Einführung. in die. Teil I und II

Transkript

1 Eiführug i die Fuktioetheorie Teil I ud II Siegfried Petry Fassug vom 4. Februar 013

2 I h a l t 1. Teil 1 Eileitug 3 Uedliche Zahlefolge mit komplexe Glieder 4.1 Defiitio Zahlefolge 4. Nullfolge 4..1 Defiitio 4.. Säte über Nullfolge 5..3 Koverge eier Zahlefolge 5..4 Säte über kovergete Zahlefolge 6..5 Divergete Zahlefolge, Kovergekriterie 6 3 Uedliche Reihe mit komplexe Glieder Allgemeies 7 3. Komplexe Potereihe 8 1

3 . Teil 9 1 Defiitioe Fuktioe eier komplexe Variable 9 1. Grewert eier Fuktio eier komplexe Variable Stetigkeit eier Fuktio 11 Potereihe als Fuktioe eier komplexe Variable 1 3 Polyomfuktioe eier komplexe Variable Der Fudametalsat der Algebra 1 3. Zerlegug gaer ratioaler Fuktio i Liearfaktore Reelle Polyome eier komplexe Variable 13 4 Ratioale Fuktioe eier komplexe Variable 14 5 Trasedete Fuktioe eier komplexe Variable Die Expoetialfuktio Die trigoometrische Fuktioe Die Hyperbelfuktioe Die Logarithmusfuktio 17

4 1. T e i l 1. Eileitug Die Fuktioetheorie ist die Lehre vo de Fuktioe mit komplexe Variable ud somit eie Erweiterug ud Verallgemeierug der Aalysis. Demetspreched wird die Lehre vo de komplexe Zahle hier vorausgesett. Wie die Aalysis begit auch die Fuktioetheorie mit der Utersuchug der Zahlefolge, hier also der Folge komplexer Zahle. Die Lehre vo de Zahlefolge gehört scho»im Reelle«icht gerade u de uterhaltsamste ud aufregedste Gebiete der Mathematik, ud dara ädert sich auch ichts, we ma sie auf komplexe Zahle ausdeht. Aber erst durch die theoretische Durchdrigug der Zahlefolge ist eie grüdliche ud sichere Grudlegug der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) ud der Fuktioetheorie (Aalysis komplexer Fuktioe) möglich geworde. Auch habe dadurch die Aalysis ud die Fuktioetheorie erst die begriffliche Schärfe ud die Kosiste der Beweisführug gewoe, die seit EUKLID für die ältere Gebiete der Mathematik keeiched sid ud als uerlässlich gelte. Um de Umfag dieses Buches icht u groß werde u lasse, habe ich schwere Heres auf die Beweise der Lehrsäte verichtet, obwohl ich weiß, dass dadurch ei Teil fehlt, der für die Schulug mathematische Dekes uverichtbar ist. Ich erwäge jedoch, bei Iteresse ud etsprecheder Nachfrage die Beweise i eiem Ahag usammeustelle. Das Studium der komplexe Zahle hat geeigt, dass ma mit ihe wie mit reelle Zahle reche ka. Dabei gibt es lediglich wei Ausahme: Bei Potee mit irratioale Expoete gelte die bekate Recheregel icht, ud die Kleier/Größer-als-Relatio ka ur auf die Beträge der komplexe Zahle agewedet werde. r = Im Übrige aber gilt, dass es bei alle mit Buchstabegröße agestellte Berechuge gleichgültig ist, ob ei dari auftreteder Buchstabe eie reelle oder eie komplexe Zahl darstellt. So gelte. B. der biomische Lehrsat, die Lehre vo de Determiate ud die Verfahre ur Lösug vo Systeme liearer Gleichuge uverädert auch»im Komplexe«. Dies lässt vermute, dass auch adere Gebiete der Mathematik auf komplexe Zahle ausgedeht werde köe. Dass dies tatsächlich der Fall ist, wird i diesem Buch uächst für die uedliche Zahlefolge ud Reihe geeigt. Damit wird wie sich erweise wird der Mathematik ei eues ud überaus fruchtbares Gebiet erschlosse, das auch vo großer praktischer Bedeutug ist. Oft ist mit der Zulassug komplexer Zahle auch eie erhebliche Vereifachug ud Abrudug der Theorie verbude. Beispiele dafür sid die (u) ubeschräkte Gültigkeit des Fudametalsates der Algebra ud die Tatsache, dass das Wureliehe ausahmslos möglich ist, we ma das Zahlesystem um die komplexe Zahle erweitert. 3

5 Schließlich werde sich im Folgede überraschede Zusammehäge wische wichtige Zahle (e ud π) sowie wische ga uterschiedliche Fuktioe eige. Uedliche Zahlefolge mit komplexe Glieder.1 Defiitio Zahlefolge We durch irgedeie Vorschrift jeder atürliche Zahl 1,, 3,... eie bestimmte Zahl 1,, 3,... ugeordet ist, so bilde diese Zahle eie (uedliche) Zahlefolge. Eie Zahlefolge (kur auch Folge geat) wird beeichet mit Beispiele für komplexe Zahlefolge sid: ( ) ( ) x1, x, oder x. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1+ i 1+ i =, = 1+ i, =.! Eie Zahlefolge ( ) heißt beschräkt, we es eie positive Zahl S gibt, sodass für alle S ist. S heißt da eie Schrake für die Beträge der Glieder der Folge. Zur Veraschaulichug eier Zahlefolge ka die dau gehörige Puktfolge i der komplexe Zahleebee diee.. Nullfolge..1 Defiitio Nullfolge Eie Zahlefolge wie. B. 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i,,, =, 3 dere Glieder mit wachseder Nummer sich ubeschräkt der Null äher, heißt eie Nullfolge. Doch was bedeutet»sich ubeschräkt der Null äher«? Es gibt eiige sehr viel schlechtere Beschreibugsweise des damit gemeite Sachverhalts, aber ur eie bessere, die wirklich aussagekräftig ist ud sich durchgesett hat. Diese lautet: Eie Zahlefolge ( ) heißt Nullfolge, we sich für jede positive Zahl ε immer eie Zahl 0 agebe lässt, sodass für alle 0 < ε ist. Im obige Beispiel ist ud es ist stets =, 4

6 ε ε, we 0 < > 0 ist. Diese Gleichug liefert für jede positive Wert vo ε ud sei er och so klei eie Zahl 0, vo der a stets < ε ist. Die u de Zahle mit 0 gehörige Pukte der Zahleebee liege alle ierhalb eier»ε- Umgebug«vo O, das heißt, ierhalb eies Kreises um O mit dem Radius ε... Säte über Nullfolge Es gelte im Wesetliche die gleiche Säte wie für reelle Nullfolge. Sie lasse sich mit etwas»epsilotik«leicht beweise. 1. Jede Nullfolge ist eie beschräkte Zahlefolge.. Ist ( ) eie Nullfolge ud (y ) irgedeie beschräkte Zahlefolge, so ist auch die Folge (' ) mit de Glieder eie Nullfolge. ' = y 3. Es sei ( ) eie Nullfolge ud (' ) eie u utersuchede Zahlefolge. Ferer sei die Ugleichug ' K, wobei K eie bestimmte positive Zahl ist, für alle 0 erfüllt, da ist auch (' )eie Nullfolge. 4. Sid ( ) ud (' ) wei Nullfolge, so sid auch die Folge mit de Glieder ± ' ud ' Nullfolge. Dafür sagt ma kur: Nullfolge dürfe gliedweise addiert, subtrahiert ud multipliiert werde...3 Defiitio Koverge eier Zahlefolge Eie Zahlefolge ( ), u der es eie Zahl ζ vo der Art gibt, dass die Folge ( ) ς eie Nullfolge ist, heißt koverget mit dem Grewert (oder Limes) ζ. Diese Sachverhalt beschreibt ma auch so: Es geht gege ζ, we gege uedlich geht, oder ς we (oder: für) oder lim = ς. Ersett ma obe de Begriff»Nullfolge«durch desse Defiitio, so ka ma auch sage: Eie Zahlefolge ( ) kovergiert gege ζ, we ma für jede beliebig kleie positive Zahl ε eie Zahl 0 agebe lässt, sodass für alle 0 ist. ς < ε 5

7 ..4 Säte über kovergete Zahlefolge 1. We eie Zahlefolge gege eie Zahl ζ kovergiert, ka sie icht gleicheitig gege eie adere Zahl η kovergiere (Eideutigkeit der Koverge).. Eie kovergete Zahlefolge ist stets eie beschräkte Zahlefolge. 3. Sid ( ) ud (' ) kovergete Folge mit de Grewerte ζ bw. ζ', so sid auch die Folge ( + ' ) ud ( ' ) koverget mit de Grewerte ζ + ζ' bw. ζ ζ'. Also: Aus ud ' ' folgt ± ' ± '. ς ς ς ς 4. Uter de gleiche Voraussetuge wie obe gilt ferer ' ς ς ', ud we außerdem alle 0 ud ζ 0 sid, geht ς. ' ς ' 5. Jede durch Umorde eier kovergete Zahlefolge ( ) etstadee Zahlefolge ud jede Teilfolge (' ) vo ( ) ist ebefalls koverget ud hat deselbe Grewert wie diese. 6. Eie Zahlefolge ( ) werde i wei Teilfolge (' ) ud ('' ) erlegt. We diese beide koverget sid ud deselbe Grewert ζ habe, so ist auch ( ) koverget mit dem Grewert ζ. 7. Ist ( ) eie kovergete Zahlefolge mit dem Grewert ζ ud geht die Folge ( ' ) aus ihr durch edlich viele Äderuge hervor, so ist auch ( ' ) koverget mit dem Grewert ζ...5 Divergete Zahlefolge, Kovergekriterie Jede Zahlefolge ( ), die icht gege eie bestimmte (edliche) Wert ζ kovergiert, heißt diverget. 1. Eie Zahlefolge ( ) ( x y ) = + i, wobei (x ) ud (y ) reelle Zahlefolge sid, ist geau da koverget, we sowohl (x ) als auch (y ) koverget sid. Da ist ( ) = ( x ) + ( y ) lim lim i lim.. Eie Zahlefolge ( ) ist geau da koverget, we sich für jede och so kleie positive Zahl ε eie Zahl 0 agebe lässt, sodass ist, we ud 0 sid. ' <ε 6

8 3 Uedliche Reihe mit komplexe Glieder 3.1 Allgemeies Uter eier uedliche Reihe versteht ma wie im Reelle eie Summe mit ubeschräkt viele Summade, die ach eier bestimmte Vorschrift (Bildugsgeset) berechet wurde. Diese Summade sid jett komplexe Zahle: = 1 = Da eie Summe mit ubeschräkt viele Summade icht berechet werde ka, ist dieser Ausdruck uächst ubestimmt. Zur Behebug dieser Schwierigkeit wird der Begriff der Teilsumme der uedliche Reihe eigeführt. Die Teilsumme sid der Reihe ach: s =, s = +, s = + + = s +, s = s Soda wird die Folge der Teilsumme auf ihre Koverge hi utersucht ud gegebeefalls ihr Grewert bestimmt. (Auf diese Weise wird das Problem der Summatio vo ubeschräkt viele Summade auf die Grewertbestimmug eier Zahlefolge urückgeführt.) We die Folge der Teilsumme ( s ) = ( s, s, s, ) 1 3 gege eie Grewert S kovergiert, da beeichet ma die uedliche Reihe als koverget, aderefalls als diverget. Im erste Fall et ma de Grewert S der Folge de»wert der uedliche Reihe«ud schreibt dies: = 1 = S. Eie uedliche Reihe komplexer Zahle besteht aus eier uedliche Reihe reeller Zahle (de Realteile der Glieder der Reihe) ud aus eier uedliche Reihe imagiärer Zahle (de mit i multipliierte Imagiärteile der Glieder): = 1 = 1 = 1 = Re + i Im. Daher gilt: Eie Reihe mit komplexe Glieder ist geau da koverget, we die aus de reelle bw. aus de imagiäre Teile ihrer Glieder gebildete Reihe koverget sid. We die Werte der beide Teilreihe s bw. s' sid, hat die ursprügliche Reihe de Wert S = s + i s'. Ei aaloger Sat gilt für die absolute Koverge eier Reihe mit komplexe Glieder. (Eie Reihe mit komplexe Glieder heißt absolut koverget, we auch die Reihe kovergiert, dere Glieder gleich dem Betrag der etsprechede Glieder der ursprügliche Reihe sid. Die eue Reihe hat lauter positive reelle Glieder.) 7

9 3. Komplexe Potereihe Eie komplexe Potereihe ist eie Reihe vo der Art = 0 ( ) ( ) ( ) a = a + a + a +, wobei die Koeffiiete a sowie ud 0 beliebige komplexe Zahle sid. Dabei werde die Koeffiiete a sowie die Zahl 0 als kostat agesehe, dagege als variabel. Diese Reihe wird auch als Potereihe i ( 0 ) beeichet oder als Potereihe mit dem Mittelpukt 0. Ob eie Potereihe (oder die Folge ihrer Teilsumme) kovergiert, hägt eierseits vo de Koeffiiete a, adererseits im Allgemeie auch vo ab. Ei Wert (oder ei Pukt), für de die Potereihe kovergiert, heißt Kovergepukt; ei Wert, für de sie divergiert, heißt Divergepukt der Reihe. Es gibt Reihe, die überall (d. h. für alle Werte oder i jedem Pukt der Zahleebee) kovergiere ud solche, die irgeds (außer i 0 ) kovergiere. Für jede Reihe der obe agegebee Art, die weder überall och irgeds (außer i 0 ) kovergiert, gibt es eie bestimmte positive Zahl r derart, dass die Reihe für jedes, für das Absolut kovergiert, für jedes, für das 0 < r ist, divergiert. 0 > r Die de Zahle etsprechede Pukte liege ierhalb bw. außerhalb des Kreises um 0 mit dem Radius r. Dieser Kreis heißt der Kovergekreis der Reihe, sei Radius heißt Kovergeradius. Für die Pukte auf dem Rad des Kovergekreises sid keie allgemeie Aussage möglich. Sie erforder vo Fall u Fall eie eigee Utersuchug. Der Wert eier Potereihe ist eie Fuktio der Variable ; ihr Defiitiosbereich ist der Kovergekreis der Reihe. Darüber mehr im. Teil. 8

10 . T e i l 1 Defiitioe 1.1 Fuktioe eier komplexe Variable Eier Mege M vo komplexe Zahle sei durch eie bestimmte Rechevorschrift f je geau eie komplexe Zahl w ugeordet. Da beeichet ma die Größe w als eie Fuktio der Größe ud schreibt dies: w = f ( ). Die Mege M heißt Defiitiosbereich D der Fuktio f(). Die Mege aller Zahle, welche die»abhägige Variable«w aimmt, we die»uabhägige Variable«alle Werte des Defiitiosbereichs durchläuft, heißt Wertebereich W der Fuktio. Die Zahl w, die durch die Fuktio eier Zahl ugeordet ist, heißt der u gehörige Fuktioswert w(). Es sei f() eie Fuktio vo ud w der Fuktioswert vo, also w = f(). Sete wir = x + i y ud w = u + i v, so sid u ud v reelle Fuktioe der beide reelle Variable x ud y: Ma et u de reelle ud v de imagiäre Teil der Fuktio f(). (Der weite Name ist icht ga korrekt, de der»imagiäre Teil«ist ja eie reelle Fuktio geauso wie der»imagiärteil«eier komplexe Zahl eie reelle Zahl ist. Aber diese Nameskovetioe sid bequem ud habe sich daher durchgesett.) Da wir es bei Fuktioe eier komplexe Veräderliche mit vier Variable (x, y, u, v) u tu habe, ist eie bequeme Veraschaulichug, wie wir sie vo reelle Fuktioe mit wei oder auch drei Variable kee, icht möglich. Bei Fuktioe eier komplexe Variable sid die Fuktioswerte ebefalls komplexe Zahle, die sich als Pukte i der UV-Ebee darstelle lasse. Diese Pukte müsse da auf irgedeie Weise mit de jeweils daugehörige Pukte der XY-Ebee verküpft werde. Dies ka etwa dadurch geschehe, dass ma für eie Aahl vo Kurve i der XY-Ebee (. B. für die Gerade eies Gitteretes) die daugehörige Bildkurve i der UV-Ebee kostruiert ud usätlich eie Auswahl eiader etsprechede Pukte markiert. Beispiel: Hier ist w = f = e = e = e e = e y + y x+ i y x i y x ( ) (cos i si ). u = e y v = e y u + v = e v = y u x x x cos, si ud daher ud (ta ). Die Gerade x = kost. der xy-ebee werde als Kreise mit dem Radius e x i die uv-ebee abgebildet, ud die Gerade y = kost. als Gerade durch de Ursprug mit der Steigug y. 9

11 1. Grewert eier Fuktio eier komplexe Variable Wie bei de reelle Fuktioe spielt auch hier der Begriff des Grewerts eie wichtige Rolle, ud er wird hier aalog wie dort defiiert: Dem Defiitiosbereich D eier Fuktio f() werde eie Zahlefolge ( ) etomme, die dem Grewert ζ ustrebt ud dere Glieder sämtlich vo ζ verschiede seie. We für a l l e solche Zahlefolge die Folge (w ) der dau gehörige Fuktioswerte w = f( ) demselbe Grewert ω ustrebt, da sagt ma, es sei der Grewert vo f() für gege ζ gleich ω, ud schreibt dies: lim w = lim f ( ) = ω ς ς 10

12 Dieser Sachverhalt ka auch so ausgedrückt werde: Für jede och so kleie positive Zahl ε lässt sich stets eie adere positive Zahl δ agebe, so dass für ς < δ stets f ( ) ω < ε ist. ( D) 1.3 Stetigkeit eier Fuktio Eie Fuktio f() eier komplexe Veräderliche ist a der Stelle = ζ stetig, we stets lim f ( ) = f ( ς ) ist. (»Stets«bedeutet hier: für jede beliebige Weg der Aäherug a de Wert ζ.) ς Aders ausgedrückt: A eier Stelle, a der die Fuktio stetig ist, fällt der Grewert der Fuktio bei Aäherug a die Stelle ζ stets mit dem Fuktioswert a der Stelle ζ usamme. Ist eie Fuktio a jeder Stelle des Defiitiosbereichs D stetig, so sagt ma, sie sei im gae Defiitiosbereich stetig. Wie bei de reelle Fuktioe gilt: Jedes Polyom eier komplexe Veräderliche ist i der gae -Ebee stetig. Eie ratioale Fuktio vo ist überall dort stetig, wo sie defiiert ist. Eie Fuktio f() = u(x, y) + i v(x, y) ist geau a de Stelle stetig, a dee die reelle Fuktioe u ud v stetig sid. 11

13 Potereihe als Fuktioe eier komplexe Variable Eie (komplexe) Potereihe (siehe 1. Teil) = 0 ( ) ( ) ( ) a = a + a + a mit dem Mittelpukt 0 ud eiem Kovergeradius r > 0 hat für jeder Stelle im Ier ihres Kovergekreises eie bestimmte Wert. Also wird durch die Potereihe jedem Wert im Ier des Kovergekreises ei bestimmter Zahlewert w ugeordet. Geau dies ist aber das Keeiche eier Fuktio. Also defiiert die Potereihe im Ier ihres Kovergekreises eie bestimmte Fuktio w = f(). Vo dieser Fuktio sagt ma, sie sei durch die Potereihe dargestellt oder (i besodere Fälle) sie sei i die Potereihe etwickelt. Die durch Potereihe dargestellte oder darstellbare Fuktioe heiße aalytische Fuktioe. Aalytische Fuktioe sid im Ier ihres Kovergekreises stetig ud differeierbar. 3 Polyomfuktioe eier komplexe Variable Eie Fuktio, die durch eie Ausdruck der Form p a a a a ( ) = gegebe ist, heißt Polyomfuktio. Ma ka Polyomfuktioe auffasse als Potereihe, bei dee ur edlich viele Koeffiiete vo ull verschiede sid. 3.1 Der Fudametalsat der Algebra Jedes Polyom p a a a a ( ) = desse Grad 1 ist, hat midestes eie Nullstelle. Das heißt: We eie atürliche Zahl ist ud a 0, a 1,, a beliebige komplexe Zahle sid ud 1 ist, gibt es midestes eie komplexe Zahl ζ, für die ist. p a a a a ( ς ) = 0 + 1ς + ς + + ς = 0 3. Zerlegug gaer ratioaler Fuktioe i Liearfaktore Gegebe eie gae ratioale Fuktio -te Grades der komplexe Veräderliche f p a a a a a ( ) = ( ) = , 1 ud es sei 1 eie Nullstelle des Polyoms. Da ist, wie ma leicht eige ka, dieses Polyom durch ( 1 ) ohe Rest teilbar. Die Divisio ergibt ei eues Polyom p 1 () vo ( 1). Grad, sodass ( ) ( ) p( ) = p, 1 1 1

14 wobei der Koeffiiet des höchste Gliedes -1 wiederum a ist. We > 1 ist, so ist ( 1) > 0, ud ma ka auf p 1 wiederum de Fudametalsat awede, woach auch dieses Polyom midestes eie Nullstelle hat, woraus folgt ( ) ( ) p p 1 =, ud so weiter. Schließlich erhält ma für das ursprügliche Polyom (ud die ursprügliche gae ratioale Fuktio) die»produktdarstellug«( )( ) ( ) p( ) = a. 1 Also gilt: Jedes Polyom -te Grades ( 1) ka als Produkt vo Polyome 1. Grades (sog. Liearfaktore) ud des Koeffiiete a dargestellt werde. Daraus folgt sofort, dass ei Polyom -te Grades geau Nullstelle hat, die aber icht alle verschiede sei müsse. Vielmehr köe jeweils mehrere der Nullstelle ud damit jeweils mehrere der Liearfaktore gleich sei. Beeiche wir die voeiader verschiedee Nullstelle mit ζ 1, ζ,..., ζ k ud die Häufigkeit ihres Auftretes der Reihe ach mit ν 1, ν,...,ν k, so köe wir die Produktdarstelle des Polyoms so schreibe: 1 ( ς ) ( ς ) ( ς ) k p( ) = a. ν ν ν 1 k 3.3 Reelle Polyome eier komplexe Variable Ei Polyom eier komplexe Veräderliche, desse Koeffiiete a k alle reell sid, wird ei reelles Polyom geat. Hat ei reelles Polyom p() eie icht reelle Nullstelle so ist auch die u 1 kojugiert komplexe Zahl = x + i y y = x1 i y 1 eie Nullstelle vo p(). Dies ka so begrüdet werde, dass beim Ausmultipliiere der Liearfaktore die Etstehug eies icht reelle Koeffiiete ur da verhidert wird, we komplexe Nullstelle paarweise kojugiert komplex auftrete. Das reelle Polyom p() ist da durch das reelle Polyom weite Grades ( ) ( ) ( ) i i x + y x y = x + y ohe Rest teilbar. Der Quotiet ist da wiederum ei reelles Polyom, usw. Folglich gilt: Jedes reelle Polyom eier Veräderliche, desse Grad größer als 1 ist, ka i ei Produkt reeller Polyome erste oder weite Grades erlegt werde. 13

15 4 Ratioale Fuktioe eier komplexe Variable Es seie p() ud q() wei Polyome i : p( ) = a + a + + a + a a 0, q( ) = b + b + + b + b b 0, m 0 m m 1 m m m Da ist ( ) f ( ) = p q( ) eie Fuktio, die außerhalb der (edlich viele) Nullstelle vo q() defiiert ist. Eie solche Fuktio heißt ratioale Fuktio. Für m heißt die Fuktio uecht gebroche, aderefalls echt gebroche. Habe p() ud q() eie Liearfaktor ( k ) oder mehrere gemeisam, so ka der Bruch durch diese Liearfaktore gekürt werde. Die etstehede Fuktio g() hat überall dieselbe Werte wie f(), außer i de Nullstelle k, i dee f() im Gegesat u g() icht defiiert ist. Für ratioale Fuktioe gelte folgede Säte: 1. Jede uecht gebrochee Fuktio ka als Summe eier gae ud eier echt gebrochee ratioale Fuktio dargestellt werde.. Jede echt gebrochee Fuktio ka als Summe vo edlich viele Teilbrüche (Partialbrüche) dargestellt werde. 3. Die Teilbrucherlegug ist, abgesehe vo der Reihefolge der Brüche, ur auf eie Weise möglich. 5 Trasedete Fuktioe eier komplexe Variable 5.1 Die Expoetialfuktio Die Potereihe = 0 wori x eie reelle Variable ist, ist bestädig koverget ud defiiert daher eie für alle Werte x stetige Fuktio. I der Aalysis wird geeigt, dass diese Fuktio mit der Expoetialfuktio e x idetisch ist. Sie wird u dau beutt, die Expoetialfuktio für komplexe Variable u defiiere. Da eie Pote mit komplexem Expoete uächst keierlei Bedeutug hat, dürfte ma diese ga beliebig defiiere. Eie solche Defiitio sollte jedoch icht willkürlich geschehe, soder die Zweckmäßigkeit ud die Kotiuität berücksichtige. Das bedeutet i diesem Fall, dass die Defiitio der Expoetialfuktio mit komplexem Expoete für de Soderfall eies reelle Expoete (der ja auch eie komplexe Zahl ist) mit der Defiitio für reelle Expoete übereistimmt ud dass die bisher gültige Rechegesete allefalls erweitert, aber icht außer Kraft gesett werde. Diese (ud weitere Gesichtspukte) berücksichtigt folgede Defiitio: Es ist x,! 14

16 Def k = = k = 0 e 1. 1!!!! Zuächst erket ma, dass die Defiitio für de Fall, dass eie reelle Zahl ist, mit der eigags agegebee Defiitio übereistimmt. Ferer lässt sich eige, dass das Additiostheorem für die Expoetialfuktio weiterhi gilt, d. h. es ist e e = e. Ferer wird verabredet, dass für eie reelle Zahl a gelte soll: Für eie reelle Zahl y folgt aus der Defiitio i y e 1 = 0 oder i der meist beutte Form Speiell folgt daraus Sett ma = x +i y, so ist a l ( ) a l a = e = e. ( i y) i y ( i y) ( i y) 3 = = ! 1!! 3! y y y y y y y = i + +! 4! 6! 1! 3! 5! 7! = cos y + isiy, ϕ ϕ i e ϕ = cos + isi. π π i i π i π i e = i, e = i, e = 1, e = 1. ( y y ) x+ i y x i y x e = e = e e = e cos + i si. Aus dieser Gleichug ka der Wert vo e für jedes berechet werde. I der trigoometrische (oder goiometrische) Form geschriebe, ist ( ) e = r cos ϕ + i si ϕ. Durch Vergleich der lette beide Gleichuge ergibt sich da Nach de Poteregel ist ist r = = = ϕ = y = x Re e e e, Im. + π i π i π i k π i e = e e ud wege e = e = 1 + k π i e = e, wobei k irgedeie gae (möglicherweise auch egative) Zahl ist. Die Expoetialfuktio ist also periodisch mit der Periode π. Daher folgt aus dass u v e = e, 15

17 ist. u = v + k π 5. Die trigoometrische Fuktioe Aalog ur Expoetialfuktio werde auch die Fuktioe si ud cos für komplexe Argumete durch die aus dem Reelle bekate Potereihe defiiert: Ferer wird defiiert ud Def 4 cos = 1 + +,! 4! Def 3 5 si = ! 5! Def si ta = cos 0 cos Def cos cot = si 0 si Ähliche Überleguge ud Utersuchuge wie obe bei der Expoetialfuktio bestätige die Zweckmäßigkeit dieser Defiitioe. Isbesodere lässt sich aus de Defiitioe herleite: Die Eulersche Formel gelte auch für komplexe Zahle : i i e = cos + i si e = cos i si 1 1 i cos = e + e si = e e = e e i i i i i i i ( ) ( ) ( ) Die erste ud die weite Gleichug folge aus de Reihe der auftretede Fuktioe. Die dritte ud vierte Gleichug ergebe sich durch Additio bw. Subtraktio der erste beide. Auch die Additiostheoreme für Sius ud Kosius gelte für komplexe Zahle w ud : Ebeso gilt ( ) ( ) si w ± = si w cos ± cos w si cos w ± = cos w cos si w si si + cos = 1 Durch Awedug des Additiostheorems auf si = si (x ± i y) erhält ma uächst ( x ± y) = x ( y) ± x ( y ) si i si cos i cos si i. Ersett ma da cos (iy) ud si (iy) durch die etsprechede Expoetialfuktioe, wobei ma = 0 + iy sett, so ergibt sich 1 y y 1 y y si ( x ± i y) = si x ( e + e ) ± i cos x ( e e ), ud da uter Vorgriff auf die Hyperbelfuktioe (siehe ächstes Kapitel) 16

18 ud ebeso ( ) si x ± i y = si x cosh y ± i cos x sih y, ( ) cos x ± i y = cos x cosh y i si x sih y. 5.3 Die Hyperbelfuktioe Ebeso wie bei de trigoometrische Fuktioe werde bei de Hyperbelfuktioe die Defiitioe eifach auf komplexe Argumete übertrage: Daraus folgt da Def e e Def e + e sih =, cosh =. (5.1) 1 sih = si(i ) = isih(i ), cosh = cos(i ). (5.) i Über die Reiheetwicklug der jeweils rechts stehede trigoometrische Fuktioe ergebe sich die bestädig kovergete Potereihe Aus (5.) folgt isbesodere sih = cosh = ! 3! 5!! 4! 1 sih(π i) = si ( π ) = 0, cosh(π i) = cos( π ) = 1. (5.3) i Mit Hilfe der Defiitiosgleichuge (5.1) köe die Additiostheoreme bestätigt werde: ( ) ( ) sih ± = sih cosh ± cosh sih cosh ± = cosh cosh ± sih sih Sett ma dari 1 = ud = πi, so erhält ma mit Hilfe vo (5.3) die Periodiitätseigeschafte sih ( + π i) = sih, cosh ( + π i) = cosh, ud außerdem cosh sih = Die Logarithmusfuktio Es sei wieder eie vo 0 verschiedee komplexe Zahl ud Da gilt für die uedlich viele Zahle aber auch ur für diese = r, arg = ϕ. w = l r + i( ϕ+ k π ), k gaahlig, k 17

19 w r k r k r k l i( ) l i i i e e + ϕ+ π = e e ϕ π = = e = e ϕ =. Jede dieser Zahle w k (aber auch ur diese) soll ei atürlicher Logarithmus vo geat ud durch l beeichet werde. Jede vo 0 verschiedee komplexe Zahl hat demach uedlich viele Logarithme. Alle diese Logarithme stimme im Realteil überei; ihre Imagiärteile uterscheide sich ur um gaahlige Vielfache vo π. Die Bildpukte dieser Zahle i der komplexe Zahleebee liege alle auf eier Parallele im Abstad ± r ur sekrechte Achse ud habe de Abstad π voeiader. Für geau eie dieser Pukte er sei w* geat gilt: * ( w ) π < Im π. Diese Zahl w* wird der Hauptwert l* des atürliche Logarithmus der Zahl geat. Für die adere Werte gilt da k, k * l = l + π i gaahlig. Isbesodere ist * * π * π l ( 1) = π i, l i = i, l ( i) = i ud bei geeigeter Wahl der Werte 1 l( 1 ) = l 1 + l, l = l 1 l, 1 0, 0. 18