Zusammenfassung Übergangsmatrizen

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1 Zusmmenfssung Übergngsmtrizen Typische Aufgbenstellungen im Abitur. Beschreibung von Übergngsprozessen. Aus einem gegebenem Zustnd den nächsten (übernächsten, ) Zustnd ermitteln 3. Aus einem gegebenem Zustnd den vorherigen Zustnd ermitteln bzw. untersuchen, ob es einen eindeutigen vorherigen Zustnd gibt. 4. Übergngsmtrizen für mehrere Perioden ermitteln. Zyklisches Verhlten nchweisen Eponentielles Wchstum / Zerfll nchweisen 5. Auf Sttionäre Verteilung untersuchen 6. Inverse Problemstellungen Bemerkung zu den Bezeichnungen Bedingt durch die Vielflt der Anwendungsbereiche ergeben sich je nch Bereich unterschiedliche Bezeichnungsweisen. Die wichtigsten sind: - Zustndvektoren heißen uch Verteilungsvektoren, Popultionsvektoren, Strtvektoren, Ausgngsvektoren, Bedrfsvektoren, etc. - Die Elemente der Übergngsmtri heißen entsprechend uch Übergngsfktoren, Übergngsquoten, Überlebensrten, Sterberten, Übergngswhrscheinlichkeiten, Anteile, etc. Ds sollte mn unbedingt beherrschen: Mtri mit Vektor / mit Sklr multiplizieren Mtrizen multiplizieren Lösen von LGS Aufgben im Abiturstil GK_HT5_8 Schwrzwild Wolfspopultion

2 . Beschreibung von mehrstufigen Prozessen ) Gesmter Prozess Mögliche Beschreibungsformen - verbl - Übergngsmtri - Übergngsgrph - Tbelle Meistens liegt eine Form der Beschreibungen vor und mn muss die Beschreibung in einer nderen Form vornehmen, z. B. Zu einer Problembeschreibung die Übergngsmtri ermitteln. Koeffizienten einer Übergnsmtri interpretieren. Zu einer Übergngsmtri den Übergngsgrphen ermitteln. Zu einem Übergngsgrphen die Übergngsmtri ermitteln. Spezilfll (ber häufig gewählter Fll) Austuschprozesse: Ein Austuschprozess liegt vor, wenn die Grundgesmtheit immer gleich bleibt, d. h. bei jeder Verteilung y z die Summe der Komponenten gleich ist: +y+z=c Beispiel: 5 Kunden wechseln zwischen 3 Bumärkten ( +y+z=5) Moleküle wechseln zwischen 3 Energiezuständen (+y+z=) Gegenbeispiel: Entwicklung einer Mikäferpopultion Bei Austuschprozessen ist die Summe der Koeffizienten in einer Splte immer =%. (Beim Übergngsgrphen knn mn bei jedem Sektor eine Übergngsquote us den nderen errechnen.) Bei der Berechnung der Fivektoren/sttionären Verteilungen erhält mn meist durch Ausnutzung der Bedingung +y+z= c eine eindeutige Verteilung. Flls die konstnte Summe nicht beknnt ist, setzt mn,y und z nicht ls Anzhl sondern ls Anteil n und nutzt us, dss, uch wenn die Summe unbeknnt ist, +y+z=(=%) ist. Bechte: Bei der Übergngsmtri sollte die Reihenfolge klr sein, lso sttt besser,7,, M,,85,,5,9 Dmit gibt z. B.,5 die Übergngsquote von B nch C n. von : A B C A,7,, nch : B M,,85 C,,5,9 Notiere Übergngsquoten im Grphen ls Fktoren, ds erleichtert ds Verständnis.

3 b) Einzelne Elemente der Übergngsmtri Typische Frgen: Erläutern Sie die Elemente der. Zeile der Übergngsmtri im Schzusmmenhng. Erläutern Sie die Bedeutung der Zhl, der Übergngsmtri. Berechnen Sie M und erläutern Sie die Bedeutung des Elements in der dritte Splte und. Zeile. Je nch Schzusmmenhng geht es um Übergngsquoten, rten, Wechselquoten, Vermehrungsrten, Erzeugungsrten, Überlebensrten, von einem Zustnd in einen nderen. Meistens gehen uch die Formulierungen wie % der Wähler von Prtei A wechseln bei der nächsten Whl zu Prtei B. 3% der Eier werden zu Lrven. Häufige Fehler. % der Wähler wählen jetzt Prtei B, gibt die Anzhl der Wähler n, die von Prtei A zu Prtei B wechseln. Merke: Die Elemente von M, M 3,, M n geben die Übergngsquoten nch ; 3;, n Zeiteinheiten n.. Aus einem gegebenem Zustnd den nächsten (übernächsten, ) Zustnd ermitteln Regel Berechnung des nächsten Verteilung us der vorherigen Verteilung Mn multipliziert die Übergngsmtri vorherigen Zustndsvektor M Übergngsmtri für mehrere Perioden Bei mehreren Perioden knn mn ds Assozitivgesetz usnutzen, z. B.: M M M ; llgemein: n n M Dzu muss mn die Mtrizenmultipliktion kennen: Multipliktion von Mtrizen Mit dem Schem von Flk lässt sich ds Mtrizenprodukt uf übersichtliche Weise berechnen. Dzu schreibt mn die beiden Mtrizen tbellenförmig wie unten hin. Jede gru unterlegte Zelle ist jetzt die Kreuzung von einer Zeile der ersten Mtri und einer Splte der zweiten Mtri. In die Zelle kommt ds Sklrprodukt dieser Zeile und Splte. 3 Beispiel: =? SIGURD FALK, Professor n der TH Brunschweig

4 Z. B. 8 = ; 9 = 6 ; 35 = Aus einem gegebenem Zustnd den vorherigen Zustnd ermitteln bzw. untersuchen, ob es einen eindeutigen vorherigen Zustnd gibt. Regel In der Gleichung M ist jetzt gegeben und gesucht Ein LGS us drei Gleichungen und drei Unbeknnten muss gelöst werden. Bechte Bei Austuschprozessen ergibt sich oft durch die Bedingung +y+z=c (Grundgesmtheit ist konstnt) bzw. +y+z=, flls,y und z Anteile sind, eine zusätzliche Gleichung, die zu einer eindeutigen Lösung führt. 4. Übergngsmtrizen für mehrere Perioden ermitteln; zyklisches/eponentielles Verhlten nchweisen Regeln Ist M die Übergngsmtri für eine Periode, so ist M k die Übergngsmtri für k Perioden. Spezielle Popultionsentwicklungen v v Mtrizen der Form U= oder U beschreiben einfche 3 Entwicklungen von Popultionen mit einer Vermehrungsrte v und Überlebensrten, ( 3 ). Jede Genertion ist nur von der Vorgängergenertion nhängig. Ds Übergngsdigrmm für den Fll dreier Entwicklungsstdien sieht dnn so us: v S S S 3 Die Übergngsquoten für mehrere Perioden erhält mn hier schneller durch einfche Multipliktion der Einzelquoten, insbesondere gilt für die Quote q von drei Perioden q= v. Somit vervielfcht sich der Bestnd lle 3 (4) Jhre mit dem Fktor v ( 3 v), d. h.: Es gibt einen Zyklus von 3 (4) Zeiteinheiten, flls v = ( 3 v =) gilt. Die Popultion wächst eponentiell mit dem Fktor v ( 3 v) flls v > ( 3 v > gilt. Die Popultion stirbt lngfristig us, flls v < ( 3 v < gilt

5 5. Auf Sttionäre Verteilung untersuchen Regeln Eine Verteilung heißt sttionär (stbil), wenn M = gilt. ( heißt dnn Fivektor.) Zur Ermittlung des Fivektors löst mn ds LGS us 3 Gleichungen mit 3 Unbeknnten. Bechte: Bei Austuschprozessen ist die Summe S der Teilnehmer des Austuschprozesses konstnt. erhält mn meist mit der zusätzlichen Gleichung +y+z= S eine eindeutige Lösung. Ist die Summe nicht beknnt, knn mn,y und z ls Anteile n der Gesmtsumme definieren und erhält einen eindeutige Lösung für die Anteile. Tet genu lesen, denn die Aufgbe, einen Fivektor zu ermitteln, ist oft nwendungsbezogen formuliert. Beispiele: Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung gibt, die im nchfolgenden Jhr wieder zu derselben Verteilung führt. Untersuche rechnerisch, ob es eine Gleichverteilung der 4 Mio. Wähler gibt, d.h. eine Verteilung, die nch einer Whl gleich bleibt. Bestimme lle Anfngsbestände v, die nch einem Mont unverändert bleiben. Ermittle, welches Wechselverhlten die Kundschft des Supermrktes B hätte, wenn von den Hushlten lngfristig 3 % bei A, 5 % bei B und % bei C einkuften, sofern ds Wechselverhlten der Kundschft von A und C unverändert bliebe. Begründen Sie, dss es keine stbile Strtpopultion geben knn. Für welchen Wert von gibt es eine Popultion, die sich jährlich wiederholt?. Beispiel: Whlverhlten von 4 Mio. Wählern und drei Prteien,y,z = Anzhl der Wähler der Prtei A, B, C.,4,,3 Gegebene Übergngsmtri: U=,3,5,,3,3,5 Bedingungen: U = +y+z=4 Koeffizientenmtri:,6,,3,3,5,,3,3,5 4 Lösung von I,II, und IV mit TR: = 7,5 y=7,875 z = 9; Kontrolle von III:,3 7,5+,3 7,875,5 9= (w) Wenn 7,5 Mio. Wähler Prtei A, 7,875 Mio. Wähler Prtei B und 9 Mio. Wähler Prtei C wählen, bleibt die Verteilung der Wähler unverändert. Lösung bei reltivem Anstz:,y,z = Anteil der Wähler der Prtei A, B, C.

6 Bedingungen: U = +y+z= Koeffizientenmtri: Lösung von I,II, und IV mit TR: = 9 64 Kontrolle von III:,3 9 +,3, y = 64 z = 3 8 ;,6,,3,3,5,,3,3,5 8 = (w) Wenn c. 3% der Wähler Prtei A, c. 33% der Wähler Prtei B und 37,5% der Wähler Prtei C wählen, bleibt die Verteilung der Wähler unverändert.. Beispiel 6 Popultionsmtri M = ; M = = y = z = 3 Es gibt bei dieser Popultion keine (sinnvolle) stbile Verteilung.

7 6. Inverse Problemstellungen Regeln Gibt es nicht. Rtschläge: Tet genu lesen. Anlysieren, welche Übergngsquoten geändert werden / unverändert bleiben und ggf. durch eine Vrible ersetzen. Anlysieren, welche Komponenten des Zustndsvektors sich ändern / unverändert bleiben und ggf. durch eine Vrible ersetzen. Anlysieren, welche Komponenten des Ergebnisvektors beknnt sind und welche mit einer Vriblen ngesetzt werden müssen. Änderungen m Übergngsgrphen verdeutlichen. Beispiel: (Schwrzwild) Bestimmen Sie eine Popultion, uf die der in Aufgbenteil d) beschriebene Bestnd durch Abschuss reduziert werden könnte, sodss im nächsten Jhr die Popultion wiederum nur uf insgesmt weibliche Tiere nwächst. Lssen Sie zehn lte Bchen und zehn Überläuferbchen m Leben.,59,76,9 Gegeben P,5, der Abschuss führt uf eine Verteilung von v und es ist,6,7,59 7,6,9,59 9, =. P v,5,5 = 3, 3, =,59+9,89+,5+3,=, = 67, 4,89.

8 Aufgbe Wolfspopultion Im Folgenden betrchten wir die Entwicklung von Wolfspopultionen. Dbei beschränken wir uns usschließlich uf die weiblichen Mitglieder einer Popultion, die us Welpen (w), jungen Fähen (j) sowie usgewchsenen Fähen () bestehen soll. Alle Fähen sind vermehrungsfähig. Die Welpen entwickeln sich ein Jhr nch der Geburt zu jungen Fähen und ein Jhr später zu usgewchsenen Fähen. Die Tbelle oben zeigt die Verteilung einer in der Wildnis lebenden Popultion für die Jhre 3 und 4. Modellhft lässt sich die Entwicklung mit der Mtri A (s. o.) beschreiben: ) () Begründen Sie mit den Dten us der Tbelle, dss b =,4 gilt. () Interpretieren Sie die weiteren von Null verschiedenen Einträge in der Mtri A im Schzusmmenhng. b) () Berechnen Sie die Verteilung, die nch diesem Modell im Jhr 5 zu erwrten ist. () Bestimmen Sie die Verteilung, die nch diesem Modell im Jhr vorgelegen hätte. (3) Ein Biologe behuptet, dss weniger ls 5 % ller Welpen mindestens ein Alter von drei Jhren erreichen. Prüfen Sie, ob nch der obigen Modellierung mit der Mtri A die Behuptung des Biologen zutrifft. c) Wölfe, die in einem Tierprk leben, hben ndere Überlebens- und Fortpflnzungsrten. Für einen Tierprk knn die Entwicklung seiner Wolfspopultion durch die Mtri B (s. o.) modelliert werden: () Beschreiben Sie im Schzusmmenhng die Einträge in der zweiten Splte der Mtri B im Vergleich zu den Einträgen in der zweiten Splte der Mtri A. () Wegen der räumlichen Beschränkung will die Tierprkleitung die Gesmtzhl der Wölfe konstnt hlten. Ds soll durch eine strikte Geburtenkontrolle gewährleistet werden. Zeigen Sie, dss eine nicht trivile sttionäre Verteilung eistiert, d. h. eine Verteilung, die sich innerhlb eines Jhres nicht ändert. (3) Ermitteln Sie die kleinstmögliche Gesmtpopultion mit sttionärer Verteilung, bei der lle Komponenten ntürliche Zhlen sind.

9 d) Für die Popultion in dem obigen Tierprk wird eine neue Modellierung gewählt: Die Entwicklungsstufe der Welpen wird mit der Überlebensrte von 8 % beibehlten, die Entwicklungsstufen der jungen Fähen und usgewchsenen Fähen werden zu einer Stufe zusmmengefsst. Die neue Modellierung soll durch die Mtri C mit g > und h < drgestellt werden. Die Popultion der Welpen und Fähen soll mit insgesmt 9 Tieren konstnt bleiben. () Zeigen Sie, dss in dem neuen Modell eine sttionäre Verteilung mit mehr ls Welpen nicht vorkommen knn. () Ermitteln Sie die Einträge g und h in der Mtri C so, dss sich eine sttionäre Verteilung mit 5 Welpen und 4 Fähen ergibt. (3) Mit den Werten us () ist C = (s. o.). Ein Tschenrechner liefert z. B. C 7 = (s. o.) Potenzen der Mtri C n streben mit wchsendem n gegen die Mtri G (s. o.) Mit Hilfe dieser Mtri G lässt sich die lngfristige Entwicklung einer Popultion ermitteln. Leider fllen in einem Jhr lle 5 Welpen der Popultion einer Infektionskrnkheit zum Opfer. Druf beschließt die die Tierprkleitung die Anschffung von vier zusätzlichen Fähen. Ermitteln Sie die lngfristige Entwicklung der Popultion. Lösung der Wolfsufgbe () Von 65 Welpen im Jhr 3 entwickeln sich im folgenden Jhr 6 zu jungen Fähen, lso ist b = 6:65 =,4. () Von den jungen Fähen erreichen 5 % ds dritte Lebensjhr und von den usgewchsenen Fähen erreichen 6 % ds nächste Lebensjhr. Eine junge Fähe bringt im Durchschnitt,5 Welpen zur Welt und eine usgewchsene Fähe durchschnittlich zwei Welpen. b) () Multipliktion A v = v ergibt: Im Jhr 5 sind 7 Welpen, junge Fähen und 3 usgewchsene Fähen zu erwrten. () Vorgängerverteilung: A v v mit A und v gegeben ergibt für eine Verteilung von Welpen, jungen und 5 usgewchsenen Fähen. (3) Von den Welpen überleben ds. Jhr 4%, dvon werden 5% im. Jhr zu usgewchsenen Fähen und von diesen überleben im 3. Jhr 6%. 6% von 5% von 4% =,6,5,4=, = % Dmit ergibt sich die Behuptung des Biologen us der Modellierung. c) () Die Überlebensrte für die jungen Fähen steigt von,5 uf,75 und ihre Fortpflnzungsrte fällt von,5 uf., w w j, w w j, (I) (),8 j = j,8w j,8w j (II) ;,75,7,75j,7,75j,3 (III) TR zeigt Error n unendlich viele Lösungen, d w=j== eine Lösung ist. D lle Lösungen Vielfche voneinnder sind, wählt mn für eine Vrible eine beliebige Anzhl, z. B. (günstig für (II)) w = j = 8 =; Alle Vielfchen 8 sind stbile Vertei- lungen. (3) Die kleinstmögliche Popultion besteht us 5 w, 4 j und. d) () Bei Welpen und 8 Fähen müsste gelten: g,8 h 8 8 g =,375 h = -,. Eine Übergngsquote knn ber nicht negtiv sein. 8g= 8,8+8h=8

10 g 5 5 () 4g=5 4+4h=4 g = 5/4 h = 5/7,8 h (3) Neue Anfngsverteilung: Welpen und 8 Fähen. G = 8 4 Lngfristig stellt sich wieder sttionäre Verteilung von 5 Welpen und 4 Fähen ein.

11 Aufgbe 4 Bei einer Säugetierrt können die jährlichen Änderungen in einer us drei Alterstufen A, A und A3 bestehenden Popultion durch die folgende Übergngsmtri beschrieben werden: A = v mit v > ; < ; < (v: Vermehrungsrte,, Überlebensrten) ) Zeichnen Sie den Übergngsgrphen. b) Bestimmen Sie, und v so, dss sich die Popultion mit der Strtverteilung von Tieren in A, 5 Tieren in A und Tieren in A3 nch zwei Jhren reproduziert. c) Gibt es Werte für, und v, so dss sich eine beliebige Strtverteilung nch jeweils drei Jhren reproduziert? Lösung Aufgbe 4 ) v A A A3 b) Berechnung von A : v v v v Es muss gelten: A s s v mit s 5 v 5 5 Also: 5v () v 5 () (3) Drus ergibt sich: v ; ; 5 c) Berechnung von A 3 :

12 v v v v v v A A A 3 Für einen Zyklus von drei Jhren muss gelten: v. Dies ist z.b. uch für die in b) berechneten Werte erfüllt. Aufgbe 5 Die Popultionsentwicklung einer Tierrt wird durch die Mtri T =,5 4 beschrieben. ) Zeichnen Sie den Übergngsgrphen und beschreiben Sie diesen Grphen us biologischer Sicht. (vgl. Aufgbe 4) b) Für welchen Wert von gibt es eine Popultion, die sich jährlich wiederholt? Bestimmen Sie die Altersverteilung in dieser sttionären Popultion, wenn sie insgesmt 6 Tiere umfsst. Lösung Aufgbe 5 ) 4,5 Die Popultion bei dieser Tierrt wird in drei Altersstufen A (Jungtiere), A (usgewchsene Tiere) und A3 (Alttiere) eingeteilt. Im Gegenstz zu Aufgbe 4 sind hierbei sowohl die usgewchsenen Tiere ls uch die Alttiere fortpflnzungsfähig. b) Für eine sttionäre Popultion muss gelten: T ; zusätzlich gilt = 6 3 3,5 4 bzw., = 6 A3 A A

13 Mit TR löst mn die Gleichungen I, II und IV: =6 =8 3 = Einsetzen in III ergibt = 4. Aufgbe 6 Über die Popultion fiktiver Käfer sei folgendes beknnt: Die Hälfte ller neugeborenen Käfer überlebt den ersten Lebensmont, ein Drittel ller einmontigen Käfer überlebt den zweiten Mont und kein Käfer wird älter ls drei Monte (es gibt lso nur null, ein- und zweimontige Käfer). Nullmontige und einmontige Käfer hben keine Nchkommen, zweimontige Käfer hben im Mittel 5 Nchkommen. ) Zeichnen Sie den Übergngsgrphen und stellen Sie die Übergngsmtri U uf. b) Berechnen Sie die Mtrizenpotenz U 3 und begründen Sie dmit, dss es keine stbile Strtpopultion geben knn. c) Bestätigen Sie dies, indem Sie zeigen, dss U nur die trivile Lösung ht. Lösung Aufgbe 6 ) 5 O 3 Übergngsmtri: U = 3 5 b) U 6 5 3, U U U Die Übergngsquoten für drei Monte sind für lle drei Zustände: 3 5 = 5 6 Dies bedeutet, dss jede beliebige Popultion nch drei Monten um 6 Es knn dher keine stbile Popultion geben. bgenommen ht.

14 c) Für eine stbile Popultion müsste gelten: U TR: = = 3 = (trivile Lösung; keine sinnvolle Lösung im Schzusmmenhng.)

15 Schwrzwild Ds Schwrzwild ist in vielen Teilen Europs seit gerumer Zeit uf dem Vormrsch und es häufen sich lndwirtschftliche Schäden. Verurscht wird dieses enorme Wchstum durch die hohe Fortpflnzungsleistung dieser Art. Unter günstigen Bedingungen, d. h. bei gutem Futterngebot, gebären beim Schwrzwild bereits die Frischlinge (Wildschweine im ersten Lebensjhr) zu einem hohen Anteil. Zusätzlich verringert sich ihre Sterblichkeit über die Wintermonte, und uch die Fruchtbrkeit der reifen Bchen (weibliche Wildschweine, älter ls zwei Jhre) steigt. An diesem Punkt kommt der Mensch ins Spiel: Vor llem durch die Lndwirtschft, ber uch durch flsche Fütterung, werden ungewollt Nhrungsquellen für ds Schwrzwild verfügbr gemcht. Dmit kommt es zwngsläufig zu einem drmtischen Anwchsen der Bestände. In dieser Aufgbe werden nur weibliche Wildschweine betrchtet. Diese werden in drei Altersklssen eingeteilt. F: Frischlinge (höchstens ein Jhr lt) U: Überläuferbchen (älter ls ein Jhr bis miml zwei Jhre lt) B: reife Bchen (älter ls zwei Jhre) F Eine Popultion weiblicher Wildschweine wird durch einen Popultionsvektor U B beschrieben. ) Für eine Popultion gilt: Die jährliche Geburtenrte bei Frischlingen beträgt,3, bei Überläuferbchen,56 und bei reifen Bchen,64. Von den Frischlingen überleben jährlich 5 %, von den Überläuferbchen 56 % und von den reifen Bchen 58 %. Stellen Sie in einem Übergngsgrphen die Entwicklung dieser Popultion dr. b) Entscheiden Sie, welche der Mtrizen A, B, C die in ) drgestellte Entwicklung des Schwrzwildes beschreibt.,5 A,56,58,3,56,64, B=,3,56,64,5,56,58, C=,3,56,64,56,58,5 Begründen Sie uch für die beiden nderen Mtrizen, wrum sie zur Modellierung hier nicht geeignet sind.

16 Zentrle schriftliche Abi- Linere Algebr / Anlytische Geometrie uf grundlegendem Niveu turprüfungen im Fch Mthemtik Die Werte us ) beruhen uf Untersuchungen von Schwrzwild, ds unter ungünstigen Bedingungen lebt. Die Winter sind lng und streng, nicht immer ist genug Futter vorhnden. Die folgenden Mtrizen P und Q hingegen beschreiben die Entwicklung von Wildschweinpopultionen unter gemäßigten bzw. guten Lebensbedingungen.,59,76,9 P,5,6,7, Q =,6,94,93,33,4,66 c) Entscheiden Sie, welcher der beiden Mtrizen P oder Q gemäßigte Lebensbedingungen für Wildschweine und welcher gute Lebensbedingungen für Wildschweine zugrunde liegen. Die folgenden Aufgbenteile d) bis h) beziehen sich uf die Mtri P. d) Eine weibliche Wildschweinpopultion setzt sich zum Untersuchungszeitpunkt us 6 Frischlingen, 3 Überläuferbchen und 7 reifen Bchen zusmmen. Berechnen Sie mit Hilfe der Popultionsmtri P die Popultion nch einem Jhr und us diesem Ergebnis die Popultion nch einem weiteren Jhr unter den gleichen Lebensbedingungen. e) Berechnen Sie P und runden Sie die Elemente dieser Mtri uf zwei Nchkommstellen. Bestätigen Sie durch Nchrechnen, dss mn uch mit Hilfe von P den Wildschweinbestnd us Aufgbenteil d) nch zwei Jhren bestimmen knn. f) Begründen Sie llein im Schkontet und unbhängig von der Rechnung in e), wrum P keine Null enthlten drf. g) Der Bestnd nch Jhren knn mit Hilfe der Mtri P bestimmt werden. Für die. Potenz der Mtri P gilt: 6 5 P Bestätigen Sie, dss bei ungestörtem Wchstum unter gleich bleibenden Lebensbedingungen die Ausgngspopultion von Wildschweinen (s. Aufgbenteil d)) nch Jhren uf mehr ls 3 5 Tiere nwächst. Auch ohne menschliche Eingriffe sind gleich bleibende Lebensbedingungen über Jhre hinweg unrelistisch; ds Schwrzwild könnte sich wegen der Futter- und Rumnot nicht ungehindert vermehren. Trotzdem würden die Bestände zunächst drmtisch wchsen. Um die Popultionen konstnt zu hlten, werden Wildschweine von den Jgdpächtern geschossen. Zu bechten ist dbei, dss reife Bchen in der Sozilstruktur von Wildschweingruppen eine wichtige Rolle spielen. Ohne sie würden hernwchsende Frischlinge usrsten. h) Bestimmen Sie eine Popultion, uf die der in Aufgbenteil d) beschriebene Bestnd durch Abschuss reduziert werden könnte, sodss im nächsten Jhr die Popultion wiederum nur uf insgesmt weibliche Tiere nwächst. Lssen Sie zehn lte Bchen und zehn Überläuferbchen m Leben. P

17 M GK HT 5 8 Viele Insektenrten vermehren sich nicht nur durch befruchtete Eier, sondern uch durch unbefruchtete Eier. Unter Lborbedingungen entwickelt sich die Popultion einer solchen Insektenrt nch einem strk vereinfchten Modell in drei Entwicklungsstufen. Dbei schlüpfen us Eiern (E) nch einer Woche Insekten der ersten Entwicklungsstufe (I ), die nch einer Woche unbefruchtete Eier legen und sich in voll usgebildete Insekten ( I ) verwndeln. Diese legen nch einer weiteren Woche befruchtete Eier und sterben dnch. Gezählt werden neben den Eiern jeweils nur die weiblichen Insekten. Die wöchentliche Entwicklung der Popultion knn durch den bgebildeten Übergngsgrphen beschrieben werden. ) Begründen Sie, dss die in dem Übergngsgrphen drgestellte Popultionsentwicklung durch b die Übergngsmtri Ü,,b,4 ngegeben wird, und erklären Sie die Bedeutung der Prmeter und b. (8 Punkte) b) Ein Lborversuch wird mit Eiern, ber ohne Insekten der Entwicklungsstufen I und I gestrtet. Außerdem gelte = und b = 5. Geben Sie die spezielle Übergngsmtri n und untersuchen Sie die Entwicklung der Popultion für die folgenden drei Wochen. c) Nch vier Wochen besteht die in Teilufgbe b) beobchtete Popultion us Eiern, Insekten der Entwicklungsstufe I und 4 Insekten der Entwicklungsstufe I. Durch einen einmligen Pestizideinstz werden 6 % der Eier und 6 % der Insekten jeder der beiden Entwicklungsstufen I und I vernichtet. Zudem geht den Insekten der beobchteten Popultion duerhft die Fähigkeit verloren, uf der Entwicklungsstufe I unbefruchtete Eier zu legen. Geben Sie die zugehörige Übergngsmtri n. Prüfen Sie, ob die so geschwächte Popultion uf lnge Sicht überlebensfähig ist. ( Punkte) d) Im Lbor wurden die Insekten nderen klimtischen Bedingungen usgesetzt. Ddurch veränderte sich der Wert des Prmeters so, dss us einer Popultion von Eiern, Insekten der Entwicklungsstufe I und Insekten der Entwicklungsstufe I nch zwei Wochen 3 Eier, 6 Insekten der Entwicklungsstufe I und 8 Insekten der Entwicklungsstufe I entstnden. Bestimmen Sie unter der Vorussetzung, dss b= 5 immer noch gültig ist, den neuen Wert des Prmeters. ( Punkte) e)ermitteln Sie die lngfristige Entwicklung der Anfngspopultion(z. B. nch 4 Wochen) us Teilufgbe b) unter der Vorussetzung, dss die Überlebens- und Vermehrungsverhältnisse duernd durch die Übergngsmtri Ü,b us Teilufgbe ) mit = und b=5 gegeben sind. ( Punkte)

18 Lösungen ) Die Beschreibung entspricht dem im Übergngsgrphen drgestellten Schverhlt: Eier können sich nur zu I entwickeln, die Überlebensrte von % findet sich in,. I überleben zu 4% ( 3 ). Die Prmeter bzw. b geben die Erzeugungsrten von Eiern durch Insekten der Entwicklungsstufe I bzw. I n. 5 b) Ü, ; Ü ; Es gibt nur Insekten der Stufe I.,4 Entsprechend: E und 4 I nch Wochen und E und I nch drei Wochen. c) Die Popultion ist nicht überlebensfähig: Produkt us Erzeugungsrte und Überlebensrten ergibt: 5,,4=,<. 5 3 Ü, ; Ü neu = ; Ü neu = = 6 = 6, Ü ;5 =,,5 ; (Ü ;5 ) 4 E E 4II I =, E I,5 I,4,8 I,4 E,8I Die Popultion besteht jetzt us,6 E+5,8 I +,5I. Alle Stufen sind größer geworden, (mindestens 6%); lngfristig wächst die Popultion über lle Grenzen. d) neu e) (Ü ;5 ) 4 =