Computergestütztes wissenschaftliches Rechnen SoSe 2004

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1 Computegestütztes wissenschaftliches Rechnen SoSe 2004 Alexande K. Hatmann, Univesität Göttingen 10. Juni Tempeatu Gleichveteilungssatz: im Mittel 1 2 k BT kinetische Enegie po Feitheitsgad, d.h. i 1 2 m i ṙ 2 i = 3N 2 k BT (1) Poblem: Integation de Bewegungsgleichungen lässt Gesamtenegie konstant. Einfachste Lösung: Reskalieung de Geschwindigkeiten, so dass (1) efüllt ist, d.h. man multipliziet jede Geschwindigkeit mit 3k B T λ = i m iṙ 2 (2) i E_kin E_ges E_pot E(t) Abbildung 1: Kinetische, Gesamt- und potentielle Enegie eines LJ Systems mit Reskalieung auf k B T = 1 (L = 10, 50 Teilchen, m = 1, ɛ = 1, σ = 1, τ = 0.001). t Nachteil: Kinetische Enegie = konstant. Nosé-Hoove Themostat. Gundidee: Einfühung eines Tempeatu-Bad Teilchens, das mit allen Atomen wechselwikt und falls i m iv 2 i < 3Nk BT Tempeatu langsam zufüht (bzw abfüht). 1

2 6.5 Exkusion: Povay Pogamm zu 3D Dastellung von beliebigen Szenen: povay. Gundidee: Szene = Ansammlung von Objekten + Lichtquellen + Kamea. Wid in einem Szenebescheibungsfile (.pov) File im ASCII Fomat beschieben. Beispiel: Dei Kugeln mit Stangen vebunden auf Ebene (example.pov) #include "colos.inc" backgound colo White } sphee <10, 2, 0>, 2 pigment Blue } } cylinde <10, 2, 0>, <0, 2, 10>, 0.7 pigment colo Red } } sphee <0, 2, 10>, 4 pigment Geen tansmit 0.4} } cylinde <0, 2, 10>, <-10, 2, 0>, 0.7 pigment Red } } sphee <-10, 2, 0>, 2 pigment Blue } } plane <0, 1, 0>, -5 pigment checke colo White, colo Black}} light_souce <10, 30, -3> colo White} camea location <0, 8, -20> look_at <0, 2, 10> apetue 0.4} Povay endet die Szene, d.h. beechnet welche Wege das Licht, das die Kamea eeicht, mit Reflxion, Bechung und Absoption nimmt photoealistisch. Aufuf: x-povay +I example.pov -display 0:0 -W640 -H480 +P Bedeutung de Optionen: +I <file>: Name des Inputfiles -display <d>: Wo wid es angezeigt -W <w>: Göße in x-richtung -H <h>: Göße in y-richtung +P: wate auf Klick in Window mit Bild, bevo es gelöscht wid. Abbildung 2: Beispielszene, die mit Povay geendet wude. Hie: Unteoutine, die eine Atomkonfiguation in eine Povayszene als Ansammlung von Kugeln umwandelt 3d Visualisieung de Konfiguation. 2

3 /***************** glas_plot_cfg() **********************/ /** Pints configuation atom to povay file with **/ /** name cfg.pov. Display with x-povay +I cfg.pov **/ /** PARAMETERS: (*)= etun-paamte **/ /** system: global system paametes **/ /** atom: atom data **/ /** RETURNS: **/ /** nothing **/ /********************************************************/ void glas_plot_cfg(glas_system_t *system, glas_atom_t *atom) cha filename[1000]; FILE *povfile; int t, d; /* loop countes */ double *; /* position */ = (double *) malloc(system->dim*sizeof(double)); spintf(filename, "cfg.pov"); povfile = fopen(filename, "w"); /* open file */ fpintf(povfile, "#include \"colos.inc\"\n" /* heade etc */ "#include \"shapes.inc\"\n\n"); fpintf(povfile, "backgound colo Yellow }\n\n"); fpintf(povfile, "camea \n location <%f, %f, %f>\n", 0.5*system->l[0], -1.5*system->l[1], 0.5*system->l[2]); fpintf(povfile, " sky <0,0,1>\n"); fpintf(povfile, " look_at <%f, %f, %f>\n}\n\n", 0.5*system->l[0], 0.5*system->l[1], 0.5*system->l[2]); fpintf(povfile, " light_souce <%f, %f, %f> colo White}\n\n", 0.5*system->l[0], -0.5*system->l[1], 1.5*system->l[2]); fpintf(povfile, " light_souce <%f, %f, %f> colo White}\n\n", -0.5*system->l[0], -0.5*system->l[1], 1.5*system->l[2]); } fo(t=0; t<system->n; t++) /* pint atoms */ fo(d=0; d<system->dim; d++) [d] = atom[t].x[d]; if([d] < 0) /* fold positions into box */ [d] += floo(-[d]/system->l[d]+1)*system->l[d]; if([d] > system->l[d]) [d] -= floo([d]/system->l[d])*system->l[d]; } if(system->dim == 3) fpintf(povfile, "sphee <%f,%f,%f>, %f\n pigment Blue }}\n", } fclose(povfile); fee(); [0], [1], [2], 0.4*atom[t].sigma); 3

4 Statkonfiguation mit hexagonal dichteste Kugelpackung in Box de Göße 6σ min 6 3 σ 8 2 min 6 σ 12 min, N = 6x6x6 Atome, 1000 Schitte. Simulation bei hohe Tempeatu T = 10 egibt: Abbildung 3: Konfiguation bei hohe Tempeatu T = 10 Simulation bei niedige Tempeatu T = 0.3: System bleibt kistallin! Abbildung 4: Konfiguation bei tiefe Tempeatu T = Reduziete Einheiten Fü Lennad-Jones Systeme mit nu eine Teilchensote: Man kann alle Gößen in Einheiten de Teilchemasse m, des Radius σ und des Enegiepaametes ɛ ausdücken eduziete Einheiten, z.b. eduziete Abstand = σ: Dichte ρ = ρσ 3 Tempeatu T = k B T/ɛ Enegie E = E/ɛ 4

5 Duck P = P σ 3 /ɛ Zeit t = t ɛ/mσ 2 Kaft f = fσ/ɛ... Voteil: Man kann sich Beechungen im Pogamm spaen + alle Gößen sind nähe an O(1). Beispiel: Agon: ɛ = 121k B = J, σ = 3.4Å, m = 6, Beechnung des Ducks Vogiff auf Themodynamik/Statistik (5. Semeste) (unte Vewendung des Viialsatzes): P V = Nk B T + W (V=Volumen) wobei das Viial W = 1 3 i i V mit f i := i V : Kaft auf Teilchen i. Meke: Ohne Wecheslwikung is W = 0, also P V = Nk B T (ideales Gas). Fü Paawechelwikung, mit f ij = f ji : i W = 1 3 i f i i = 1 3 i f ij i j i ( ) 1 = i f ij i f ij ( ) 1 = i f ij j f ji = ( 3 i j ) f ij = 1 ( 3 i j ) f ij (3) i<j Ändeungen am Pogamm: Eweiteung von glas_system_t um double viial; /* Viial = sum_(i>j) _ij*f_ij/3 */ Eweiteung von glas_enegy_foces() um Beechnung des Viials in de innesten Schleife gemäß (3) Messung des Ducks als Funktion de Tempeatu (Statkonfiguation dichteste Kugelpackung, Schitte, Duck = Mittelwet aus den letzten 5000 Schitte.): 5

6 60 "md_pessue.out" P T Abbildung 5: Duck als Funktion de Tempeatu fü LJ Gas. Spung zwischen T = 1.6 und T = 1.7: Phasenübegang kistalling flüssig. 6.8 Abgeschnittene Potentiale Beechnung de LJ-Wechselwikung: Alle Paae von Atomen betachtet Rechenzeit O(N 2 ), wid langsam fü goße Systeme. Ausweg: Fü goße Abstände: Potential klein Abschneiden fü cut : LJ () = VLJ () < cut 0 cut V cut Typischeweise cut = 2 3σ. Abe: Unstetigkeit bei = c Potential veschieben: LJ () = VLJ () V LJ ( cut ) < cut 0 cut V cut Alledings: Kaft noch unstetig bei cut. Duch Intepolation mittels Splines auch Kaft stetig (wid abe meistens nicht gemacht). Nun: Nu noch Atompaae mit < cut zu beücksichtigen. Dazu: unteteilung des Systems in d-dim Boxen (Velet Boxen), mit Kantenlängen l i cut. 6

7 BOX i Abbildung 6: Bei kuzeichweitige Wechselwikung: Einteilung des Systems in Velet Boxen man baucht bei de Beechnung de Wechselwikung nu übe die eigene und die Nachbaboxen iteieen, statt übe das ganze System. Jede Box speichet die enthaltenen Atome. Wenn ein Atom die Box wechsel, müssen die Aays geändet weden. Realisieung de Boxen als Aays, sowie fü jedes Atom die Boxnumme und seine Position in dem Box-Aay speichen (in gas_atom_t). Ein-/Ausfügen aus Box in Rechenzeit O(1) eeichtba. Bei Beechnung de Kaft muß fü jedes Atom nu übe die eigene Box + alle Nachbaboxen iteiet weden (bei konstante Dichte) Gesamtechenzeit O(N)! 6.9 Potentiale fü Biomoleküle Simulation von Biomolekülen = veschiedene geladene Polymeemoleküle = Ketten (mit Vezweigungen) von Atomen. Entscheidend: Wahl des Potentials. Typisch: Gesamtpotential = gebundene Wechselwikungen V 1 plus ungebundene (Fen-) Wechselwikungen V 2 : Gebundene Wechselwikungen: hamonische Bindungeslängen (Zwei-Teilchen WW) und Bindungswinkel (Dei-Teilchen WW), sowie Tosionswinkel (Vie-Teilchen WW) 7

8 l θ φ Abbildung 7: Gebundene Wechselwikung: Bindungslänge l, Bindungswinkel θ und Tosionswinkel φ = Winkel zwischen denen duch je dei Atomen aufgespannten Ebenen. V 1 = bonds k l (l l 0 ) 2 + k θ (θ θ 0 ) 2 + A n [1 + cos(nφ φ 0 )] angles tosions,n=1,2,3 Fenwechselwikung: Lennad-Jones und Coulombwechselwikung. V 2 = V LJ () + i<j 4πɛ ɛ 0 ij q i q j Coulomb-WW: langeichweitig hohe Fehle beim Abschneiden: Besse: WW komplett mitnehmen (sog. Ewald-Summen bei peiodischen Randbedingungen) ode hieachische Multipolentwicklung (siehe Feldtheoie, 6. Semeste). Es gibt viele Teilchensoten viele Paamete. Aus QM ab-initio Rechnungen / heuistischen Anpassungen bestimm. Aufwändig: Biomomoleküle üblicheweise in Wasse gelöst viele Wasseteilchen mitnehmen. 8