1 Komplexe Zahlen Definitionen Rechenoperationen 2

Transkript

1 Fomelsmmlug Komplee Zhle. Deftoe. Recheopetoe Glechuge. Qudtsche Glechuge. Glechuge höhee Odug.3 Bomsche Lehst 3.4 Tgoometsche Glechuge 3.5 Kegelschtte 5.6 Hpeelfuktoe 5.7 Ivese Hpeelfuktoe 6 3 Vektoechug 6 3. ddto 6 3. Skle Multplkto Vektoelle Multplkto Sptpodukt weduge 7 4 Fomel u Dffeetlechug 8 4. letuge de elemete Fuktoe 8 4. letugsegel Tlopolome Beechug vo Gewete uestmmte usdücke Fukto mehee Vle 4.6 Vollstädges Dffeetl 4.7 Rchtugsletug 4.8 Tgetleee 5 Iteglechug 5. Gudtegle 5. Itegtosvefhe 5.3 Mehfchtegle weduge 5 6 Dffeetlglechuge 7 6. Dffeetlglechuge. Odug 7 6. Lee Dffeetlglechuge. Odug mt kostte Koeffete 7 7 Mtelge 8 7. Deftoe 8 7. Recheegel 9 Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

2 Fomelsmmlug Komplee Zhle. Deftoe +, -,, R Betg vo : + ltetv: (cosϕ k + sϕ k ) ode e ϕ k mt +, tϕ 0, ϕ k ϕ 0 + kπ, k 0,,,3,. Recheopetoe ϕ + (cosϕ + sϕ ) e ϕ + (cosϕ + sϕ ) e ( + ) - + ( + ) (cos(ϕ +ϕ ) + s(ϕ +ϕ )) ( ϕ + ϕ ) e e (ϕ ϕ ) ( + ) (cos ϕ k + s ϕ k ) k (cos(ϕ - ϕ ) + s(ϕ - ϕ )) e ϕ Glechuge. Qudtsche Glechuge + + c 0 ode, ± 4c p p + p + q 0, ± q. Glechuge höhee Odug.. Defto ee Glechug -te Gdes ode 0 0 Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

3 Fomelsmmlug 3 P ( ) ud se Nullstelle vo P ( ) 0 P ( ) ( ) De Koeffete lsse sch mt dem 0 Hoe Schem gewe Hoe - Schem: Esete de Nullstelle ds Schem : f( ) I de 4. Zele st de Bedeutug de Zhle de 3. Zele gegee..3 Bomsche Lehst ( + ) Psclsches Deeck u Beechug de Bomlkoeffete k : k N k k! > k!( k)! ;, ; Tgoometsche Glechuge.4. Telle häufge Fuktoswete de Sus-/Kosusfukto Wkel α s α cos α 0, π/6, π/4, 45 0 π/3, π/, Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

4 Fomelsmmlug 4.4. Zusmmehg wsche de tgoometsche Fuktoe.4.. sα s( α ) ; cosα cos( α ) ; tα t( α ).4.. s α + cos α tα sα cosα.4..3 sα ± tα cos α ± + t α cosα ± s α ± + t α t ± s cos ± s cos.4..4 s α ( - cosα), s 3 α 4 (3 sα - s3α), s 4 α (cos4α - 4 cosα + 3) 8 cos α ( + cosα), cos 3 α 4 (3 cosα + cos3α), cos 4 α (cos4α + 4 cosα + 3) Fuktoe de Summe wee Wkel.4.3. s(α ± β) s α cos β ± cos α s β.4.3. cos(α ± β) cos α cos β m s α s β t(α ± β) tα ± t β m t t β sα sα cosα, s3α 3 sα - 4 s 3 α s4α 8 cos 3 α sα - 4 cosα sα cosα cos α - s α, cos3α 4 cos 3 α - 3 cosα cos4α 8 cos 4 α - 8 cos α t 3t t 3 4t 4t 3 tα, t 3, t 4 t 3t 6t + t s ( cos ) cos ( cos ) ± ± + t ± cos + cos cos s s + cos Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

5 Fomelsmmlug 5.5 Kegelschtte.5. Defto + + c + d + e + f 0.5. Kesglechug ( - 0 ) + ( - 0 ) R P( 0, 0 ) Koodte des Kesmttelpuktes, R Kesdus.5.3 Ellpseglechug Huptchse ( ) ( ) + Hlchse -Rchtug, Hlchse -Rchtug Hpeelglechug Huptchse ( ) ( ) Hpeelfuktoe.6. Deftoe sh ( e e ), cosh ( e + e ) e e th, coth e + e e e + e e.6. Wchtge Fomel fü Hpeelfuktoe.6.. shα sh( α ) ; coshα cosh( α ) ;.6.. shα cosh α sh α, thα coshα thα th( α ).6..3 sh ± cosh α cosh + + sh α th α + th α + th α th sh + + sh cosh ± cosh.6..4 Fomel vo Move: (coshα ± shα) coshα ± shα Fuktoe de Summe wee Wkel:.6..5 sh(α ± β) shα coshβ ± coshα shβ.6..6 cosh(α ± β) coshα coshβ ± shα shβ th(α ± β) thα ± th β ± th th β Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

6 Fomelsmmlug sh sh cosh, cosh cosh + sh th thα + th.6..8 sh ± ( cosh ), cosh + ( cosh ) + th ± cos + cos cosh sh sh + cosh.7 Ivese Hpeelfuktoe efuktoe: sh l ( + + ) cosh ± l ( + ) th + l coth l + 3 Vektoechug 3. ddto, c, c c c, Betg ees Vektos: + + Läge des Zeges c + c c c Skle Multplkto Multplkto ees Vektos mt dem Skl λ: λ λ λ λ Skle Multplkto wee Vektoe: cosα + + α st de Wkel wsche de ede Vektoe, : cosα 3.3 Vektoelle Multplkto Keupodukt: sα, α st de Wkel wsche de ede Vektoe, c c c, ( ) c, Zuhälteegel wede! Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

7 Fomelsmmlug Sptpodukt Ds Volume ees Sptes, vo de de Vektoe c,, ufgespt: V ( c) ( c ) c ( ) 3.5 weduge 3.5. Momet ee Kft Momet ee Kft eoge uf de Pukt P: Vekto vom Beugspukt P u Wkugsle de Kft F Kftvekto, M Mometevekto, M F 3.5. et ee Kft et ee Kft etlg ees Weges: s Wegvekto, F Kftvekto, et, F s Gedeglechug, Otsvektoe u de Pukte P w. P uf de Gede Otsvekto u eem elege Pukt P uf de Gede g + λ ( ), λ elege Wet Küeste std des Puktes P k vo ee Gede, Otsvektoe u de Pukte P w. P uf de Gede k Otsvekto um Pukt P k, d Küeste Vekto vo de Gede u P k k k k,, ξ d k ξ, d k Küeste std wee chtpllele Gede, Otsvektoe u de Pukte P w. P uf de Gede g, Otsvektoe u de Pukte P w. P uf de Gede G R R d Küeste Vekto vo g ch G, R R R, c R, D R d ξ c, mt ξ Schttwkel wee Gede Flls sch we Gede + λ, R R + µ R, λ, µ R schede (d.h. d 0 ), so st de Schttwkel ϕ : cosϕ D c c c R R Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

8 Fomelsmmlug Eeeglechug Pukte uf de Eee E Otsvekto um Pukt P, Otsvekto um Pukt P 3 Otsvekto um Pukt P 3, Otsvekto u eem elege Pukt Nomlevekto u Eee E, λ, µ, ν elege eelle Wete + λ + µ R mt ν R ud:, R 3 ltsche Eeeglechug duch de Pukt 0 :, , ; R ( 0) 0 ( - 0 ) + ( - 0 ) + ( - 0 ) 0 ltetv: 0 + ( 0 ) + B( 0 ) ode + B + C 4 Fomel u Dffeetlechug 4. letuge de elemete Fuktoe Fukto letug Fukto letug Kostte 0 c s / - c cos / / - / c t /( + ) /( ) sh cosh e e cosh sh l th /cosh l / sh / + log /( l) cosh / s cos th /( - ) cos - s coth - /sh t /cos coth - /( - ) Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

9 Fomelsmmlug 9 4. letugsegel 4.. Schewese d d lm 0 f lm 0 f ( + ) f ( ) d d, d, d ( ) d d 4.. Kostteegel d d ( u ( ) + ) u ( ) Kostte 4..3 Fktoegel d d ( u( )) u ( ) Kostte 4..4 Summeegel d d [ u ( ) + v ( ) + w ( ) + K ] u ( ) + v ( ) + w ( ) + K 4..5 Poduktegel d d [ uv ( ) ( )] u ( ) v ( ) + u ( ) v ( ) 4..6 Quoteteegel d d u ( ) v ( ) vu ( ) ( ) v ( u ) ( ) v ( ) 4..7 Ketteegel d d ( uv ( ( )) du dv dv d, w. d d ( uvw ( ( ( ))) du dv dw dv dw d 4..8 Logthmsche letug f ( ) u( ) ode v( ) [ ], [ ] v( ) v ( ) u( ) v ( ) l u( ) + u ( ) u ( ) f ( ) f ( ) h ( ), mt h( ) l f ( ) Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

10 Fomelsmmlug Tlopolome 4.3. Deftoe Flls glt d f ( 0 ), Kovegedus 0! d lm + m 0 ode f() f( 0 ) + ( ) + R lm m mt 0 < Restgled ch Lgge: ( ) m+ R 0 m ( m+ )! d m + f ( + ϑ ( )) 0 0 d m +, 0 ϑ 4.3. Ege Bespele e 0!, s ( ) 0 + ( + )!, cos ( ) 0 ( )!, ( + ) p 0 p p pp ( ) + +!, p R + pp ( )( p ) 3! Beechug vo Gewete uestmmte usdücke Flls glt: lm f ( ) lm g( ) 0 ode lm f ( ) lm g( ), so glt de Regel vo Beoull ud de l Hosptl: f lm ( ) g ( ) f lm ( ), flls de Gewet estet. g ( ) Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

11 Fomelsmmlug 4.5 Fukto mehee Vle Defto ee Fukto f vo Vle: f f(,, 3,., ) f( ),,, 3,., Ptelle letug: f lm 0 f (,,,.. 3 +,, ) f Höhee ptelle letuge: h f f, h h f f f 4.6 Vollstädges Dffeetl f f (,, 3,., ) f ( ),,, 3,., df f f f d + d + d f d ode dee Schewese: df f d f, w. df d Estesche Summtoskoveto 4.7 Rchtugsletug Vekto Rchtug de gesuchte Stegug, e Ehetsvekto vo T T (,, ), ( gd T) T T T T gd T T T T Rchtugsletug: Mmle Stegug: Mmle Stegug: T gd T e T T gd T gd T M M 4.8 Tgetleee T T(, ),, Rchtugsvektoe de Tgetleee 0, T Vekto sekecht u Tgetleee 0 T, T T Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

12 Fomelsmmlug 5 Iteglechug 5. Gudtegle Fukto Itegl Fukto Itegl +, + l l e e s - cos sh cosh cos s cosh sh t - l cos th l cosh cot l s coth l sh ( ) + p + p+ q, ( ) ( )( ) l + p + q + p+ q + ct( ), q, p + p ( + p+ q) ν ν ( + p+ q) ν Fukto Itegl d I ( + p+ q ) ν ; ν + p d + B ( + p+ q) ν ( + p+ q) ν [( ν )( 4 )] q p, B ( ν 3) 5. Itegtosvefhe 5.. Susttutosmethode 5 llgemee Vogeheswese I f ( ) d, g() dg() d d d g () d I f ( g( )) g ( ) d 5 Speelle Susttutoe R: Rtole Fukto f : elege Fukto : eelle Kostte 5. I f ( + ) d, + 5. I I f ( ) f ( ) d d l l f ( ) f() d f () d Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

13 Fomelsmmlug I f ( g( )) g ( ) d g() d g () d I f () d 5.4 I R(s,cos,t,cot ) d t s +, cos +, t, d d + I R, d s 5.5 ( ) I R, d sh 5.6 ( + ) I R, d cosh 5.7 ( ) I R, c d 5.8 ( + + ) 5.. Ptelle Itegto [ ] [ ] f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) f ( ) d g ( ) d 5..3 Itegto duch Ptluchelegug Polemstellug Zm( ) I R( ) d mt R ( ), m < N ( ) Z m ( ) Polom m-te Gdes, N ( ) Polom -te Gdes Bechte Se: De Koeffet de höchste Pote vo N () muß de Wet he (usklmme!)! lle Wuel sd eell ud efch: N ( ) ( ) α I R ( ) Z N m ( ) ( ) Es tete mehfche eelle Wuel uf: α α l N ( ) ( ), l I R ( ) Zm ( ) N ( ) l l B + ( ) ( ) +. Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

14 Fomelsmmlug Es tete usätlch efche komplee Wuel uf: α l N ( ) ( ) ( + p + q ).( + p + q ) I R ( ) Zm( ) N ( ) l l B + ( ) ( ) +. + k C + D ( + p + q ) De Itegle u de komplee Nullstelle wede umgefomt: C + D p q d C + p p q d D C p d + ( ) p + q Es tete usätlch mehfche komplee Wuel uf α l N ( ) ( ) ( ν + p + q ).( ν + p + q ) I R ( ) Zm( ) N ( ) l l B + ( ) ( ) +. + k ν C + D α ( + p + q ) α De Itegle u de komplee Nullstelle wede umgefomt: C + D + p d d C d + D ( + p + q) ( + p + q) ( + p + q) mt C C, D D C p ν ν ν 5.3 Mehfchtegle 5.3. Doppeltegl I f (, ) d f (, ) d d f (, ) d d Koodtetsfomto: (u, v), (u, v) M M M M ( ) ( ) M M M M ( ) ( ) X u v, det ( X ) u v u v Detemte vo X u v Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

15 Fomelsmmlug 5 Dmt ehält m I f( uv (, ), uv (, )) det ( X) duv (, ) G Zldekoodte: cosϕ, sϕ, det ( X ) d(, ϕ ) ddϕ 5.3. Defchtegl I f( dg,, ) f( ddd,, ) G M M M M ( ) ( ) M M (, ) (, ) De Rehefolge de Itegtoschtuge st fe vetusch!!! Koodtetsfomto: (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w) X u v w u v w u v w det ( X ) Detemte vo X ( ) Dmt ehält m 3 3 I f( uvw (,, ), uvw (,, ), uvw (,, )) det ( X) duvw (,, ) G Kugelkoodte: cosϕ cos ϑ, sϕ cosϑ, sϑ det ( X ) d(, ϕϑ, ) cosϑddϕdϑ 5.4 weduge 5.4. Fläche wsche we Gphe Geet: G: {(,) > < f () f ()} [ f ( ) f ( )] d 5.4. Bogeläge ees eee Kuvestücks De Boge se duch de Fukto f() defet. De Bogeläge m Itevll egt sch dmt u: [ ] s + f ( ) d, Flls f ( ) g( )estet, so glt uch ( ) [ ( )] s + g d ( ) Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

16 Fomelsmmlug Mtelfläche ees Rottosköpes f() Fukto de Begeugsle de Schttfläche, Begeug des Rottosköpes uf de -chse Mtelfläche e Rotto vo f() um de -chse : O π f ( ) + f ( ) d ltetv: g() f - () ( g() se Umkehfukto vo f() ) Mtelfläche e Rotto vo f() um de -chse : O π g( ) + g ( ) d ( ) ( ) Volume ees Köpes M M ( ) V f ( d, ) f ( dd, ) f ( dd, ) M M ( ) Sttsches Momet ud Schwepukt eee Fläche Defto de Fläche: M M M ( ) M ( ) G: {(,) f () f ()} S : Sttsches Momet eoge uf de -chse S : Sttsches Momet eoge uf de -chse s, s : Schwepuktskoodte, : Flächehlt des Geetes G S [ f f d ( ) ( )] S [ f ( ) f ( )] d [ f ( ) f ( )] d s S, s S ode ltetv mt Mehfchtegle üe ds etspechede Geet G: I s dg, I dg G, I dg, I dg G G G G I, I G s I, I G s I I G Flächetäghetsmomete I m () d, I ( ) d m ode ls Mehfchtegle: I m m, I I + I d, I d, I d, I I + I Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

17 Fomelsmmlug 7 6 Dffeetlglechuge 6. Dffeetlglechuge. Odug 6.. Sepee Tp f() g() d d d g ( ) f ( ) d 6.. Lee Dffeetlglechuge. Odug Defto: () + () f() Susttuto vo dese Glechug gemäß: ( ) 0 ( ) ( ) Emttlug vo 0 us de homogee Dffeetlglechug: () 0 + () Lee Dffeetlglechuge. Odug mt kostte Koeffete 6.. Homogee Tp Defto: + δ + φ 0 Chktestsches Polom: λ de Glechug esete: e ) λ eell: λ α ± ω α ω R λ C e + C e,, λ ) λ komple: λ α ± ω α ω R α,, e ( C sω + C cos ω ) c) λ st doppelte Nullstelle des Poloms: λ, α α e ( C + C ) 6.. Ihomogee Tp Defto: + δ + φ f ( ) f() : Stöfukto, hom : llgemee Lösug de homogee Glechug, h : Igedee Lösug de homogee Glechug : llgemee Lösug de homogee Glechug, k Ν 0 hom + h h st duch ee st häggket vo de Stöfukto gemäß de folgede Telle u fde. De uestmmte Koeffete wede duch Esete de homogee Dffeetlglechug emttelt. Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

18 Fomelsmmlug 8 f ( ) 0 Stöfukto h 0 stfukto f e ( ) ( sω + Bcos Ω) h e ( CsΩ + Dcos Ω) f ( ) P( ) e sω e ( C( ) s Ω + D( ) cos Ω) P ( ) 0 f ( ) P( ) e cosω P ( ) 0 h 0 0 C ( ) c, D ( ) d e ( C( ) s Ω + D( ) cos Ω) h 0 0 C ( ) c, D ( ) d We de Stöfukto de Gestlt f() f () + f () ht, d k m de ptkuläe Lösug uch ls Summe dstelle: h h + h h löst de homoge Glechug mt f () ls Stöfukto, h löst de homoge Glechug mt f () ls Stöfukto. Dese Methode st e Stöfuktoe mt mehee Teme sgemäß u ewete. Be Reso wähle m k ( h ) Re s h, k Velfchhet de Nullstelle des chktestsche Poloms 7 Mtelge 7. Deftoe Smolsche, Ide- w. Mtschewese: m m m " ( m ) Mt" ; m Estesche Summtoskoveto: Tete eem Podukt Ides gleche Nmes uf, so wede sämtlche Podukte geldet ud üe lle esteede Wete, de de Ide ehme k, summet: m kvk kvk v + v + v +. + k Fee Ide, k Geudee Ide (ttt doppelt uf) m v m Koecke-Smol: Ehetsmt: fü δ fü E Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

19 Fomelsmmlug 9 7. Recheegel 7.. ddto C + B C + B (Kompoete wede ddet) 7.. Tsposto De tspoete Mt vo : T (-te Zele wd u -te Splte) 7..3 Multplktoe E E, λ B λ B C B C B Multplkto mt dem Flksche Schem: C B B C Zele vo mt de Splte vo B multplee, summee ud C ds Eges etge!! Skles Mte-Podukt: m B k Bk k Bk k B, α R Dese Zhl egt sch us de Summe de Dgolelemete de Mt C B 7..4 Ivese Mt Ivese Mt u : E δ M, we glt: M Ivese - Mt: c d det d c Ivese Mt: We glt: R M so folgt: d R, ( ) 3, d ( + ) mt Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3

20 Fomelsmmlug 0 M 3 M llgemee Methode: see de Lösuge des Glechugssstems [ d ] [ d ] [ d 3 ] M D glt: mt 3 [ ] [ ] [ ] usw. M. (.B. Guß-Jod-Vefhe wede!) 7..5 Detemte Zweehge Detemte: d c, Huptdgole mus Needgole c d Deehge Detemte ( Sus-Regel ): Huptdgole mus Needgole c d e f d e e + fg + cdh - (ceg + fh + d) g h g h Copght Wlfed Schedele, FH Düsseldof Veso 3.3