1. Ellipsen in der Koordinatenebene

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1 Korrespondenzzirkel Klsse 8/9 Brief Oktober 2009 Diesml wollen wir uns zum Them Ellipsen uf einen Ausflug in die Geometrie begeben: Ellipsen lssen sich uf verschiedene Arten definieren. In diesem Brief wollen wir einen kurzen Überblick über die gängigsten Definitionen geben und deren Äquivlenz zeigen. Im Kpitel 1 werden wir dzu Ellipsen ls spezielle Kurven in der Ebene betrchten und ihre Eigenschften mit verschiedenen Methoden der nlytischen Geometrie und der klssischen euklidischen Geometrie untersuchen. Im Kpitel 2 dnn liegen unsere Ellipsen im Rum. Ds mcht die Sche zunächst schwieriger, so brucht mn nun sttt eines zweidimensionlen Koordintensystems ein dreidimensionles, erlubt dfür ber einige sehr elegnte neue Ansätze. Inge Hchtel, Dr. Dniel Herden 1. Ellipsen in der Koordintenebene In diesem Kpitel werden wir Ellipsen zunächst ls spezielle Kurven im Koordintensystem einführen und drus einige Folgerungen bleiten. Definition 1: Ellipsen ls gestuchte/gestreckte Kreise x y b b ' k k Mn zeichne im Achsenkreuz einen Kreis k um den Nullpunkt mit Rdius. Für lle unkte (x, y) uf dem Kreis gilt dnn nch Stz des ythgors die Kreisgleichung x 2 + y 2 = 2. Es sei nun b eine weitere positive reelle Zhl. Für jeden Kreispunkt (x, y) wird die y- Koordinte um dem Fktor b/ 1 gestucht (für b > spricht mn von gestreckt ). Aus (x, y) entsteht uf diese Weise der Bildpunkt (x, b/ y). Die Kurve, die von llen so gewonnenen unkten gebildet wird, bezeichnet mn ls eine Ellipse, genuer: Es ist die Ellipse, die us dem Kreis k durch Stuchung (für b > spricht mn von Streckung ) prllel zur y-achse um dem Fktor b/ entsteht. Ellipsen knn mn lso ls Bilder von Kreisen unter geometrischen Abbildungen uffssen, die ls rllelstreckungen/-stuchungen beknnt sind. Erste Beobchtungen zur Ellipse: Kreise sind selbst Ellipsen ( = b). Offensichtlich sind die x- und die y-achse Symmetriechsen unserer konstruierten Ellipse und sie ist punktsymmetrisch mit dem Symmetriezentrum M(0, 0), dem Mittelpunkt der Ellipse. Für jeden unkt der Ellipse liegt lso sein Spiegelbild Q bei unktspiegelung n M wieder uf der Ellipse und die Strecke Q bildet einen Durchmesser, wobei die Ellipse us der x-achse den längsten Durchmesser (Länge 2) und us der y-achse den kürzesten Durchmesser (Länge 2b) usschneidet. Mn nennt dher uch die große Hlbchse und b die kleine Hlbchse der Ellipse. 1

2 Begründung: Die Länge des Durchmessers ist durch Q = 2 M gegeben, wobei für M 2 die Abschätzung b 2 = ( ) b 2 2 = und somit b M gilt. ( ) b 2 (x 2 + y 2 ) x 2 + ( ) b 2 y 2 = M 2 x 2 + y 2 = 2 Im nchfolgenden Abschnitt Gärtnerkonstruktion findest Du einen weiteren sehr elegnten Beweis für diesen Zusmmenhng. Definition 1: Die Bilder von Kreisen unter rllelstreckungen/-stuchungen sind Ellipsen. Definition 2: Ellipsen und die Gärtnerkonstruktion Möchte ein Gärtner ein Blumenbeet nlegen, welches die Form einer Ellipse ht, knn er folgendermßen vorgehen: Er schlägt zunächst zwei flöcke im Abstnd von z.b. 2 Metern in den Boden und bindet n die flöcke die beiden Enden einer z.b. 7 Meter lngen Schnur. Mit einem dritten flock, den wir F 1 e e F 2 nennen, spnnt er nschließend diese Schnur, wie es die Abbildung zeigt, und mrkiert mit einen unkt im Boden. Alle unkt, die sich so mit Hilfe der gespnnten Schnur mrkieren lssen, liegen uf einer Kurve, die, wie wir sehen werden, eine Ellipse ist. Wir bezeichnen dzu die beiden flöcke llgemein mit F 1 und F 2, ihren Abstnd mit 2e und die Länge der Schnur mit 2s. Definition 2: Gegeben seien positive reelle Zhlen e < s und zwei unkte F 1, F 2 der Ebene mit F 1 F 2 = 2e. Der Ort ller unkte der Ebene mit F 1 + F 2 = 2s ist dnn eine Ellipse. In Worten: Die Menge der unkte, für die die Summe der Abstände von zwei festen unkten konstnt ist, bildet eine Ellipse. Mn muss sich nun dvon überzeugen, dss die Definitionen 1 und 2 der Ellipse übereinstimmen. Den Beweis hierfür sollst Du Dir in Einsendeufgbe 3 selbständig errbeiten. Die in Definition 2 beschriebene Ellipsenkonstruktion ist uch ls Gärtnerkonstruktion beknnt und liefert eine elegnte und schnelle Methode, Ellipsen mit Hilfe zweier Reisszwecken und eines Fdens zu konstruieren. Die beiden unkte F 1 und F 2 (F für lt. focus ) bezeichnet mn dbei ls die Brennpunkte und e ls die linere Exzentrizität der Ellipse. Die Ellipse mit den Brennpunkten F 1 und F 2 ist nch Konstruktion punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M der Strecke F 1 F 2, dem Mittelpunkt der Ellipse. Außerdem liegen F 1 und F 2 uf dem längsten Durchmesser der Ellipse, wie die folgende einfche Überlegung zeigt: Sei ein beliebiger unkt uf der Ellipse. Sein Spiegelpunkt Q n M liegt dnn ebenflls uf der Ellipse. Wendet mn nun Q im rllelogrmm F 1 QF 2 die Dreiecksungleichung n, so ergibt sich die Abschätzung Q F 2 + F 2 Q = F 2 + F 1 = 2s. Den längsten Durchmesser erhält mn bei Gleichheit in dieser Abschätzung, ws genu dnn der Fll ist, wenn uf der Gerden F 1 F 2 liegt. F M F 1 2 Aus der rxis: Die lneten bewegen sich um die Sonne uf elliptischen Bhnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne liegt. Dieser Zusmmenhng wurde erstmls von Johnnes Kepler ( ) entdeckt und von Isk Newton ( ) über die wirkenden Grvittionskräfte begründet. 2

3 2. Ellipsen im Rum In diesem Kpitel werden wir Ellipsen ls ebene Schnittflächen von Zylindern und Kegeln kennenlernen. Dies erlubt nebenbei einen zweiten Beweis der Äquivlenz von Definition 1 und 2. Die Überlegungen in diesem Kpitel erfordern ein solides räumliches Vorstellungsvermögen und wir hoffen ntürlich, dss Du diese Herusforderung meistern wirst. Sollten dennoch Verständnisschwierigkeiten uftreten, knnst Du notflls den Anfng dieses Kpitels uslssen und direkt zum Abschnitt Ellipsen und die Dndelinschen Kugeln wechseln, ds Einsendeufgbe 5 vorbereitet. Definition 3: Ellipsen ls Zylinderschnitte Schneidet mn einen Zylinder mit einer Ebene E, die nicht prllel zur Achse des Zylinders ist, so ist die Schnittfläche eine Ellipse im Sinne der Definition 1. Wir wollen in diesem Abschnitt zwei verschiedene Beweise für diesen Zusmmenhng vorstellen. Wir strten mit einigen vorbereitenden Überlegungen und Bezeichnungen: Zunächst führen wir wie in der linken Abbildung weiter unten drgestellt ein dreidimensionles Achsenkreuz ein, so dss die x-achse nch rechts, die y-achse nch hinten und die z-achse nch oben zeigt. Die z-achse soll drüberhinus mit der Achse des Zylinders zusmmenfllen und wird von der Ebene E im unkt O geschnitten. Der Zylinderquerschnitt, der den unkt O enthält, hbe mit der Ebene E die gemeinsme Schnittgerde u. Diese Gerde u steht nun uf der z-achse unseres dreidimensionlen Achsenkreuzes senkrecht und wir können ohne Einschränkung die x-achse des Koordintensystems so usrichten, dss sie zu u prllel ist. Wir benutzen zusätzlich ein zweites Achsenkreuz: Es ist zweidimensionl, liegt in der Ebene E und ht die Gerde u ls Koordintenchse mit Koordintenursprung O. Die v-achse steht in O uf u senkrecht und schneidet den Mntel des Zylinders im unkt U. Die u- und v-achsen des neuen Koordintensystems gehen dnn bei senkrechter rojektion in die x- und y-achsen unseres räumlichen Koordintensystems über, und ist der Grundkreisrdius unseres Zylinders, so schneidet der Zylinder us der u-achse einen Durchmesser der Länge 2 und us der v-achse eine Strecke der Länge 2b ( b) us. z v z v O U b R T Q S u O,Q α u S Schnittebene U h T α x y Es sei nun ein beliebiger unkt der Schnittkurve des Zylinders mit der Ebene E. Die unkte S und T sind die Bilder von und U bei senkrechter rojektion uf den Zylinderquerschnitt durch O. Weiter ist Q der Schnittpunkt von u mit der Ebene E, die prllel zur yz-ebene durch den unkt verläuft. Die soeben konstruierten unkte sind in der mittleren Abbildung drgestellt, während 3

4 ds rechte Bild einen schemtischen Blick von der Seite uf den Zylinder und die Schnittebene zeigt. Dbei ht der Betrchter sich die Schnittebene ls senkrecht uf der Bildebene stehend vorzustellen, so dss mn ttsächlich nur eine Gerde sieht. Auch die x- und die u-achse rgen senkrecht us der Bildebene hervor. Bechte bei dieser Drstellung ußerdem, dss ds Dreieck OT U zur yz-ebene Ebene, ds Dreieck QS jedoch zur Ebene E gehört, wobei diese beiden Ebenen verschieden tief im Rum liegen. 1. Beweis (Ähnliche Dreiecke): Ds Dreieck OT U ist nun rechtwinklig mit der Hypotenusenlänge OT = und der Kthetenlänge OU = b. Desweiteren ist nch Konstruktion UT O = SQ = 90 und T OU = SQ = α der gemeinsme Schnittwinkel der Ebene E mit der xy-ebene, womit die Dreiecke OT U und QS ähnlich sind. Es gilt insbesondere Q QS = OU OT = b. (2.1) Bezeichnet weiter R in der Ebene E denjenigen Schnittpunkt der Gerden Q mit dem Kreis k um O mit Rdius, der im selben Qudrnten des Koordintensystems liegt wie, folgt Q = b QS = b QR. (2.2) Dies beweist, dss die Schnittkurve us dem Kreis k durch eine Streckung prllel zur v-achse um den Fktor b/ entsteht und somit eine Ellipse im Sinne der Definition 1 ist. 2. Beweis (ythgors): Wir betrchten zunächst ein zweidimensionles Achsenkreuz mit einer x- und einer y-achse und die Gerde g mit der Steigung m > 0 und der Gerdengleichung y = m x. Jedem unkt S(s, 0) uf der x-achse lässt sich dnn der unkt S (s, ms) uf der Gerden g zuordnen. Ist d der Abstnd des unktes S vom Ursprung, so gilt d 2 = s 2 + (ms) 2 = (1 + m 2 ) s 2 und d = 1 + m 2 s. (2.3) Ist α der Winkel, den g mit der x-achse bildet, so erhält mn S, indem mn S zuerst vom Ursprung us entlng der x-achse mit dem Fktor 1 + m 2 streckt und nschließend m Ursprung um den Winkel α dreht. y d α s S' ms S g y = mx Wir kehren zu unserem Zylinder und dem dreidimensionlen Koordintensystem zurück und nehmen im folgenden ohne Einschränkung n, dss die x-achse unseres räumlichen Koordintensystems mit der Gerden u zusmmenfällt. Es ist dnn O(0, 0, 0) der Koordintenursprung und die unkte S und T liegen in der xy-ebene. Wir können jetzt für die yz-ebene dieselben Betrchtungen nstellen wie oben für die xy-ebene des zweidimensionlen Achsenkreuzes: Die unkte O, U und T liegen in der yz-ebene. Ist nun der unkt U durch die Koordinten U(0,, h) mit h = T U > 0 gegeben, so wird die Schnittgerde der yz-ebene mit der Ebene E durch z = h y und x = 0 (2.4) beschrieben. Bezeichnen wir mit α den Schnittwinkel der Ebene E mit der xy-ebene und setzen m := h/, so entsteht U us T, indem mn T in der yz-ebene erst entlng der y-achse mit dem Fktor 1 + m 2 streckt und nschließend m unkt O um den Winkel α dreht. Entsprechendes gilt nicht nur für unkte uf der Gerden OU, sondern für lle unkte der Ebene E. Insbesondere entsteht der unkt us dem unkt S, indem mn S zunächst in der xy-ebene prllel zur y-achse mit dem Fktor 1 + m 2 streckt und nschließend um die x-achse um den Winkel α dreht. Und die gesmte Schnittkurve des Zylinders mit der Ebene E entsteht us dem kreisförmigen Zylinderquerschnitt mit der xy-ebene durch eine rllelstreckung mit dem Fktor x 4

5 1 + m 2 prllel zur y-achse und eine nschließende Drehung um die x-achse, ist lso eine Ellipse im Sinne der Definition 1. D sich umgekehrt uch ttsächlich jede Ellipse im Sinne der Definition 1 leicht ls Schnitt einer Ebene mit einem geeignet gewählten Zylinder erzeugen lässt, formulieren wir Definition 3: Zylinderschnitte sind Ellipsen. Aus der rxis: Schneidet mn von einer zylinderförmigen Wurst ebene Wurstscheiben b, so sind die entstehenden Schnittflächen Ellipsen. Unter der Sonne wirft ein hüpfender Bll uf ebenen Bodenflächen elliptische Schtten. Die Ursche hierfür liegt drin begründet, dss Sonnenstrhlen (nnähernd) prllel sind und ddurch eine rllelstreckung simulieren. Der Schtten des Blls ergibt sich nun durch rllelstreckung us einem kreisförmigen Querschnitt des Blls, ist lso eine Ellipse. Ellipsen und die Dndelinschen Kugeln In diesem Abschnitt werden wir einen dritten Beweis dfür geben, dss Zylinderschnitte Ellipsen sind, indem wir diesml die Äquivlenz der Definitionen 2 und 3 nchweisen. Vorbereitend stellen wir uns zunächst vor, dss sowohl von oben ls uch von unten in den Zylinder pssgenu je eine Kugel derrt eingefügt wird, dss beide Kugeln die Schnittebene berühren. Diese Berührungspunkte werden mit F 1 und F 2 bezeichnet. Ds folgende Bild zeigt hierzu wieder einen schemtischen Blick von der Seite uf den Zylinder und die Schnittebene, wobei M 1 und M 2 die Mittelpunkte der eingepssten Kugeln k 1 und k 2 bezeichnen und ein beliebiger unkt uf dem Rnd der gemeinsmen Schnittfläche von Ebene und Zylinder ist. Desweiteren ist R 1 R 2 die Mntellinie des Zylinders durch den unkt, wobei R 1 zusätzlich uf k 1 und R 2 zusätzlich uf k 2 liegen soll. Bechte, dss uch hier die unkte F 1, F 2, M 1, M 2,, R 1 und R 2 nicht in einer Ebene liegen, wie es ds Bild vielleicht suggeriert, sondern vielmehr verschieden tief im Rum. Es lässt sich nun zeigen, dss die Summe F 1 + F 2 konstnt ist, dss die unkte uf dem Rnd der Schnittfläche lso eine Ellipse mit den Brennpunkten F 1 und F 2 bilden. Diesen Beweis sollst Du in der Einsendeufgbe 5 selbständig führen. (Umgekehrt knn mn sich uch leicht dvon überzeugen, dss jede Ellipse im Sinne von Definition 2 ls Schnitt einer Ebene mit einem Zylinder erzeugt werden knn!) Die eingepssten Kugeln k 1 und k 2 heißen Dndelinsche Kugeln, bennnt nch ihrem Erfinder G. ierre Dndelin ( ). F 2 R 1 R 2 M 1 M 2 k 1 k 2 F 1 Schnittebene 5

6 Definition 4: Ellipsen ls Kegelschnitte Wir schneiden diesml einen Kegel. Die Schnittebene soll dbei so gewählt sein, dss die sich ergebende Schnittfläche räumlich begrenzt ist. Auch hier lässt sich wieder Dndelins Kugeltrick nwenden, worus folgt, dss die sich ergebende Schnittfläche der Gärtnerkonstruktion genügt und somit eine Ellipse sein muss. (Mch dir Dndelins Gednkengng m nebenstehenden Bild nochml klr!) Definition 4: Räumlich begrenzte Kegelschnitte sind Ellipsen. Bechte, dss es uch Schnitte durch einen Kegel gibt, bei denen die Schnittfläche nicht räumlich begrenzt ist (z.b. bei einem Schnitt prllel zu einer Mntellinie). Die dbei entstehenden Schnittflächen hben ebenflls eine wichtige Bedeutung in Mthemtik und hysik und sind ls rbeln und Hyperbeln beknnt. Aus der rxis: Schneidet mn die Spitze eines Eishörnchens b, so ist die entstehende Schnittfläche eine Ellipse. 3. Die Einsendeufgben Wir hben 4 verschiedene Definitionen der Ellipse kennen gelernt. Definition 1: Gestuchte und gestreckte Kreise sind Ellipsen. (3.1) Definition 2: Die Menge der unkte, für die die Summe der Abstände von zwei festen unkten konstnt ist, bildet eine Ellipse. (3.2) Definition 3: Zylinderschnitte sind Ellipsen. (3.3) Definition 4: Räumlich begrenzte Kegelschnitte sind Ellipsen. (3.4) In einer vollständigen Abhndlung über Ellipsen müsste die Äquivlenz dieser vier Definitionen bewiesen werden. Diese Äquivlenz ist ds Huptthem der gestellten Aufgben. Aufgbe 1 ht nur die erste Definition zum Inhlt. Es soll bewiesen werden, dss us ihr die llgemeine Ellipsengleichung (3.5) folgt. Du drfst hier deshlb nur Definition 1 benutzen! In Aufgbe 3 wird gezeigt, dss us der Ellipsengleichung (3.5) die Eigenschft (3.2) folgt. Zusmmen mit Aufgbe 1 bedeutet ds: Aus (3.1) folgt (3.2). Der Versuch dies zu beweisen wird Dich vermutlich zu umfngreichen komplizierten Rechnungen mit Wurzeln führen. Wenn ds zu schwierig wird, lss diesen Aufgbenteil weg! Aufgbe 2 zeigt ebenflls Zusmmenhänge zwischen den Definitionen uf. Wie knn ich us den in Definition 2 benutzten Größen e und s die in Definition 1 benutzten Größen und b berechnen und wie bestimmen umgekehrt und b die Größen e und s? Wie finde ich die beiden Brennpunkte, wenn ich und b kenne? Überlege Dir folgendes: Wenn Du diese Zusmmenhänge gefunden hst, knnst Du dnn uch beweisen, dss (3.1) us (3.2) folgt? In Aufgbe 4 werden weitere Eigenschften der Ellipse gezeigt und Möglichkeiten gefunden, wie mn Ellipsen konstruieren knn. Aufgbe 5 ht Ellipsen im Rum zum Them. Es soll gezeigt werden, dss us Definition (3.3) die Eigenschft (3.2) folgt. 6

7 Einsendeufgbe 1 ) Zur Definition 1: Zeichne den Kreis mit der Kreisgleichung x 2 + y 2 = 25. Führe die Stuchung prllel zur y-achse durch, bei der eine Ellipse mit den Hlbchsen = 5 und b = 3 entsteht. Konstruiere einige Ellipsenpunkte. b) Beweise, dss für die unkte (x, y) uf der in ) konstruierten Ellipse die Gleichung ( x 5 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 1 gilt. c) Zeige llgemein, dss die Gleichung ( x ) 2 ( y ) 2 + = 1 (3.5) b eine Ellipse mit den Hlbchsen und b beschreibt. Einsendeufgbe 2 ) Zur Definition 2: Führe die Gärtnerkonstruktion für eine Ellipse mit e = 4 und s = 9 us. b) Eine Ellipse sei durch die Gleichung F 1 + F 2 = 2s gegeben. Zeige, dss dnn für lle unkt Q innerhlb der Ellipse QF 1 + QF 2 < 2s und für lle unkte R ußerhlb der Ellipse RF 1 + RF 2 > 2s gilt. c) Bestimme e und s für die in Aufgbe 1) gegebene Ellipse, sowie und b für die in 2) gegebene Ellipse. Beweise, dss zwischen den Größen, b, e und s die llgemeinen Zusmmenhänge s = und s 2 = e 2 + b 2 gelten. Einsendeufgbe 3 Wir betrchten für positive Zhlen > b die durch Gleichung (3.5) gegebene Ellipse, sowie die beiden unkte F 1 ( 2 b 2, 0) und F 2 ( 2 b 2, 0). Berechne mit dem Stz des ythgors für jeden unkt der Ellipse die Streckenlängen F 1 und F 2, und beweise F 1 + F 2 = 2. (3.6) Hinweis: Dieser Beweis ist sehr nspruchsvoll. Flls Du nicht über usreichend Übung im Umgng mit Wurzelgleichungen verfügst, solltest Du ihn uslssen. Bestimme stttdessen e und s für die durch Gleichung (3.6) gegebene Ellipse und vergleiche Deine Resultte mit Aufgbe 2c). Einsendeufgbe 4 (Tngenten und die Leitkreiskonstruktion) ) Den Kreis um F 1 mit dem Rdius 2s bezeichnet mn ls einen Leitkreis der Ellipse. Zeichne den Leitkreis für die Ellipse us Aufgbe 2). Wähle einen unkt Q uf dem Leitkreis. Verbinde Q mit F 2 und konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke F 2 Q. Der gemeinsme Schnittpunkt von F 1 Q mit dieser Mittelsenkrechten sei. Beweise, dss der so konstruierte unkt uf der Ellipse liegt. b) Beweise ußerdem, dss die Mittelsenkrechte von F 2 Q mit der Ellipse nur den unkt gemeinsm ht, lso eine Tngente der Ellipse ist. Zeige uch, dss die Senkrechte uf dieser Tngenten im unkt den Winkel F 1 F 2 hlbiert. c) Es sei ABC ein spitzwinkliges, nicht gleichseitiges Dreieck mit Höhenschnittpunkt H und Umkreismittelpunkt U. Beweise, dss eine Ellipse mit den Brennpunkten H und U existiert, die lle Seiten des Dreiecks berührt (d.h. ls Tngenten ht). 7

8 Einsendeufgbe 5 Beweise, dss für die uf Seite 5 definierten unkte, F 1 und F 2 gilt: Die Summe der Abstände F 1 + F 2 ist unbhängig von der Whl des unktes uf dem Rnd der gemeinsmen Schnittfläche von Ebene und Zylinder. Einsendeschluss (für Aufgbe 1 bis 5): 6. November 2009 (Dtum des oststempels). 8