führt zu den aus der Finanzmathematik (siehe [A], [B]) bekannten Begriffen Duration (nach Macaulay) D und Konvexität C.

Transkript

1 3.. Thos Müller, Bsel Duro ud Zssesvä be Lebesverscheruge. Eleug I der Schwez we uch vele dere Läder wrd vo der Aufschsbehörde e feser Zssz ls sogeer echscher Zs vorgegebe. Deser Zssz bes e Trferug ud sbesodere e Reserverug vo eu bgeschlossee Lebesverscheruge. Dbe sell sch e Frge, we Präe ud Reserve be Äderug des Zsszes vrere. Ee zerle Frge be Lebesverscheruge s, we vel e Ausfzerug der älere Trfgeeroe zu höhere echsche Zse kose. Be Pesosksse eresser, welche Mel e Usellug der Reserve uf efere Zse erforder. Dese Frge s uch scho vel früher de Mel der Dfferelrechug chgegge (sehe [Z], [S]. Auch dls wre e Zse Kplrk geflle ud uersuche e Auswrkuge eser efe Zse. Seerze wr ehr prksche Näherugsforel eresser, so bespelswese Forel für e Urechug vo bellere Reebrwere uf dere Rechugszse. De heuge Copueröglchkee hbe ese Näherugsforel für kokree Ezelberechuge uzlos werde lsse ud d sd uch e frühere heoresche Esche Vergessehe gere. Dbe führe ese Überleguge zu ee efere Versäs, ds gerde be de heue velfälge Copuerberechuge helfe k, de Überblck ch zu verlere. De Fz- ud Bkewel s zwsche der Eführug vo uv gu versädlche Begrffe we Duro ud Dsperso vorgegge. Der grosse Nuze eser Kozepe leg der Verbdug vo Alyss (Ableug ch de Zs ud Geoere (Zhlugsschwerpuk. De Fzhek h d uch ds Ieresse der Akure gefude, llergs kozerere sch druf, e Akvsee besser zu versehe (sehe [A]. M eer Näherugsforel zur Besug der Zssesvä der Reserve ees Lebeporefeulles werde eser Arbe e fzhesche Kozepe uch für e Pssvsee, de gese Gebe der Akure, egesez. Drüber hus werde och ee gze Rehe vo Zsfrge der Lebesverscherug beleuche, e so oder ählch scho vor lge e Lebekure eresser hbe.. Zssesvä vo deerssche csh-flow-brwere. Ableuge vo Csh-flow-Brwere ud dere Duro ch de Zssz Gegebe se e csh-flow Z Zhlug des Berges Z ch Jhre (, oder uch ee gebrochee Duer. Der Brwer des csh-flows zu ee Zssz ud Dskosz v v ( /(+ s folgedersse defer: Z P P(Z P( P(,Z ( + v De Ewcklug vo P( ee Tylor- Rehe u de Zssz - P( + 3 P( + P'( + / P''( + /6 P'''(. Z führ zu de us der Fzhek (sehe [A], [B] beke Begrffe Duro (ch Mculy D ud Koveä C. D D(Z D( D(,Z + P'' ( P'( C C(Z C( C(,Z P( P( Beseh e Porefeulle us ehrere Ezel-csh-flows, so ergebe sch Duro ud Koveä ls gewchees Mel eser Grösse für e ezele csh-flows de ezele csh-flow-brwere ls Gewche. - -

2 3.. σ σ I der Fzhek werde üblcherwese ur e erse bede Tere der Reheewcklug, lso D ud C, berche. De Begrffe Duro D, Koveä C ud Dsperso werde der Fzhek of folgedersse defer: v D v Z C ( + v Z ( + C D D P P De Duro D k ls lere Duer ud e Dsperso σ ls Sreuug der csh-flow Zhluge erpreer werde. Be ee zero-coupo bod esprch e Duro der Reslufze ud e Dsperso verschwde. De Dsperso k ls Mel der Abwechugsqudre drgesell werde, de Zeru ( -D( zwsche de ezele Zhlugsere ud de lere Ter der Duro. Wr defere gz llgee (,,Z (, ( ( (( v ( Z v( Z ( ( v( P( ( ( ( Z -D v. -D( D( I obge Quoee verschwde e Ableug des Neers v ( P( ( + P( ch für. Deshlb geüg es, be Ableuge vo (, de Zähler bzulee, ws wr de ue (* versehee Glechuge beuze. Flls s, werde wr e Bezechuge gelegelch verefche ud (, ( ( seze ud lleflls och de csh-flow Z vererke, we eser ch edeug bes s. Sz: Bewes: (( P σ + D D D v Z ( P D + v Z P D ( D + D + C D D σ ( Be de folgede Ableuge geüg so e Ableug des Zählers, ws jewels de (* versehee Glechuge beuz wrd. So ergb sch Sz: D' - v σ ud D'' v ( 3 + σ v Z Bewes: D' d(d( d( (, d(p (* v( Z - v, - v - v ( d(p ( D( v( Z ( - v σ - -

3 3.. ud espreched d D '' (D( d ( (, d( - v( (, (* 3 v ( ( ( + σ Grfsche Illusroe Lere Näherug der Duro Koveä ls. Ter der Tylorewcklug I Uersched zur Duro ch Mculy e P'( D od (+ D Mculy P( De ofzere Duro s äher de Begrff, der für e Alyss ssgebed s, würde ber be ee zerobod ch e Lufze (ury gebe, ws doch ews söred s.. Duro Abhäggke vo Zs %.%.% 3.% 4.% 5.% 6.% 7.% Zereebrwer über 4 Jhre Lere Näherug csh flows, Dskoere csh flows Csh Flow Brwere zu % Zs D(.5-σ (.5- /.5-33 D( (-/6 We späer gezeg wrd: σ ( / Beerkug zur kouerlche Verzsug: De Verzsug s uf de Zeru vo ee Jhr usgeleg. Würde selle vo lle Grösse uf de kouerlche Zs c l(+ bezehe, würde e Dskofkore z.b. be de lere Ter (skoere Duro ud uch be der Koveä wegflle. d P( v D ( P( P'( c d ( l( + c d P( c v v P '( c c - 3 -

4 3.. P '( P( c (* P '( c P( (* D( D( (* folg jewels us v l( c e + e c, so c sd lle Dskoerugsfkore glech, ubhägg vo kouerlcher oder skreer Verzsug. b. Iegrldrsellug für e Vro vo Brwere be lgjährge Csh-flows Wr eressere us dfür, we der Brwer ees Csh-flows vrer, we wr de Zssz u vo uf heruf- oder heruerseze ud gebe Folgede Näherugsberechuge, e uch für lgjährge Csh-flows ur rech weg vo der geue Vro bweche. Wr verwede ee ulplkve Asz, welcher bessere Näheruge ls dve Asäze, we bespelswese e Tylorewcklug, lefer. User Asz süz sch uf e Duro ls Ableug des Logrhus der csh-flow-brwere ud uf e Ableuge der Duro, e vorge Absch uersuch wurde. M P( l P( l P( [ ] P' ( P( - D ( ν D l gelge wr zu de folgede Näherugsforel für e Zsvro vo Brwere: P( P( l / D e (ν ν ( ν /ν D wobe wr ee lere Duro D über de Iervll [, + ] seze: D + (D( + D'( ( ν 3 D -. 5ν σ + ( ( + σ 6 D D(, σ σ ( ud ν /( + D''( + ( D( ν ν +.5 D'( + D''( 6 Für ee csh-flow ur eer Auszhlug, we bespelswese be ee zero-coupo bod, s e Forel ek. De Näherug s uso ugeuer, je grösser eerses e Dsperso ud dererses s. Sd ese Were hreched kle, so k sbesodere der Ter D ohe llzu grosse Fehler weggelsse werde. c. Bespel: Duro ud Koveä be Zeree Geerelle Forel De Duro vo eporäre Zeree k us der Duro vo ewge soforbegede (chschüssge Ree ud derjege vo ufgeschobee Ree erel. Beklch s / ud d d( D( + + ( D(ä D( Nch de Esz der Alyss verwede wr u e geoersches Argue: De Drsellug der Duro des Ges-csh-flows eer ewge Ree ls de Brwere gewchees Mel der Duroe der Tel-csh-flows für ee Zeree ud ee ufgeschobee ewge Ree ergb, ufgelös ch de Zereeer, e Bezehug (* < (* D( D( D( ( (D( v ( D(

5 3.. wobe < ( v (+ v ä v der Brwer der begede, jährlch u segede, (chschüssge Ree bezeche wrd. D s < + v D( / Für de Zs :, D(ä D( - v. Für de Zssz h be de llgeee Forel ee Ubeshesselle. Deshlb gehe wr vo der Reheewcklug des Brweres eer Auszhlug ch Jhre us: v ( ( ( v +.. ud suere 3 über bs. Des gb e Reheewcklug des Brweres der eporäre Ree: ( Aus ( ( ( v + + ( ( ergebe sch Duro ud Koveä D ( (+/, C ( (+(+/3, σ ( (+( /(+(-/ / ud drus für ee Zssz : + D( ( (, D( ä ( ( 6 6 ud espreched (sehe Absch 6c.: s ( s ( Geerell gl: s ( ( + D( v D( ä + + ( + ( + ( + 6 ( + 6 ( D( ½ (+ D(ä ½ (- D( ½ (++ C( /3 (+(+ C(ä /3 (-(+ C( (+++/3(+(+ σ ( / (+(- ( σ ä σ ( ä. σ ( d. Näherugsforel für jährlche Aorsosberäge Für gl be Zeree d( / (( ' v D( / ½ (+/ - 5 -

6 3.. (( '' ( ( + (D( D( / σ (+( /(-(+/6 Aus der Reheewcklug u erhäl ee Näherug für jährlche Aorsosberäge / / ( +.5 (+ + / (- (+ ud espreched / / ( +.5 (- + / (- (-5 ä 3. Csh flows der Lebesverscherug Dese Arbe bleb der sogee deerssche Sch der Lebesverscherug. Grudsäzlch sd Eregsse uch der Lebesverscherug er sochssch. M der deerssche Sch beschräk sch uf e Erwrugswere bezüglch de boersche Whrschelchkeshe. Allgee verseh der Lebesverscherug uer de Brwer de Erwrugswer der skoere Zhluge. Nehe wr ds Bespel eer (chschüsssg zhlbre Ree. Üblcherwese geh vo der Zhlug des Berges us. D de Zepuk des zuküfge Todes ch ke, sd e Zhluge sochssch ud wr berche de Erwrugswer P(, E v { T > } v p v Z de Todesfllzepuk T X ls Zufllsvrble. Herbe bezeche e Whrschelchke für ee -Jährge, ch Jhre och Lebe zu se. Des führ zu de deerssch gegebee csh-flow Z p Bespel der Ree (oder zu Z p p p q+ be eer Todesfllverscherug über e Sue. Ide wr us bezüglch der boersche Ahe uf e Erwrugswere beschräke, sd wr der gleche Suo we Absch ud köe deerssche csh-flow Zhluge Z berche. Wr köe so e dor errbeee Gesezässgkee uf e Uersuchug der csh-flow-brwere der Lebesverscherug wede. Geerell h der Erwrugswer ees csh-flows uer Berückschgug ees llgee ls kos geoee Dskozs der Lebesverscherug ee zerle Bedeuug. So verseh uer de Lesugsbrwer de Erwrugswer der zuküfge Verscherugslesuge ud uer de Präebrwer de Erwrugswer der zuküfge Präe. Wr uersuche e Abhäggke der Erwrugswere der csh-flows gegeüber eer Äderug der gewähle Dskosäze. De klsssche kurelle Sybole beschrebe e Brwere ezeler spezeller Verscherugslesuge, we bespelswese de Brwer eer Reezhlug der Höhe oder de Brwer der Zhlug des Berges, flls der Verschere währed der Verrgsduer srb. I Folgede bezeche wr de beke verscherugshesche Sybole sowohl de egelche csh-flow we uch de Brwer desselbe. Verscherugslesuge Sybol Csh-flow Z Ree (chschüssg > Ree (vorschüssg Teporäre Ree (vorschüssg Todesfllverscherug Z p ä p ä bs - : A p p p p - 6 -

7 3.. Teporäre Todesfllvers. A oder > bs Gesche Verscherug Erlebesfllverscherug A oder > : bs - E p p p p p p 4. Reserveäderug be Zsvro. Dfferelglechug Be Verscheruge see es ezele Verräge oder uch gze Porefeulles - sd przpell zwe csh-flows zu berche: Der csh-flow der Beräge (Ehe B ud derjege der Lesuge (Ausgbe L. Für e Reserverug sd e Brwere eser csh-flows zu Reservezssz zu bese. De Reserve se ls Dfferez vo Lesugs- ud Bergsbrwer defer: V P( L P( B De Ableug der Reserve ch de Zssz s dv V' P( L' P( B' v ( v v P( L ( P( L P( L' P( B ( P( B P( B' v (P(L D(L P(B D(B v ( V D(L + P(B (D(L D(B wobe DL e Duro des zuküfge Lesugs-csh-flows ud DB e Duro des zuküfge Bergs-csh-flows sd. b. Iegrl zur Besug der Reserveuffüllug N e Koeffzeefukoe DL, DB ud P(B der obge Dfferelglechug ls kos, k e obge Dfferelglechug efch löse. Für Näheruge k e Koeffzee ls lere Were de Iervlle [, + ] seze. D (L D (L.5 v σ (L Duro der Lesuge D (B D (B.5 v σ (B Duro der Beräge P (B P (B (.5 v D(B Bergsbrwer Ds ächse Absch ufgeführe Bespel behdel e Lebreeporefeulle sehr lger Duro der Lesuge. Deshlb verwede wr dor e bessere Näherug eschlesslch der Ableug der Dsperso. De Reserve V( zu ee (ReserveZssz se bek. Ebeso see e Bergs- ud Lesugs-csh-flows bek ud drus köe Duro, Koveä ud Dsperso D (Z, C (Z ud σ (Z der Bergs- ud Lesugs-csh-flows (ZB oder L zu Reservezssz bereche werde. D k der Auffüllugsbedrf (be Zsszreduko respekve e fre werdede Reserve (be Zsszerhöhug we folg bes werde: V V( V( ( D( L ( ( ( D B V ( ( + P B D L v D( L v(- 7 -

8 3.. Wr zege dzu, dss V ( ( V ( + K D ( L v K v(k D( L D( B P( B e Dff'gl. erfüll: D( L d V ( V '( D( L ( V ( + K + + D ( L D ( L + ( v D( L ( V ( + K - v D ( L ( V ( + K + - v ( V ( D( L + P( B( D( L D( B c. Bespel für Reserveerhöhug be ee Lebreeporefeulle c.. Vorgbe Todesfllwhrschelchkee: q.5 q 9 Ausggszssz 4 % Zsvro - % e. (,,..,8 De Reserve für de Zssz 4% se bek ud öche e Reserve ee eue Zssz vo + % respekve de Auffüllugsbedrf V be Reduko des Zsszes u % bereche. Wr führe e Berechuge be ee (kosruere Lebreeporefeulle durch. D her e Lesugszhluge sehr we e Zukuf gehe, vrer e Reserve be Zsszäderuge erheblch. Wr beschräke us uf e Porefeulle 3 Verschere Aler, 4 ud 6. Verscher see Ree, zhlbr b Aler 65, lso u 65- Jhre ufgeschobee Ree. De Ree see jährlch vorschüssg zhlbre Ree der Höhe. Alle Verschere zhle e gleche Präe, e uf de Ersler bsere, d.h. Präe π 45 / ä:45 ä 8.98% Przpell lsse sch e Berechuge für llgeee Porefeulles, Todesfllwhrschelchkee, Reehöhe, Präezhluge ec. durchführe. Es sd Folgede er gerudee Beräge gegebe, für e weere Berechuge wurde ber er e ugerudee Were verwede. c.. Csh-flows Dskoere Zhluge Beräge Lesuge Z 88(8-, Z be >8 π p { + < 65 } p { + 65}, 4, 6 p k ( q+ k, 4, 6 M der Whrschelchke, ch > Jhre Lebe zu se. Wr wede u e Forel vo Absch b., u Duro, Dsperso, de. Ter der Tylorewcklug der Duro ud drus e lere Duro vo Lesuge ud Beräge Iervll [, + ] zu bereche: Csh flow Z D (Z 3 σ (Z (,Z + σ D (Z L ' B.84.4 '

9 3.. M D (Z D 6 3 (Z -.5ν σ (Z + v ( (,Z + σ Zur Berechug der Reserveerhöhug beöge wr och de lere Bergsbrwer: Bergsbrwer P (B ( ä 45 + ä *8.98% : : ä : lerer Bergsbrwer P (B P (B (. v D( B 4.3 c.3. Reserveerhöhug 5 Reserve V(4% V.8 Bergser P( B ( D( L D( B/ D( L Reserveerhöhug D(L D(B v D(L V ( V + P(B (( D(L v (( 9.5. Der geue Wer beräg De Reserve seg so ese Bespel u über 75% uf V(%.793 ud userer Näherug uf.79. De Näherugsforel s uch be ese ews ere gewähle Bespel sehr geu. Verchlässg be D de 3. Ter (d.h. sez D -.5 σ ν, so erhäl D 9.4 ls Näherug vo V. Be eser ews gröbere Näherug geüge Duro ud Koveä vo Bergs- ud Lesugs-csh-flow. Ohe weere Berechuge ke.. leglch e Reserve geu. De Bergsbrwer uss zusäzlch erel oder schäze. Ke e gese csh-flows des Porefeulles ch, so köe Duro, Dsperso ec. ( jewels für Bergs- ud Lesugs-csh-flows hd ees repräseve Besdesuszugs geschäz werde. Duro ud Koveä bese sch für Porefeulles geerell ls de Brwere gewchees Mel eser Grösse für e ezele cshflows. Für e Dsperso gl es ch. Gegeüber der Tylorewcklug der üblche Reserveforel der fehlerfällge Dfferez (vo Lesugs- ud Präebrwer s e gegebee Forel eer Sue us Tere, de Reserveer ud de vo de zuküfge Beräge bhägge Ter ews sbler. Für ee sehr grobe uere Abschäzug des Auffüllugsbedrfes be Zsszreduko k der Ter de zuküfge Beräge weglsse werde. 5. De Reehöhe Abhäggke vo Zssz. Ableug des Reeszes ud Duro I ese Absch berche wr zuers ee kouerlche (ReeZhlug der Iesä p. De folgede Bezehuge gele uch für p, d.h. für ee ewge Ree. Wr gehe vo kouerlcher Verzsug δ l ( + us. See E e δ p der Erlebesfllbrwer, (δ e E d der Re- ebrwer, D( d E d dδ zsug der ofzere Duro esprch. Aus τ E dτ d E + folg E + E d δ p d e Duro, welche be kouerlcher Ver-. M preller Iegro erhäl - 9 -

10 3.. d [ ] E + + E + E ( d ud d D( E d +. b. Begrezug der Ableug des Reeszes ch de Zssz De Ableug des Reeszes ergb sch kouerlche Fll ls Verhäls zwsche Duro ud Reebrwer ud leg er zwsche ½ ud : d ( d D( E d dδ dδ ( + E ( + d ½. M preller Iegro. Schr wese wr e Beschräkug uf ½ ch: E + ( d E + d( + + d ( + [ ] / +. Vo de bede Erewere erhäl ½ durch ee Zeree verschwdede Zssz ud durch ee ewge Ree ohe - oder posver koser Serblchke. De Zeree k sch usere Modell ls Grezfll eer verschwdede Serblchke bs ud Serblchke be vorselle. c. Abhäggke des Reeszes vo Zssz De Reehöhe be gegebeer Elpräe ud glechbedeued d der Reesz d ( δ ( be gegebee sd kovee Fukoe des Zsszes, d.h. ( : dδ Wr zege, dss + ( E d ( E d zuehede ( d + ( D ( D( + + Zssz δ kleer wrd: Wege ( + dδ ( segede δ zu. Deshlb uss be grössere δ uch e grösseres gewähl werde, d + ( δ / ( δ kos bleb. Der Erlebesfllbrwer E zu ee höhere Zssz ud zu ee späere Zepuk s kleer. I obge Iegrl wrd so der Iegrd ud d uch ds gze Iegrl be höhere Zssz δ kleer oder bleb lleflls glech. d. Bespel N E e δ p ler bs zu ee Schlussler ω b, we es bespelswese be der Ordug der Lebede ch De Movre be Zssz Null der Fll s, so s D ( / /3, ubhägg vo, d ω ω d ω, D( ω d ω ω 3 Be höhere Aler k für puschle Überschlgsforel vo ee solche lere Verluf vo E usgehe, ws zur Näherug / / e + /3 δ führ. M q. e. ( ergb sch kouerlche Fll e ud skree Fll e rsp. zu Zs werde dbe ls e rsp. e bezeche ud ls De Reebrwere Lebeserwrug erpreer. / - -

11 3.. Zssz, Reesz Zhlugsr kouerlche Fll kouerlch skre, jährlch chschüssg δ l ( + Ek / 65 Näherug / e 65 + /3 δ Ek / 65 Näherug / e 65 + /3 % 4.76% 4.76% 4.85% 4.85% % 6.% 6.8% 6.7% 6.8% 4% 7.39% 7.38% 7.63% 7.5% De Tbelle zeg, dss de prsreleve Fälle geüged lger Reezhlugsduer e Gesezässgkee vo kouerlche uf de skree Fll überrge werde köe. Be skreer Reezhlug k e Duro de sogee Kouoszhle ls D ( S + / N+ bes werde. Dese Bezehug wurde beres [Z] für e Ewcklug des Reebrweres ee Tylorrehe verwede, wobe e Duro selbs ls Begrff och ch bek wr. De lere Näherugsforel gl für e Uwdlug ee Alersree ud bes d e Zssesvä der Uwdlugssäze der beruflche Vorsorge, spezell uch e Zssesvä der der Schwez gesezlch vorgeschrebee Uwdlugssäze BVG. Be juge Begler äder e Zssesvä des Reeszes hre Chrker: Se s be efe Zssz ählch we be eer Zeree ( efe Zs ud geh d be hohe Zssz ejege eer ewge Ree über, we e Grfk für Begler zeg. Zssesvä des Reeszes be jährlch zhlbre, chschüssge Ree M zuehede Zssz seg e Ableug des Reeszes : I de Grphke zwsche de Zssäze vo -7% : : / 7% 6% 5% 4% 3% % % Reesz be Begler Zssz % % 4% 6% / 65 % 9% 8% 7% 6% 5% 4% Reesz be Begler 65 Zssz % % 4% 6% 6. Zsszvro: Präe be glecher Lesug resp. Lesug be glecher Präe. Dfferelglechug Der Präesz se durch π P (L/ P(B gegebe, wobe üblcherwese für e Verscherugslesug ud e Präe e Absch 3 gegebee csh-flows verwede. Dese gehe vo eer Verscherugslesug oder eer Präehöhe vo '' us, e Verscherugsfll respekve Erlebesfll ls Präe zhlbr s. De Ableug ch de Zssz ergb dπ π dlπ dl(p(l dl(p(b dp(l P(L dp(b P(B -v ( D(L D(B I der Prs s e Zsbhäggke vo L π och eresser, d ese Zsbhäggke derjege der verschere Lesug L be gegebeer Präe esprch:. - -

12 3.. dl dl L L dl( π d( l( π dl( π v ( D(L D(B b. Iegrl De Äderug des Präeszes erhäl durch Iegrle, e sch wederu ur äherugswese bereche lsse. π( + π( - v (D(L D(B e Beschräk sch uf ee lere Näherug, ergb sch π (% ( π( + π( / π( - ( D(L D(B v Näheruge für e relve Lesugserhöhug us eer Zsszfferez L( + v (D(L D(B v (D(L D(B D(L D(B e (+ ( + v L( I Allgeee wrd e Duro für de Ausggszssz verwede, d.h. D(ZD (Z, Z L oder B. Für geuere Schäzuge wrd lleflls ee geegee Ierpolo D(Z D (Z für ee lere Zssz Iervll [, + ] seze. c. Zssesvä ees Sprpls Bespelhf für e Zssesvä der Ablufsue vo Kplverscheruge gege Jhrespräe wede wr us Folgede ee Sprpl zu, be de jewels Afg Jhr der Berg egezhl wrd. Geäss Absz 8. s (ä / ud d gl für de Sprpl D(L- D (B - D(ä.5 (+ + σ ä ( (+ + ( +.5 /. σ ( Wr seze s& ( + s&& ( κ v (.5 +/ + ( +.5 / ud erhle Näherug (* Näherug (+κ κ Näherug (+ Für 3%, % erel wr κ Näherug ud κ ek, für e der obge Forel (* e eke Erhöhug des Edweres erhäl κ Näherug κ ek Der Effek für e vorschüssge Zhlug s be kurze Duer grösser ls be lge Duer ud ugekehr s es de Effek der Dsperso. Isges ergb es de rech sble Verluf für κ, we e Aufsellug uch zeg. Des wrd copoud bous -Syse der Whl ees ehelche Bousszes usgeuz. - -

13 3.. d. Zsüberschüsse Verscherugsr Kpl Präezhlug z.b. Gesche elg ( + VS Verrgsduer VS Verscherugssue jährlch.6 ( + VS Ree Soforbeged elg Präe + Ree 3 Ree Aufgeschobe Aufschubze Zssz ohe Zsüberschuss Präe Reebeg Elpräe zur Fzerug der Ree ch der Aufschubze elg jährlch Näherug für Lesuge (Verscherugssue oder Ree kl. Zsüberschüsse. ( + Präe ( + + Ree 3 Ree Reebeg.6 Präe ( + + Ree 3 Ree M de Durobegrff wrd der Csh-flow ls Gzes berche. Espreched k ese Begrff uch e Lebesverscherugsverrg bezüglch de zugrudegelege Zssäze geshf bewere werde. So k geschäz werde, zu welcher Erhöhug der Verscherugslesuge e zusäzlcher Zssz For ees währed der gese Verscherugsduer kos fesgehlee Zsüberschusses führ. Ugekehr k be gegebeer Verscherugslesug klusve Zsüberschuss geschäz werde, welcher Sz für de Zsüberschuss zugrude leg. De Forel köe uch für e Urechug der Verscherugslesuge uf eue echsche Zssäze verwede werde, wobe d e Dfferez zwsche bsherge ud eue echsche Zssz bezeche. De Urechug vo Verscherugslesuge Zsüberschuss(säze s sbesodere be sogee echsche Überschuss-Sysee eress. Be ese Sysee wrd der Zsüberschuss ch jährlch us de Deckugskpl erel, se bsere uf eer Berchug der Geshe ller über e Verrgsduer fllede Zsüberschüsse. D ege sch e Überleguge zur Duro zu Versäs eser Sysee. E Überschuss-Syse sehe ee kose Erhöhug der Verscherugslesug ufgrud des Zsüberschusses vor. Be Ree sd ese Sysee prsüblch. I Absch 5 wurde druf hgewese, dss e Sblä des Quoee vo Duro ud Reebrwer für e Kosruko vo Überschuss-Sysee verwede, de zur Besug der Überschussree e ehelcher Sz uf e Elpräe bezoge wrd. Be ufgeschobee Ree wrd e Überschussbeelgug of zwe geree Tele erel: ee Kopoee für e Aufschubze, z.b. jährlcher Zsüberschuss oder Bouserhöhug der wrschflche Ree ud ee Kopoee für e Reelufze, e sch de Sysee für soforbegede Ree oreer. Deses Vorgehe der Prs h der Drsellug der Duro vo ufgeschobee Ree ls Sue vo Aufschubze ud Duro eer soforbegede Ree see heoresche Begrüdug. Be gesche Verscheruge werde.. e bede Verscherugslesuge Todesfllsue ud Erlebesfllsue - ch gleche Ausss erhöh. Be brsche copoud bous -Syse wrd für gesche Jhrespräeverscheruge jährlch e Verscherugssue kl. ufgelufeer Bouserhöhug u ee Boussz b erhöh. D erhöh sch e Verscherugssue bs zu Abluf u (+ b, Syse sple bous u +b. De Erhöhug der Todesfllsue durch e erreche Bouserhöhug s her - we - 3 -

14 3.. uch be dere üblche Überschuss-Sysee - kleer ls e Erhöhug der Erlebesfllresp. Ablufsue be Verrgsede. Geh dvo us, dss e Rskoeffeke für e Besug des Zsüberschusses verchlässgbr sd, so k e Grösseorduge der Zsüberschüsse be Jhrespräeverscheruge hd vo Sprpläe feser jährlcher Ezhlug bese. We Absch c. erläuer wrd, k der Boussz κ be Sprpläe κ.6 gesez werde. Be kokree Fesleguge uss es llergs für verschedee Koboe vo Verrgsduer ud Ersler durchreche. Dκ rech sbl s, we wr es her zudes be de Sprpläe ufgezeg hbe, k ese Syse über ee bree Berech vo Verrgsduer ud Ersler der Whl ees ehelche Bousszes b ee ählch hohe Zsüberschuss zuele. Ee verglechbre Suo h be der üblche Feslegug der Schlussüberschüsse ls Produk vo Verscherugssue, Lufze ud Überschuss-Sz SÜ. D Schlussüberschüsse.. ur e kleerer Tel der Zsüberschüsse usgeschüe wrd, beseh her ku e Uersched zwsche ese Verfhre espreched de sple bous ud eer Aufzsug we be copoud bous. Bezeh we Deuschld ud der Schwez üblch - e Schlussüberschüsse uf e grere Verscherugssue ohe lufede Überschüsse, so s es be der Feslegug des Bousszes zu berückschge. f. BVG-Sprprozess Wr wede u e Überleguge zu de Duroe uf de der Schwez Rhe der beruflche Vorsorge vorgeschrebee Sprprozess. Dbe sd per Ede des Verscherugsjhres b Aler 5 für jewels -jährge Alerssffel Sprpräe vo 7%,%,5% ud 8% des BVG-Lohes zu zhle. We häg ds hochgerechee Alersguhbe vo Zssz b? Präezhlug Brwer: 7%* + %* + 5%* + 8%* 3 Für o bereche sch e Gesduro ud koveä we folg ls gewchees Mel der Duro der ezele csh-flows für e jewelge Alerssffel. Geäss 8.. s D( D( + ud C( C( + (++ ud d Duro 4% D( +% ( +3% ( +36% ( 3 D D D D( +.* +.3* +.36* Koveä 4% C( +% ( +3% ( +36% ( 3 C C C C( +.**+.3**3 +.36*3* Dsperso Wr seze D (B D (B -.5 σ (B Alersguhbe Ds Alersguhbe wrd 65, lso ch 4 Jhre usgezhl. D s e Duro des Lesugs-csh-flows 4, wobe e Dsperso s. Des gb e Näherug AG(/AG D( L D(B ( + ( σ (B (

15 3.. Be ee BVG-Loh vo 5' s AG 5' ud für e verschedee BVG-Zssäze: BVG-Zssz Jhre für Zswrkug ( Aufzsfkor (+ Näherug Alersguhbe Ek.% '85 349'47.5% '3 365'437.5% '46 38'43 3.5% '368 44'6 4.% '966 59'7 7. Reebrwere ud Brwere vo Todesfllverscherug der Lebesverscherug I der Lebesverscherug he de Kouoszhle solche suere skoere Zhluge zur Verfügug ud beller. M erke u, dss sch ese Kouoszhle ud weere drus kosruere sogee "höhere" Kouoszhle e Tylorrehe vo Ree- ud Todesfllbrwere erel less: Dzu berche wr Z p espreched der Whrschelchke, ds Aler zu erlebe. D ergb - P (, Z > v ( Z P(, ( de Brwer für ee chschüssge Ree b Aler. Troell berche egelch de csh-flow Z p l l, der für e Kosruko der Ordug der Lebede geoee Azhl Lebede Aler ud bezeche N. D wr de folgede Drselluge er Quoee hbe, kürz sch l herus ud wr erhle ds gleche Resul, we scho vor über 5 Jhre [Z], S. 6, ls Reheewcklug für ee chschüssg zhlbre Ree gegebe wurde. S+ ( S+ ( k S+ ( k ( + ( ( v( + v(.. + (-v(... N ( N ( N ( + ( + ( k + Als lererede Rehe koverger e Tylorrehe ch llzu schell. Scho Zwgg beerk [Z], dss ese Forel der Begrezug uf e erse 3 Gleder of ls ugeu epfude werde. D weere Gleder es och bereche werde üsse, se der prksche Esz eser Forel beschräk. I der T koverger e reke Tylorewcklug weger schell ls bespelswese e Drselluge Epoee. Adererses k ds sukzessve Aufsuere rech schell progrer werde, so dss es sch kuell durchus uch für de prksche Esz ege köe. Sez Z ud Z p p für > (espreched der Whrschelchke Aler - bs zu serbe, wobe d e Todesfllsue zu Zepuk usbezhl wrd, d ergb P (, Z A de Lesugsbrwer für e lebesläglche Todesfllverscherug ees -Jährge. I ese Fll bezeche roell Aus der Tylorewcklug ergb sch e Duro ( ( k S + M ud S + ( k R für k>. ( S S D( D(, N + ( ( + S N + + (I < ; R D( A D( A, M R ( ( M (IA A - 5 -

16 3.. Wobe ( I < de Brwer eer chschüssge Ree für ee -Jährge bezeche, dere Reehöhe beg ud jährlch u e Jhr zu. Espreched beg be Brwer ( IA e Todesfllsue ud jedes Jhr u zu. Für e Koveä ergb sch v( C( C(, N + ( S+ ( v S ( N + ( + ; v( R C( A C( A, M ( ( ( v R M ( Lerur [A] [B] [S] [Z] Albrech, P (998, Ws e Akur über Ivesehek wsse solle: Duro ud Koveä, Der Akur 4 Hef, 3-6 Bühl, N, Berler, B, Eführug e Fzhek Bd, Verlg Peer Hup Ber Sugr We Ser, W, (979, Verscherugshek Erser Tel, Sprger Verlg Berl Hedelberg New York Zwgg, E. (958, Verscherugshek, Brkhäuser Verlg Bsel ud Sugr Zusefssug Vo der Fzhek s bek, we der Brwer ees bods be Äderug des Bewerugszsszes für e Brwerbldug vrer. Grudlegede Grösse s herbe e Duro des bods. Deses Kozep läss sch uf e csh-flows be Lebesverscheruge überrge. Scho der klsssche Lerur werde ese Frge uer de Begrffe Vro der Rechugsgrudlge ud Zsfussproble behdel. Dls wr e schulche Ierpreo der Duro ls lere Zhlugsfrs des csh-flows offebr och ch bek. Wr zege de ufssede Esz des Duro-Kozeps für Zsfrge der Lebesverscherug ud uch be ree Sprprozesse we bespelswese Schwezer BVG. Dbe führe wr us, we Präe, Reserve ud Verscherugslesug (eschlesslch Verscherugslesuge us Zsüberschüsse vo gewähle Zssz bhägg sd. Besoders uersuch wrd, we sch der Reesz Abhäggke des Zsszes verhäl. De Gesezässgkee für e Uwdlug ee Alersree beeflusse ssgebed ds Verhle der Uwdlugssäze der beruflche Vorsorge ud spezell uch e Uwdlugssäze BVG