1 + m m. Parabelgleichung f (x) = ax² + bx + c. Logarithmen. log u z log u. b b. Allgemeines Dreieck Sinussatz: a : b : c = sin α : sin β : sin γ

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "1 + m m. Parabelgleichung f (x) = ax² + bx + c. Logarithmen. log u z log u. b b. Allgemeines Dreieck Sinussatz: a : b : c = sin α : sin β : sin γ"

Hajo Eberhardt
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Mekhile MthemtikTechik Septeme Teil I: Stogeiete de Mittelstue Schittwikel zweie Gede Biomische Fomel ( + ) + + ( + ) m m t ϕ + m m ( ) + ( + ) ( ) ( ) + ( ) ( + + ) Pelgleichug () ² + + c (llgemeie Fom) Asolutetg ü ü < () ( )² + y (Scheitelom) s s () ( ) ( ) (Liektoom) Logithme Lösugsomel ü die qudtische Gleichug + + c 4c ± Poteze ud Wuzel z + z m m ( ) z z z ( ) z ( ) ( ) ( ) log u v log u log v u + log ( ) log ( u) log ( v) z ( ) ( ) log u z log u log ( ) Rechtwikliges Deieck Pythgos: Höhestz: Kthetestz: + c h pq c p ; cq si α si α ; cos α ; t α c c cos α Allgemeies Deieck Siusstz: : : c si α : si β : si γ v c A log log ( ) ( c) α q c h C β p B Gedegleichug () m + t; Pukt-Steigugsom: ( ) m ( ) + y Kosiusstz: c c cos + α c c cos + β c cos + γ

2 Mekhile MthemtikTechik Septeme Sius ud Kosius (si ϕ ) + (cos ϕ ) si ( ϕ ) si ϕ cos ( ) ϕ cos ϕ ( ϕ ) cos ϕ cos ( 9 ) si 9 si ϕ si ϕ cos ϕ ϕ ( si ) ( cos ϕ) ϕ si ϕ cos ϕ (cos ϕ) (si ϕ ) ϕ ( cos ) (+ cos ϕ) si( α + β ) si α cos β + cos αsi β cos( α + β ) cos α cosβ si αsi β Flächegeometie + c Allgemeies Deieck: A g h Tpez: A h Gleichseitiges Deieck: Rumgeometie A ; 4 Pism: V G h h Keis: U π ; A π Teil II: Alysis Gezwete l lim ; lim e + + Deiitio de Aleitug Aleitug: Scheiweise: ; ( ) lim l (jeweils > ) () ( ) ( ) lim, lls de Gezwet eistiet ud edlich ist. d () dy () y ; d d Aleitug de Guduktioe ( ) (si ) (csi ) cos ² ( ) + (cos ) (ccos ) si ² ds(t) s(t) dt (e ) e (ct ) (l ) + ² Pymide: gede Keiszylide: gede Keiskegel: Kugel: V G h V πh; M π h V πh; M π m V π ; O 4 π 4 Aleitugsegel Summeegel: () u () + v() Fktoegel: () c u () Poduktegel: () u () v() Quotieteegel: u () () v() () u () + v () () c u () () u () v() + u () v () () Ketteegel: () u ( v() ) ( ) u () v() u () v () [v()] () u v() v ()

3 Mekhile MthemtikTechik Septeme L`Hospitlsche Regel Gilt z() () ud eistiet lim z (), so gilt () z () z () lim lim () () Gilt z() ud () ü ud eistiet lim z (), () so gilt z () z () lim lim () () Beide Regel gelte i ähliche Weise uch ü (stelle vo Aweduge de Dieezilechug Gleichug de Tgete im Pukt P ( ( ) ): Mootoiekiteium: () < im Itevll I ällt steg mooto i I. () > im Itevll I steigt steg mooto i I. At vo Etemwete (mithile de zweite Aleitug): ) y ( ) ( ) + ( ) ( ) ud ( ) > ht de Stelle ei eltives Miimum. ( ) ud ( ) < ht de Stelle ei eltives Mimum. Gphekümmug: () < im Itevll I G ist i I echtsgekümmt. () > im Itevll I G ist i I liksgekümmt. Wedepukt: Ist ( ) ud wechselt so ht G de Stelle Tessepukt: de Stelle ds Vozeiche, eie Wedepukt. Ist ( ) ud ( ) ud wechselt so ht G de Stelle eie Tessepukt. de Stelle ds Vozeiche, Newtosche Itetiosomel zu äheugsweise Beechug vo Nullstelle: Symmetie ezüglich des Kooditesystems ( ) + ( ) ( ) () ü lle D G ist chsesymmetisch zu y-achse ( heißt d gede Fuktio) ( ) () ü lle D G ist puktsymmetisch zum Uspug ( heißt d ugede Fuktio) Huptstz de Dieezil- ud Iteglechug ) Ist eie i [; ] stetige Fuktio, so ist die Itegluktio F : (t)dt dieezie ud F ist eie Stmmuktio vo, d.h. F () (). ) Ist F eie Stmmuktio vo, so gilt () d F() F() [ F() ] Ptielle Itegtio u() v () d [ u() v() ] v() u () d Itegtio duch Sustitutio () d g -() (g(t)) g (t) dt mit g(t) g -().

4 Mekhile MthemtikTechik Septeme Ueigetliche Itegle ()d : lim ()d Volume eies Rottiosköpes ei Rottio um die -Achse ( () ) V π d Wichtige uestimmte Itegle + + d + C ( ) d l + C si d cos + C cos d si + C e d e + C l d + l + C () d l () C () + + () () () e d e C ( + ) d F( + ) + C, woei F Stmmuktio vo ist. (cos ) (si ) d t + C + d l + C d csi + C d cot + C d ct + C + d l + ± + C ± d + csi + C (Keisitegl) + d + + l( + + ) + C Teil III: Whscheilichkeitsechug Gesetze de Megelge: A Ω \ A; A A ; A A ; A \ B A B Ω { } Gesetze vo De Mog: A B A B ; A B A B Uveeikeit: A B { } A A ; Eeigiswhscheilichkeite: P( { }) ; P( Ω ) ; P(A) P(A) Stz vo Sylveste: P(A B) P(A) + P(B) P(A B) Bedigte Whscheilichkeit: P ( B) A P A ( B) P( A) Uhägigkeit vo zwei Eeigisse: PA ( B) P( B) ode uch: P( A B) P( A) P( B) Fkultät:! ( ) ( )... Biomilkoeiziet: Azhl de Möglichkeite, utescheide Elemete i eie Reihe zuode. ( ) ( )!... k + k k! ( k )! k! Azhl de Möglichkeite, us eie Mege mit Elemete Teilmege mit k Elemete zu ilde. Lplce-Epeimet: Alle Elemeteeigisse des zugehöige Egeisumes sid gleich whscheilich. A Es gilt d: P(A) Ω 4

5 Mekhile MthemtikTechik Septeme Zullsgöße Ewtugswet, Viz, Stddweichug Die Zullsgöße X ehme die Wete,,..., Whscheilichkeite p,p,..., p. D gilt: Ewtugswet: ( ) Viz: ( ) ( i ) i jeweils mit de µ E X p p + p p V X µ pi i i i ( ) ( ) ( ) µ p + µ p µ p Veschieugsegel: V ( X) E( X ) µ Stddweichug: σ V ( X) Nomlveteilug Dichteuktio: Veteilugsuktio: Stddisieug: Dichteuktio: () e σ π µ σ t µ σ F() e dt σ π ϕ (u) e π u Biomilveteilug Die Zullsgöße X escheie die Azhl de Tee i eie Beoullikette de Läge mit Teewhscheilichkeit p. D heißt die zugehöige Whscheilichkeitsveteilug Biomilveteilug. X heißt iomilveteilt, geue B(; p)-veteilt. Ist die Zullsgöße X iomilveteilt ch B(; p), so gilt: k P(X k) B( ; p; k) p ( p) k ü k,,..., k mit Ewtugswet E(X) p V(X) p p Hypothesetest ud Viz ( ) Beim Teste de Nullhypothese H im Sigiikztest köe zwei Fehle utete: Fehle. At: H wid geleht, owohl sie wh ist. Fehle. At: H wid geomme, owohl sie lsch ist. Veteilugsuktio: u t Φ (u) e dt π Es gilt: Φ( u) Φ (u) Appoimtio de Biomilveteilug duch die Nomlveteilug p p > 9) (uch ü ( ) k µ B(;p;k) ϕ σ σ mit µ p ud σ p ( p) µ + F() Φ σ Als Sigiikziveu α des Tests ezeichet m die gößtmögliche och kzeptiete Whscheilichkeit des Fehles. At. 5

6 Mekhile MthemtikTechik Septeme Teil IV: Liee Alge ud Alytische Geometie Multipliktio eie Mti mit eiem Vekto v v + v + v v v + v + v v v v v + + Sklpodukt im IR : + + Eigeschte ud Aweduge des Sklpodukts zueide sekechte Vektoe: Betg eies Vektos: Eiheitsvekto: Wikel zwische zwei Vektoe: cos ϕ mit ϕ 8 Vektopodukt im IR : Eigeschte ud Aweduge des Vektopoduktes steht sekecht u ud si ϕ mit ϕ 8 Flächeihlt F des Deiecks ABC: F AB AC V AB AC AD Volume V de deiseitige Pymide ABCD: 6 ( ) Liee Uhägigkeit Dei Vektoe, ud c IR sid geu d lie uhägig, we die Gleichug λ + µ + ν c u mit λ µ ν lös ist., ud c lie uhägig c Altetiv gilt: ( ) Gede im IR Pukt-Richtugsom: g : + λ u Zwei-Pukte-Fom g : + λ ( ) Eee im IR Pmeteome Pukt-Richtugsom: E : + λ u + µ v Dei-Pukte-Fom: E : + λ ( ) + µ (c ) Pmeteeie Fome Kooditeom: E : + + c + d Achseschittsom: E : + + s t u Festlegug duch die Achseschittpukte S(s ), T( t ) ud U( u) Nomleom: E : ( ) 6

Ähnliche Dokumente

Merkhilfe. 1 Inhalte der Mittelstufe STAATSINSTITUT FÜR SCHULQUALITÄT UND BILDUNGSFORSCHUNG MÜNCHEN. Mathematik am Gymnasium

Merkhilfe. 1 Inhalte der Mittelstufe STAATSINSTITUT FÜR SCHULQUALITÄT UND BILDUNGSFORSCHUNG MÜNCHEN. Mathematik am Gymnasium STAATSINSTITUT FÜR SCHULQUALITÄT UND BILDUNGSFORSCHUNG MÜNCHEN Mekhilfe Mthemtik m Gymsium Ihlte de Mittelstufe Lösugsfomel fü qudtische Gleichuge c / 4c Poteze m m s s s s s s Logithme logc log logc log