Deiecke Ähnlichkeit m Keis...7. Tigometie Rechtwinkliges Deieck Acusfunktionen Bechung von Licht Flächeninhlt eines Deiecks Einheitskeis Sinusstz Cosinusstz.... Goniometie...

3 Fomelsmmlung Geometie.. Beziehungen zwischen sin(α), cos(α) und tn(α)..... Additionstheoeme..... Funktion des doppelten Winkels Steeometie Lge von Punkten, Geden und Eenen im Rum Eene Winkel im Rum Pism Pymide n-seitige Pymidenstumpf Pismtoide Reguläe Polyede (Pltonische Köpe) Keiszylinde Keiskegel Kegelstumpf Guldinsche Regeln Kugel und Kugelteile Ähnliche Köpe Vektogeometie Elemente Vektoopetionen Zweidimensionle Vektoen Deidimensionle Vektoen Sklpodukt Flächeninhlt eines Deiecks Geden Eene Koodintengleichung Astnd eines Punktes Winkelpoleme...4

4 Fomelsmmlung Geometie 4. Plnimetie.. Winkel n geschnittenen Pllelen Stufenwinkel Gegenwinkel Wechselwinkel α α α α 8 α α β β β β 8 β β.. Winkel m Deieck Innenwinkel: α β γ 8 ϕ α γ μ β γ Gleichschenkliges Deieck ε ε ' λ ε Rechtwinkliges Deieck α β 9 α 9 ϕ

5 Fomelsmmlung Geometie 5.. Winkel m Keis Ein Peipheiewinkel ist hl so goss wie de zugehöige Zentiwinkel. Alle Peipheiewinkel üe gleichem Bogen sind gleich goss. ε ε ε Ein Sehnentngentenwinkel ist gleich goss wie ein Peipheiewinkel üe dem eingeschlossenen Bogen. τ ε Sehnenvieeck Ein Vieeck, ds einen Umkeis ht heisst Sehnenvieeck. Im Sehnenvieeck etägt die Summe zweie gegenüeliegende Winkel 8. α γ 8 β δ 8.4. Stz des Pythgos Addiet mn ds Qudt de Ktheten und ehält mn ds Qudt de Hypotenuse. c

6 Fomelsmmlung Geometie 6.5. Höhenstz Im echtwinkligen Deieck ht ds Qudt üe de Höhe den gleichen Flächeninhlt wie ds Rechteck, geildet us den eiden Hypotenusenschnitten. h pq p, q: Hypotenusenschnitte.6. Kthetenstz Im echtwinkligen Deieck ht ds Qudt üe eine Kthete den gleichen Flächeninhlt wie ds Rechteck, geildet us de Hypotenuse und dem nliegenden Hypotenusenschnitt. c p c q, : Ktheten c: Hypotenuse p, q Hypotenusenschnitte.7. Gleichseitiges Deieck Fläche des gleichschenkligen Deiecks: A 4 z

7 Fomelsmmlung Geometie 7.8. Gleichschenklig echtwinkliges Deieck.9. Flächeninhlte Deieck Pllelogmm Tpez c A g h A g h A h.. Innenwinkelsumme eines elieigen n-ecks Mit folgende Fomel knn die Innenwinkelsumme fü elieigen n- Ecke eechnet weden: s ( n ) 8 s: Innenwinkelsumme n: Anzhl Ecken.. Tngentenschnitte Die Aschnitte u und v de Tngenten von einem Punkt n einen Keis sind gleich lng: v u

8 Fomelsmmlung Geometie 8.. Tngentenvieeck In jedem Tngentenvieeck sind die Summen zweie Gegenseiten gleich goss: c d.. Keis und Keising Keis Umfng Flächeninhlt u π A π Keising Ringeite Flächeninhlt R A π A π ( R ) m m.4. Bogenmss Winkel im Bogenmss ϕ ) elieige Rdius Länge des Keisogens Umechnung ϕ ϕ d π 6

9 Fomelsmmlung Geometie 9.5. Potenzeihen fü sin(x), cos(x) und tn(x) 5 7 x x x sin( x) x..., x R! 5! 7! 4 6 x x x cos( x)..., x R! 4! 6! tn( x) x x x x x , x π < n! 4... n ( n Fkultät).6. Keissekto Rdius Bogenlänge ) ϕ Zentiwinkel < ϕ < π A SK Flächeninhlt ϕ ) π ϕ 6 A SK ϕ ) 6 π ϕ A SK.7. Keissegment Rdius ) ϕ Zentiwinkel < ϕ < π s Sehnenlänge h Segmenthöhe A SG Flächeninhlt A A SG A SK SK A A Deieck Deieck,, flls flls ) ϕ < π ) ϕ > π

10 Fomelsmmlung Geometie A SG π ϕ sin( ϕ) 6 A SG ) ) ϕ ( ϕ sin( )).8. Sthlensätze Weden zwei Hlgeden, die von einem Punkt Z (Scheitel) usgehen, von mindestens zwei Pllelen geschnitten, so heisst die Anodnung Sthlenstzfigu. n, n heissen Sthlenschnitte c, d heissen Pllelenschnitte. Sthlenstz (Ohne Pllelenschnitte) ode. Sthlenstz (Mit Pllelenschnitte) c d ode c d Umkehung des. Sthlenstzes Gegeen sind: Zwei Hlgeden g und h mit gemeinsmen Anfngspunkt Z Zwei Geden p und q, welche die Hlgeden schneiden.

11 Fomelsmmlung Geometie Wenn dnn sind p und q pllel. Die Umkehung des. Sthlenstzes gilt nicht!.9. Inkeis Die Winkelhlieenden w α, w β, w γ eines Deiecks ABC schneiden sich im Inkeismittelpunkt.

12 Fomelsmmlung Geometie.. Umkeis Die Mittelsenkechten m, m, m c eines Deiecks ABC schneiden sich im Umkeismittelpunkt.

13 Fomelsmmlung Geometie.. Schwepunkt eines Deiecks Die Seitenhlieenden (Schweelinien) s, s, s c eines Deiecks ABC schneiden sich im Schwepunkt S. De Schwepunkt teilt die Seitenhlieenden im Vehältnis :... Höhelinien Die Höhenlinien h, h, h c eines Deiecks ABC schneiden sich im Höhenschnittpunkt.

14 Fomelsmmlung Geometie 4.. Mittellinien Die Mittellinien m, m, m c eines Deiecks ABC sind hl so lng wie die Gegenseiten und pllel zu diesen. Sie teilen ds Deieck in vie konguente Teildeiecke..4. Winkelhlieende im Deieck Eine Winkelhlieende (ϕ ϕ ) teilt die Gegenseite im Vehältnis de nliegenden Seiten. m n.5. Zentische Steckung Eine Aildung heisst zentische Steckung mit dem Steckzentum Z und dem Steckungsfkto k (k ist eine positive, eele Zhl), wenn gilt:

15 Fomelsmmlung Geometie 5 De Bildpunkt P des Oiginlpunktes P liegt uf dem Sthl ZP und ZP' k ZP < k < Ds Bild ist kleine ls ds Oiginl Vekleineung < k Ds Bild ist gösse ls ds Oiginl Vegösseung k Bild und Oiginl sind gleich konguent. Eigenschften de zentischen Steckung. Eine Gede wid uf eine Gede geildet. Gede und Bild- Gede sind pllel.. Ds Bild eine Stecke ht die k fche Länge: ' k. Winkel weden uf gleichgosse Winkel geildet: α' α 4. Ds Bild eines Keises ist ein Keis mit dem Rdius: ' k 5. De Flächeninhlt de Bildfigu ist k ml so goss wie de Flächeninhlt des Oiginls: A' k A.6. Einescheiungsufgen Ein konvexes Vieleck A heisst eine konvexen Figu B eineschieen, wenn jede Ecke von A uf dem Rnd von B liegt:.7. Ähnliche Figuen Eine Figu U heisst ähnlich zu eine Figu V, wenn mn U mit Hilfe eine zentischen Steckung so vegössen ode vekleinen knn, dss sie zu V konguent ist. Symol: U ~ V

16 Fomelsmmlung Geometie 6 In ähnlichen Figuen sind lle entspechenden Winkel gleich goss, und lle entspechenden Stecken ls uch Kuven hen dssele Längenvehältnis. U ~ V ϕ ' ϕ, α' α ' ' k c' c... ' ' c' d' c d k: Steckungsfkto Flächeninhlte: U ~ V k A A V U.8. Ähnliche Deiecke Stimmen zwei Deiecke in zwei Winkeln üeein, dnn sind sie ähnlich: α α' β β ' Δ ABC ~ Δ A' B' C'

17 Fomelsmmlung Geometie 7 Wenn zwei Deiecke ähnlich sind, dnn hen zwei entspechende Stecken (z.b. Seiten, Höhen, Winkelhlieende, Umkeisdien, Umfänge,...) ds gleiche Längenvehältnis. ' h' w' ' Δ ABC ~ Δ A' B' C' k... h w u' k u ' k, h' k h,... k: Steckungsfkto Die Flächeninhlte ähnliche Deiecke vehlten sich wie die Qudte entspechende Stecken. Δ ABC ~ Δ A' B' C' A A A ' B' C ' ' h'... ABC h k A A' B' C ' k A ABC.9. Ähnlichkeit m Keis Sehnenstz u u' v v' w w' Seknten - Tngentenstz ( ) c( c d ) t

18 Fomelsmmlung Geometie 8 Zusmmengefsst (Potenzstz): Fü jede Tnsvesle eines Keises duch einen Punkt S ist ds Podukt de Entfenungen zwischen S und den Schnittpunkten mit dem Keis jeweils konstnt. Liegt S ussehl des Keises, so ht uch ds Qudt des Tngentenschnittes denselen Wet.

19 Fomelsmmlung Geometie 9. Tigometie.. Rechtwinkliges Deieck Hypotenuse Gegenkthete ϕ Ankthete Seitenvehältnisse Sinus sin ( ϕ ) ( < ϕ < 9 ) Cosinus ( ϕ ) Tngens ( ϕ ) Gegenkthete Hypotenuse Ankthete cos Hypotenuse tn.. Acusfunktionen Gegenkthete Anktete Hypotenuse Gegenkthete ϕ Ankthete Gegenkthete sin ( ϕ ) Hypotenuse Ankthete cos ( ϕ ) Hypotenuse Gegenkthete tn ( ϕ ) Anktete Gegenkthete ϕ sin Hypotenuse ϕ cos ϕ tn Ankthete Hypotenuse Gegenkthete Anktete

20 Fomelsmmlung Geometie.. Bechung von Licht Bechungsgesetz von Snellius n sin( ϕ) n sin( ) ϕ n: Bechzhl Totleflexion Kitische Einfllswinkel, wenn Bechungswinkel 9 eeicht..4. Flächeninhlt eines Deiecks In jedem Deieck gilt: A p q sin( ϕ)

21 Fomelsmmlung Geometie.5. Einheitskeis Definition sin( α) y P cos( α) x y tn( α) x P P P sin( α) cos( α) ( x P ).6. Sinusstz In jedem Deieck ABC gilt: sin( α) sin( β ) c sin( γ ) : : c sin(α) : sin(β) : sin(γ).7. Cosinusstz c c cos( α ) c c cos( β ) c cos( γ )

22 Fomelsmmlung Geometie. Goniometie.. Beziehungen zwischen sin(α), cos(α) und tn(α) sin ( α ) cos ( α) tn( α ) sin( α ) cos( α ).. Additionstheoeme sin( α β ) sin( α ) cos( β ) cos( α ) sin( β ) sin( α β ) sin( α ) cos( β ) cos( α ) sin( β ) cos( α β ) cos( α ) cos( β ) sin( α ) sin( β ) cos( α β ) cos( α ) cos( β ) sin( α ) sin( β ) tn( α ) tn( β ) tn( α β ) tn( α ) tn( β ) tn( α ) tn( β ) tn( α β ) tn( α ) tn( β ) ( 9 α ) cosα cos ( 9 α ) sinα sin tn ( 9 α ) tnα.. Funktion des doppelten Winkels sin( α ) sin( α ) cos( α ) cos(α ) cos ( α ) sin ( α ) sin ( α ) cos ( α ) tn( α) tn( α ) tn ( α)

23 Fomelsmmlung Geometie 4. Steeometie 4.. Lge von Punkten, Geden und Eenen im Rum Symole: Punkte: A, B, C,... Geden:,, c, Eenen: ε, ε, ε,..., ε (ABC) Gegenseitige Lge von Geden 4.. Eene sich schneidende Geden: und e und d pllele Geden:, c und d windschiefe Geden: und, und c e und, e und c Eine Eene ist eindeutig festgelegt duch: Punkte A, Punkt A und sich schnei - pllel Geden B, C Gede g dende Geden Gegenseitige Lge von Eenen Zwei Eenen schneiden sich sind pllel

24 Fomelsmmlung Geometie 4 Gegenseitige Lge von Gede und Eene Die Gede liegt ist pllel zu duchstösst die in de Eene Eene Eene 4.. Winkel im Rum De Winkel ϕ zwischen eine Geden g und eine Eenen ε ist de Winkel zwischen de Gede g und ihe Pojektion g in de Eene ε. Spezilfll: Lot Eine Gede g heisst Lot eine Eene ε, wenn mindestens zwei Geden git, die zu g senkecht stehen. Die Eene ε ist die Nomleene zu g. De Winkel ϕ (ϕ < 9 ) zwischen den Eenen ε und ε ist wie folgt definiet: Eichtet mn in einem elieigen Punkt P de Schnittgede je eine Senkechte p und q zu s in eiden Eenen, so ilden diese Geden den Winkel ϕ, Spezilfll: Nomleene Ist ϕ 9 stehen die eiden Eenen noml zueinnde.

25 Fomelsmmlung Geometie Pism Jede geometische Köpe, de egenzt wid von zwei konguenten und pllelen n - Ecken (Gund - und Deckfläche) und n Pllelogmmen (Mntel) heisst n - seitiges Pism Die Oefläche S: S M G D M: Mentelfläche (Summe lle Seiten) G: Gundfläche D: Deckfläche D G Ds Volumen V: V Gh h: Höhe (Astnd von Gund - und Deckfläche) Gedes Pism Ein Köpe heisst gedes Pism, wenn de Mntel usschliesslich us Rechtecken esteht. Sondefälle des geden Pisms Reguläes Pism: Die Gundfläche ist ein eguläes Vieleck Qude: Die Gundfläche ist ein Rechteck Wüfel: Qude mit lute gleich lngen Knten

26 Fomelsmmlung Geometie Pymide n-seitige Pymide Eine n - seitige Pymide ist ein geometische Köpe, de egenzt wid von einem Vieleck (n - Eck) und von n - Deiecken (Seitenflächen), die einen Eckpunkt (Spitze) gemeinsm hen. Die Oefläche S: S M G M: Mntelfläche (Summe lle Seitenflächen) G: Gundfläche Ds Volumen V: V G h H: Astnd de Spitze von G Gede Pymide Bei de Geden Pymide fällt de Fusspunkt de Höhe h mit dem Schweepunkt S de Gundfäche zusmmen. Reguläe Pymide Die Gundfläche ist ein eguläes Vieleck Tetede Die Gundfläche ist ein Deieck Reguläes Tetede Vie gleichseitige Deiecke ls Begenzungsflächen

27 Fomelsmmlung Geometie n-seitige Pymidenstumpf Pymidenstumpf nennt mn jeden geometischen Köpe, de entsteht, wenn eine Pymide duch eine zu Gundfläche pllele Eene geschnitten wid. Dmit ehält mn einen Pymidenstumpf und eine Egänzungspymide. Ein Pymidenstumpf wid von zwei zueinnde pllelen und ähnlichen e nicht konguenten n - Ecken sowie n Tpezen egenzt. Volumen: ( GD D) V h G 4.7. Pismtoide Ein Pismtoid ist ein Polyede mit de folgenden Oefläche: - Gund - und Deckfläche sind pllel Vielecke; die Eckzhl knn veschieden sein - Die Deckfläche df zu eine Stecke (Deckknte) ode einem Punkt enttet sein. - De Mntel esteht us Deiecken, Tpezen ode Pllelogmmen.

28 Fomelsmmlung Geometie 8 Sondefälle des Pismtoids Pism, Pymide und Pymidenstumpf Bei einem senkechten Pismtoid liegen die Schwepunkte de Gund - und Deckfläche senkecht üeeinnde. Ds Volumen eines Pismtoids: h V 4 6 ( G D ) A m h: Höhe (Astnd zwischen Gund - und Deckfläche) G: Gundfläche D: Deckfläche (esteht diese us eine Stecke ode einem Punkt, so ist D einzusetzen) A m : Mittelschnittfläche (Schnittfläche in hle Höhe und pllel zu Gundfläche). Die Mittelschnitteene hliet lle Seiten - knten.

29 Fomelsmmlung Geometie Reguläe Polyede (Pltonische Köpe) Ein Polyede heisst egulä ode Pltonische Köpe, wenn e von konguenten Vielecken egenzt wid und wenn in jede Ecke gleich viele Knten zusmmenstossen.

30 Fomelsmmlung Geometie 4.9. Keiszylinde Veschiet mn eine Keisfläche pllel um eine estimmte Stecke, so entsteht ein Keiszylinde. Mntellinie: Veindungsstecke zweie entspechende Punkte De eiden Keislinien. Sie sind imme pllel zu Köpechse. Volumen V: V G h π h Gede Keiszylinde Veschieung senkecht zu Keisfläche zu Keisfläche, d.h. die Achse steht senkecht zu Gund - und zu Deckfläche. Oefläche S: S G D M π πh π ( h)

31 Fomelsmmlung Geometie 4.. Keiskegel Veindet mn lle Punkte eine Keislinie mit einem Punkt, de ussehl de Keiseene liegt, duch Stecken, so entsteht ein Keiskegel ode uch Kegel gennnt. Volumen V V π G h h Mntelfläche M M π m Oefläche S S π ( m) ϕ 6 m M: Mntellinie α: Öffnungswinkel ϕ: Zentiwinkel des gewickelten Mntels

32 Fomelsmmlung Geometie 4.. Kegelstumpf Kegelstumpf nennt mn jeden geometischen Köpe, de entsteht, wenn ein Keiskegel duch eine zu Gundfläche pllele Eene geschnitten wid. Dmit ehält mn einen Kegelstumpf und einen Egänzungskegel. Volumen V: V π h ( R R ) De gede Kegelstumpf Mntelfläche: M π m( R) 4.. Guldinsche Regeln Meidin: Ezeugende eene Kuve S F : Schwepunkt de Meidinfläche A: Inhlt de Meidinfläche S L : Schwepunkt de Meidinlinie m: Länge de Meidinlinie V π F A Ds Volumen eines Rottionsköpes ist gleich dem Podukt us dem Flächeninhlt A de den Köpe ezeugenden Fläche und dem Weg, den ih Schwepunkt ei eine Umdehung um die Rottionschse zuücklegt.

33 Fomelsmmlung Geometie 4.. Kugel und Kugelteile Kugel Volumen V 4π Oefläche S 4π Kugelsekto Volumen V π h Kugelsegment π π V h ρ h 6 Volumen V h ( h) ( ) Oefläche S A πρ Kugelhue A π h Kugelschicht π Volumen V h( h ) Oefläche S A π( ) 6 Kugelzone A π h

34 Fomelsmmlung Geometie Ähnliche Köpe Fü ähnliche Köpe mit dem Steckungsfkto k gilt: Längen:... ' ' ' m m h h k Flächeninhlte... ' ' ' ' S S A A M M G G k Volumen V V k '

35 Fomelsmmlung Geometie 5 5. Vektogeometie 5.. Elemente Vektoopetionen Addition c c De Vekto heisst die Summe ode Resultieende von, und c : c Die Resultieende ehält mn duch den Pfeil vom Anfngspunkt des esten is zum Endpunkt des letzten, ngesetzten Pfeils. Rechengesetze Kommuttivgesetz: Assozitivgesetz: ( ) c ( c ) Sutktion Unte dem Gegenvekto ( ) von vesteht Mn jenen Vekto, de denselen Betg, e die entgegngesetzte Richtung wie ht. De Gegenvekto eine Veschieung AB - AB BA

36 Fomelsmmlung Geometie 6 ( ) Rechengesetze (Nullfekto) Multipliktion Skl ml Vekto Skl eine Gösse, ei de die Richtung keine Rolle spielt. (z.b. Tempetu) k k Betg: k k, k R Richtung: k > : k und hen die gleiche Richtung k < : k und sind entgegengesetzt Sondefälle: ; ( ) ; Rechengesetze: m ( ) m m ( m n) m n m,n R m( n ) ( m n) m m Kollinee Vektoen Vektoen, die pllel ode ntipllel sind. und sind kolline k, k R k

37 Fomelsmmlung Geometie Zweidimensionle Vektoen Die Menge lle Pfeile mit deselen Länge und deselen Richtung ildet einen Vekto eine Vekto. Ein einzelne Pfeil heisst Repäsentnt (Vetete) des Vektos. Otsvekto eines Punktes A Repäsentnt, de vom Koodintenuspung usgeht. Symole: ode A Komponentendstellung eines Vektos ; Die Zhlen und heissen Koodinten ode Komponenten des Vektos Rechengesetze R k, k k k k ± ± ± ± y x A A A

38 Fomelsmmlung Geometie Deidimensionle Vektoen Rechengesetze R k, k k k k k ± ± ± ± ± 5.4. Sklpodukt Sklpodukt ( ) cos ϕ Ds Podukt von zwei Vektoen ist eine eelle Zhl, kein Vekto. In Komponentendstellung z z y y x x z y x z y x ( ) z z y y x x ϕ cos ϕ Winkel zwischen zwei Vektoen ( ) ϕ ϕ 8 ;,

39 Fomelsmmlung Geometie 9 Gesetze ( ) v ( c) c ( m ) ( n ) mn( ), m,n R und und Die Vektoen und, welche vom Nullvekto veschieden sind, sind genu dnn othogonl, wenn ih Sklpodukt Null egit. Ds Sklpodukt heisst im englischen Spchum Dotpoduct. Unte diese Bezeichnung findet mn die entspechende Funktion uch uf gängigen Tschenechne. TI89 CATALOG dotp v dotp([x, y, z ],[ x, y, z ]) nom([ x, y, z ]) 5.5. Flächeninhlt eines Deiecks C B A A ABC ( )

40 Fomelsmmlung Geometie Geden Pmetegleichung eine Geden: u t mit R t : Osvekto des Ausgngspunktes P : Osvekto eines elieigen Punktes P de Geden t : Pmete u : Richtungsvekto u t z z u t y y u t x x u u u t z y x z y x u t 5.7. Eene Pmetegleichung eine Eene: t s mit R t s, : Osvekto des Ausgngspunktes P : Osvekto eines elieigen Punktes P de Eene

41 Fomelsmmlung Geometie 4, : Richtungsvektoen (spnnen die Eene uf) und düfen nicht kolline sein. t s, : Pmete Komponentengleichung t s z z t s y y t s x x t s z y x z y x 5.8. Koodintengleichung Gundfom de Koodintengleichung d cz y x Bei d veläuft die Eene duch den Koodintennullpunkt. Nomlvekto c n steht echtwinklig uf de Eene d cz y x. Sind die Nomlvektoen zweie Eenen kolline sind die Eenen pllel ode liegen ufeinnde. Sind eenflls die Richtungsvektoen kolline liegen die Eenen ufeinnde. Umechnung Pmetegleichung zu Koodintengleichung t s z y x

42 Fomelsmmlung Geometie 4 Gleichungssystem estellen und Uneknnten uf eine Seite nehmen: z s y t x t s s z t y t s x Mtixdstellung fü die Einge in den Rechne: Beim TI89 APPS Dt/Mtix Edito ufufen und die Mtix eingeen. Mit nd QUIT Edito velssen und mit CATALOG ef(mtix) die eingegeene Mtix eechnen lssen. Resultt des Rechnes: s t x y - z Koodintengleichung Umechnung Koodintengleichung zu Pmetegleichung Koodintengleichung: 7 z y x Nch eine elieigen Uneknnten umstellen:

43 Fomelsmmlung Geometie 4 y x 7z Uneknnte uf echte Seite duch die Pmete uns s esetzen und ds Gleichungssystem estellen: x y z s 7s Dus lässt sich die Pmetegleichung leiten: x s Astnd eines Punktes Mit Hilfe de Hesse schen Nomlfom knn mn den Astnd eines elieigen Punktes P(x / y / z) von eine Eene x y cz d eechnen: Hesse sche Nomlfom d x y cz d c d: Astnd 5.. Winkelpoleme sin(ϕ ) n u n u n : Nomlvekto de Eene u : Gde ϕ : Winkel zwischen Eene und Gede