Andreas Schadschneider. Vorkurs für Physik. Version: 28. September Wintersemester 2012/13

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1 Andres Schdschneider Vorkurs für Physik Version: 28. September 2012 Wintersemester 2012/13

2 Vorbemerkungen Die Vorlesung wendet sich n lle Studiennfänger der Nturwissenschften, nicht nur n zukünftige Physik-Studierende. Sie dient im wesentlichen dzu, die notwendige Mthemtik us der Schule zu wiederholen. Für diejenigen, die einen Mthemtik-Leistungskurs besucht hben, dürfte die Vorlesung themtisch kum Neues bieten. Trotzdem ist llen Studiennfängern die Teilnhme empfohlen, zum Auffüllen von Lücken und uch zur Vorbereitung uf die Arbeitsweise im Studium. Zusätzlich zur Vorlesung werden begleitende Übungen ngeboten, in der die wesentlichen Techniken eingeübt werden sollen. Die Vorlesung richtet sich nicht nch einem speziellen Buch. Zur Ergänzung bieten sich -je nch Studienziel - verschiedene Bücher n. Grundsätzlich ist es rtsm, sich Bücher zunächst in einer der Bibliotheken oder im Fchhndel nzuschuen. Die Geschmäcker sind nun ml verschieden! Für Physiker: S. Großmnn: Mthemtischer Einführungskurs für die Physik (Teubner) Dieses Buch ist für lle Physikstudenten zu empfehlen und ist uch nch dem Vordiplom noch sehr nützlich. Es ist llerdings in einigen Dingen (z.b. Nottion) gewöhnungsbedürftig und dher für ndere Nturwissenschftler nur bedingt empfehlenswert. C.B. Lng, N. Pucker: Mthemtische Methoden in der Physik (Spektrum) Ein neueres Lehrbuch, ds lle Themen der Vorlesung umfsst. Enthält uch zhlreiche Übungsufgben mit Lösungen. (Preis: c. 45 Euro) H. Schulz: Physik mit Bleistift: Ds nlytische Hndwerkszeug der Nturwissenschftler (Verlg Hrri Deutsch) Wie der Titel verspricht, werden lle wichtigen mthemtischen Hilfsmittel, die in den ersten Semestern benötigt werden, n Hnd von physiklischen Frgestellungen eingeführt. T. Arens, F. Hettlich, C. Krpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stchel: Mthemtik (Spektrum Verlg) Eine Empfehlung der Studierenden! Sehr umfngreiches Mthemtik-Buch, ds sich ber uch um die Anschuung bemüht und dher sehr gut zur Begleitung der Vorlesung geeignet ist. (Preis: c. 70 Euro) Fischer/Kul: Mthemtik für Physiker (Teubner) Diese zweiteilige Werk ist usführlicher ls ds Buch von Großmnn. Es ist ber eher wie ein Mthemtik-Lehrbuch ufgebut. Es enthält viele nützliche Resultte und knn uch ls Nchschlgewerk dienen. Allen, die die Mthemtik-Vorlesungen Anlysis I und Linere Algebr I hören werden, empfehle ich, sich direkt n die entsprechenden Literturempfehlungen für diese Vorlesungen zu hlten. Spezielle Litertur für den Vorkurs ist dnn eigentlich nicht mehr nötig.

3 1 Für Chemiker, Biologen, etc.: Es gibt zhlreiche Bücher mit Titeln wie Mthemtik für Nturwissenschftler etc., z.b. ds Buch von W. Pvel und R. Winkler (Person). Teilweise beschäftigen sich diese Bücher ber vor llem mit fortgeschrittenerer Mthemtik, dher sollte mn erst einen Blick hinein werfen oder die Empfehlungen der entsprechenden Begleitvorlesungen bwrten. Für Fehlermeldungen und Verbesserungsvorschläge bin ich jederzeit dnkbr. Sie können uch per emil n mich (s@thp.uni-koeln.de) geschickt werden. Die jeweils ktuellste Version des Skripts ist im Internet über meine Homepge verfügbr. s/s.html Andres Schdschneider

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5 Inhltsverzeichnis II Anlysis 5 I Funktionen 7 I.1 Grundlgen und Beispiele I.2 Eigenschften I.2.1 Injektivität I.2.2 Surjektivität I.2.3 Bijektivität I.2.4 Monotonie I.2.5 Symmetrie (gerde/ungerde Funktionen) I.3 Verkettung von Funktionen, Umkehrfunktion I.4 Stetigkeit I.4.1 Elementre Funktionen II Differentilrechnung 25 II.1 Ableitung II.2 Rechenregeln II.3 Ableitungen elementrer Funktionen II.4 Höhere Ableitungen II.5 Kurvendiskussion III Integrlrechnung 31 III.1 Stmmfunktion III.2 Bestimmtes Integrl III.3 Integrtionsmethoden III.3.1 Prtielle Integrtion III.3.2 Substitutionsregel III.4 Uneigentliche Integrle III.4.1 Integrtion über ein unbeschränktes Intervll III.4.2 Integrtion über Polstellen III.5 Differentilgleichungen

6 4 INHALTSVERZEICHNIS IV Komplexe Zhlen 41 IV.1 Grundlgen IV.2 Drstellung in komplexer Ebene IV.3 Komplexe Funktionen IV.3.1 Anwendung: Additionstheoreme IV.4 Wurzeln

7 Teil II Anlysis 5

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9 Kpitel I Funktionen I.1 Grundlgen und Beispiele In der Physik werden häufig verschiedene Meßwerte einnder zugeordnet. Wir wollen dies m Beispiel der Messung der zurückgelegten Wegstrecke s bei einer Bewegung mit konstnter Geschwindigkeit v illustrieren. Abbildung I.1.1: Links: Ein Bll bewegt sich mit konstnter Geschwindigkeit v. Es wird gemessen, welche Strecke s(t) er in der Zeit t zurückgelegt ht. Rechts: Grphische Drstellung der Messergebnisse. Somit knn mn folgende bstrkte mthemtische Definition einer Funktion geben: Wird jedem Element x us einer Menge A eindeutig ein Element y us einer Menge B zugeordnet (Abb. I.1.2), so nennt mn diese Zuordnung eine Funktion f (oder Abbildung von A nch B). Die Menge A bezeichnet mn dnn ls den Definitionsbereich von f, die Menge B ls den Wertebereich oder Zielbereich. Mn schreibt uch f : A B, x y = f(x) (I.1.1) 7

10 8 KAPITEL I. FUNKTIONEN d.h. dem Element x A wird ds Element y B zugeordnet. Dies bezeichnet mn dnn ls f(x), um die Zuordnung zu x hervorzuheben. Abbildung I.1.2: Beispiel für eine Funktion. Jedem Element des Definitionsbereichs A wird ein Element des Wertebereichs B zugeordnet. Bemerkungen: 1. Definitions- und Wertebereich gehören mit zur Definition einer Funktion und müssen dher immer mit ngegeben werden, sofern ihre Definition nicht us dem Zusmmenhng klr wird. 2. x und/oder f(x) können uch Vektoren sein! 3. Sttt y = f(x) schreibt mn oft uch einfch y = y(x). Die Schreibweise y(x) soll ndeuten, dss mn in der Physik häufig nicht zwischen der Funktion f (lso der Zuordnungsvorschrift) und der bhängigen Vriblen y unterscheidet. Defintions- und Zielmenge können im Prinzip gnz bstrkte Mengen sein. In der Physik hben wir es ber in der Regel mit Mengen von Zhlen zu tun. Wichtige Zhlenmengen sind: ntürliche Zhlen: N = {1, 2, 3,...}, und N 0 = {0, 1, 2, 3,...}, gnze Zhlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3,...} = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}, { z } rtionle Zhlen: Q = z Z, n N. n Später werden wir noch die komplexen Zhlen C kennenlernen. Bei den näturlichen Zhlen ist zu bechten, dss die Definition nicht immer einheitlich ist. Mnchml wird uch die Menge N = {0, 1, 2, 3,...} ls Menge der ntürlichen Zhlen definiert. Eine wichtige Rolle spielen uch Intervlle, d.h. zusmmenhängende Teilmengen der reellen Zhlen. Mn unterscheidet geschlossene, offene und hlboffene Intervlle: [, b] = {x R x b} ], b[ = {x R < x < b} [, b[ = {x R x < b} ], b] = {x R < x b}.

11 I.2. EIGENSCHAFTEN 9 Abbildung I.2.1: Links: Beispiel für eine injektive Funktion Rechts: Beispiel für eine Funktion, die nicht injektiv ist. Es gibt ein Element us der Wertemenge B, ds ls Funktionswert mehrerer Elemente us A uftritt. Auch hier ist die Nottion nicht immer einheitlich. So schreibt mn mnchml (, b) für ], b[. Außerdem kommen folgende Mengen häufiger vor: R + = {x R x > 0} =]0, [ R = {x R x < 0} =], 0[ R + 0 = {x R x 0} = [0, [ R 0 = {x R x 0} =], 0] R \ {} = {x R x }. I.2 Eigenschften Funktionen f : A B lssen sich uf verschiedene Arten und Weisen chrkterisieren. Im folgenden wollen wir einige vorstellen. Auch wenn einige dieser Begriffe selten explizit in der Physik verwendet werden, so sind sie doch von fundmentler Bedeutung für ein tieferes Verständnis von Funktionen. Implizit hben sie uch einen prktischen Nutzen, z.b. wenn es um die Bentwortung der Frge geht, um mn eine Funktion umkehren knn. Sei dher im folgenden f : A B eine beliebige Funktion. I.2.1 Injektivität Die Funktion f ist injektiv, wenn f(x 1 ) f(x 2 ) für lle x 1, x 2 A mit x 1 x 2. (I.2.1) Die Injektivität lässt sich n Hnd des Grphen der Funktion überprüfen. Bei einer injektiven Funktion schneiden beliebige Prllelen zur x-achse den Grphen höchstens in einem Punkt. Die Funktion f(x) = x 2 ist nicht injektiv, d z.b. f(1) = 1 = f( 1). Dgegen ist die Funktion f(x) = x 3 injektiv, wie mn sich z.b. m Grphen schnell klrmcht. Ein weiteres Beispiel ist in Abb. I.2.1 drgestellt.

12 10 KAPITEL I. FUNKTIONEN Abbildung I.2.2: Links: Beispiel für eine surjektive Funktion Rechts: Beispiel für eine Funktion, die nicht surjektiv ist. Es gibt ein Element us der Wertemenge B, ds nicht ls Funktionswert uftritt. Abbildung I.2.3: Beispiel für eine bijektive Funktion. Jedes Element us B tritt genu einml ls Funktionswert uf. I.2.2 Surjektivität Die Funktion f ist surjektiv, wenn die Bildmenge f(a) := {f(x)/x A} mit der Zielmenge übereinstimmt: f(a) = D. (I.2.2) Mn sgt uch: Die Funktion schöpft die Zielmenge us. Die Funktion f : R R mit f(x) = x 2 ist nicht surjektiv, d z.b. der Wert 1 niemls ngenommen wird. Dgegen ist die Funktion f : R R + 0 mit f(x) = x 2 mit eingeschränktem Zielbereich R + 0 surjektiv denn jeder Wert R + 0 wird ls Funktionswert ngenommen 1. Ein weiteres Beispiel ist in Abb. I.2.2 drgestellt. I.2.3 Bijektivität Eine Funktion, die injektiv und surjektiv ist, bezeichnet mn ls bijektiv oder uch eineindeutige Abbildung. Dies wird wichtig, wenn mn die Umkehrfunktion bilden möchte. D f : R R mit f(x) = x 3 injektiv und surjektiv ist, ist die Funktion uch bijektiv. Abb. I.2.3 zeigt ein weiteres Beispiel für eine bijektive Funktion. 1 Denn es gilt ntürlich f( ) =.

13 I.3. VERKETTUNG VON FUNKTIONEN, UMKEHRFUNKTION 11 I.2.4 Monotonie Die Funktion f heißt monoton wchsend, wenn für lle x 1, x 2 A gilt und monoton fllend, wenn für lle x 1, x 2 A x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) (I.2.3) x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). (I.2.4) Gilt sogr die strenge Ungleichheit, so heißt die Funktion streng monoton wchsend (bzw. streng monoton fllend): bzw. x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ). (I.2.5) x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 ). (I.2.6) Wie wir in den Übungen sehen werden, knn mn us der strengen Monotonie uf die Injektivität einer Funktion schliessen: Ist f streng monoton (wchsend oder fllend), so ist f uch injektiv. I.2.5 Symmetrie (gerde/ungerde Funktionen) Eine Funktion f heißt gerde, flls für lle x A gilt: f( x) = f(x). (I.2.7) Der Grph einer gerden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y-achse. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = x 2. Die Funktion heißt ungerde, flls für lle x A gilt: f( x) = f(x). (I.2.8) Der Grph einer ungerden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = x 3. Mn bechte, dss in der Regel Funktionen weder gerde noch ungerde sind! I.3 Verkettung von Funktionen, Umkehrfunktion Ein wichtiges Anwendungsgebiet der gerde eingeführten Begriffe ist die Verkettung von Funktionen und die Bestimmung der Umkehrfunktion. Es seien f : A B und f : C D Funktionen. Dnn bezeichnet mn h := f g : mit h(x) = (f g)(x) := f(g(x)) (I.3.1) ls Verkettung oder Hintereinnderusführung der Funktion f und g. Sie ist definiert für lle x C mit g(x) A. Beispiele:

14 12 KAPITEL I. FUNKTIONEN 1. Es sei f(x) = 1 x und g(x) = x2. Dnn ist (f g)(x = 2) = f(g(2)) = f(4) = 1 4. (I.3.2) Andererseits ist f g nicht definiert für x = 0, d g(0) = 0 nicht im Definitionsbereich von f liegt. 2. Es sei f(x) = sin x und g(x) = x 2. Dnn ist 3. Es sei f(x) = 1 x und g(x) = x2. Dnn ist Andererseits ist (f g)(x) = sin 2 (x). (I.3.3) (g f)(x) = sin(x 2 ). (I.3.4) Diese Beispiel zeigt, dss es im llgemeinen uf die Reihenfolge nkommt, d.h. (f g)(x) (g f)(x). (I.3.5) Wenn f bijektiv ist, dnn existiert die Umkehrfunktion (oder uch inverse Funktion) f 1 : B A chrkterisiert durch f ( f 1 (y) ) = y und f 1 (f(x)) = x für lle x A, y B. (I.3.6) Hierbei drf mn die Umkehrfunktion f 1 (x) nicht mit dem Kehrwert (f(x)) 1 = 1/f(x) verwechseln! In Bücher etc. wird hier die Nottion oft nicht gnz suber verwendet. Mn muß dnn dem Zusmmenhng entnehmen, ws gemeint ist! Mnchml schreibt mn dher mnchml uch 1 f für die Umkehrfunktion. Grphisch knn mn die Umkehrfunktion leicht bestimmen. Aus der Definition folgt, dss gegenüber der Funktion f die Rollen von x und y vertuscht sind. Grphisch bedeutet dies, ds mn den Grphen von f 1 durch Spiegelung des Grphen von f n der Winkelhlbierenden y = x erhält. Beispiele: 1. Die Umkehrfunktion von (x) = kx erhält mn, indem mn y = kx nch x uflöst. Somit ist f 1 (y) = 1 k y. (I.3.7) 2. Die Umkehrfunktion von f(x) = x 2 existiert nur uf [0, [ oder ], 0], d f nur dort bijektiv ist. Dher ist die Umkehrfunktion uf [0, [ durch und uf ], 0] durch gegeben. f 1 (y) = y f 1 (y) = y (I.3.8) (I.3.9)

15 I.4. STETIGKEIT 13 Abbildung I.4.1: Die drgestellte Funktion ist unstetig bei x 0, d sie dort einen Sprung mcht. I.4 Stetigkeit Definition I.4.1 (Stetigkeit). Eine stetige Funktion ht einen Kurvenverluf ohne Sprung 2. Der Grph der Funktion knn dnn ohne bzusetzen gezeichnet werden (siehe Abb. I.4.1). Stellen, n denen eine Funktion ein ußergewöhnliches Verhlten zeigt, bezeichnet mn uch ls Singulritäten. Zwei wichtige Typen von singulärem Verhlten sind: 1. Unbestimmtheit: Hiermit meint mn einen speziellen Fll von Nichtstetigkeit, den wir m Einfchsten nhnd einer oft gebruchten Funktion illustrieren, der sog. Heviside schen Sprungfunktion { 1 für x > 0 Θ(x) := 0 für x < 0. (I.4.1) Mn sgt: Θ ist singulär bei x = 0. Θ(0) wird i.. per Konvention festgelegt. Auf welchen Wert hängt meist von der Anwendung b. Die gebräuchlichsten Konventionen sind Θ(0) = 1, Θ(0) = 0 und Θ(0) = 1/2. Der Grph der Sprungfunktion ist in Abb. I.4.2 drgestellt. 2. Unendlichkeit (Divergenz): Der zweite wichtige Typ von Singulritäten sind Stellen, n denen die Funktionen keinen endlichen Wert nnehmen, d.h. divergieren. Dies sind Singulritäten im engeren Sinne. Ein Beispiel ist in Abb. I.4.3 drgestellt, nämlich die Funktion f(x) = 1. Sie ist offensichtlich für x = 1 nicht definiert, d dort der Nenner eine Nullstelle ht. Mn sgt uch, x 1 dss f bei x = 1 singulär ist bzw. genuer, dss f dort einen Pol (bzw. eine Polstelle) ht. 2 Wir verzichten hier uf eine streng mthemtische Definition zu Gunsten der intuitiven Vorstellung.

16 14 KAPITEL I. FUNKTIONEN Abbildung I.4.2: Der Grph der Heviside schen Sprungfunktion. Abbildung I.4.3: Funktion mit einer Singulrität im engeren Sinne.

17 I.4. STETIGKEIT 15 Abbildung I.4.4: Grph der Potenzfunktion f(x) = x n für gerdes n (links) und ungerdes n (rechts). In der Physik spielen Singulritäten eine wichtige Rolle, z.b. in der Theorie der Phsenübergänge. Diese lssen sich n Hnd ihres Verhltens in der Nähe von Singulritäten chrkterisieren! Bemerkung: Er gibt uch Singulritäten, die sich beheben lssen. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = x 2 x 2 3x + 2 = 1 x 1. (I.4.2) Forml ht der Nenner die Nullstellen x = 1 und x = 2, d.h. dort sollten Singulritäten vorliegen. D die Nullstelle x = 2 von der entsprechenden Nullstelle des Zählers kompensiert wird, merkt mn ber von ihr nichts. Die Funktion knn n der Stelle x = 2 stetig ergänzt werden durch die Festlegung f(2) = 1. Forml entspricht ds dem Kürzen des Linerfktors x 2. Mn bezeichnet diese Singulrität dher ls hebbre Singulrität. I.4.1 Elementre Funktionen Im folgenden wollen wir die wichtigsten Funktionenklssen, die in der Physik immer wieder vorkommen, vorstellen und ihre wesentlichen Eigenschften ufzählen. Später und in den Übungen werden wir noch weitere wichtige Funktionen kennenlernen. Potenzen und Polynome Die Potenzfunktion ist definiert durch f(x) = x. (I.4.3) x bezeichnet mn ls Bsis und ls Exponenten. Für Exponenten = n N sind die Potenzfunktionen mit gerdem Exponenten n gerde Funktionen, während sie für ungerde n ungerde Funktionen sind (siehe Abb. I.4.4). Folgende Rechenregeln gelten für die Potenzfunktion (mit x R + 0 und, b R):

18 16 KAPITEL I. FUNKTIONEN x x b = x +b, (x ) b = x b, x = 1 x. Außerdem gilt x 0 = 1, wobei ber 0 0 nicht definiert ist! Als Polynom n-ter Ordnung bezeichnet mn Summen der Form f n (x) = n j x j = x + 2 x n x n j=0 (I.4.4) mit der ntürlichen Zhl n N und j R. Eine rtionle Funktion ist Quotient zweier Polynome f m und g n : h(x) = f m(x) g n (x). (I.4.5) In den Übungen werden wir die sog. Prtilbruchzerlegung diskutieren, mit der sich rtionle Funktionen in eine Stndrdform bringen lssen. Exponentilfunktion Bei der Potenzfunktion ist die Bsis vribel und der Exponent fest. Bei den Exponentilfunktionen ist es genu nders herum: Spezielle Exponentilfunktionen sind f : R R + mit f (x) = x. (I.4.6) f 2 (x) = 2 x, f 10 (x) = 10 x, f e (x) = e x = exp(x), (I.4.7) wobei e die sogennnte Eulersche Zhl ist: e = Mn bezeichnet die Exponentilfunktion zur Bsis e uch ls die Exponentilfunktion oder ls ntürliche Exponentilfunktion. Die Exponentilfunktionen sind streng monoton wchsend und stetig. Für > 1 wchsen sie für große x sehr schnell n und fllen für große negtive x sehr schnell b (Abb. I.4.5). Spezielle Funktionswerte sind f (0) = 1, f (1) =, f ( 1) = 1. (I.4.8) Für die Exponentilfunktionen gelten folgende Rechenregeln: x b x = (b) x, x y = x+y. Sie sind lso durch folgende Funktionlgleichung chrkterisiert:

19 I.4. STETIGKEIT 17 Abbildung I.4.5: Grph der Exponentilfunktion f für verschiedene Bsen = 2, 3,, 7. Die ntürliche Exponentilfunktion ( = e) entspricht dem fett gezeichneten Grphen. f (x)f (y) = f (x + y). Die Exponentilfunktion ist eine der wichtigsten Funktionen im Rhmen der Nturwissenschften. Sie beschreibt z.b. viele Wchstumsprozesse (Zellteilung, Kernspltung) und Zerfllsprozesse (Rdioktivität). Wir hben schon erwähnt, dss die Exponentilfunktionen sehr schnell nwchsen. Etws präziser: Sie wchsen stärker n ls jede Potenz, ws sich mthemtisch folgendermßen usdrücken lässt: lim x x n f (x) = 0 ( > 1, n 0) (I.4.9) Entsprechend fllen die Funktionen für x sehr schnell b, ws mn sich mit x = 1/ x leicht klr mcht. Mit dieser Beziehung knn mn sich uch überlegen, ws im Fll 0 < < 1 pssiert! Logrithmus Der Logrithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion. Definition I.4.2 (Umkehrfunktion). Ist f : X Y eine bijektive Abbildung, so existiert die Umkehrfunktion (oder uch inverse Funktion) f 1 : Y X chrkterisiert durch f ( f 1 (y) ) = y und f 1 (f(x)) = x für lle x X, y Y.

20 18 KAPITEL I. FUNKTIONEN Abbildung I.4.6: Grph der Logrithmusfunktion log für verschiedene Bsen = 2, = e und = 1/2. Hierbei drf mn die Umkehrfunktion f 1 (x) nicht mit dem Kehrwert (f(x)) 1 = 1/f(x) verwechseln! In Bücher etc. wird hier die Nottion oft nicht gnz suber verwendet. Mn muß dnn dem Zusmmenhng entnehmen, ws gemeint ist! Mnchml schreibt mn dher uch f 1 für die Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion f (x) = x (mit > 0) bezeichnet uch mn ls Logrithmus (zur Bsis ) log y : R + R. Die Logrithmusfunktion ist streng monoton wchsend und stetig. Ihren Grphen erhält mn, wie llgemein für Umkehrfunktionen, durch Spiegelung des Grphen von f n der Digonlen y = x (siehe Abb. I.4.6). Es gilt x = log ( x ), y = log y. Für die Fälle = 10 und = e hben sich spezielle Bezeichnungen eingebürgert: ln x := log e x, log x := log 10 x. (I.4.10) Bem.: Wir htten im vorigen Abschnitt gesehen, dss die Exponentilfunktion für große x schneller ls jede Potenz nwächst. Als Konsequenz drus, wächst der Logrithmus lngsmer ls jede Potenz, d.h. log lim x = 0 für γ > 0. (I.4.11) x x γ

21 I.4. STETIGKEIT 19 Auch die Rechenregeln ergeben sich direkt us den entsprechenden Regeln für die Exponentilfunktion. Wir stellen sie hier kurz zusmmen: log (AB) = log A + log B log (A r = r log A ( ) 1 log = log A A mit A, B > 0 und r R. Mit Hilfe des Logrithmus können wir nun Exponentilfunktionen mit unterschiedlichen Bsen ineinnder umrechnen. Insbesondere gilt: x = ( e ln ) x = e x ln. Dies zeigt, dss es ttsächlich genügt, die ntürliche Exponentilfunktion 3 exp(x) = e x zu kennen. In den Übungen werden wir sehen, dss eine nloge Aussge uch für den ntürlichen Logrithmus ln x gilt! Trigonometrische Funktionen Zur Definition der trigonometrischen Funktionen betrchten wir einen beliebigen Punkt uf dem Einheitskreis. Diese lssen sich vollständig durch Angbe des Winkels φ chrkterisieren. Winkel werden in der Physik in der Regel im Bogenmß (Rdint) gemessen. Die Umrechnung in Grd geschieht folgendermssen: Winkel in Grd = 360 2π Dher entspricht der Winkel π dem Winkel 360 2π π = 180. Winkel in Rdint. Die Koordinten eines Punktes uf dem Einheitskreis sind durch x = cos φ und y = sin φ gegeben. Dies entspricht der klssischen geometrischen Definition der Winkelfunktionen cos φ = Ankthete Hypothenuse, Gegenkthete sin φ = Hypothenuse d die Länge der Hypothenuse hier gleich 1 ist. Wenn wir nun den Winkel φ vriieren, ändern sich uch cos φ und sin φ. Wir können dher Sinus und Cosinus ls Funktionen von φ uffssen. Bevor wir die trigonometrischen Funktionen im Detil diskutieren, noch eine Definition: Definition I.4.3 (periodische Funktionen). 3 Oder jede beliebige ndere Exponentilfunktion!

22 20 KAPITEL I. FUNKTIONEN Abbildung I.4.7: Definition von Sinus und Cosinus m Einheitskreis. Eine Funktion f heißt periodisch mit Periode T, wenn für lle x gilt: f(x + T ) = f(x). Mn bechte, dss die Periode T > 0 nicht eindeutig ist, d mit T immer uch 2T, 3T etc. Perioden sind. Die kleinste Wert von T > 0, der obige Identität erfüllt, heißt kleinste Periode oder einfch nur die Periode von f(t). Abb. I.4.8 zeigt den Grphen von cos φ. Der Cosinus ist ls Funktion uf gnz R definiert. Aus der geometrischen Interprettion ist klr, dss die Funktionswerte im Intervll [ 1, 1] liegen müssen. Sie zeigt ußerdem, dss der Cosinus eine gerde Funktion ist, die zudem 2π-periodisch ist. Zusmmengefsst gilt lso: cos : R [ 1, 1] cos φ = cos( φ) cos φ = cos(φ + 2π) Nullstellen : (2n + 1) π 2 (n Z) Anloge Überlegungen können für den Sinus ngestellt werden. Sein Grph ist in Abb. I.4.8 gezeigt. Allerdings ist der Sinus eine ungerde Funktion. Es gilt: sin : R [ 1, 1] sin φ = sin( φ) sin φ = sin(φ + 2π) Nullstellen : nπ (n Z) Zwischen der Sinus- und Cosinusfunktion bestehen verschiedene wichtige Zusmmenhänge:

23 I.4. STETIGKEIT 21 Abbildung I.4.8: Grph der Cosinus- und Sinusfunktion. 1 = sin 2 φ + cos 2 φ, ( cos φ = sin φ + π ), ( 2 sin φ = cos φ π ). 2 Die erste Beziehung folgt sofort us dem Stz von Pythgors und der Definition m Einheitskreis. Die nderen beiden Identitäten besgen, dss Sinus und Cosinus um π gegeneinnder 2 verschoben sind (siehe Abb. I.4.8). Aus Sinus und Cosinus lssen sich weitere trigonometrische Funktionen definieren, die in Anwendungen häufig uftreten. Zunächst ist dies der Tngens mit tn φ := sin φ cos φ tn : { R \ (2n + 1) π } n Z R 2 tn φ = tn( φ) tn φ = tn(φ + π) Nullstellen : nπ (n Z) Pole : (2n + 1) π 2 (n Z)

24 22 KAPITEL I. FUNKTIONEN Abbildung I.4.9: Grph der Tngens- (links) und Cotngensfunktion (rechts). Im Gegenstz zu Sinus und Cosinus ist der Tngens lso π-periodisch. Seine Nullstellen stimmen mit denen des Sinus überein. Außerdem ht er Polstellen n den Nullstellen des Cosinus (siehe Abb. I.4.9). Im Gegenstz zur Sinus- und Cosinusfunktion ist der Tngens nicht beschränkt, sein Wertebereich sind die gesmten reellen Zhlen R. Der Cotngens ist der Kehrwert des Tngens: cot φ := 1 tn φ = cos φ sin φ und ht die folgenden Eigenschften: cot : R \ {nπ n Z} R cot φ = cot( φ) cot φ = cot(φ + π) Nullstellen : (2n + 1) π 2 (n Z) Pole : nπ (n Z) Der Cotngens ist uch π-periodisch. Er ht Pole n den Nullstellen des Sinus und seine Nullstellen stimmen mit denen des Cosinus überein. Wie der Tngens ist uch der Cotngens nicht beschränkt, sein Wertebereich sind die gesmten reellen Zhlen R. Neben den trigonometrischen Funktionen sollte mn uch deren Umkehrfunktionen gut kennen. D die trigonometrischen Funktionen lle periodisch sind, muß mn ihren Definitionsbereich einschränken, so dss sie bijektiv werden und mn eine Umkehrfunktion überhupt definieren

25 I.4. STETIGKEIT 23 Abbildung I.4.10: Grph der Umkehrfunktionen rccos (links) und rcsin (rechts) der Sinus- und Cosinusfunktion. knn. Dies führt uf die Huptwerte der Funktionen. Im folgenden sind diese zusmmengestellt: cos : [0, π] [ 1, 1] : rccos (Arcuscosinus) sin : tn : [ π 2, π 2 ] [ 1, 1] : rcsin (Arcussinus) ] π 2, π 2 [ ], : rctn (Arcustngens) cot : ]0, π[ ], [ : rccot (Arcuscotngens) Abb. I.4.10 und I.4.11 zeigen die Grphen der inversen trigonometrischen Funktionen.

26 24 KAPITEL I. FUNKTIONEN Abbildung I.4.11: Grph der Umkehrfunktionen rctn (links) und rccot (rechts) der Tngensund Cosinusfunktion.

27 Kpitel II Differentilrechnung II.1 Ableitung Ein typisches physiklisches Problem ist die Bestimmung der Geschwindigkeit, wenn die zurückgelegte Entfernung ls Funktion der Zeit beknnt ist. Dies gilt insbesondere, wenn die Geschwindigkeit nicht konstnt ist. Mn knn nch der momentnen Geschwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt frgen. Anschulich entspricht dies der Bestimmung der Steigung des Grphen einer vorgegebenen Funktion in einem beliebigen Punkt. Definition II.1.1 (Ableitung, Differentition). Der Zuwchs 1 y y + y einer Funktion y(x) bei Veränderung des Arguments x x + x ist ein Mß für die Veränderung einer Funktion (siehe Abb. II.1.1): y x = y(x + x) y(x) x Dieser Differenzenquotient ist lso die Steigung der Gerden durch die Punkte (x, y(x)) und (x + x, y(x + x)) (siehe Abb. II.1.1), der sog. Seknte. Im oben ngegebenen Beispiel entspricht dies der Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervll [x, x + x]. Die Ableitung y (x) einer Funktion y(x) ist dnn die momentne Veränderung der Funktion, die durch den Grenzwert y y (x) := lim x 0 x gegeben ist. Mn schreibt für diesen Differentilquotienten uch symbolisch mit den Differentilen dx, dy. y = dy dx Höhere Ableitungen sind rekursiv definiert: y = (y ), y (n+1) = (y (n) ), etc. Mn schreibt uch y (n) (x) = dn y dx n. 1 Dieser Zuwchs knn uch negtiv sein! 25

28 26 KAPITEL II. DIFFERENTIALRECHNUNG Abbildung II.1.1: Zur Definition der Ableitung Bemerkung: Streng genommen ist dy kein Quotient zweier Größen dy und dx und knn nicht dx useinndergerissen werden. Trotzdem mcht mn dies in der Physik häufig! Dhinter steckt die Vorstellung, dß mn mit den Veränderungen y, x rechnet und m Ende erst den Grenzübergng x 0 vollzieht. Beispiel II.1.1. y(x) = x n y (x) = nx n 1 Dies knn mn mit Hilfe der binomischen Entwicklung einsehen, denn es gilt (x + x) n = x n + nx n 1 x + O(( x) 2 ). Setzt mn dies in den Differenzenquotienten ein, so erhält mn = nx n 1 + O( x), worus im Limes x 0 ds Ergebnis folgt. y(x+ x) y(x) x II.2 Rechenregeln Im folgenden stellen wir die wichtigsten Rechenregeln zusmmen, mit denen sich us beknnten Ableitungen weitere Ableitungen bestimmen lssen: 1. y(x) = u(x)v(x) y (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) (Produktregel) 2. y(x) = u(x) y (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) v(x) v(x) 2 (Quotientenregel) 3. y = f(u), u = u(x) y(x) = f (u (x)) y = dy dy du = = f (u (x)) u (x) d.h. y = f (u (x)) u (x) (Kettenregel) dx erweitern du dx

29 II.3. ABLEITUNGEN ELEMENTARER FUNKTIONEN Ableitung der Umkehrfunktion x = f 1 (y) von y = f(x): (f 1 ) 1 (x) =, bzw. in Kurzform f (f 1 (x)) y = dy dx = 1 dx Dies beweist mn z. B. über die Kettenregel, d f(f 1 (x)) = x. Mn bechte, dss mn die Ableitung von f n der Stelle f 1 (x) zu nehmen ht (siehe folgendes Beispiel). Beispiel II.2.1. Die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion f(x) = e x ist beknntlich der (ntürliche) Logrithmus f 1 (x) = ln x. D f (x) = e x erhält mn ls Ableitung des Logrithmus d ln x dx = ( f 1) (x) = 1 f (f 1 (x)) = 1 e ln x = 1 x. dy. II.3 Ableitungen elementrer Funktionen Im Prinzip genügen die oben ngegebenen Rechenregeln zusmmen mit der Kenntnis einige weniger Ableitung, um fst lle wichtigen Funktionen differenzieren zu können. Die wichtigsten Funktionen, deren Ableitung mn uswendig kennen sollte, sind in folgender Tbelle zusmmengestellt: f(x) f (x) 0 x e x x 1 e x 1 ln x x sin x cos x cos x sin x Dbei ist R eine Konstnte. Im Prinzip könnte mn diese Liste noch verkürzen, d mn z.b. die Ableitung des Logrithmus wie im obigen Beispiel us der der Exponentilfunktion bestimmen könnte. Auch die Ableitung des Sinus könnte us der des Kosinus hergeleitet werden: d sin x dx = d (x dx cos π ) ( = sin x π ) = cos x. 2 2 Dbei hben wir neben den beknnten Identitäten für trigonometrische Funktionen nur die Kettenregel benutzt. II.4 Höhere Ableitungen f := zweite Ableitung von f := Ableitung von f

30 28 KAPITEL II. DIFFERENTIALRECHNUNG Mn schreibt uch: f (x) = d2 f dx 2 Allgemein definiert mn die n-te Ableitung f (n) von f rekursiv durch: f (n) := ( f (n 1)) =: d n f dx n II.5 Kurvendiskussion Funktionen f : D Z lssen sich uf verschiedene Arten und Weisen chrkterisieren. In einer Kurvendiskussion knn mn folgende Eigenschften untersuchen. 1. Symmetrie: Ist f eine gerde (f( x) = f(x)) oder ungerde (f( x) = f(x)) Funktion? Mn bechte, dss in der Regel Funktionen weder gerde noch ungerde sind! 2. Stetigkeit: Ist die Funktion stetig, wo ht sie Singulritäten und von welchem Typ sind diese? 3. Monotonie: Ist die Funktion (streng) monoton wchsend (bzw. fllend)? In der Regel ist diese Frge bschnittsweise zu bentworten. 4. Nullstellen: Wo liegen die Nullstellen der Funktion? 5. Asymptotik: Wie ist ds Verhlten er Funktion m Rnd, insbesondere bei unbeschränkten Definitionsbereichen A (d.h. für x ± )? 6. Differenzierbrkeit: Ist die Funktion differenzierbr und wie lutet die Ableitung? 7. Extrem: Bestimmung 2 der loklen und globlen Extremwerte, sowie von Wendepunkten. Dbei gelten folgende Definitionen: f nimmt im Punkt x 0 ein (lokles) Mximum (bzw. Minimum) n, flls es ein Intervll ]x 0 δ, x 0 + δ[ um x 0 gibt (δ > 0), in dem f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )) ist. Ds größte lokle Mximum (bzw. kleinste lokle Minimum) heißt bsolutes Mximum (bzw. bsolutes Minimum). Hier müssen evtl. Funktionswerte n den Rändern des Definitionsbereichs seprt betrchtet werden! Mit Hilfe der Ableitung knn mn einfche Kriterien für ds Vorliegen von Extrem ngegeben: f(x) ht bei x 0 ein lokles Extremum, flls f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 (II.5.1) (flls x 0 im Inneren des Definitionsbereiches liegt). Ist f (x 0 ) < 0, so hndelt es sich um ein lokles Mximum, für f (x 0 ) > 0 um ein lokles Minimum. 2 Hier müssen evtl. Funktionswerte n den Rändern des Definitionsbereichs seprt betrchtet werden!

31 II.5. KURVENDISKUSSION 29 Ist f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) = 0 ber f (x 0 ) 0, so ist x 0 ein Sttelpunkt. Allgemein heißen die Extrem von f, d.h. Punkte mit f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) 0 Wendepunkte. Hier ändert die Krümmung des Grphen ihr Vorzeichen (von rechtsnch links-gekrümmt, oder umgekehrt).

32 30 KAPITEL II. DIFFERENTIALRECHNUNG

33 Kpitel III Integrlrechnung Eine häufig uftuchende Frge lutet: Wie bestimmt mn x(t) wenn v(t) = dx beknnt ist? dt In physiklischen Problemen ist dbei z.b. v(t) der zeitliche Geschwindigkeitsverluf einer Bewegung und x(t) die bis zur Zeit t zurückgelegte Strecke. Die zur Bentwortung dieser Frge nötige Umkehrung der Differentition bezeichnet mn ls Integrtion. III.1 Stmmfunktion Definition III.1.1 (Stmmfunktion). F (x) heißt Stmmfunktion der Funktion f(x), wenn F (x) = f(x). Mn schreibt uch F (x) = f(x)dx und bezeichnet dies ls ds unbestimmte Integrl von f. In der Physik schreibt mn uch häufig dxf(x), ws später bei mehrdimensionlen Integrlen eine nützliche Konvention ist. F ist nicht eindeutig, denn mit F (x) ist uch F (x) + mit einer beliebigen reellen Konstnten eine Stmmfunktion. Genuer bezeichnet dher f(x)dx die Menge ller Stmmfunktionen von f. heißt uch Integrtionskonstnte. Ähnlich wie die Ableitung können wir uns eine Tbelle mit den wichtigsten Stmmfunktionen zusmmenstellen: f(x) F (x) x r 1 r+1 xr+1 1 ln x x e x e x sin x cos x cos x sin x Dbei ist zu bechten, dss bei jeder Stmmfunktion dditiv noch Integrtionskonstnte uftritt. Im ersten Beispiel x r ist r R \ { 1}. Ist r / N, so muß x > 0 sein. 31

34 32 KAPITEL III. INTEGRALRECHNUNG Abbildung III.2.1: Ds Integrl III.2 Bestimmtes Integrl Eine ndere Motivtion der Integrtion ist die Flächenberechnung. Mn spricht uch von bestimmten Integrlen. Für die Fläche die vom Grphen f(x) der Funktion f mit der x Achse zwischen x = und x = u eingeschlossene Fläche (schrffierter Bereich in Abb. III.2.1) schreibt mn uch: F (u) = u f(x)dx. Mn frgt sich nun: Wie sieht F (u) us, wenn f(x) beknnt ist? Auf den ersten Blick ist ntürlich nicht offensichtlich, dss dieses Problem etws mit dem im vorigen Abschnitt eingeführten Integrl zu tun ht. Die Nottion deutet ber einen solchen Zusmmenhng schon n, den wir uns im folgenden klr mchen wollen. Zu Bestimmung der Funktion F (u) vergrößern wir den Integrtionsbereich um ein Stück u (siehe Abb. III.2.2): F (u + u) = F (u) + f(u) u + R, R u f. Die Fläche R hben wir nur sehr grob durch u f pproximiert. I.. wird hier noch ein Koeffizient α uftreten, d.h. R = α u f. In dem Beispiel in Abb. III.2.1 wäre eine Approximtion

35 III.2. BESTIMMTES INTEGRAL 33 Abbildung III.2.2: Zum Beweis des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung. des Bereichs R durch ein Dreieck (d.h. α = 1/2) sicher genuer. Wir werden ber gleich sehen, dss es druf gr nicht nkommt. Wichtig ist nur, dss R gegen Null geht, wenn u oder f gegen Null gehen. Nun ergibt sich durch einfche Umformung: F (u + u) F (u) u = f(u) u + R u und somit für u 0: F (u + u) F (u) lim u 0 u Dbei hben wir usgenutzt, dss lim u 0 f = 0. Insgesmt hben wir lso: f(u) = df (u) du = F (u), d.h. F ist eine Stmmfunktion von f bzw. F = f(x)dx. f(u) + f = f(u) Die Bedingung F (u = ) = 0 legt die Integrtionskonstnte fest. So kommt mn zum bestimmten Integrl: u f(x)dx = F (u) F () =: F (x) Ds bestimmte Integrl von f zwischen und u ist lso eine Zhl! u

36 34 KAPITEL III. INTEGRALRECHNUNG Abbildung III.2.3: Zur Interprettion des bestimmten Integrls ls Fläche. Den Zusmmenhng zwischen bestimmtem Integrl und Stmmfunktion bezeichnet mn uch ls den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung. Bei der Berechung knn eine beliebige Stmmfunktion gewählt werden, d die dditive Konstnte bei der Bildung der Differenz F (u) F () herusfällt. Beispiel III.2.1. Als einfches Beispiel betrchten wir die Funktion x n. Ds unbestimmte Integrl ist gegeben durch F (x) = Ds bestimmte Integrl zwischen und u ist u Speziell für = 1 und u = 2 ergibt sich x n dx = xn+1 n c. x n dx = un+1 n + 1 n+1 n x n dx = 2n+1 1 n + 1. Bei der Interprettion des bestimmten Integrls ls eingeschlossene Fläche muss mn vorsichtig sein, wenn die Funktion negtiv werden knn. In dem Beispiel in Abb. III.2.3 wäre die eingeschlossene Fläche durch F 1 + F 2 + F 3 gegeben, wobei F j > 0. Ds Integrl liefert ber b f(x)dx = F 1 F 2 + F 3.

37 III.3. INTEGRATIONSMETHODEN 35 Im folgenden stellen wir einige einfche Rechenregeln zusmmen. Zunächst einml ist die Integrtion liner, d.h. für beliebige (integrierbre) Funktionen f und g und reelle Zhlen r gilt b (f(x) + rg(x)) dx = Außerdem ist die Integrtion dditiv, d.h. b f(x)dx + r b g(x)dx. Außerdem gilt c f(x)dx + b f(x)dx = b c f(x)dx (mit < c < b). b f(x)dx = F (b) F () = (F () F (b)) = b f(x)dx, wobei F eine Stmmfunktion von f ist. Mit der letzten Regel überlegt mn sich leicht, ws bei der Additivität in dem Fll pssiert, in dem c nicht zwischen und b liegt! III.3 Integrtionsmethoden In der Prxis muß mn eine gewisse Menge elementrer (unbestimmter) Integrle uswendig können. Aus diesen knn mn sich durch Anwendung geeigneter Regeln viele ndere Integrle herleiten. Sehr nützlich sind uch Integrtionstbellen, z.b. ds Buch von Grdstein/Ryshik. Heutzutge gibt es uch Computerlgebrprogrmme wie Mthemtic oder Mple, die sogr unbestimmte Integrle bestimmen können. Im folgenden wollen wir einige nützliche Integrtionsverfhren vorstellen. III.3.1 Prtielle Integrtion Die prtielle Integrtion ist gewissermßen die Umkehrung der Produktregel der Differentition. Sei f(x) = g (x)h(x), d.h. f ist Produkt der Ableitung einer Funktion g, die wir kennen, und einer Funktion h. D nch Produktregel d (gh) = dx g h + gh, folgt: [ ] d f(x)dx = (gh) gh dx = gh gh dx dx bzw. ls bestimmtes Integrl b g (x)h(x)dx = g(x)h(x) b b g(x)h (x)dx. Der Nutzen dieser Regel liegt drin, dss mnchml ds Integrl gh dx einfcher uszurechnen ist ls g hdx. Wir wollen dies n einigen Beispielen illustrieren.

38 36 KAPITEL III. INTEGRALRECHNUNG Beispiel III Wir wollen b xex dx bestimmen. Dzu identifizieren wir e x mit g, lso g (x) = e x, und h(x) = x, d.h. h (x) = 1. Dmit ergibt sich us der Regel der prtiellen Integrtion: b xe x dx = xe x b b 1 e x dx = (xe x e x ) b. Ntürlich hätte mn uch die Identifiktion g (x) = x und h(x) = e x wählen können. Dnn hätte ber die prtielle Integrtion zu keiner Vereinfchung geführt, d immer höhere Potenzen von x uftreten würden. 2. Als zweites Beispiel betrchten wir b ln xdx. Hier hilft die Identifiktion g (x) = 1 und h(x) = ln x: b ln xdx = x ln x b b x 1 x dx = x ln x b Die Stmmfunktion von ln x ist lso x ln x x. b dx = (x ln x x) b. III.3.2 Substitutionsregel Die Substitutionsregel ist die Umkehrung der Kettenregel der Differentition. Wir betrchten eine Funktion f mit Stmmfunktion F (die wir nicht explizit kennen müssen) und eine invertierbre Funktion g(x). Nch der Kettenregel gilt dnn: F (g(x))g (x) = (F (g(x)). Nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung gilt: b (F (g(x)) dx = F (g(x)) b = F (g(b)) F (g()) = F (x) g(b) g(b) = F (x)dx = g() g() g(b) g() f(x)dx, wobei wir in der zweiten Zeile wieder den Huptstz ngewendet hben, diesml für die Funktion F bzw. F = f. Die linke Seite der obigen Gleichung können wir mit der Kettenregel umschreiben: b (F (g(x)) dx = b Somit erhlten wir die Substitionsregel g(b) g() f(x)dx = F (g(x))g (x)dx = b b f(g(x))g (x)dx f(g(x))g (x)dx.

39 III.3. INTEGRATIONSMETHODEN 37 oder uch (mit ã := g(), b := g(b)) b ã f(x)dx = g 1 ( b) g 1 (ã) Die Form für unbestimmte Integrle f(u(x))u (x)dx = f(g(x))g (x)dx. f(u)du knn mn sich leicht merken, wenn mn u (x) ls Differentilquotient du usdrückt und dnn dx qusi dx wegkürzt. Mn bechte, dss in dem rechten Integrl u nicht mehr für eine Funktion steht, sondern die Integrtionsvrible bezeichnet. Wir werden dies gleich in den Beispielen noch explizit sehen. Die Substitutionsregel knn mn in beide Richtungen (von links nch rechts oder von rechts nch links) nwenden. Mnchml ist es nützlich, durch Substitution mit einer geeigneten Funktion u(x) zum scheinbr schwierigeren Integrl uf der linken Seite überzugehen. Beispiel III x 1 + x dx = 1 2 2x x dx = 1 g(2)= g(1)=2 x dx = 1 2 ln(x) 5 = (ln(5) ln(2)) = 1 2 ln 5 2 wobei wir in der Substitionsregel (1. Form) f(x) = 1 x und g(x) = 1 + x2 (d.h. g (x) = 2x) gesetzt hben. 2. Ein Beispiel für eine Physiker-Vrinte der prtiellen Integrtion: x + 2 dx = g(7)=16 g(1)=4 1/2dy y = Hier hben wir mit y = g(x) = 2x + 2 substituiert. Dmit ist dy dx = 2 d.h. dx = 1 2 dy. 4 y 1/2 dy = 1 2 2y1/ = 2. Der zweite Schritt ist mthemtisch sehr frgwürdig 1, funktioniert ber (meistens). Dnn hben wir im Integrl dx durch 1dy und 1 2 2x+2 durch 1 y ersetzt. 3. Ein ähnlicher Trick funktioniert uch für unbestimmte Integrle: 1 dx = cos y dy cos y dy 1 x 2 1 sin 2 y = = dy = y = rcsin x. cos y Hier hben wir mit x = sin y substituiert, so dss dx = cos y dy ist. Im letzten Schritt hben wir dnn die Substitution mit y = rcsin x rückgängig gemcht. 1 df dx ist j kein Bruch, sondern eine Abkürzung für einen Grenzwert!

40 38 KAPITEL III. INTEGRALRECHNUNG III.4 Uneigentliche Integrle In der Physik steht mn häufig vor dem Problem, entweder Integrle über unbeschränkte Intervlle zu berechnen, bei denen eine oder beide Grenzen unendlich sind, oder ber dss der Integrnd Polstellen ht. Mn spricht dnn uch von uneigentlichen Integrlen. Im folgenden wollen wir uns nsehen, wie mn in diesen Fällen vorgeht. III.4.1 Integrtion über ein unbeschränktes Intervll Wir betrchten eine Funktion f(x) und frgen uns, ob ds Integrl f(x)dx über ds unbeschränkte Intervll [, [ existiert. Dzu fssen wir es ls den Grenzwert f(x)dx = lim b b f(x)dx uf. Wir müssen lso untersuchen, ob der Grenzwert überhupt existiert. Eine offensichtliche Forderung, die f(x) erfüllen muss, ist, dss die Funktion für x hinreichend schnell bfällt. Ws ds bedeutet, wollen wir n einem konkreten Beispiel untersuchen, ds oft ls Vergleichsfll herngezogen wird, nämlich die Potenzfunktion x r. Beispiel III.4.1. x r dx = lim b b = lim b [ 1 r + 1 ( ) 1 lim r 1 b r + 1 xr+1 b ( b r+1 r+1)] = 1 r + 1 lim b br+1 1 r + 1 r+1. x r dx = Der Grenzwert existiert nur, flls r + 1 < 0 ist. Dnn ist nämlich b r+1 = 1 b r+1, ws für große b gegen Null strebt. Für r < 1 gilt lso x r dx = 1 r + 1 r+1 = 1 r r+1 Für r > 1 ist b r+1 divergent und ds uneigentliche Integrl existiert nicht. Zur Vollständigkeit sei noch der Fll r = 1 ngegeben: 1 dx = lim x b b 1 dx = lim x ln x b. b Auch hier existiert ds Integrl nicht, d ln b für b divergiert. Zusmmenfssend können wir lso feststellen, dss ds uneigentliche Integrl der Potenzfunktion x r über [, [ existiert, flls r < 1 ist. Wie schon erwähnt, dient die Potenzfunktion ls Vergleich, um die Existenz von uneigentlichen Integrlen entscheiden zu können. Wir könnnen dher festhlten, dss f(x)dx existiert, flls f(x) für große x schneller ls 1/x bfällt!

41 III.5. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 39 Zum Abschluss noch eine wichtige Bemerkung zum Fll, dss beide Grenzen unendlich sind, d.h. für die Integrtion über ], [. Bei solchen Integrlen, die n beiden Grenzen uneigentlich sind, ist die Konvergenz n beiden Grenzen unbhängig erforderlich! Betrchten wir hierzu ds Beispiel x dx. Offensichtlich gilt 1+x 2 lim x dx = 0, 1 + x2 d der Integrnd eine ungerde Funktion ist, die über ds symmetrische Intervll [, ] integriert wird. Allerdings existiert ds Integrl nicht, denn die unbhängige Konvergenz ist nicht erfüllt, d ln(1 + x 2 ) Stmmfunktion von x ist (siehe ds 2. Beispiel in Beispiel 5.3.2) und somit 1+x 2 b x 1 + x dx = 1 [ ln(1 + b 2 ) ln(1 + 2 ) ]. 2 2 Dies divergiert offensichtlich für b ls uch für. III.4.2 Integrtion über Polstellen Wir betrchten nun eine Funktion, die eine Polstelle bei x 0 ht. Auf Grund der Additivität des Integrls können die Überlegungen leicht uf den Fll mehrerer Polstellen verllgemeinert werden. Als Beispiel dient uns wieder die Potenzfunktion x r, die für r < 0 einen Pol bei x 0 = 0 ht. Dzu definieren wir b 0 x r dx = lim 0+ b x r dx. Dbei bedeutet 0+, dss mn den Grenzwert bildet, indem mn sich nur von der rechten Seite, lso > 0 der Null nähert. Eine ndere Schreibweise hierfür ist 0. Eine nloge Rechnung wie in Abschnitt III.4.1 liefert dnn, dss b xr dx für 0+ konvergiert, flls r > 1, und divergiert, flls r 1. Für den Fll mehrerer Polstellen oder in Kombintion mit einer Integrtion über unbeschränkte Intervlle gelten wieder ähnliche Aussgen wie in Abschnitt III.4.1, d.h. die Konvergenz muss unbhängig vorliegen! III.5 Differentilgleichungen Bei der Integrtion hben wir es mit dem Problem zu tun, eine Funktion y(x) us ihrer beknnten Ableitung y (x) = f(x) zu bestimmen. Als Verllgemeinerung der Integrtion werden uns im folgenden immer wieder sogennnte Differentilgleichungen (DGL) begegnen. In erster Linie werden wir es mit zwei Typen zu tun hben, den sog. DGL 1. Ordnung: f (x) = H(x, f(x)), DGL 2. Ordnung: f (x) = H(x, f(x), f (x)).

42 40 KAPITEL III. INTEGRALRECHNUNG Die fundmentle Gleichung der Mechnik, die Newtonsche Bewegungsgleichung mẍ(t) = F (x, t) ist ein Beispiel für eine DGL 2. Ordnung. Dbei ist ẍ = d2 x die Beschleunigung und F (x, t) die dt 2 zur Zeit t uf die m Ort x befindliche Msse m wirkende Krft. Die wichtigsten DGL sind: 1. Die Wchstumsgleichung f (x) = f(x) mit der Lösung f(x) = Ae x, wobei A R eine beliebige Konstnte ist. 2. Die Schwingungsgleichung f (x) + ω 2 f(x) = 0 mit der Lösung f(x) = A sin(ωx) + B cos(ωx) mit beliebigen (Integrtions-)Konstnten A, B.

43 Kpitel IV Komplexe Zhlen Beim Addieren, Subtrhieren, Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von reellen Zhlen bleiben wir im Bereich der reellen Zhlen. Beim Wurzelziehen stoßen wir uf einen neuen Zhlentyp. IV.1 Grundlgen Problem: x 2 = 1 ht keine reelle Lösung x Mn definiert dher 1 (Euler 1777): i := 1. i wird ls imginäre Einheit bezeichnet. Eine llgemeine imginäre Zhl ist dnn von der Form b i mit reellem b, lso z.b. 2i, πi, etc. Wir übertrgen nun die üblichen Rechenregeln der reellen Zhlen uf die imginären Zhlen (unter Bechtung von i 2 = 1): b 1 i + b 2 i = (b 1 + b 2 )i (b 1 i)(b 2 i) = b 1 b 2 i 2 = b 1 b 2 i 3 = i 2 i = i etc. Definition IV.1.1 (komplexe Zhlen). Allgemeine komplexe Zhlen sind von der Form z = x + iy mit reellen Zhlen x und y. x bezeichnet mn uch ls den Relteil von z und y ls den Imginäerteil. Mn schreibt dnn uch: z = Re(z) + iim(z). 1 Mn bechte, dss hier streng genommen die positive Wurzel gemeint ist. 41

44 42 KAPITEL IV. KOMPLEXE ZAHLEN Wie für die rein imginären Zhlen übertrgen wir uch für die komplexen Zhlen die beknnten Rechenregeln. Mn erhält so den Körper C der komplexen Zhlen. Addition: z 3 = z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) Re(z 3 ) = Re(z 1 ) + Re(z 2 ) und Im(z 3 ) = Im(z 1 ) + Im(z 2 ) Multipliktion: z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 ) + i(x 1 y 2 ) + i(y 1 x 2 ) + i 2 (y 1 y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Speziell für reelles λ gilt: λz = λ(x + iy) = (λx) + i(λy) Definition IV.1.2 (Komplexe Konjugtion). z := x iy heißt komplex-konjugiert zu z = x + iy, d.h. die Opertion bedeutet Vorzeichenwechsel beim Imginärteil. Mnchml schreibt mn uch z sttt z. Offensichtlich gilt: Re(z) = 1 2 (z + z ) und Im(z) = 1 2i (z z ) Für ds Produkt einer komplexen Zhl z mit ihrem komplex-konjugierten gilt Es ist lso immer reell und größer gleich Null. z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2. Nützlich ist ds Komplex-Konjugierte uch bei der Division durch komplexe Zhlen: 1 z = z z z = x iy x 2 + y = 2 x x 2 + y i y 2 x 2 + y. 2 Hiermit ist die Division in C uf eine Multipliktion zurückgeführt. Definition IV.1.3 (Betrg). Mn definiert den Betrg z einer komplexen Zhl z durch z = zz. Für ihn gelten nloge Rechenregeln wie für den Betrg von reellen Zhlen, z.b. die Dreiecksungleichung. IV.2 Drstellung in komplexer Ebene Es bietet sich n, Rel- und Imginärteil ls Komponenten eines zweidimensionlen Vektors zu interpretieren. Mn kommt so zu der zweidimensionlen Drstellung in der sog. komplexen Ebene (siehe Abb. IV.2.1): ( ) x z = x + iy C R 2, y

45 IV.2. DARSTELLUNG IN KOMPLEXER EBENE 43 Abbildung IV.2.1: Die komplexe Ebene. Die Drstellung wird uch ls Argnd-Digrmm bezeichnet. Drgestellt sind eine komplexe Zhl z = x + iy und ihr Komplex-Konjugiertes z = x iy. ( ) x wobei nun ein zweidimensionler Vektor ist. Nun knn mn wieder zu ebenen Polrkoordinten x = r cos φ und y = r sin φ übergehen und y erhält z = x + iy = r(cos φ + i sin φ). Eine einfche geometrische Überlegung liefert r = x 2 + y 2, d.h. r = z. Mn bezeichnet den Betrg von z in diesem Zusmmenhng uch mnchml ls Modul oder Modulus von z und schreibt r = mod(z). Den Winkel φ in der Polrkoordintendrstellung bezeichnet mn uch ls Argument von z: φ = rg(z). Insgesmt ht mn dher folgende Drstellung einer komplexen Zhl: Es gilt nun die Eulersche Formel: z = z (cos φ + i sin φ). e iφ = cos φ + i sin φ d.h. die komplexe Zhl e iφ mit φ R liegt uf dem Einheitskreis (d e iφ 2 = cos 2 φ+sin 2 φ = 1) mit Winkel φ. Wir können dher für reelle φ den Rel- und Imginärteil der Exponentilfunktion bestimmen: Re(e iφ ) = cos φ, Im(e iφ ) = sin φ.

46 44 KAPITEL IV. KOMPLEXE ZAHLEN Die Eulersche Formel knn mn ls Erweiterung der Exponentilfunktion uf imginäre Argumente uffssen. Es sollen die gleichen Rechenregeln wie im Reellen gelten. Wir werden die Euler-Formel morgen mit Hilfe von Potenzreihen beweisen. Mit der Eulerschen Formel können wir nun eine beliebige komplexe Zhl drstellen ls z = z e iφ. Hiermit mcht mn sich die folgenden Rechenregeln für den Betrg und ds Argument klr: Speziell für ds Komplex-Konjugierte folgt: z 1 z 2 = z 1 e iφ1 z 2 e iφ 2 = z 1 z 2 e i(φ 1+φ 2 ). z = z (cos φ i sin φ) = z (cos( φ) + i sin( φ)) = z e iφ Allgemein gilt folgende Aussge: Ist f(x) für lle x R reellwertig, so gilt: f(z ) = (f(z)). Unter Benutzung der Rechenregeln für die Exponentilfunktion, die nlog für komplexe Argumente gelten, können wir die Eulersche Formel uf beliebige z = x + iy verllgemeinern: e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y). IV.3 Komplexe Funktionen Mit komplexen Zhlen knn mn komplexe Funktionen bilden: f(z) C, z.b. f(z) = 2z 2 + z. Mn knn nun uch die Winkelfunktionen durch die komplexe Exponentilfunktion drstellen. D e iφ = cos φ + i sin φ und e iφ = cos( φ) + i sin( φ) = cos φ i sin φ, folgt cos φ = 1 2 (eiφ + e iφ ) und sin φ = 1 2i (eiφ e iφ ). IV.3.1 Anwendung: Additionstheoreme Der gerde bgeleitete Zusmmenhng der trigonometrischen Funktionen mit der komplexen Exponentilfunktion enorm nützlich. Zum Beispiel lssen sich mit ihnen die beknnten Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen einfch beweisen. Letztlich führt mn sie uf die Eigenschften der Expontilfunktion zurück. Dies werden wir nun genuer untersuchen. Als Beispiel betrchten wir sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) = sin ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 2 cos ϕ 1. (IV.3.1)

47 IV.4. WURZELN 45 Um diese Beziehung zu beweisen, beginnen wir uf der rechten Seite und drücken dort sin und cos durch die Expontilfunktion us: sin ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 2 cos ϕ 1 = 1 [ e iϕ 1 e ] iϕ 1 [ 1 e iϕ 2 + e ] iϕ 2 2i [ e iϕ 2 e ] iϕ 1 [ 2 e iϕ 1 + e ] iϕ 1 2i 2 = 1 [ e i(ϕ 1 +ϕ 2 ) + e i(ϕ 1 ϕ 2 ) e i( ϕ 1+ϕ 2 ) e i(ϕ 1+ϕ 2 ) 4i +e i(ϕ 2+ϕ 1 ) + e i(ϕ 2 ϕ 1 ) e i( ϕ 2+ϕ 1 ) e ] i(ϕ 1+ϕ 2 ) = 1 2i [ e i(ϕ 1 +ϕ 2 ) e i(ϕ 1+ϕ 2 ) ] = sin(ϕ 1 + ϕ 2 ). (IV.3.2) Weitere Additionstheoreme knn mn nlog beweisen. Der große Vorteil bei Verwendung von komplexen Exponentilfunktionen nstelle der trigonometrischen Funktionen sind die einfcheren Rechenregeln. Mn muss die Additionstheoreme gr nicht explizit kennen, sie stecken im Prinzip schon in den Rechenregeln für die Exponentilfunktion. IV.4 Wurzeln Lösungen von z = w n bzw. z 1/n = w heißen n-te Wurzeln von z. Die Zhl der Lösungen hängt offensichtlich von n b: w 2 = 1 = w = 1, w = 1, w 4 = 1 = w 2 = 1, w 2 = 1 = w = 1, w = 1, w = i, w = i. Allgemein können wir die llgemeine Lösung für dieses Problem elegnt mit Hilfe der Polrdrstellung bestimmen. z 1/n = ( z e iφ) 1/n = z 1/n e iφ/n = n ( z cos φ n + i sin φ ). n Die Nichteindeutigkeit des Winkels φ, e iφ = e i(φ+2πk) (k = 0, ±1, ±2,...) der nur bis uf Vielfche von 2π bestimmt ist, führt uf verschiedene Wurzeln, die für verschiedene Werte von k uftreten können (solnge φ + 2πk [0, 2π[). Somit finden wir, dss z = wk n mit w k := n ( z cos φ + 2πk + i sin φ + 2πk ) n n mit k = 0, 1,..., n 1, d.h. es gibt n verschiedene n-te Wurzeln. Es ist wichtig, dies immer im Hinterkopf zu behlten. Später werden Sie sehen, dss in physiklischen Problemen nicht immer die reelle Lösung die