Fourier- und Laplace-Transformation. Fourierreihe einer T-periodischen Funktion f(t)

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1 Fourier- und Laplace-Transformaion Fourier-Laplace.mw Neue MAPLE-Befehle: Heaviside, Dirac, fourier, invfourier, laplace, invlaplace, (TransferFuncion, DiffEquaion, ResponsePlo, BodePlo, ImpulseResponse, ZeroPolePlo). Fourierreihe einer T-periodischen Funkion f() Wir berachen eine reelle periodische Funkion f() mi Periode T, die für alle reellen definier is. Für sie gil: f( + T) = f() für jedes reelle. Ihre 'Grundkreisfrequenz' is definier als: resar: omega[0]=2*pi/t; (1.1) f() kann als Fourierreihe dargesell werden, (die fuer alle konvergen is) : 'f()'=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*omega[0]*)+b[k]*sin(k* omega[0]*),k=1..infiniiy); (1.2) Der erse Summand a0/2 is der Mielwer von f(). Jeder der Summanden 'a[k]*cos(k*omega[0]*)+b[k]*sin(k*omega[0]*)'; beschreib eine sinusförmige Schwingung mi Kreisfrequenz 'k*omega[0]'; (1.3) (1.4) und Scheielwer

2 S[k]:='sqr(a[k]^2+b[k]^2)'; (1.5) Die gesame Fourierreihe is somi eine Summe aus dem Mielwer von f() und unendlich vielen Sinusschwingungen Saemliche sog. 'Fourierkoeffizienen' a[k] und b[k] werden aus f() durch zwei Inegrale berechne, wobei über ein beliebiges -Inervall [1..1+T] der Länge T inegrier wird: a[k]:=(2/t)*in(f()*cos(k*omega[0]*), =1..1+T); (1.6) (1 beliebig reell; k= 0, 1, 2,...) b[k]:=(2/t)*in(f()*sin(k*omega[0]*), =1..1+T); (1.7) Brich man die Fourierreihe bei k=n ab (d.h. es wird nich von k=1 bis Unendlich summier, sondern nur bis k=n), so erhael man eine sog. 'Fouriersche Summe'. Sie sell eine Näherung der Funkion f() dar: resar: (1 beliebig reell; k= 1, 2,...) 'f[n]()'=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*omega[0]*)+b[k]*sin (k*omega[0]*),k=1..n); (Vgl. Übungsaufgabe zum Kapiel 'Programmieren'). Sprungfunkion und Dela-Impuls (1.8) Die sog. 'Einheissprungfunkion' Heaviside ha die Eigenschaf:

3 Heaviside() = 0 für < 0, Heaviside() = 1 fuer 0. resar: wih(plos): plo(heaviside(),=-2..4,numpoins=100,hickness=2, color=red); Für die Einheissprungsfunkion Heaviside verwenden wir im Folgenden den Namen sigma (der mi alias vereinbar wird). Mi Hilfe der Einheissprungfunkion kann man allgemeinere 'Sprungfunkionen' erzeugen, a) indem man durch (-0) ersez (- Verschiebung um 0 in -Richung) b) durch Muliplikaion mi reellen Fakoren (-Änderung der Sprunghöhe und - richung) c) durch Addiion/Subrakion von Sprungfunkionen. Beispiele: resar: wih(plos): alias(sigma=heaviside): p1:=plo(-0.2*sigma(-2),=-2..12,numpoins=100, hickness=2,color=black): p2:=plo(0.3*(1-sigma(-8)),=-2..12,numpoins=100, hickness=2,color=blue): p3:=plo(0.6*(sigma(-4)-sigma(-10)),=-2..12, numpoins=100,hickness=2,color=red): # Recheck- Impuls display([p1,p2,p3]);

4 Der Dirac-Impuls Dirac() is die 'verallgemeinere Ableiung' von sigma(). assume(00): Diff(sigma(),)= diff(sigma(),); (2.1) Verschiebung um 0 in -Richung: Diff(sigma(-0),)= diff(sigma(-0),); (2.2) Unbesimmes Inegral: In(Dirac(),)= in(dirac(),); (2.3) Man kann sich Dirac() als 'unendlich duennen, unendlich hohen Impuls in =0 mi 'Flaeche 1' vorsellen. Dirac()=0 fuer ' ungleich Null'. resar: assume(mu0, a0): In(Dirac(),=-mu..mu)=in(Dirac(),=-mu..mu);

5 (2.4) In(Dirac(-a),=a-mu..a+mu)=in(Dirac(-a),=a-mu..a+ mu); (2.5) Inegral-Transformaionen sell Maple im package inrans zur Verfuegung. resar: wih(inrans); (3.1) Wir werden hiervon nur die Fourier-Transformaion (kurz: F-Trafo) und die Laplace- Transformaion (kurz: L-Trafo) besprechen - einschliesslich der 'Rueckransformaionen. Fourier-Transformaion Durch In(f()*exp(-j*omega*),=-infiniy..+infiniy)=F (omega); (3.1.1) obige (uneigenliche) Inegral konvergier. dimensionslos is. Fourierransformiere von f()'. Die Rueckransformaion erfolg mi In(F(omega)*exp(j*omega*),omega=-infiniy..+ infiniy)/(2*pi)=f(); (3.1.2)

6 (3.1.2) Maple-Befehle fuer die Fourier-Transformaion und die inverse Fourier- Transformaion: fourier [Fourierransformaion] invfourier [Inverse Fourierransformaion]. Funkion. Kreisfrequenz-Spekrum von f(). Is f() aperiodisch, dann is das Spekrum koninuierlich, d.h. die zu f() gehoerigen Is f() periodisch, dann is das Spekrum diskre, d.h. die zu f() gehoerigen B. Inervall). (z. Beispiel einer aperiodischen Funkion f: resar: wih(inrans): alias(sigma=heaviside): inerface( imaginaryuni = j ): f:=exp(-10*)*sigma(); # Die Exp.-Funkion wird bei =0 eingeschale plo(f, = , color=blue, hickness=2); (3.1.3) 0 F:=fourier(f,, omega); # F-Transformaion

7 (3.1.4) f:=invfourier(f, omega, ); # Inverse F- Transformaion (3.1.5) plo(abs(f), omega= , color=black, hickness= 2); # Kreisfrequenzspekrum (koninuierlich) w Beispiel einer periodischen Funkion f mi Periode Pi: f:=cos()^2-2*sin(4*); plo(f, =-Pi..Pi, color=blue); # 2 Perioden (3.1.6) F:=fourier(f,, omega);# Dirac-Impulse an der

8 Selle der diskreen Kreisfrequenzen (3.1.7) Hieraus kann man die (diskreen) Kreisfrequenzen 2, -4, 4 ablesen, (indem man die Klammern hiner Dirac jeweils gleich Null sez, z.b. ( (- Mah.-Vorlesung). Laplace-Transformaion Definiion Durch resar: In(f()*exp(-s*),=0..+infiniy)=F(s); wird einer Funkion f() eine Funkion F(s) zugeordne - falls das obige (uneigenliche) Inegral konvergier (- Mah.-Vorlesung). s is eine komplexe Variable. Is die Variable der Zei mi der Einhei 'Sekunde', dann ha s die Einhei '1/Sekunde', so dass das Produk (s ) dimensionslos is. Die komplexe Funkion F(s) heiss 'Laplace-Transformiere von f()'. ( ) Da die Inegraion von 0 bis Unendlich erfolg, solle die L-Trafo nur auf Funkionen angewende werden, welche im Zeipunk =0 oder spaeer 'eingeschale' werden (- Abschni 'Einund Ausschalvorgänge'). Maple-Befehle fuer die Laplace-Transformaion und die inverse Laplace- Transformaion: laplace(f()-ausdruck,, s) [Laplace-Trafo] invlaplace(f(s)-ausdruck, s, ) [Inverse Laplace-Trafo]. Ein- und Ausschalvorgänge: a) Soll f() im Zeipunk =1 eingeschale werden, so erreich man dies durch Muliplikaion von f() mi Heaviside(-1). b) Soll eine Funkion g() in =1 eingeschale und in =2 wieder ausgeschale werden, so erreich man dies durch Muliplikaion von g() mi dem 'Recheckimpuls'

9 r()= Heaviside(-1) - Heaviside(-2). Beispiel zu a): Einschalen in =2 resar: wih(inrans): inerface( imaginaryuni = j ): wih(plos): alias(sigma=heaviside): f1:=sin(); f2:=sigma(-2); ( ) plo( [f1, f2], =0..2*Pi, ,color=[black, red]); plo( f1*f2, =0..2*Pi, ,color=blue);

10 Beispiel zu b): Einschalen in =4, ausschalen in =10 g:=sin(4*)*exp(-/5); r:=sigma(-4)-sigma(-10);# Recheckimpuls, vgl. obige Bemerkung b) plo( [r,g],=0..12,numpoins=100,hickness=2, color=[red, blue]): ( ) ( ) plo(g*r, =0..12,numpoins=100,hickness=2,color= "Niagara DarkOrchid");

11 Hinweis: c) Falls F(s) bei der Laplace-Rueckransformaion f()*heaviside() ergib, dann laess MAPLE den Fakor Heaviside() leider weg - der Fakor Heaviside() muss dann exra hinzugefueg werden (- vgl. Beispiel)! Beispiel: H:=1/(s^2+s+1); ( ) h:=invlaplace(h,s,); ( ) Korreke Loesung durch Hinzufuegen von Heaviside(): h:=h*sigma(); ( ) plo(h, =-4..10,numpoins=100,hickness=2,color= red);

12 Anwendungen Loesung von linearen Differenzial-Inegral-Gleichungen mi konsanen Koeffizienen Hierbei handel es sich um Gleichungen fuer (unbekanne) Funkionen y(), welche auch Ableiungen von y() und/oder Inegrale der Form In(y(au), au=0..); ( ) enhalen. In den genannen Gleichungen duerfen Ableiungen bzw. Inegrale nur mi konsanen Fakoren muliplizier werden. Gleichungen dieses Typs sind z.b. Maschengleichungen in RCL-Nezwerken! Den mah. Zusammenhang zwischen Sromsärke i und Spannung u an ohmschen Widersänden R, Indukiviäen L und Kapaziäen C finden Sie in V10.zip! Beispiel: Gesuch sind alle Funkionen y(), welche die folgende Differenzial-Inegral- Gleichung erfüllen. resar: wih(inrans): alias(sigma=heaviside): Gl1 := In(y(au), au=0..)+2*diff(y(),$1) + 4*y() = exp(-)*sigma(); ( )

13 ( ) Jeder Summand dieser Differenzial-Inegral-Gleichung is eine Funkion von! Die Laplace-Transformiere von y() bezeichnen wir mi Y(s)! Fuehr man eine Laplace-Transformaion aller Summanden der Gleichung durch, so verschwinden alle Ableiungen und Inegrale und man erhael eine lineare Gleichung fuer Y(s). Dieser Effek ri bei allen Gleichungen des oben beschriebenen Typs auf. Zur besseren Darsellung fuehren wir nun die Abkuerzung Y(s) fuer die Laplace-Transformiere der Funkion y() ein: alias(y(s)=laplace(y(),, s)): Dami ergib die Laplace-Transformaion obiger Gleichung die folgende lineare Gleichung fuer Y(s), die wir mi Gl2 bezeichnen: Gl2:=laplace(Gl1,, s); Wie man sieh, enhael Gl2 keine Ableiungen und Inegrale mehr. Aufloesen der Gleichung Gl2 nach Y(s) ergib die Gleichung Gl3: Gl3:=normal(isolae(Gl2, Y(s))); ( ) ( ) Die gesuche Funkion y() erhalen wir durch Rueck-Transformaion von Y(s) in den Zeibereich mi invlaplace: 'y'=invlaplace(normal(rhs(gl3)), s, )*sigma(); ( ) Offensichlich haeng die Loesungsfunkion y() vom (frei waehlbaren) 'Anfangswer' y(0) ab. Obige Differenzialinegralgleichung ha somi unendlich viele Loesungen.

14 Ueberragungsfunkion In der Sprache der Sysemheorie bezeichne man in echnischen Sysemen die Ursachen als 'Eingangsgroessen' und deren Wirkungen als 'Ausgangsgroessen'. Wir beschraenken uns hier auf Syseme mi je einer Ein- und Ausgangsgroesse. Den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgroesse kann man durch eine Differenzialinegralgleichung des oben beschriebenen Typs darsellen. Beispiel: Spannungsquelle an RC-Nezwerk Eingangsgroesse sei: die Eingangsspannung u() Ausgangsgroesse sei: die Kondensaorspannung uc() In der Elekroechnik lern man, dass hier folgende 'Differenzial-Inegral- Gleichung' fuer uc() gil (die wir mi DIGL bezeichnen): DIGl:=(R*C)*diff(uC(),)+uC()=u(); Abkuerzungen: alias( U(s)=laplace(u(),,s)): alias( UC(s)=laplace(uC(),,s)): ( ) L-Trafo: L_DIGl:=laplace(DIGl,, s); ( ) Um die 'Ueberragungsfunkion' zum obigen Sysem zu berechnen, mach man die folgende zusaezliche Voraussezung: Alle Anfangswere in =0 seien gleich Null. D.h. es wird in =0 ein 'energieloses' Sysem uebernommen. L_DIGl:=subs( uc(0)=0, L_DIGl); L_DIGl:=facor(lhs(L_DIGl)=rhs(L_DIGl)); ( ) ( ) Loes man diese Gleichung nach der Ausgangsgroesse UC(s) auf, so erhael man:

15 isolae(l_digl, UC(s)); ( ) Allgemein gil: Uner der Voraussezung 'in =0 sind alle aufreenden Anfangswere gleich Null', erhael man (im s-bereich) den einfachen Zusammenhang: 'Ausgangsgroesse(s) = G(s) * Eingangsgroesse(s)' also in unserem Beispiel 'UC(s)'='G(s)*U(s)'; mi G:=rhs(%%)/U(s); ( ) ( ) Aufgabe: Uner der genannen Vorraussezung 'in =0 sind alle aufreenden Anfangswere gleich Null' berechnen wir die Kondensaorspannung fuer RC=10 und fuer die Eingangsspannung u() = sin(2*)*sigma(): G:=algsubs(R*C=10, G); u:=sin(2*)*sigma(); U:=laplace(u,, s); ( ) ( ) ( ) UC:=G*U;# 'Ausgangsgroesse(s) = G(s) * Eingangsgroesse(s)' ( ) uc:=invlaplace(uc, s, )*sigma(); ( )

16 Grafische Darsellung von Ein- und Ausgangsgroesse: Eingangsgroesse: plo(u, =-1..50, color=blue); # Eingangsspannung Ausgangsgroesse: plo(uc*sigma(), =-1..50, color=red); # Kondensaorspannung uc Ergaenzung_1: (Kein Pruefungssoff) Diskree Fourierransformaion und z-transformaion

17 (package DiscreeTransforms) Die bisher besprochenen Inegral-Transformaionen gehen von einem analogen Signal f() aus. Haeufig lieg jedoch nur ein digiales Signal als 'Folge von Abasweren' vor. An die Selle der Inegrale reen dann Summen. An die Selle der Fourierransformaion ri dann die 'Diskree Fourierransformaion', an die Selle der Laplace-Transformaion ri die z-transformaion. Fuer die Diskree Fourierransformaion und die inverse Diskree Fourierransformaion benoeig man das package 'DiscreeTransforms': wih(discreetransforms); (4.1) Fuer die z-transformaion und die zugehoerige inverse z-transformaion benoeig man die Befehle zrans und invzrans. Ergaenzung_2: (Kein Pruefungssoff) Dynamische Syseme (package DynamicSysems) - (fuer Sysemheorie, Regelungsechnik) resar: wih(dynamicsysems); (5.1) 1. Definiion eines Sysems bei Vorgabe der Ueberragungsfunkion: F:=s/((s+4)*(s+2)); # Überragungsfunkion

18 (5.2) sys1:=transferfuncion(f); # Definiion eines sog. LTI-Sysems (5.3) 2. Definiion eines Sysems bei Vorgabe einer linearen DGL: DGL:=0.5*diff(i(),)+i()=u(); (5.4) sys2:=diffequaion(dgl, inpuvariable=[u()], oupuvariable=[i()]); (5.5) Wir waehlen als Eingangsgroesse: uin:=exp(-)*heaviside(); plo(uin, =0..5); (5.6)

19 Tsim:=10; Grafik der Ausgangsgroesse: ResponsePlo(sys2, uin, duraion=tsim, color=[red, blue], numpoins=500); (5.7) i Bode-Diagramm zu sys1 (vgl. Aufgabe 15) BodePlo(sys1);

20 Magniude [db] Freq [rad/s]

21 Phase [deg.] 20 0 Freq [rad/s] 4. Impulsanwor (d.h. Dela-Impuls als Eingangsgroesse) zum obigen Sysem sys IR:=ImpulseResponse(sys1, 5); (5.8) whaype(ir); Marix ImpulseResponsePlo(sys1, 4); (5.9)

22 Pol-Nullsellen-Diagramm (Nullsellen des Zaehler- und des Nennerpolynoms) ZeroPolePlo(sys1, color = blue, ile = "Zeros and Poles", symbolsize=20); Zeros and Poles 1 0

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