Statik und elementare Festigkeitslehre Prof. Popov WiSe 2010/11 Seite 1 Aufgabenkatalog zur Statik und elementaren Fesitgkeitslehre 17.9.

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1 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Vorwort uf den fogenden Seiten ist der ufgenktog für die Vernsttung Sttik und eementre estigkeitsehre gedruckt, us dem jede Woche ufgen für die Penrüung, die Tutorien und ds eigenständige reiten usgewäht werden. Lösungen u den Tutoriums- und Husufgen werden ungefähr eine Woche nch ereitung veröffenticht. Leider scheichen sich mnchm in die veröffentichten Lösungen eher ein. Wir emühen uns, diese mögichst ügig u eseitigen. Jeder Student, jede Studentin ist er in erster Linie sest verntwortich. Drum sote seständig gerechnet werden. Wer gerne noch mehr ufgen (mit Musterösungen) rechnen möchte, sei uf die reite uswh n ufgenüchern verwiesen. Die ufgen werden nicht notwendigerweise in der Reihenfoge des Ktogs gereitet. Der Ktog knn in den Tutorien käufich erworen werden oder im Internet unter unter Studiuum und Lehre, WiSe 00/, Sttik und eementre estigkeitsehre, Studienmteri heruntergeden werden. ei rgen ur Orgnistion itte uerst ds Informtionstt und die entsprechenden Internetseiten gründich durchesen. Inhtsvereichnis 0 gemeines Sttik strrer Körper. Zentre und gemeine Kräftegruppe Schwerpunkt ufgerrektionen Stwerke Schnittsten in ken und Rhmen Estosttik 6. Zug/Druck, Wärmedehnung Torsion iegung Huptspnnungserechnung, Mohrscher Spnnungskreis Stiität, Knickung Litertur [] Gross, Dietmr, Werner Huger und Wter Schne: Technische Mechnik, nd Sttik. Springer, 6. ufge, 004. (Neuere usge) in der Lehruchsmmung: 5Lh378. [] Gross, Dietmr, Werner Huger, Wter Schne und Peter Wriggers: Technische Mechnik, nd 4 Hdromechnik, Eemente der Höheren Mechnik, Numerische Methoden. Springer,. ufge, 995. (Neuere usge) in der Lehruchsmmung: 5Lh38. [3] Schne, Wter, Dietmr Gross und Werner Huger: Technische Mechnik, nd Estosttik. Springer, 6. ufge, 998. (Neuere usge) in der Lehruchsmmung: 5Lh379.

2 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre gemeines. Geen Sie die geeigten Veräufe s unktion von n. iner qudrtisch sinusförmig f () f () f 3 () q 0 q 0 0 q Geg.:,, q. Konjugieren Sie ds Ver eiten. Sttik strrer Körper. Zentre und gemeine Kräftegruppe 3. n einer Hterung greifen die Kräfte und n. Die Wirkungsrichtungen der Krft sind durch den Winke w. β eschrieen (siehe Skie). () Geen Sie die Kräfte in der drgesteten sis n. () Wie groß ist die resutierende Krft? Geen Sie etrg und Richtung n. (c) Zeichnen Sie eine reischnittskie und erechnen Sie die Krft in der Einspnnstee. e e (d) Gehen Sie nun von fogenden Zhenwerten us: =,5 kn, =,0 kn, β = 30. In wecher Richtung muss die Krft n der Hterung ngreifen, dmit n der Einspnnstee nur eine ie Krft (Krft in -Richtung) wirkt? Geg.:, β,, Litertur: [, S. 4-] β 4. Der skiierte Hken ist durch die wei Kräfte und estet. Die Wirkungsrichtungen der Kräfte werden durch die Winke und β eschrieen. Erseten Sie die wei Kräfte durch eine resutierende Krft res. estimmen Sie den etrg und die Richtung dieser resutieren Krft rechnerisch und eichnerisch. β Geg.: =,8 kn, =,6 kn, = 5, β = 55

3 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 3 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Eine Kiste hängt n wei Seien. Die Seikrft wird gemessen. Sie eträgt 5, 0 kn. Die Richtung der Seikräfte wird durch die Winke = 5 und β = 0 eschrieen. g β e () estimmen Sie die Seikrft. () Weche Msse ht die Kiste? e Geg.: = 5, β = 0, = 5,0 kn, g = 9,8 m s 6. Die geidete Heevorrichtung wird um Umschgen von Hostämmen verwendet. Ds Sei und der ken schießen stets einen Winke von 45 o ein (siehe idung). Der Schwerpunkt der Lst iege stets genu unterh des Krnhkens. Die Msse m S der Stämme sei 00 kg, die Msse m H der Heevorrichtung sei 50 kg. () Wie groß ist die Krft im vertiken Sei? () estimmen Sie die Vektoren r E und r DE. Hinweis: Der erstgennnte uchste ist der Punkt, u dem der Vektor eigt, d.h. r E = r r E. e D e 45 o E (c) ertigen Sie eine reischnittskie des Hkens n. Wie uten die Geichgewichtsedingungen? Geen Sie die Kräfte in den Seien in vektorieer orm n. Geg.: m S = 00kg, m H = 50kg,, c,, g Litertur: [, S. 4-8] g c c 7. Ein Oendmpfer wird von drei Scheppern geogen. In den drei Seien wirkt die geiche Zugkrft = 0 kn. Die Wirkungsrichtungen der Kräfte werden durch die Winke = 5, β = 0 und γ = 0 eschrieen. Weche resutierende Zugkrft res wirkt uf den Oendmpfer? In weche Richtung wirkt sie? Geg.:,, β, γ γ β

4 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 4 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ein einfcher Lstenufug gemäß der Skie trge eine Lst G = kn. Der ufug esteht us den Stäen und, einer Roe mit dem Rdius r und einem Sei. Die Gewichte der Roe, der Stäe und des Seis soen vernchässigt werden. () estimmen Sie die Vektoren r E, r E und r E. Hinweis: Der erstgennnte uchste ist der Punkt, u dem der Vektor eigt, d.h. r E = r r E. e e () Wie groß ist der etrg der Seikrft? (c) ertigen Sie eine reischnittskie der Roe n. Geen Sie die Kräfte, die ds Sei uf die Roe usüt, in vektorieer orm n. Nehmen Sie dei r n. (d) Wie groß sind die Stkräfte in den Stäen und? (e) Knn mn notfs einen St durch ein Sei erseten? (f) Wie groß sind die ufgerrektionen in? E G r Geg.:, G, r 9. Ds Gewicht G ist n einem Ring efestigt, der durch wei Seie (undehnr, gewichtsos) gehten wird. Ds eine Sei ist n der Spite des Dreieins I efestigt, ds ndere Sei ist üer eine Roe (Rdius vernchässigr kein) n der Spite des Dreieins II geführt und durch ds Gewicht G = G estet. I 3 Ring G 3 β 5 4 II Roe 6 G g () Wie groß ist der Winke β? () Wie groß muß ds Gewicht G sein, dmit = 45 ist? (c) Wie groß sind die Stkräfte in den Stäen -6? Geg.: G = G,, = 45

5 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 5 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Die unteren Zinder hen die Msse m und den Rdius r. Der oere Zinder ht die Msse M und den Rdius R. Die Köte mit der Höhe h seien fest mit dem Untergrund verunden und es gete h < r. () Drücken Sie die Winke und β durch gegeene Größen us. () Mchen Sie e in der skiierten nordnung uftretenden Kontktkräfte durch reischnitte sichtr und erechnen Sie die Kontktkräfte. e Kontkte seien gtt. Die Winke und β sind dei us dem. Tei eknnt. Die usdrücke dfür müssen nicht eingesett werden. h m β r M R m r g h Geg.: m, M, r, R, g, h,.. us den drei gewichtsosen Stäen,, 3 der Länge wird ein Geenkviereck geidet. Die Geenke sind reiungsfrei. n den Geenken und D hängen die Gewichte G und G. Durch eine im Punkt D ngreifende Krft P mit horionter Wirkungsinie so erreicht werden, dss die Stäe I und II um den Winke gegen die Vertike geneigt sind. 3 D P Mn erechne die Krft P und die Kräfte in den drei Stäen. G G Geg.: = 45, = m, G= 00 N, G = G, G = G Litertur: [, S. 4-]. Ds drgestete räumiche Trgwerk ist im Punkt gegert (feste Einspnnung) und wird im Punkt D durch die Lst estet. Die kenschnitte und D verufen pre ur -chse. Der schnitt ist ein Hkreisogen pre ur,-eene. () Geen Sie die Vektoren r D, r, r n. Hinweis: Der erstgennnte uchste ist der Punkt, u dem der Vektor eigt, d.h. r D = r D r. 3R R R D e e e () Geen Sie die vektoriee Drsteung der äußeren Krft in der eingeeichneten sis n. (c) erechnen Sie ds Kreuprodukt r D. Weche phsikische edeutung ht die so erechnete Größe? Geg.: R,

6 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 6 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre ür den unter Wirkung äußerer Kräfte stehenden Hee ist die Größe der Krft so u estimmen, dss Momentengeichgewicht herrscht. Zusätich sind die Lgerrektionen u estimmen. Gehen Sie wie fogt vor: () estimmen Sie die Vektoren r, r und r D. Hinweis: Der erstgennnte uchste ist der Punkt, u dem der Vektor eigt, d.h. r = r r. () Geen Sie die eine vektoriee Drsteung der drei äußeren Kräfte n. enuten Sie die eingeeichnete sis. (c) erechnen Sie die Krftmomente der drei äußeren Kräfte eügich des Punktes. (d) Wie groß muß die Krft sein, dmit ds Moment eügich des Lgerungspunktes u Nu wird. (e) ertigen Sie eine reischnittskie des Sstems n. Wie knn mn die Lgerkräfte in erechnen? Geg.: = kn, = kn, = 0,5m, = m und = 30 Litertur: [, S u ] e e e D 4. Wie groß ist ds Moment der Krft eügich des Punktes? erechnen Sie sowoh vektorie M () (Kreuprodukt) s uch skr den Wert des Drehmoments (mit Krft m Heerm ). Geg.:, e e e Litertur: [, S ] 5. ür den Hee ist die Position s so u estimmen, dss sttisches Geichgewicht herrscht. erner sind die ufgerrektionen u ermitten. s Geg.: = 0kN, = 30, = m

7 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 7 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Die geidete Kippvorrichtung dient um Entden von Wggons. ür einen gegeenen Wggon (Msse m, Rdstnd, Schwerpunkthöhe, Pufferhöhe c) so der mim mögiche Kippwinke estimmt werden. G g () Wie groß sind die Stütkräfte n den Rädern für einen gegeenen Winke? () ei wechem Winke k kommt es um Kippen des Wggons? c (c) Der Puffer ist für eine mime Krft u usgeegt. Üerprüfen Sie, o die Pufferkrft für den unter () erechneten mim mögichen Kippwinke unter der uässigen Krft u eit. Geg.: =,0 m, =,6 m, c =, m, m = 5 t, g = 9,8 m s, u = 50 kn 7. Ein Kpptisch esteht us der Ptte (Gewicht G, Schwerpunkt S ), den einen und 3 (Gewichte G = G 3 = G, Schwerpunkte im Geenk ) sowie der mssenosen Stnge 4. erechnen Sie die Krft in der Stnge 4 unter Vernchässigung der Reiung! Geg.: G, G,, ϕ g 4 4 S 4 ϕ 3 Litertur: [, S ] 8. ei einem Koenkompressor wirke in der skiierten Steung uf die Koenfäche die Gskrft G. Wie groß ist ds erforderiche ntriesmoment M, wenn die Reiungskräfte vernchässigt werden können? Geg.: G,, G M 9. Drei Studenten trgen eine, m m,4 m große Hoptte wie geidet (horiont). Weche Krft müssen die Studenten ufringen, um die 50 kg schwere Hoptte u hten? Es sei ngenommen, dß die Hoptte homogen ist.

8 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 8 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ein Rhmen ist wie in der Skie geidet gegert. () Schreien Sie ds Kräftegeichgewicht (wei skre Geichungen) und die Momentengeichgewichte um und (je eine skre Geichung) uf. Sind die Geichungen iner unhängig? () Knn mn e vier Lgerrektionen us den Geichgewichtsedingungen erechnen? Diskutieren Sie ds Ergenis us () im Hinick uf die sttische estimmtheit des Sstems. Geg.:,, e e. Schwerpunkt 80. Es sind die Schwerpunktstände S und S des neenstehend skiierten echteies u estimmen. (Dicke d = 3mm) S 0 S Mn estimme mithife des Teenverfhrens die Koordinten des ächenmittepunktes s, s für die wei skiierten Querschnitte. ) Litertur: [, S ] ) 0 mm 90 mm T0 S 70 Profi T 0: äche: 8 mm = 9,6 cm 3,8 mm S 0 mm 0 mm 3. Mn estimme per Integrtion die Lge des Linienschwerpunkts eines Kreisogens und den ächenschwerpunkt eines Kreissektors mit dem Öffnungswinke. Mn estimme uch den ächenmittepunkt einer Hkreisfäche. S R S R

9 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 9 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre () erechnen Sie den ächeninht und die eiden Koordinten des ächenmittepunkts der skiierten äche g. des eingeeichneten Koordintensstems. Verwenden Sie du eine Tee. () Geen Sie ohne neue Rechnung die Koordinten des ächenmittepunkts der skiierten äche n. Skie u ) Skie u ) Geg.: 5. erechnen Sie die Koordinten des Mittepunkts der äche, die durch den Grphen der Normpre, die -chse und die Linie = egrent wird (s. Skie). () Steen Sie die unktionsgeichung der Normpre uf. () erechnen Sie e notwendigen Integre. Geg.: 6. us einer hkreisförmigen Scheie (Dicke t, Dichte ρ) ist ein rechteckiges Stück entfernt. ei gegeenem r und estimme mn mithife des Teenverfhrens so, dss der Schwerpunkt S die eingeeichnete Lge nnimmt. Geg.: r, = 9π r 64 Litertur: [, S ] 7. ür die drgestete Kreisscheie, die in der oeren Häfte eine kreisförmige ussprung esitt. estimmen Sie mit Hife einer Tee ds Verhätnis der Dichten ρ i derrt, dss der Schwerpunkt im Mittepunkt der Kreisscheie iegt. Der Mittepunkt der ussprung efindet sich im stnd R/ von der Mitte der Kreisscheie. R S r r R ρ Hinweis: Der Schwerpunkt einer Hkreisfäche iegt ei s = 4R 3π, woei R den Rdius emißt. ρ Geg.: R, r

10 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 0 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ds skiierte Sstem, ds sich im Schwerefed der Erde efindet, esteht us einer eenen Scheie, die mit drei Pendestüten gegert ist. Die Scheie sett sich us wei Teien mit den Dichten ρ und ρ usmmen. eide Teie hen die konstnte Dicke t. Der Lgerungspunkt knn so verändert werden, dß sich verschiedene Winke 0 o < β < 90 o einsteen ssen. () estimmen Sie ρ in hängigkeit von ρ so, dß der Schwerpunkt der Scheie im Ursprung des in der Skie eingetrgenen Koordintensstems efindet. D g () estimmen Sie die Krft in der Pendestüte E s unktion von β. (c) ür wechen Winke β k eistiert kein Geichgewichtsustnd? egründen Sie. β E ρ ρ 3s s Geg.: g, t, s,, ρ Schwerpunkt des Kreisusschnittes: r sin r S = 3 9. Die geidete Ruchkppe (Msse m, Schwerpunkt S) ist im Punkt drehr gegert. Sie so ei einem Winke θ = 30 o geöffnet eien. erechnen Sie die dfür notwendige Steifigkeit k der eder unter der nnhme, dß die eder ei θ = 0 o entspnnt ist. Geg.:,,, m, g, θ = 30 o θ S k S

11 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Eine We (homogen, Msse m, Rdius r) iegt n einem st (Höhe r ) einer schiefen Eene (Winke ur Horionten). uf die We stütt sich ein Körper (homogen, Msse M, Kntenängen ). n dem Körper greift die Krft (eenfs Winke ur Horionten) n. Die gesmte nordnung ist reiungsfrei. Hinweis: enuten Sie ds eingeeichnete Koordintensstem. r/ g m r M D E () Schneiden Sie We und Körper frei und eichnen Sie e ngreifenden Kräfte ein. () erechnen Sie die Schnittkräfte in den erührpunkten, und. (c) Ermitten Sie den Schwerpunkt des Körpers. Wechen Wert drf höchstens nnehmen, dmit der Körper nicht nch inks üer die We kippt? (d) Wie groß drf für < die Krft höchstens sein, dmit die We in Punkt nicht het? Geg.: M, m, g,,, r,

12 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre ufgerrektionen 3. ür den mit einer trpeförmigen Streckenst eufschgten ken sind die ufgerrektionen u ermitten. Geg.: q, q, 3. erechnen Sie für den skiierten ken die ufgerrektionen. Die Streckenst q() ist wie drgestet cosinusförmig. Geg.:, 33. etrchtet wird der geidete Krn in einer Werkhe. Der horionte Träger ist rechts und inks im Muerwerk gegert. () Skiieren Sie vier verschiedene Lgerungsmögichkeiten und fertigen Sie für e vier Vrinten reischnittskien n. () ür weche Vrinten knn mn die ufgerkräfte us den Geichgewichtsedingungen erechnen? Wnn spricht mn von einem sttisch estimmten Sstem? Geg.: s Litertur: [, S ] s q q() q() q

13 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 3 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Die geidete Konstruktion ist Tei einer Erdöfördernge in einem Nturschutgeiet in sk. 5 6 g β S S E M D S W 3 Untersucht wird die drgestete Lge, ei der der Träger horiont ist. In diesem ist die Krft im Ke gerde. Weches Drehmoment M muss in diesem durch den Motor ufgercht werden, um die Lst gerde u hten? Die Gewichte des oeren Trägers seien G, G mit den Schwerpunkten S w. S. Ds Gegengewicht ist G W. Die Stnge D ist eidseitig geenkig gegert und ihr Gewicht ist vernchässigr. Geg.: = 000N, G = 40N, G = 50N, G W = 800N, = 30 o, β = 60 o, = 0,3 m Litertur: [, S. 88] 35. Ein LKW mit dem Gesmtgewicht G (Schwerpunkt S) steht in der geeichneten Lge uf einer rücke, die in der Mitte (Zwischenger E) geteit ist. estimmen Sie e ufger- und Zwischengerrektionen in,,, D, E. Geg.:, G = 90 kn Litertur: [, S. 78-9] 6 S E 6 g D

14 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 4 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ds geidete Sstem esteht us einem ken und einem St D, die in den Punkten, und D geenkig n die Umgeung gekoppet sind und im Punkt geenkig miteinnder verunden sind. Der ken ist durch eine inere Streckenst estet. () Ist ds Sstem sttisch estimmt? egründen Sie ihre ntwort. () estimmen Sie den etrg und die Wirkungsinie der Resutierenden der Streckenst. (c) estimmen Sie sämtiche ufgerrektionen. (d) Wecher enspruchung unteriegt der St D? D Geg.:,,, Litertur: [, S. 78-9] 37. Ds skiierte Trgwerk esteht us wei geenkig gegerten Winketrägern, die durch ein Geenk miteinnder verunden sind. Ds Trgwerk wird durch eine konstnte Streckenst und eine Einekrft estet. () Ist ds Sstem sttisch estimmt? egründen Sie Ihre ntwort. () estimmen Sie etrg und ngriffspunkt der Resutierenden der Streckenst mit Hife der integren Zusmmenhänge. (c) estimmen Sie sämtiche Lgerrektionen. Geg.: = kn, = 0,3 kn m, = m, = 4m 38. Eine homogene Scheie (Msse m) ist wie geidet üer wei Pendestüten und ein Losger gegert. g () erechnen Sie die ufgerrektionen, d.h. die Kräfte in den Pendestüten und die Krft im Losger. () Skiieren Sie die Krft im Lger s unktion der Länge, woei 0 < <. 3 3 e Geg.:,, g, m, = 30 e

15 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 5 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ds geidete Trgwerk so so usgeegt werden, dß die Sicherheit gegen Versgen der Lger für die estung durch die Einekrft mögichst groß ist. Die Huptmessungen des Trgwerks sind us funktionen Gründen ereits vorgegeen. Ledigich die Position des Geenks E, d. h. die Länge, knn noch verändert werden. Die uässigen Lgerkräfte sind für e Lger geich groß. estimmen Sie die Länge, so dss die etrgsmäßig mimen Kräfte der Lger,,, D mögichst kein werden. D E Geg.:, 40. Ds geidete Trgwerk wird durch eine konstnte Streckenst estet. erechnen Sie die ufgerrektionen in den Lgern und. Geg.:,, e e 4. Ein in P geenkig gegerter ken wird von wei Seien und D gehten und durch eine Krft im Punkt E estet. Mn erechne den Vektor der ufgerkrft P im Lger P und die Kräfte S w. S in den eiden Seien. Hinweis: Die Lger in, und P sind estger. Geg.:, P D E 4. Ds drgestete räumiche Trgwerk ist im Punkt gegert (feste Einspnnung) und wird im Punkt D durch die Lst estet. Die kenschnitte und D verufen pre ur -chse. Der schnitt ist ein Hkreisogen pre ur,-eene. erechnen Sie die ufgerrektionen im Punkt. Geg.: R, 3R R R D

16 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 6 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Eine Seiwinde ist durch ein estger und ein Losger gegert. Durch die n der Kure ngreifende Krft P so der Lst G ds Geichgewicht gehten werden. Wie groß muß die Krft P sein, und weche Kräfte wirken in der eingeeichneten Steung in den Lgern? h ϕ P G r c P Geg.:,, c, r, h, G, ϕ = uf der in den Punkten, und jeweis weiwertig gestütten Pttform wird im Punkt D ein Loch geohrt und dei die Krft 0 und ds Moment M 0 ereugt. Mn erechne die ufgerrektionen. L M 0 Geg.: L, 0, M 0 L L L 0 L D 45. Der geidete strre Rhmen ist in und üer Losger und in üer eine Pendestüte gegert. Im Punkt E wird die Konstruktion durch eine Einekrft estet. () Schneiden Sie den Rhmen frei. Wieviee uneknnte Lgerrektionen git es? () Steen Sie die Geichgewichtsedingungen uf. (c) Zeigen Sie, dss die Zugkrft S in der Pendestüte S = cos sin eträgt. estimmen Sie udem die Lgerkräfte in den Losgern und. (d) Skiieren Sie den Veruf der Krft S in der Pendestüte in hängigkeit vom Winke, woei 0 < < 90. (e) Zeichnen Sie die Wirkungsinien der drei erechneten ufgerrektionen für = 45 in eine mßstsgerechte Skie der Konstruktion. Interpretieren Sie ds Ergenis. Geg.:,, 0 < < 90 D P e e E

17 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 7 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Stwerke 46. Die geidete Vorrichtung wird in einer Werksttt enutt, um schwere Komponenten (.. Motoren) u ewegen. Stree D und Hdruikinder sind eidseitig geenkig gegert. Ds Eigengewicht der Konstruktion ist für die fogenden erechnungen u vernchässigen. Die Msse des Motors sei m. G H E () erechnen Sie die Krft im Hdruikinder und die Krft in der Stree D. Geg.:, =, m, g D Litertur: [, S. 98-0] 47. Ds Tor einer ugeughe wird mittes des geideten Mechnismus ngsm geöffnet w. geschossen. Zwischen dem Rd in und der Wnd so die Reiung vernchässigt werden. D Unter der nnhme einer weigiedrigen Tür (jeweis Höhe h, reite und Msse m) so die Krft im Sei erechnet werden. Geg.: h,, m, g, ϕ ϕ g

18 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 8 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ds geidete chwerk us neun Stäen wird wie skiiert im Knoten II durch eine Einekrft estet. () Üerprüfen Sie, o ds skiierte chwerk sttisch estimmt ist. () erechnen Sie die Stkräfte S i (i =,...,9). Geen Sie u jedem St n, o er uf Zug oder Druck estet ist. Geg.:, (VI) 6 8 (V) 7 (IV) (I) (II) 3 (III) Gegeen ist ds skiierte Trgwerk us einem fest eingespnnten ken und einem chwerk us 3 Stäen. Es wird estet durch ds Gewicht G = n einem üer Roen geführten Sei (reiungsfrei). Der ken wird usätich durch eine nicht konstnte Streckenst q () estet, deren Mimwert mit gegeen ist. () Erkennen Sie Nustäe? () erechnen Sie die ufgerrektion in und. 3 r r 7 9 G (c) erechnen Sie die Stkräfte in den Stäen 8, 9, 0. Hndet es sich um Zug- oder Druckstäe? Geg.:,, r, G = 50. Ein eens chwerk us 5 geenkig miteinnder verundenen Stäen wird mit vier Kräften estet und wie geeigt in den Punkten und gegert o () Ist ds Sstem sttisch estimmt? () Identifiieren Sie offensichtiche Nustäe. (c) estimmen Sie die ufgerrektionen in und. (d) Ermitten Sie die Kräfte in den Stäen, 3 und 4 mit Hife des Ritterschen Schnittes und geen Sie n, o die Stäe uf Zug oder Druck ensprucht werden. Geg.:,

19 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 9 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ds us einem Strrkörper, einer chwerkscheie (Stäe is 7) und dem St 8 estehende Sstem ist in den Punkten und sttisch estimmt gegert. Ein im Punkt D efestigtes Sei wird üer reiungsfreie Umenkroen in E und geführt und mit einer Krft P estet. Zusätich wirkt im Punkt die Krft P. Der Rdius der Umenkroen knn ei der Lösung vernchässigt werden. () estimmen Sie die ufgerrektionen des Sstems. () Ermitten Sie die Kräfte in den Stäen 4, 5 und 6 mit einem Ritterschen Schnitt. Geen Sie jeweis die ensprungsrt (Zug/Druck) n. P (c) Der St 8 wird us dem Sstem entfernt. Verändern Sie die Lgerung so, dß uch ds neue Sstem sttisch estimmt gegert ist. Skiieren Sie eine der mögichen Lösungen. egründen Sie Ihre Entscheidung durch den Nchweis der sttischen estimmtheit. Geg.: P, 4 3 D E P 5. Der Dchinder einer Turnhe so s chwerkkonstruktion wie neenstehend skiiert usgeidet werden. erechnen Sie die ufgerrektionen und Stkräfte. Nuten Sie die Smmetrie. 3 Geg.:,,

20 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 0 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ds skiierte, eene, idee chwerk dient s mechnisches Erstmode für eienen Krn, wecher eine Lst mit dem Gewicht G (Gewichtskrft) trägt. Ds Trgsei ist m Knodenpunkt efestigt und wird üer drei reiungsfreie Umenkroen mit vernchässigr keinem Rdius geführt. () Üerprüfen Sie die notwendige edingung für die sttische estimmtheit des chwerks. () estimmen Sie die Lgerrektionen in den Punkten und. (c) Ermitten Sie die Stkräfte in den Stäen 3, 8 und mit Hife des Ritterschnittverfhrens und geen Sie die jeweiige enspruchungsrt n. (d) Wie Groß sind die Kräfte in den Stäen und 4? e e G Geg.: σ 0, 3 4 3,3 Hinweis: e ufgenteie sind unhängig voneinnder ösr. 54. Gegeen ist der skiierte Krnuseger. m Trgsei hängt ein Gewicht der Msse M. Ds msseose Trgsei wird üer wei msseose reiungsfreie Roen (von u vernchässigendem Durchmesser) geführt. () estimmen Sie die ufgerrektionen in und sowie die Seikrft S. () Ermitten Sie die Kräfte in den Stäen 6, 7 und 9 und geen Sie n, o die Stäe uf Zug oder uf Druck ensprucht sind. (Werten Sie die trigonometrischen unktionen us und vereinfchen Sie ds Endergenis.) M g Geg.: M, g,, = 30

21 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ein Krnuseger so mit dem geideten mechnischen Sstem eschrieen werden. ür die Dimensionierung müssen die ufgerkräfte und Stkräfte estimmt werden. () Üerprüfen Sie die notwendige edingung für sttische estimmtheit des chwerks. () estimmen Sie die Lgerrektionen in (Knoten VI) und (Knoten IV). e e e I II III VI IV 8 V (c) Ermitten Sie nun die Stkräfte in den Stäen is 9 mit Hife des Knotenschnittverfhrens oder mit dem Ritterschnittverfhren. Geg.:, Litertur: [, S. 98-].5 Schnittsten in ken und Rhmen 56. Ds skiierte Trgwerk esteht us 4 keneementen. Dei ist ein Geenk. und D sind iegesteife Ecken. Ds Trgwerk wird m ersten keneement durch eine konstnte Sreckenst estet. () egründen Sie, dss ds skiierte Trgwerk sttisch estimmt gegert ist. () erechnen Sie die ufgerrektionen und die Geenkkräfte. e 60 e 3 3 E 4 4 (c) erechnen Sie die Normkrft, die Querkrft und ds iegemoment für die kenemente und. (d) Skiieren Sie die Schnittstenveräufe us dem vorherigen ufgentei unter nge chrkteristischer Werte. Geg.:, D

22 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre () erechnen Sie für ds skiierte eene Trgwerk die ufgerrektionen und Stkräfte. () estimmen Sie nun die Schnittsten M(), Q() im ereich 0 < < 3. (c) Skiieren Sie die Schnittgrößen. 3 3 /3 Geg.:, Litertur: [, S. 6-34] 58. Ds skiierte Rhmentrgwerk wird mit einer Dreieckstreckenst mit Mimwert sowie einer Einekrft estet. () erechnen Sie die Normkrft, die Querkrft sowie ds iegemoment für jeden Punkt des Rhmens. () Skiieren Sie die Schnittstveräufe für = unter nge chrkteristischer Werte. (c) Wie groß ist ds mime iegemoment? Geg.:,, 59. Der skiierte ken ist inks fest eingespnnt und wird durch eine cosinusförmige Streckenst q() estet. () erechnen Sie den Veruf der Schnittgrößen (iegemoment, Querkrft, Normkrft). () Skiieren Sie den Veruf der Schnittgrößen unter nge chrkteristischer Werte. q() (c) Wie groß ist ds mime iegemoment? Geg.:, 60. Der skiierte ken ist in und geenkig gegert und wird durch eine inere Streckenst q() estet. erechnen und skiieren Sie den Veruf der Schnittgrößen (iegemoment, Querkrft, Normkrft) unter nge chrkteristischer Werte. Geg.: q, q, Litertur: [, S. 6-9] q() q q

23 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 3 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Die skiierten ken sind sttisch estimmt in den Punkten, und gegert. Sie werden im ereich durch eine iner von Nu uf nsteigende Streckenst sowie im ereich durch eine entgegengesett gerichtete konstnte Streckenst estet. 3 Die Veräufe von iegemoment M() und Querkrft Q() soen in den fogenden Schritten estimmt werden. () Wie uten (gemein) die Differentigeichungen, mit denen sich die gesuchten Schnittsten Q und M erechen ssen? () Nehmen Sie eine ereichseinteiung vor und steen Sie die unktion der Streckenst q j für e schnitte j uf. (c) Geen Sie die Rnd- und Üergngsedingungen n, die ur erechnung der Schnittsten enötigt werden. Weist die Querkrft einen Knick oder Sprung n der Stee = 3 uf? egründen Sie. (d) estimmen Sie nun die gesuchten Größen M() und Q() im schnitt und skiieren Sie diese. Geg.:, 6. Ein in, und gegerter Gererträger wird durch die Streckenst q estet. estimmen Sie die Lge des Geenkes G (Mß ) so, dss ds mim uftretende iegemoment einen mögichst keinen Wert nnimmt. Geg.: q, 63. Ein Träger wird wischen den ufgerpunkten und durch eine konstnte Streckenst sowie im ereich durch einen inerr verderiche Streckenst ensprucht. () erechnen Sie den Veruf der Querkrft Q() und des iegemonemts M() mit einem Verfhren Ihrer Wh (Goschnittverfhren oder Schnittstendifferentigeichung). () estimmen Sie ds etrgsmäßig größte iegemoment. G (c) Skiieren sie dein Veruf der Querkrft Q() und des iegemoments M() unter nge chrkteristischer Werte. Geg.:, q

24 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 4 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Der geidete Krn so untersucht werden. Die Länge des horionten Trägers und die Lge der ufger und sind us funktionen Gründen ereits festgeegt. Die Höhe der Stüte D so nun so emessen sein, dß ds mime iegemoment in der Struktur mögichst kein ist. Ds undehnre Sei wird üer reiungsfreie Roen mit vernchässigr keinem Rdius geführt. ür den stnd der Lger git = 3. () Eräutern Sie kur die notwendigen erechnungsschritte. () erechnen Sie die Höhe der Stüte D. (c) Skiieren Sie für diesen den Veruf des iegemomentes im gesmten Krn unter nge chrkteristischer Werte. (d) is u wechen Lsten knn der Krn ugessen werden, wenn ds mim uässige iegemoment N m eträgt (Länge = 5 m). 65. uf den skiierten ken wirkt ein Einemoment M 0 = 4 und eine konstnte Streckenst. Gesucht sind die Schnittstenveräufe. Gehen sie u deten erechnung wie fogt vor: () Ist ds Sstem sttisch estimmt gegert? egründen Sie Ihre ntwort. () estimmen Sie e Lgerrektionen. (c) erechnen Sie die Schnittgrößen N(), Q() und M() und skiieren Sie diese quittiv unter nge mrknter Werte (Nusteen, Etrem etc.). Geg.:,,, M 0 = Der skiierte ken ht die konstnte Msseneegung m. Er wird durch sein Eigengewicht und eine usätiche Steckenst q() wie skiiert estet. Die Streckenst sei sinusförmig, ihr Mimum etrge.,u () Geen Sie die Schnittstendifferentigeichungen für dieses Proem n. estimmen Sie durch Integrtion deren gemeine Lösungen! () Geen Sie die erforderichen Rndedingungen n. (c) erechnen Sie e Schnittsten und skiieren Sie die Lösung! Geg.:,, g, m h D M 0 g g q() 4 m m,w

25 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 5 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Die geidete Vorrichtung wird in einer Werksttt enutt, um schwere Komponenten (.. Motoren) u ewegen. Die Msse von Motor und ufhängung (Kette, Hken) sei m L. Der horionte Träger ist homogen und ht eine Msse m T = 0 m L. ür die messungen git =. G E () erechnen Sie die Schnittsten im horionten Träger EG. () Wie groß ist ds mime iegemoment? Nuten Sie die untenstehenden Zhenwerte. H D Geg.: = m, =, m L = 50kg, m T = 5kg, g = 9,8 m s Litertur: [, S. 98-0] 68. Ds skiierte Trgwerk wird uf dem wgerechten Tei des gewinketen Trägers durch eine konstnte Streckenst estet. () egründen Sie die sttische estimmtheit des skiierten Trgwerkes. () erechnen Sie die ufgerrektionen und die Geenkkräfte. Geenk (c) estimmen und skiieren Sie den Veruf der Schnittgrößen (Normkrft n (), Querkrft q () und iegemoment M ()) und geen Sie chrkteristische Werte n. Geg.:, 69. Ein kreisförmiger Träger (Rdius R) ist in durch ein estger und in durch ein Losger n die Umgeung gekoppet. In greift eine horionte Krft n. () estimmen Sie den Schnittkrftvektor in dem gekrümmten Träger für eieige Winke ϕ. R () Wie groß sind für ϕ = 45 o und für ϕ = 90 o die Normkrft und die Querkrft? (c) estimmen Sie nun den Schnittmomentenvektor in dem gekrümmten Träger für eieige Winke ϕ. ϕ e e (d) Wie groß ist für ϕ = 45 o und für ϕ = 90 o ds iegemoment? Geg.: R,

26 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 6 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Estosttik. Zug/Druck, Wärmedehnung 70. Ein Drht us hochfestem Sth (Länge = 0 cm, E-Modu E = 0 GP) wird durch Einwirkung einer Krft = 0 kn um = 0, 5 mm verängert. () Wie groß ist die Dehnung ε in die Längsrichtung des Sts? () erechnen Sie die Spnnung σ im Drht. (c) Weche Querschnittsfäche ht der Drht? Wie groß ist der Durchmesser d des Drhtes, wenn mn einen kreisförmigen Querschnitt u Grunde egt? Litertur: [3]: Zug und Druck Stäen, schnitt. is.4 7. Ein St der Länge = 0 cm mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d = cm) verängert sich unter der Einwirkung einer Längskrft = 5 kn um = 0, mm. () Wie groß ist die Dehnung ε des Stes? () Weche Spnnung σ herrscht im St? (c) Knn der St us Sth sein? 7. Ds geidete mechnische Sstem esteht us wei Stäen (Längen: = 0 cm, = 8 cm, Durchmesser: d = 3 cm, d = cm, E-Modu: E = E = 0 GP). m rechten Ende greift die Krft = 0 kn n. Wie groß ist die gesmte Längenänderung? Litertur: [3]: Zug und Druck Stäen, schnitt. is Der strre Hee DE ist üer wei Stäe und D gestütt. St ist us uminium (E-Modu E ) und ht eine Querschnittsfäche. St D ist us Sth (E-Modu E ) und ht eine Querschnittsfäche. Im Punkt E ist der Hee durch eine Einekrft estet. D E () Wie groß sind die Längenänderungen der Stäe und D? () estimmen Sie die senkung des Punktes E unter der ngegeenen Lst. Geg.: = 30 kn, = 300 mm, = 400 mm, E = Nmm, E = Nmm, = 500 mm, = 600 mm Litertur: [3]: Sttisch estimmte Stssteme: schnitt.5, ins. eispie.5

27 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 7 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Der strre Hee ist üer wei Stäe und DE gestütt. eide Stäe sind us Sth (E-Modu E = 00 knmm ) und hen eine rechteckige Querschnittsfäche ( mm 6 mm). Im Punkt ist der Hee durch eine Einekrft estet. () Ist der strre Hee sttisch estimmt gegert? Knn mn die Kräfte in den Stäen und DE nur us den Geichgewichtsedingungen estimmen? () Wie groß sind die Kräfte in den eiden Stäen? (c) estimmen Sie die usenkung des Punktes unter der ngegeenen Lst. D E Geg.: =,5 kn, = 00 mm, = 5 mm, E = 00 knmm, = 7 mm Litertur: [3]: Sttisch unestimmte Stssteme: schnitt.6, ins. eispie Der rchitrph eines Dches mit dem Gewicht G so uf wei Säuen ufgestet werden. Es sind nur Säuen der Längssteifigkeit E verfügr und ds Dch so u jeder Zeit wgerecht iegen. (Ds heißt, die Säuen soen sich unter der Dchst geichmäßig senken.) h g h () Weches Längenverhätnis h muß gewäht werden, dmit der rchitrph wgerecht steht? () Wie groß ist der Winke u wähen? h Geg.: E, G, 76. Ds geeigte eene, smmetrische Dreiein esteht us drei estischen Stäen. e drei Stäe hen den E- Modu E. Die Stäe und 3 hen die Querschnittsfäche, St ht die Querschnittsfäche. Ds Dreiein wird im oeren Geenkpunkt, in dem e Stäe geenkig verunden sind, durch eine Krft estet. Knicken der Stäe sei usgeschossen. Die Verformungen sind sehr kein und rein estisch. e 3 e () erechnen Sie die Stkräfte S, S und S 3. () Wie groß ist die Verschieung u des Punktes? Geg.:, E,,

28 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 8 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Eine Krft so mit einem Stweischg im stnd vom Punkt gehten werden. eide Stäe estehen us dem geichen Werkstoff und hen jeweis eine konstnte Querschnittsfäche. Die uässige Spnnung σ u ist ei Zug- und Druckenspruchung geich. () Wie groß muß der Winke < 90 gewäht werden, dmit mögichst wenig Mteri enötigt wird? echten Sie, dß in keinem der Stäe die mime Spnnung üerschritten werden drf. () Wie verschiet sich der Punkt in diesem, wenn die Lst = σ u wirkt? Geg.:,, E,, σ u 78. Ds skiierte Sstem us vier estischen Stäen wird im entren Knoten P mit der Lst in der ngegeenen Richtung estet. e uteie hen den Estiitätsmodu E und einen qudrtischen Querschnitt mit der Kntenänge D. Die Längen sind der Skie u entnehmen. estimmen Sie die - und -Komponenten der Verschieung des Punktes P! Die Verschieung so kein und Knicken usgeschossen sein. Geg.:,,c,d,D,,,E d c 3 P 79. Ds skiierte Sstem us drei estischen Stäen wird im entren Knoten P mit der durch den Vektor = e + e gegeenen Krft estet. Die ddurch hervorgerufene Verschieung so mit dem u estimmenden Vektor u eschrieen werden. e uteie hen den Estiitätsmodu E und die Querschnittsfäche. Die Längen sind der Skie u entnehmen. () ormuieren Sie die Geichgewichtseiehung für den Knoten P. () Ermitten Sie die Längenänderung i der drei Stäe i {,,3} s unktion der Verschieungskomponenten u und u. (c) Geen Sie die Stkräfte S i s unktionen von u und u n. (d) estimmten Sie die Komponenten des Verschieungsvektors u P. Geg.:,, c, d,, E,, Hinweis: Verwenden Sie die kürung r := + c. d c 3 4 P

29 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 9 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Der skiierte ken sei strr, die Stäe soen die edersteifigkeit k w. k hen und nicht usknicken. Es soen keine Verformungen ngenommen werden. 00 k () estimme die Längenänderung, der Stäe und! () estimme die Verschieung u des inken Lgers und den Winke ϕ, um den sich der ken unter der estung dreht! 0 k Geg.:,,, k, k 8. St der geideten Konstruktion wird um T erwärmt. e e P erechnen Sie die Komponenten u und u der Verschieung des Knotens P. (echten Sie die eingeeichnete Vektorsis.) 3 Geg.:, T, Querschnittsfäche = const, Estiitätsmodu E, Temperturusdehnungskoeffiient 8. Ds geidete mechnische Sstem esteht us wei Stäen mit kreisförmigem Querschnitt (Durchmesser d w. d, E-Modu E w. E, Temperturusdehnungskoeffiient w ), die wischen wei strren Ptten ngercht sind. Die Stäe wurden ei Rumtempertur spnnungsfrei eingefügt. Dnch wurden die Stäe um unterschiediche Temperturdifferenen T und T erwärmt. () Leiten Sie Geichungen für die Spnnungen in eiden Stäen s unktion von T, T,,, E, E,,, d und d her. () Seten Sie nun die fogenden Zhenwerte ein: = 30 cm, = 50 cm; d = 0 cm, d = 8 cm; E = 06 GP, E = 47 GP; =,3 0 5 K, = 0,6 0 5 K ; T = 0 K, T = 40 K. 83. Die Endquerschnitte eines konischen Stes sind durch wei geiche, nfngs ungespnnte edern mit der edersteifigkeit c verunden. Wie verschiet sich der rechte Endquerschnitt, wenn der St (nicht die edern) um T erhitt wird? Knickung sei usgeschossen. Geg.: D, d,, E, c, t, T D t,e c c E,d E,,d strre Ptte d

30 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 30 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ein strrer ken der Länge 4 ist durch ein festes Geenkger in und wei Stäe in und gestütt. Der ken und die Stäe sind s gewichtsos u etrchten. Im unesteten Zustnd seien die Stäe ungedehnt. Die Stäe hen die Querschnittsfächen = = und die Längen =, =, E-Modu E. Der ken wird durch eine konstnte Streckenst q estet. Der St wird udem um T erwärmt. Der inere Wärmeusdehnungskoeffiient für den Werkstoff des Stes ist. () erechnen Sie für diesen die Stkräfte S und S sowie die Lgerkrft in. () ür weche Temperturänderung T wird die gesmte estung von St getrgen? Geg.: q, T,,,, E q 85. H H H H Zur Verindung der eiden Hüsenringe H (E =, 0 5 N/mm, D = 40 mm) und H (E = 0,8 0 5 N/mm, D = 50 mm) wird ein Niet (E N =, 0 5 N/mm ) ei einer Tempertur von T 0 = 50 K durch die ohrung (d = 0 mm) geschgen. Mn erechne die Spnnungen in den Hüsenringen H und H sowie im Schft des Nietes nch kühung uf T = 90 K. (nnhme: die Nietköpfe sind strr, die Hüsen von nfng n kt: 90 K). Geg.: t = 0 6 /K : H H d D D

31 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 3 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Der skiierte St esteht in seinem rechten Tei 3 us einem homogenen Werkstoff, in seinem inken Tei ( und ) us einem smmetrisch ufgeuten Verund-Körper. Zwischen den Teien des Stes efindet sich eine strre Ptte. Der St iegt unächst spnnungsfrei wischen wei festen Widergern. Dnn wird Tei 3 des Stes um eine Tempertur θ erwärmt. S: / S 3 / () Wie groß sind die Normspnnungen in den drei Querschnittsteien? () Wie groß ist die Verschieung der strren Ptte? Geg.: = 4,00m, = 3,50m = 300cm, E = 0 4 N/mm, = 00cm, E = 0 5 N/mm, 3 = 700cm, E 3 = E = 0 4 N/mm, t3 = 0 6 /K, θ = 40K. Torsion 87. Wie groß ist die Torsionsfederkonstnte für die skiierte Wee? Geg.: d = cm, d = 4 cm, = 5 cm, = 50 cm, e = 30 cm, G = 86 d d GP e 88. Der voräufige Entwurf einer Wee ur Verindung eines Motors mit einem Genertor sieht eine Hohwee mit Innendurchmesser d i = 00 mm und ußendurchmesser d = 50 mm vor. Die mim uässige Schuspnnung eträgt τ u = 85 MP. Weches mime Drehmoment knn durch die Wee üertrgen werden, wenn () die Wee wie gepnt gefertigt wird, () eine Vowee geicher Msse gefertigt wird, (c) eine Hohwee geicher Msse und ußendurchmesser d = 00 mm gefertigt wird? Litertur: [3]: Torsion kreisindrischer Ween: schnitt 5. d i d

32 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 3 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Die Enden einer gesetten Wee (schnitt : Durchmesser d, schnitt : Durchmesser d ) sind in den Lgern und gegen Verdrehung festgehten. uf ein Zhnrd, ds mit der Wee fest verunden ist, wirkt ein Kräftepr, so dß uf die Wee ds Torsionsmoment M T üertrgen wird. () Wie groß sind die in den Lgern und ufunehmenden Torsionsmomente? () In wechem Weenschnitt tritt für den > > c die größte Schuspnnung τ m uf und wie groß ist sie? (c) n wecher Stee müßte ds Zhnrd uf dem Weenst efestigt sein, dmit der Verdrehwinke mim wird? c Geg.: d, d,,, c, M T 90. Eine Vowee us Sth (Durchmesser d) und eine Hohwee us uminium (ußendurchmesser d, Wndstärke t) sind rechts fest eingespnnt und inks üer eine strre Ptte verunden. Wie groß ist ds mim uässige Drehmoment, ds uf die strre Scheie ufgercht werden knn, wenn die uässigen Schuspnnungen für die Sthwee τ S = 0 MP und für die uminumwee τ = 70 MP etrgen. d d i d strr Geg.: Vowee us Sth: d = 50 mm, G S = 80 GP, τ S = 0 MP, Hohwee us uminium: t = 8 mm, d = 76 mm, G = 7 GP,, τ = 70 MP 9. Drgestet ist ein durch wei äußere Drehmomente esteter usmmengesetter indrischer St us estischem Mteri mit dem Schumodu G. strr d M M d estimmen Sie ξ = d /d so, dss inks und rechts der strren Scheie etrgsmäßig dieseen mimen Spnnungen uftreten.

33 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 33 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Zwei Torsionsween mit kreisförmigem Querschnitt, die us dem geichen Mteri gefertigt wurden, sind durch Zhnräder miteinnder verunden. Die Zhnräder sind so geformt, dß es nur u Torsionsenspruchungen in den Ween kommt. Die inke Wee (Rdius r ) wird mit dem Moment M und die rechte Wee (Rdius r ) mit dem Moment M estet. M Wee d d Wee M () erechnen Sie die Torsionswiderstände für die eiden Ween. () Zeigen Sie, dß im sttischen Geichgewicht M = M git. (c) estimmen Sie die Länge der rechten Wee für den, dß die Verdrehung der Weenquerschnitte in den Punkten und dem etrg nch geich groß sind. Gehen Sie dvon us, dß sich die Zhnräder nicht verdrehen. (d) In wechem der eiden Querschnitte ist die Schuspnnung m größten? Geg.: r, r = r, r = r, d, = 0d, d = d, d = d 93. Drgestet ist ein St mit rundem Querschnitt, ei dem nur unwesentich größer ist s. () estimmen Sie ds pore ächenträgheitsmoment I p (). () estimmen Sie nun den Verdrehwinke ϕ m rechten Ende des Stes! G, M Geg.:,, M, G,

34 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 34 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Drgestet ist ein St, der durch ein Torsionsmoment M T ensprucht wird. s Profie soen () ein Vokreisquerschnitt und () ein dünnwndig geschossener Rohrquerschnitt mit denseen messungen und dem geichen Mteri etrchtet werden. G, M T t R R () Um wechen ktor ist ds Profi () torsionssteifer s ds Profi ()? () erechnen Sie ds Torsionsmoment M T,u für die wei Profie, so dß die uässige Schuspnnung τ u gerde nicht üerschritten wird. (c) Wie groß ist der Verdrehwinke ϕ infoge der estung durch ds uässige Torsionsmoment M T,u? (d) Steen Sie die Schuspnnungsveräufe im Querschnitt für die wei Profie unter nge chrkteristischer Werte und der Richtung grphisch dr. Geg.: M T, R = 0 cm, t = mm, = m, G = 8000 N/mm, τ u = 80 N/mm 95. t dm ei wechem Verhätnis = dm t knn ein Kreisring s dünnwndiges geschossenes Profi uf Torsion untersucht werden? Ingenieurmäßig wird i.s. ein retiver eher von 3% keptiert. Geg.: d m

35 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 35 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre iegung 96. Ein ke (Länge, iegesteifigkeit EI) ist wie skiiert gegert und estet. (ei geenkig er nicht verschieich) () estimmen Sie die iegeinie mit Hife dee iegeiniendifferentigeichung. () estimmen Sie die ufgerkkrft im Geenk. (c) n wecher Stee tritt ds mim iegemment uf?,w EI Geg.:,, EI 97. Der skiierte ken ist in und geenkig gegert und wird durch eine inere Streckenst q() estet. q() q q () erechnen Sie die iegeinie w(). () Erkären Sie, wie mn die mime Durchsenkung ŵ erechnen knn! Geg.: q, q,, EI 98. Der skiierte ken ist inks fest eingespnnt und wird durch eine cosinusförmige Streckenst q() estet. () erechnen Sie die Durchiegung w() und skiieren Sie den Veruf. () Wie groß ist die mime Durchsenkung ŵ? Geg.:,, EI 99. Der geidete schnke ken (iegesteifigkeit EI, Länge ) ist inks fest eingespnnt und wird üer die gesmte Länge durch eine konstnte Streckenst estet. Zudem greifen m rechten Ende eine Einekrft und ein Moment M n. Zeigen Sie, dß für die senkung ŵ und die Neigung ˆϕ des rechten kenendes git ŵ = 3 3EI + M EI + 4 8EI ˆϕ = EI + M EI + 3 6EI Geg.:,, M,, EI., q() M

36 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 36 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Der geidete schnke ken (iegesteifigkeit EI) ist inks fest eingespnnt und wird im schnitt durch eine konstnte Streckenst estet. estimmen Sie die senkung des Punktes. Geg.:,, EI EI 0. erechnen Sie den Querverschieungsustnd der skiierten Ssteme durch Integrtion der Verschieungsdifferentigeichungen. M 0 00 EI M EI Geg.:,, M 0 =, EI 0. Der geidete ken ist rechts fest eingespnnt und inks üer ein Losger n die Umgeung gekoppet. Der ken wird durch eine inere Streckenst q() und eine Krft estet. () Wie utet die Differentigeichung für die Durchsenkung w()?,w () estimmen Sie die gemeine Lösung der iegeiniendifferentigeichung für diesen Lstf und geen Sie die geometrischen und dnmischen Rndedingungen des Sstems n. (c) estimmen Sie die uneknnten Konstnten. (d) estimmen Sie den Verdrehwinke ϕ im Lger. (e) Wie muss die Krft gewäht werden, dmit die Durchsenkung w(0) = 0 wird? Geg.:, E, I,,,

37 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 37 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Der geidete schnke ken (Länge, iegesteifigkeit EI) ist inks fest eingespnnt und rechts üer ein Losger n die Umgeung gekoppet. Der ken wird ei durch ein Moment M estet. () Ist der ken sttisch estimmt gegert? Können die Schnittgrößen ein us den Geichgewichtsedingungen gewonnen werden? M () estimmen Sie die ufgerrektionen und den Veruf des iegemomentes mit Hife der iegeiniendifferentigeichung. (c) Nuten Sie ds Superpositionsprinip, um den ufgentei () u ösen. (d) Wie groß ist ds mime iegemoment im ken? Geg.: M,, EI 04. Der geidete schnke ken (Länge, iegesteifigkeit EI) ist rechts fest eingespnnt und inks üer ein Losger n die Umgeung gekoppet. Der ken wird durch eine inere Streckenst q() estet. () Ist der ken sttisch estimmt gegert? Können die Schnittgrößen ein us den Geichgewichtsedingungen gewonnen werden? () estimmen Sie die ufgerrektionen im Lger. (c) Wie groß ist die Durchsenkung w() des kens? (d) estimmen Sie den Verdrehwinke ϕ im Lger. Geg.:,, EI 05. Der geidete schnke ken (Länge, iegesteifigkeit EI) ist üer drei Lger gestütt. Der ken wird üer die gesmte Länge durch eine konstnte Streckenst estet. () Ist der ken sttisch estimmt gegert? Können die Schnittgrößen ein us den Geichgewichtsedingungen gewonnen werden? 3 3 () estimmen Sie die ufgerrektionen mit Hife der iegeiniendifferentigeichung. (c) Üerprüfen Sie die ufgerkrft im Punkt, in dem Sie diese nochms mit Hife des Superpositionsprinips erechnen. (d) Wie groß ist die Neigung im Punkt? Geg.:,, EI

38 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 38 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ds skiierte Trgwerk ist im ereich G durch eine konstnte Streckenst sowie in den Punkten und durch einene Kräfte estet. () egründen Sie die sttische estimmtheit des skiierten Trgwerks. () erechnen Sie die ufgerrektionen und die Geenkkräfte. (c) erechnen Sie mit dem Schnittverfhren ds iegemoment im ereich G. (d) Rechnen Sie im ogenden mit dem iegemomentenveruf,w G EI M() = + weiter. n wecher Stee ˆ im ereich G tritt ds mime iegemoment M(ˆ)uf? Wie groß ist dessen etrg? (e) usgehend von dem in (d) gegeenem iegemoment M() estimmen Sie die iegeinie im ereich G. Geg.:,, EI, 07. Der neenstehend skiierte ken sei ängshomogen. estimmen Sie e ufgerrektionen in und. Hinweis: Die Werte der Längssteifigkeit K L und der iegesteifigkeit K müssen nicht eknnt sein. Zu etrchten ist nur die estung quer um ken, die horionten Lgerkräfte sind Nu. () Lssen sich die ufgerrektionen eine us den Geichgewichtseiehungen estimmen? egründen Sie ihre ntwort. () Geen Sie stichpunktrtig die reitsschritte n, die ur Lösung dieses Proems erforderich sind. (Zwei oder drei Stichpunkte genügen.) (c) erechnen Sie die Lösung uf dem in () ngegeenen Weg Geg.:,, K L, K

39 Sttik und eementre estigkeitsehre Prof. Popov WiSe 00/ Seite 39 ufgenktog ur Sttik und eementren esitgkeitsehre Ein schustrrer ken (Länge, konstnte iegesteifigkeit EI ) ist n seinem inken Ende fest eingespnnt und im Punkt üer ein Losger n die Umgeung gekoppet. Der ke wird die gesmte Länge durch eine konstnte Streckenst ensprucht. () estimmen Sie die ufgerkrft im Punkt. () Ermitten Sie ds iegemonent n der Stee = 0.,w EI (c) Wie groß ist der Neigungswinke im Punkt. Geg.:,, EI = const Hinweis: Wir empfehen, diese ufge mit Hife des Superpositionsprinips u ösen. 09. Geen Sie e geometrischen und sttischen Rnd- und Üergngsedingungen des skiierten Sstems n! cm M 0 q () q () I II III IV 0. Mit dem skiierten Rdmutternkreu wird eine Rdmutter mit dem Drehmoment M D ngeogen. Ds Rdkreu esteht us Rundsth (Durchmesser d, Mterikennwerte E und G). M D M D L L D () estimmen Sie die Krft D, mit der die eiden Enden und estet werden, um ds Drehmoment u ereugen. (Siehe Skie) () Wie weit federn die Krftngriffspunkte und urück, wenn die estung urückgenommen wird? D L L Geg.: E, G, L, d, M D, keine Verschieungen Litertur: [3]: iegeinie: schnitt 4.5, Torsion: schnitt 5.