Mathematik für das Ingenieurstudium

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1 Mthemtik für ds Ingenieurstudium von Mrtin Stämpfle, Jürgen Koch., ktul. Aufl. Hnser München 0 Verlg C.H. Beck im Internet: ISBN Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich ei eck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG

2 Leseproe Jürgen Koch, Mrtin Stämpfle Mthemtik für ds Ingenieurstudium ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weitere Informtionen oder Bestellungen unter sowie im Buchhndel. Crl Hnser Verlg, München

3 30 7 Integrlrechnung Die Einstiegsfrge in die Integrlrechnung etrifft ds sogennnte Flächenprolem: Wie knn mn den Flächeninhlt unter einer Funktion erechnen? Wie so oft in der Mthemtik liegt der Schlüssel zur Lösung des Prolems drin, den geeigneten Querezug herzustellen. Die wesentliche Erkenntnis dieses Kpitels ist der Zusmmenhng der Differenzilrechnung mit dem Flächenprolem. Wir werden sehen, dss die Integrlrechnung eine Art Umkehrung der Differenzilrechnung drstellt. 7. Flächenprolem Zunächst eschränken wir uns nur uf Funktionen, die keine negtiven Funktionswerte hen und stetig sind. Ds Schuild einer solchen Funktion schließt im Intervll [, ] mit der -Achse eine Fläche A ein. Wir suchen nch einer Methode, diesen Flächeninhlt zu erechnen. 7.. Integrlsmol Die Fläche ist erst durch Ange von Untergrenze und Oergrenze eindeutig festgelegt. Wir enötigen deshl eine geeignete Schreiweise, um unmissverständlich klr zu mchen, in welchem Bereich wir die Funktion f etrchten. Definition 7. (Integrlsmol) Eine stetige und nicht negtive Funktion f egrenzt für -Werte zwischen und mit der -Achse ein Flächenstück. Für den Inhlt A dieser Fläche verwendet mn die Schreiweise mit dem Integrlsmol A = f() d. Die Funktion f unter dem Integrl ezeichnet mn ls Integrnd. f() f() d Wir verwenden die Sprechweise Integrl von is üer f von d. Die Bezeichnung d kennen wir ereits von der Aleitung f () = df d.

4 30 7 Integrlrechnung Beim Integrl setzen wir zunächst f 0 und vorus. Im weiteren Verluf dieses Kpitels werden wir jedoch sehen, dss Integrle uch für f < 0 und > sinnvoll definiert werden können. Integrle, ei denen oder ls Grenzen vorkommen, ezeichnet mn ls uneigentliche Integrle. Die Besonderheiten solcher Integrle werden in Aschnitt eleuchtet. Ds Integrlsmol wurde in Anlehnung n ein lnggezogenes S ls Anfngsuchste des lteinischen Worts summ ereits im 7. Jhrhundert von dem Mthemtiker Gottfried Wilhelm von Leiniz eingeführt. Bei der Definition des Integrlsmols fungiert die Vrile lediglich ls Pltzhlter. Wir können nsttt jede elieige Vrile verwenden, mit den Worten von Goethes Fust formuliert: Nme ist Schll und Ruch. Integrtionsvrile Die Bezeichnung der Integrtionsvrile spielt keine Rolle: f() d = f(t) dt = f(u) du = Integrl ls Grenzwert von Summen Eine nhe liegende Idee ei der Berechnung einer Fläche unter einer Funktion ist die Verwendung kleiner Rechtecke. Dzu unterteilt mn ds Intervll von is in n gleich große Teilintervlle. Bei dieser sogennnten äquidistnten Unterteilung ht jedes Teilintervll die Länge =. Rechtecke, deren Höhen so gewählt werden, dss sie gerde noch unter n die Funktion pssen, erzeugen die sogennnte Untersumme. Bei der Oersumme entsprechen die Höhen der Rechtecke den mimlen Funktionswerten. Unter- und Oersumme Die Fläche unter einer stetigen und nicht negtiven Funktion knn durch Untersumme und Oersumme ngenähert werden. Der ttsächliche Wert der Fläche ist sicherlich nicht kleiner ls die Untersumme und sicherlich uch nicht größer ls die Oersumme. f() n =6 f() n =6 }{{} }{{} Je kleiner mn die Grundseiten der Rechtecke wählt, um so geringer ist der Unterschied zwischen Unter- und Oersumme. Wenn mn n groß wählt, knn mn die Fläche entsprechend genu erechnen.

5 7. Flächenprolem 303 Beispiel 7. (Unter- und Oersumme) Die Fläche unter der Funktion f() = ln für -Werte zwischen und 6 soll mithilfe von Unterund Oersumme näherungsweise erechnet werden. ln ln Eine groe Aschätzung erhält mn mit n = 4 Rechtecken, deren Grundseiten die Länge = hen. Die Untersumme ergit S U = ln + ln 3 + ln 4 + ln 5 = ln( 3 4 5) = ln und die Oersumme S O = ln 3 + ln 4 + ln 5 + ln 6 = ln( ) = ln Der Wert des estimmten Integrls muss zwischen den eiden erechneten Werten liegen, lso ln 0 6 ln d ln Für Prolemstellungen us der Pris ist diese Aschätzung ntürlich zu gro. Allerdings lässt sich die prinzipielle Vorgehensweise zu einem prktiklen numerischen Verfhren erweitern, siehe Aschnitt Die Grundseiten der Rechtecke müssen keinesflls lle gleich groß sein. Wir können Rechtecke mit elieigen Grundseiten k verwenden. Anstelle von minimlen und mimlen Funktionswerten können wir die Höhe der Rechtecke durch Funktionswerte f( k ) n einer elieigen Stelle k im Rechteck festlegen. Wenn wir die Grundseiten der Rechtecke nun immer kleiner werden lssen, dnn wird der Näherungswert der Fläche immer genuer. Somit können wir die Fläche unter einer Funktion mthemtisch ekt ls einen Grenzwert von Summen definieren. Fläche ls Grenzwert von Summen Die Fläche unter einer stetigen und nicht negtiven Funktion f entspricht dem Grenzwert von Summen f() d = lim n n k= f( k ) k, f( k ) flls die Grundseiten der Rechtecke k gegen null streen und der Grenzwert der Rechtecksummen eistiert. Dei ist k eine Stelle innerhl des Rechtecks mit Grundseite k. }{{} k

6 7.5 Numerische Verfhren 339 Die Mntelfläche ist die Außenfläche eines Rottionskörpers. Bei der Mntelfläche werden die eiden Kreisscheien, die den Boden und den Deckel des Körpers ilden, nicht erücksichtigt. Die komplette Oerfläche eines Rottionskörpers esteht lso us der Mntelfläche zusmmen mit diesen eiden Kreisscheien. Auf eine Herleitung der Formeln verzichten wir. Dfür führen wir eine Plusiilitätsetrchtung durch: Den Ausdruck L = + f () kennen wir ereits us der Formel zur Berechnung der Bogenlänge, siehe Stz 7.5. Diese Länge L wird mit dem Kreisumfng U = π f() multipliziert. Die Funktionswerte f() fungieren hier ls Rdien der einzelnen Kreise. Insgesmt werden lso Ausdrücke der Form Umfng des Kreises mit Rdius f() Länge des Kurvensegments ufsummiert. Im Spezilfll f() = r ist die Aleitung für lle -Werte null, es gilt lso f () = 0. Wir erhlten dnn für die Mntelfläche eines senkrechten Kreiszlinders M = π siehe Stz 7.6. r d. = π r ( ), 7.5 Numerische Verfhren Es git verschiedene Gründe, die eine Annäherung von estimmten Integrlen durch numerische Näherungswerte erfordern. Beispielsweise git es elementre Funktionen, ei denen die Stmmfunktionen nicht durch elementre Funktionen drstellr sind. Bei Prolemen us der Pris ist mn oftmls schon deshl uf numerische Integrtionsmethoden ngewiesen, weil mn keine nltische Drstellung der Funktion selst kennt. In diesen Fällen knn mn lediglich Funktionswerte zu estimmten Prmeterwerten erechnen und drus versuchen, einen möglichst guten Näherungswert für ds Integrl zu erzeugen. Ds Ziel ei der numerischen Integrtion sind Formeln, mit denen mn Näherungswerte für den Wert eines estimmten Integrls erechnen knn. Dei wählt mn nicht den Weg üer Stmmfunktionen, sondern mn sucht nch Methoden, mit denen sich Flächeninhlte pproimieren lssen. In den vergngenen Jhrhunderten hen sich zhlreiche Mthemtiker mit dieser Prolemstellung eschäftigt, wodurch eine gnze Reihe sogennnter Qudrturformeln entstnden sind. In der dmligen Zeit wurde die Integrtion ls Qudrtur ezeichnet. Bei der numerischen Berechnung mithilfe von Computern setzt mn Verfhren ein, die gute Näherungswerte mit möglichst wenig Rechenufwnd liefern. Gleichzeitig enötigt mn verlässliche Aschätzungen für den mimlen Fehler zwischen dem Näherungswert und dem ekten Wert. Ds Romerg-Verfhren, ds wir in diesem Aschnitt vorstellen, erfüllt diese Anforderungen und wird ei der Lösung prktischer Proleme deshl häufig eingesetzt.

7 340 7 Integrlrechnung 7.5. Trpezregel In erster Näherung knn mn den Flächeninhlt durch Rechtecksummen nnähern. Diesen Aspekt hen wir in Aschnitt 7.. ereits usführlich etrchtet. Eine deutliche Veresserung ei der numerischen Berechnung des estimmten Integrls erzielt mn, indem mn nstelle von Rechtecken Trpeze verwendet. Trpez Ein Viereck, ds zumindest zwei prllele Seiten ht, ezeichnet mn ls Trpez. Die Fläche eines Trpezes ist genu gleich groß wie die Fläche des Rechtecks, ds diesele Grundseite ht und dessen Höhe gerde dem Mittelwert m der eiden Höhen 0 und des Trpezes entspricht: A = ( 0 ) 0 +. Um eine Näherungsformel für ds estimmte Integrl I = f() d m 0 A 0 zu estimmen, zerlegen wir ds Intervll [, ] in n gleichlnge Teilintervlle der Länge h = und werten die Funktion n insgesmt n + Stellen us: n f(), f( + h), f( + h),..., f( h), f( h), f() Ddurch entstehen Sehnentrpeze, deren Grundseiten lle diesele Länge h hen. Die Summe ller n Trpezflächen ergit dnn f() + f( + h) Ã = h f( h) + f( h) + h f( + h) + f( + h) + h f( h) + f() + h Alle Funktionswerte ußer dem ersten und dem letzten liefern einen Beitrg zu zwei Trpezen. Die Formel lässt sich ddurch etws vereinfchen: Ã = h f() + h f( + h) + h f( + h) h f( h) + h f( h) + h f(). h f( + h) h f( h)

8 7.5 Numerische Verfhren 34 Trpezregel Ds estimmte Integrl einer Funktion f üer dem Intervll [, ] f() n =5 f() d knn mn durch eine Summe von n Trpezflächen nnähern. Die Trpeze hen eine Grundseite der Länge h = n. }{{} h Die Funktionswerte müssen n n + Stellen erechnet werden. Die Formel zur Berechnung der Summe der Trpezflächen lutet à = h ( f() + f( + h) + f( + h) f( h) + f( h) + f()). Beispiel 7.35 (Trpezregel) Für n = erhlten wir einen Näherungswert der Fläche unter der Funktion f() = ln durch h = = 6 = 4 für -Werte zwischen und 6. Die Formel liefert f() = ln() à 4 = 4 ( ln + ln 6) Bei n = liefert die Schrittweite h = den Näherungswert = 6 = à = ( ln + ln 4 + ln 6) f() = ln() Für n = 4 ist us der Grfik kum noch ein Unterschied zwischen der Originlfläche und den Trpezen zu erkennen. Die Grundseiten der Trpeze hen lle die Länge f() = ln() h = 4 = 6 4 = Die Formel ergit à = ( ln + ln 3 + ln 4 + ln 5 + ln 6) Der Näherungswert der Trpezregel resultiert in einem deutlich esseren Ergenis ls die Annäherung durch Unter- und Oersumme, siehe Beispiel 7..

9 34 7 Integrlrechnung 7.5. Romerg-Verfhren Mit dem Romerg-Verfhren knn mn us Näherungswerten, die mn mit der Trpezregel erechnet ht, einen noch esseren Näherungswert erzeugen. Die Idee esteht dei drin, die Näherungswerte der Trpezregel ls Funktion der Schrittweite h zu interpretieren. Aus theoretischer Sicht würde die Trpezregel mit Schrittweite h = 0 ein ektes Ergenis liefern. Prktisch knn mn die Schrittweite h = 0 ntürlich nicht verwenden. Mn versucht deshl, den Wert der Trpezregel mit Schrittweite h = 0 durch Etrpoltion eknnter Werte möglichst gut zu schätzen. Eine genue Beschreiung findet mn ei [Mohr:Numerik]. Beispiel 7.36 (Romerg-Verfhren) Wir verwenden die Näherungswerte us Beispiel 7.35 T (4) , T () und estimmen eine Prel T (h) = h + c, die durch diese Punkte verläuft. Aus den eiden Gleichungen T(h) c T() T(4) T (4) = 6 + c, T () = 4 + c lässt sich c ermitteln: 4 h c = 4 T () T (4) Dieser Wert ist der Funktionswert der Prel n der Stelle h = 0 und somit eine gute Schätzung für den gesuchten Wert. 7.6 Anwendungen Wenn es ei Anwendungen drum geht, Funktionswerte üer einen estimmten Bereich zu summieren, kommen oft Integrle zum Einstz. Wir etrchten zwei tpische Beispiele, eines us der Elektrotechnik und eines us der Mechnik. Beim Effektivwert in der Elektrotechnik wird der zeitliche Verluf eines Signls integriert. Bei Schwerpunkten und sttischen Momenten in der Mechnik werden Funktionen üer eine räumliche Distnz integriert Effektivwert Energie, die wir üer die Steckdose us dem Stromnetz eziehen, ist in der Regel kein Gleichstrom, sondern Wechselstrom. In den meistern Ländern erfolgt die Spnnungsversorgung durch sinusförmige Wechselspnnungen mit einer Frequenz von 50 Hz oder 60 Hz. In Deutschlnd findet mn uf Steckdosen und Geräten oft die Bezeichnung 30 V. Diese

10 7.6 Anwendungen 343 Ange ezeichnet er nicht, wie oft ehuptet wird, die Amplitude der sinusförmigen Wechselspnnung. Ttsächlich liegt die Amplitude ei etw 35 V. In der Elektrotechnik ezeichnet mn diesen Wert ls Scheitelwert. Den Zusmmenhng zwischen diesen eiden Angen, lso 30 V einerseits und Scheitelwert 35 V ndererseits, werden wir im Folgenden klären. Für den Verrucher ist letztendlich entscheidend, welche Energie zw. Leistung zur Verfügung gestellt wird. Zu diesem Zweck etrchtet mn den sogennnten Effektivwert. Der Effektivwert ist folgendermßen definiert: Bei einer Wechselspnnung wird n einem ohmschen Widerstnd üer einen gewissen Zeitrum diesele Leistung umgesetzt wie ei einer Gleichspnnung, deren Spnnung dem Effektivwert entspricht. Aus der Elektrotechnik kennt mn die Formel zur Berechnung des Effektivwerts, siehe [Küpfmüller], U eff = T T u (t) dt. 0 Dei ezeichnet T die Periodenduer. Bei einer sinusförmigen Wechselspnnung mit Kreisfrequenz ω = π und Scheitelwert Û erhlten wir T T U eff = T Û sin (ω t) dt. 0 Mit der Sustitution = ω t ergit sich U eff = Û π π sin d. 0 Der Effektivwert ist lso unhängig von der Periode T und der Kreisfrequenz ω. Ds Integrl erechnen wir mithilfe einer Stmmfunktion, siehe Beispiel 7., U eff = Û π ( (sin cos )) π 0 = Û π π = Û. Bei einem sinusförmigen Verluf ist der Scheitelwert lso immer um den Fktor größer ls der Effektivwert. Bei einem Scheitelwert von Û = 35 V erhlten wir den Effektivwert U eff = 35 V 30 V Schwerpunkte und sttische Momente eener Flächen Der Schwerpunkt eines Ojekts ist in der technischen Mechnik von zentrler Bedeutung. Kräfte, die im Schwerpunkt ngreifen, verändern ds Rottionsverhlten nicht. Oder nders formuliert, wirkt eine Krft in einer gewissen Entfernung vom Schwerpunkt uf ein