Zusammenfassung 5. Doppelstunde

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1 Bisheige Volesung 1. Bedeutung von Wolken in de Atmosphäe, Enegie- und Wassekeislauf, Definition Hydometeoe, Topfengößenveteilung. Momente des Topfenspektums, Wolkenklassifikation, Clausius-Clapeyon'sche Gleichung, Begeon-Findeisen Pozess. Veschiedene Feuchtegößen, Ezeugung von Übesättigung, Adiabatische Flüssigwassegehalt 4. Feuchtegößen bei tocken-adiabatischen Bewegungen, Feuchtadiabatische Bewegungen, Atmosphäische Stabilität 5. Übungen zu Stabilität, homogene/heteoogene Nukleation, Köhlekuven Topfenwachstum (Koagulation+Koaleszenz), 15.6 (Eiskistalle),.6 (Niedeschlag), 9.6 (spektale Wolkenmodelle), 6.7 (Wolken im Klima-Modell), 1.7 Messungen von Wolken)), 0.7 Fallstudie (Messungen + Modelle) Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

2 Zusammenfassung 5. Doppelstunde Topfenbildung duch homogene ode heteoogene Nukleation Betachtung von Systemen, die aus meheen Stoffkomponenten bestehen Chemisches Potential µ bescheibt die Ändeung de inneen Enegie des Gesamtsystems duch lokale Massenzu- o. Abnahme de Stoffkomponente k Gibbs-Duhem-Gleichung bescheibt Ändeungen des chemisches Potentials aufgund von Tempeatu- und Duckändeungen mk dµ k S dt + V dp Kümmung von Topfen k Kelvinfomel gibt die Übesättigung an, die fü das Vohandensein eines stabilen Wolkentopfen des Radius nötig ist Raoultsches Gesetz bescheibt Reduktion des Sättigungsdampfduck übe Lösung Köhle-Kuven bescheiben die gleichzeitige Wikung des Kümmungs- und Lösungseffektes pinzipiell müssen auch schwach lösliche Aeosolkene in Köhle-Kuven beücksichtigt weden (Ausgasen!) Nebel auch bei Untesättigungen in veschmutzte Atmosphäe möglich Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

3 Kümmungseffekt Sättigungsdampfduck hängt nicht nu von de Tempeatu sonden auch de von de Obeflächenspannung. Moleküle müssen zu Vedunstung Bindungskaft übewinden, Moleküle müssen vom Topfeninneen an den Rand tanspotiet weden Abeit dw [J], die notwendig ist, um eine Obefläche A [m ] zu änden w σ da mit Obeflächenspannung σ [N/m] ist schwieig zu bestimmen (eines Wasse, tiefe Tempeatuen,..) Roges & Yau: σ c 1T + c c x 10-4 N m -1 K -1 fü -0 bis+0 C c Nm -1 Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

4 Enegiebilanz zu Topfenbildung Unte welchen Bedingungen fomt sich ein stabile Wolkenembyo? E W + G Mechanische Abeit Abnahme de Gibb schen feien Enegie E σ 4π 4 π nkt d g ln( α de e e s ) s sdt E 0 Netto-Enegie daf mit zunehmende Göße (Radius) nicht abnehmen, Auf dem Weg zum Gleichgewichtszustand nimmt die Entopie eines System zu S 0, wähend seine innee Enegie abnimmt U 0 Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

5 Kitische Topfenadius Sättigung S kitische Radius c [µm] x x x x x x x 10-4 Anzahl de Moleküle.468 x x x Topfen, de duch zufälligen Zusammenstoss von n Molekülen gefomt wid, ist nu bei gegebene Übesättigung S stabil! Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

6 Kondensation Ehöhung de Übesättigung, z.b. duch weitees Aufsteigen S* stabil instabil Topfenwachstum, da bei gößeem Radius wenige Übesättigung benötigt wid gequollenes Aeosol * Patikel ist aktiviet Wolkentopfen Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

7 Köhle Kuven ' e s e ( s ( ) ) 1 + a b d d a b S 1 + 0! d d a b + a + b 4 * b / a mit S* S - 1 * S 1+ 4a / 7b Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

8 Diffusionswachstum Ist Patikel aktiviet (d.h. * eeicht) kann es duch Wassedampfdiffusion aus de Umgebung weite wachsen (Diffusionswachstum) isoliete, kugelfömige Wassetopfen des Radius, de Masse M und de Dichte ρ w R Tempeatu T und Wassedampfdichte ρ v de Umgebung vebleiben konstant, M, ρ w Topfen wächst duch die Diffusion von Wassedampf zu seine Obefläche hin Im Gleichgewicht stellt sich ein Diffusionsfeld um den Topfen ein, so dass die Masse an Wasse duch jede beliebige kugelfömige Obefläche um den Topfen unabhängig von deen Radius R und de Zeit t ist Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

9 Topfenwachstum T R Annahmen Atmosphäe uht Wassedampfkonzentation ändet sich nu adial n(r) Wassedampftanspot zum Topfen ist ein diffusiv das äußee Duckfeld ist stationä isotheme, isobae Atmosphäe, T R ρ v n(r) m o Wassedampfdichte m o Molekülmasse D n Dampffluss D Diffusionskoeffizient [m s -1 ] n t [ D n] Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

10 Diffusionsgleichung Allgemeine Diffusionsgleichung J 0 (Divegenzfeiheit des Wassedampfdiffussionsfluss) n t 0 Stationaität [ D n] D n( R) J (Wassedampfdiffussionsfluss) Allgemeine Lösung n ( R) C1 C / R Randbedingungen ; n n( ) ungestöte Wassedampfkonzentation 0; n n() Wassedampfkonzentation am Topfenand Spezielle Lösung n( R) n( ) R ( n( ) n( ) ) n( ) < n(), da diekt an de Topfenobefläche Sättigung hescht Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

11 Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004 Topfenwachstum [ ] 0 n D t n ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( n n R n R n ( ) ( ) n D n n n R D n D R J R 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Molekülflussdichte am Topfenand R Topfen wächst in Abhängigkeit von Diffusionkoeffizient, Topfenadius und dem Feuchtegadienten von Topfenand zu Umgebung

12 Massenwachstum ( ( ) n( ) ) J ( R ) D n Massenändeungsate des Topfen 1 D Diffusionskoeffizient [m s -1 ] n Wassedampfkonzentation [m - ] m 0 Masse eines Moleküls [kg] ρ v n m Wassedampfdichte [kg 0 m- ] J Molekülflussdichte [m - s -1 ] Anzahl de Moleküle, die po Sekunde duch Topfenobefläche diffundieen dm D n 1 4π ( ( ) n( ) ) mo dm 4 d 4 ( ) ( ) Obefläche Molekülmasse Molekülfluss J ππρ D ρ ρ > ρ vu v Kondensation, Wachstum vu ρ w 4 v π D ρvu ρv ρ < ρ vu v Vedunstung Maxwell Gleichung, 1890 in Encyclopedia Bitannica Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

13 Wämeeffekt Pozess ist nicht isothem, da bei Kondensation latente Wäme fei wid Topfentempeatu T ehöht sich Aufgund de Stationaität de Felde muss die Wäme duch Diffusion vom Topfen an die Umgebung abgegeben weden dq 4π K ( ) T T u K Wämeleitfähigkeit [J m -1 s -1 K -1 ] Q Latente Wäme [J] Wämehaushaltsgleichung fü den Topfen c w M dt dm dq L c w spez. Wämkapazität von Wasse [J kg -1 K -1 ] 0 (stationä) Wämediffusion Kondensation/Vedunstung Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

14 Kombination Wassedampf/Wäme dm ( ρ ρ ) 4π D u dq 4π K ( ) T T u Wämehaushaltsgleichung c w M dt L dm dq Umgebungsbedingungen aus Messung bekannt ρ T u ρ T vu v K L D leichte Abhängigkeit von Tempeatu und Duck Zustandsgleichung fü Wassedampf an Topfenand e ' s ) ( es ( 1 a b ) ρ v RL T v RL Tv Köhle-Kuve fü Lösung mit Radius Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

15 Wachstumsgleichung Gekoppeltes System von Gleichungen mit den Vaiablen T, ρ v ρ T u ρ T vu v K L D ρ v e s ( 1 a b ) R L T v dm 4π L R T L S 1 a v 1 + b L KT RvT + De ( T ) s Wassedampfdiffusion F d themodynamische Tem F k Zusammenhang Massen- und Radiuswachstum M 4 dm d π ρ w 4π ρ w mit Kenntnis von Umgebungstempeatu- und Feuchte, und den Koeffizienten fü Diffusion, Wämeleitung und Vedampfungswäme kann Topfenwachstum beechnet weden Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

16 Koeffizienten fü Wäme- und Wassedampfdiffusion nach Laube und Hafle [1988] L 1 ( ( T 7.15) ) [ J ] kg D 1015Pa T [ 7.15 m s p K 5 1 ] K ( T 7.15) [ J m s ] K 5 dynamische Viskosität µ [kg m -1 s -1 ] de Luft ist popotional zu K kinematische Viskosität [m s -1 ] (µ/ρ) ist popotional zu D Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

17 Wie schnell wächst ein Topfen? 0 fü 10 µm Topfen d S 1 a + b F k + F d d S F k + F d 1 Isothemie! ζ d ζ Paabolische Wachstumsgleichung ( t) o + ζ t ζ - nomalisiete Kondensationswachstumspaamete [µm s -1 ] ζ S F 1 + F ζ ist abhängig von Tempeatu und Duck S 1 ζ Je wäme die Luft und jeniedige de Duck, desto schnelle wächst de Topfen k d 1 Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

18 Wie schnell wächst ein Topfen? Paabolische Wachstumsgleichung ( t) o + ζ t Bei Topfenwachstum duch eine Wassedampfdiffusion veengt sich das Topfenspektum mit de Zeit Betachte zwei Topfen mit den Anfangsadien 1 (0) und (0) mit 1 (0) < (0) Zum Zeitpunkt t gilt dann ( t) ( t) 1 (0) ( t) + 1 (0) ( t) 1 N() N() d o d Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

19 Beispiele fü Topfenwachstum Ken aus SodiumChloid (anfangs 0.75 µm Radius) wächst bei eine Übesättigung von 0.05 %, T7 K und p900 hpa Kenmasse in Gamm Zeit in Sekunden bis zum Eeichen eines bestimmten Radius Radius in µm Topfen, die an goßen Kenen gebildet weden, wachsen anfangs seh schnell Hat de Topfen ca. 10 µm eeicht spielt die Göße des Anfangskeims keine Rolle Innehalb eine Stunde kann ein Topfen von seh klein bis seh goß wachsen Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

20 Wie schnell vedunstet ein Topfen? Massenwachstumsgleichung bescheibt auch die Vedunstung von Wolkentopfen (Übesättigung S ist negativ) Bei Kenntnis de Fallgeschwindigkeit lässt sich ausechnen, wie lange es dauet bis ein aus de Wolke fallende Topfen vollständig vedunstet ist ~ popotional zu 4 Genze zwischen Wolkenund Regentopfen Anfangsadius in µm v() S<0 Zuückgelegte Distanz µm 0.17 mm.1 cm 1.69 m 08 m 1050 m Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

21 Koektuen zum Diffusionswachstum Welche Effekte müssen zusätzlich zum einen Diffusionswachstum beücksichtigt weden? Topfen sind nicht alleine Wettbeweb de Topfen um den zu vefügung stehenden Wassedampf Wachstum von Topfenpopulationen kinetische Genzschicht um Topfenobefäche Ventilationseffekte duch die Bewegung des Topfens elativ zu Obefläche Wassedampf- und Tempeatufelde sind aufgund de expandieenden bzw. kontaktieenden Topfen nicht stationä geinge Effekt, da sich beeits nach 10 µs Gleichgewicht einstellt unstetige Aufwinde geinge Effekt: schwache Aufwinde: Topfen haben lange Zeit zu wachsen, geinge Übesättigungen stake Aufwinde: Topfen haben wenig Zeit zu wachsen, hohe Übesättigungen Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

22 Topfenpopulationen Topfen kommen in goße Anzahl (bis 1000 cm - ) vo zeitliche und äumliche Ändeung de Veteilungsfunktion n() muss beschieben weden als innee Koodinate wid meist Topfenadius ode masse vewendet Spektale Bilanzgleichung n t) t n( ) t ( + [ n( ) v] + [ n( ) v ( ) ] + & σ Ezeugungs- bzw. Velusttem Divegenz im Otsaum Divegenz bzgl. innee Koodinate & d Radiusändeungsate eines Einzeltopfen duch Kondensation bzw. Vedunstung Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

23 Topfenpopulationen Spektale Bilanzgleichung n( t) t + n( ) t [ n( ) v] + [ n( ) v ( ) ] + & σ v v v t t v t v Schwepunktsgeschwindigkeit de Population/Ensemble Eigengeschwindigkeit de Topfen (Sedimentation) Diffusionsgeschwindigkeit σ + σ σ Koagulation + σ Beak up Nukleation σ σ σ Koagulation Beak up Nukleation Stoßwechselwikungen Zeplatzen Umveteilung zwischen Radiusklassen Ezeugung neue Topfen / vollständige Velust Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

24 Wachstumsgleichungen Massendiffusion zum Topfen hin d D ρ R T ( e e w v ) Wämeleitung vom Topfen weg d K ( T T ) Lvρ w Köhle-Kuve kombiniete Kümmungs und Lösungseffekt e e s 1+ a b Clausius-Clapeyon-Gleichung e ( ) Lv exp RvT ( T T ) s es Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

25 Fallgeschwindigkeit von Topfen Käfte, die auf einen Topfen wiken Schwekaft Auftieb Reibungskaft Fallgeschwindigkeit (teminal velocity) egibt sich aus Gleichgewicht alle einwikende Käfte Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

26 Fallgeschwindigkeit von Topfen Reibungskaft F π v ρ C D µ 6 π v D ( C Re/ 4) Schwekaft + Auftieb F g 4π g ( ρ ρ ) l v 8 g ρl ρ C D v Fallgeschwindigkeit des Topfen elativ zu Luft ρ Dichte de Luft ρ l Dichte des Topfens (liquid) C D Reibungskoeffizient Re Reynoldszahl µ dynamische Viskosität Re ρ v / µ v 9 g ρl ( C Re/ 4)µ D g ρl v k1 9 µ 1 Stokes Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

27 Fallgeschwindigkeit von Topfen kleine Reynoldszahl Wolkentopfen < 0 µm goße Reynoldszahl Regentopfen >0.6 mm v v k k 1.19 cm s 1 k ρ cm s k 10 ρ goße Reynoldszahl 40 µm < <0.6 mm v k k s Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004

28 Fallgeschwindigkeit von Topfen Wolkenphysik und Niedeschlag, Susanne Cewell SS 004