Exkurs: Beweisen mit Tableau. Tableau-Methodik. Tableau-Erweiterungsregeln. Tableau-Beweis: Beispiel (1)

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1 Tableau-Methodik Exkus: Beweisen mit Tableau Este Algoithmus (fü ALC) [Schmidt-Schauß Smolka, 1991]. Eweiteungen fü: Zahlenestiktion [Baade, 1991] Tansitive Relationen [Sattle, 1996] Konkete Bildbeeiche, z. B. Zahlen [Baade Hanschke, 1991]... Inzwischen existieen hoch-optimiete Tableau-Algoithmen fü eine Reihe von bescheibungslogischen Spachen, die sich auch im Vegleich mit klassischen Beweisen gut schlagen (vgl. mit TABLEAUX/TANCS 99 Benchmak). Idee: Man entscheidet die Unefüllbakeit eines Begiffs C, indem man systematisch vesucht ein Modell von C zu konstuieen. Ist dies efolgeich, ist C efüllba, sonst nicht. Semantische Tableau egeben ein Beweisvefahen, mit dem ähnlich wie mit de Resolution eine Fomel daduch bewiesen wid, dass ihe Negation als widespüchlich abgeleitet wid (poof by efutation). Es wid ein Baum konstuiet, in dem jede Knoten mit eine Fomel makiet ist. Ein Pfad von de Wuzel zu einem Blatt stellt die Konjunktion alle Fomeln de Knoten entlang des Pfads da; eine Vezweigung stellt eine Disjunktion da. De Baum wid aufgebaut duch sukzessive Anwendung de Tableau-Eweiteungsegeln. Ein Pfad in einem Tableau ist abgeschlossen, wenn entlang des Pfads sowohl X wie X fü eine Fomel X aufteten, ode wenn F (false) auftitt (X muss nicht atoma sein). Ein Tableau heißt abgeschlossen, wenn alle seine Pfade abgeschlossen sind. Auswahl de Regeln bei de Eweiteung sind z. T. nichtdeteministisch. Tableau-Beweis fü eine Fomel X ist ein abgeschlossenes Tableau fü X. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Tableau-Eweiteungsegeln Tableau-Beweis: Beispiel (1) Fü Aussagenlogik: X X W F F W Aussagenlogische Tableau-Beweis fü (P (Q R)) ((P Q) (P R)): (1) `(P (Q R)) ((P Q) (P R)) (α aus 1) Fü konjunktive Fomeln ( α-regeln ): α α 1 α 2 X Y X Y Fü disjunktive Fomeln ( β-regeln ): β β 1 β 2 X Y X Y (X Y) X Y (X Y) X Y (X Y) X Y X Y X Y (2) (P (Q R)) (α aus 1) (3) `(P Q) (P R) (α aus 3) (4) (P Q) (α aus 3) (5) (P R) (α aus 5) SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-168

2 Tableau-Beweis: Beispiel (2) Tableau-Vefahen fü Pädikatenlogik (α aus 5) (6) P (α aus 5) (7) R (β aus 2) (8) P (9) (Q R) (β aus 9) (10) Q (11) R (β aus 4) (12) P (13) Q Tableau-Eweiteungsegeln fü Pädikatenlogik: Eweiteungsegeln wie fü Aussagenlogik in den Regeln stehen X Y dann fü beliebige (pädikatenlogische) Fomeln Zusätzlich die folgenden Regeln fü die Behandlung quantifiziete Fomeln: γ γ[t] δ δ[c] γ ist eine univesell quantifiziete Fomel, δ eine existentiell quantifiziete Fomel. γ[t] δ[c] egeben sich aus den folgenden Tabellen: γ γ[t] x.φ Φ[x := t] x.φ Φ[x := t] δ δ[c] x.φ Φ[x := c] x.φ Φ[x := c] Hiebei sind t ein Gtem (ode allgemeine: ein Tem, de keine Vaiablen enthält, die in Φ geben sind) c eine neue Konstante. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Tableau-Regeln mit Vaiablen Tableau-Vefahen: Eigenschaften Statt geeignete Instanzen de γ- δ-regeln zu eaten, können auch feie Vaiablen Skolem-Funktionen in de Eweiteung benutzt weden. Tableau-Eweiteungsegeln mit Skolem-Funktionen feien Vaiablen γ γ[v] δ δ[f(v 1,.., v n)] Hiebei sind v eine neue Vaiable, f eine neue Skolem-Funktion, v 1,..., v n alle bishe in dem beteffenden Zweig des Tableaus eingefühten feien Vaiablen. Tableau-Substitutionsegel: T sei ein Tableau fü eine Menge S von geschlossenen Fomeln, σ eine Substitution, die fei fü T (d. h. fei fü alle Fomeln in T ) ist; dann ist σ(t) (d. h. jede Fomel X in T duch σ(x) esetzt) auch eine Tableau fü S. Eine elementa Substitution {x t} ist fei fü eine Fomel P, wenn x in P nicht im Bindungsbeeich eine Vaiablen y vokommt, die auch in t vokommt. Eine Substitution σ ist fei fü eine Fomel P, wenn jede ihe Elementa-Substitutionen fei fü P ist. Sätze übe das Tableau-Vefahen: 1. Efüllbakeit wid duch die Tableau-Regeln ehalten: wenn die Wuzel-Fomel eines Tableaus efüllba ist, dann gibt es mindestens einen Pfad im Tableau, de efüllba ist. 2. Eine Tableau-Fomel G ist unefüllba genau dann, wenn ein geschlossenes Tableau fü G existiet. (Koektheit Widelegungsvollständigkeit des Vefahens) Das Vefahen kann auf unefüllbae Mengen von Fomeln eweitet weden. Tableau-Vefahen weden zunehmend auch fü maschinelles Beweisen heangezogen, als Altenative zu Resolution. Wegen de elativ einfachen Modifiebakeit de Dekompositionsegeln weden Tableau-Vefahen insbesondee auch fü andee Logiken (wie intuitionistische Logik, Modal-Logiken) entwickelt. Seit einige Zeit gibt es soga eine eigene Tagungseihe speziell fü Beweisen mit Tableaus. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-172

3 Tableau-Vefahen Resolution Gemeinsamkeiten: Beweis duch Widelegung ausgehend von de zu beweisenden (bzw. zu widelegenden) Fomel Steueung duch Auswahl-Stategien Unteschiede: Resolution setzt Tansfomation de Fomeln in Klauselfom voaus; Tableau-Vefahen nimmt in gewisse Weise eine Tansfomation wähend de Konstuktion des Tableau vo, d. h. Tanfomation ist Teil de Regeln. Resolution efodet Reduktion auf leee Klausel fü efolgeichen Beweis; Tableau-Vefahen kann (im Pinzip) efolgeich stoppen, ohne dass die Fomel vollständig auf Atome eduziet ist. Es ist im allgemeinen einfache, aus einem nicht weite eduziebaen Tableau ein Modell ( damit ein Gegenbeispiel) abzulesen, als aus einem fehlgeschlagenen Resolutionsbeweis. Tableau-Methode in Bescheibungslogiken: (einf. Bsp. 1) TBox: T C D E Fagestellung: Reduktionen: =.A.B =.E = A B C T D 1. Auffalten:.A.B.(A B) 2. Reduktion auf Unefüllbakeit:.A.B (.(A B)) unefüllba? 3. Negationsnomalfom (Negationen nach innen schieben): F =.A.B.( A B) 4. Vesuch, ein Modell fü F zu konstuieen: SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Tableau-Methode: allg. Vogehensweise (einf. Bsp. 2) Tableau-Methode: allg. Vogehensweise (einf. Bsp. 3) 1. Annahme: Es existiet ein Element a in de Intepetation des Begiffs F, d. h. a (.A.B.( A B)) I 2. Dann muss dieses a auch in de Intepetation alle Konjunkte liegen: a (.A) I a (.B) I a (.( A B) I 3. Dann muss es auch Elemente b c geben, so dass (a, b) I (a, c) I b A I c B I b ( A B) I c ( A B) I (a, b) I b A I b ( A B) I b : {A} (a, c) I a : {.A,.B,.( A B)} c B I c ( A B) I c : {B} SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-176

4 Tableau-Methode: allg. Vogehensweise (einf. Bsp. 3) Tableau-Methode: allg. Vogehensweise (einf. Bsp. 4) (a, b) I b A I b ( A B) I (a, c) I c B I c ( A B) I Es ist ein Modell fü F gefen (dei Individuen a, b c existieen ohne Widespuch). Die Subsumtionsbeziehung gilt nicht! a : {.A,.B,.( A B)} b : {A, ( A B)} b : {A, B} c : {B, ( A B)} c : {B, A} Eweiteung des Beispiels: (Hinzunahme eine Kadinalitätseinschänkung) TBox: T C =.A.B ( 1 ) D E =.E = A B Fagestellung: C T D Negationsnomalfom:.A.B ( 1 ).( A B) SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Tableau-Methode: allg. Vogehensweise (einf. Bsp. 5) Kadinalitätseinschänkung füht zu Veschmelzung de Relationsfülle (Relationsfülleeinschänkung bzgl. A fällt notwendigeweise mit dem Fülle bzgl. de Einschänkung B zusammen). a : {.A,.B, ( 1 ),.( A B)} Tableau-Methode: allg. Vogehensweise (einf. Bsp. 5) Kadinalitätseinschänkung füht zu Veschmelzung de Relationsfülle (Relationsfülleeinschänkung bzgl. A fällt notwendigeweise mit dem Fülle bzgl. de Einschänkung B zusammen). a : {.A,.B, ( 1 ),.( A B)} Gleichsetzung de Individuen b = c : {A, B, ( A B)} b = c : {A, B, ( A B)} Altenative 1: b = c : {A} Widespuch Altenative 2: b = c : {B} Widespuch Widespuch in allen Fällen: D. h. die Subsumtionsbeziehung gilt! SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-180

5 Tableau-Vefahen fü Bescheibungslogiken Tableau-Methodik in Bescheibungslogiken: allg. Vogehensweise Um einen optimalen (spich effizienten) Tableau-Algoithmus fü Bescheibungslogiken zu ehalten, weden: Tableau-Regeln nicht blind angewendet Redante Veifikationen vemieden bzw. zwischengespeichet. Abstaktion: Beispiel:.C. In eine geg. Intepetation I gibt es ein a mit a (.C) I. Aus de fomalen Semantik des -Konstuktos folgt, dass es ein b geben muss, so dass (a, b) I b C I. Dies gilt fü alle Intepetationen, so dass von Intepetationen abstahiet weden kann. In eine geneischen Intepetation abeiten wi fotan mit geneischen Elementen (x, y, z,...). Notation: Das geneische Element x liegt in de geneischen Intepetation de Konzeptbescheibung.C, geschieben: x : {.C}. Allgemeine Vogehensweise um ein Modell fü ein Konzept C zu finden: Auffalten Reduktion auf Unefüllbakeit Negationsnomalfom Das Modell wid duch einen Baum T abgebildet. Knoten in Ts entspechen Individuen im Modell. Restiktionen bzgl. Knoten dücken sich in Einschänkungen bzgl. Individuen aus. Kanten weden mit Relationsnamen in T annotiet. Stat vom Wuzelknoten {C} Anwendung von Expansionsegeln, bis Expansion vollständig (Baum stellt ein gültiges Modell da) Widespuch beweist, dass kein Modell existiet Nichtdeteministische Expansion (z. B. bei C D). Blocking sichet die Temination (bei zyklischen Spachen). SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Tableau-Vefahen fü Bescheibungslogiken: Baum Tableau-Vefahen fü Bescheibungslogiken: Regeln (1) Tableau-Regeln bauen eine Baum auf (semantisch wid eine geneische ABox ezeugt): Knoten epäsentieen geneische Elemente de geneischen Intepetation. Diese weden mit den Untebegiffen annotiet. Kanten epäsentieen Relations-Nachfolge zwischen Elementen de geneischen Intepetation. Initialisieung des Baums mit einem Wuzelknoten (geneisches Element x): x : {C} De Baum enthält einen Widespuch, wenn fü einen Knoten im Baum gilt: {A, A} {...} ode {( m ), ( n )} {...} fü n < m Und-Regel ( ): Enthält ein Knoten eine Konjunktion C D, dann füge C D zum Knoten hinzu (falls nicht schon dot). [x : {C D, C, D}] Semantik: Ein geneisches Individuum x muss sowohl in de Intepetation von C als auch D sein. Ode-Regel ( ): Enthält ein Knoten eine Disjunktion C D wede C noch D, dann ezeuge zwei altenative Knoten mit einmal C einmal D. [x : {C D, E} mit E {C, D}] Semantik: Ein geneisches Individuum x muss entwede in de Intepetation von C ode D sein. Exist.-Qualif.-Regel ( ): Enthält ein Knoten eine existentielle Quantifikation.C, dann ezeuge eine neue Kante einen neuen Knoten fü ein neues geneischen Individuum y mit (x, y) ein; als Einschänkung fü den neuen Knoten gilt {C} (alles falls nicht schon vohanden). [y : {C} x y (Kante von x nach y mit Bezeichnung ).] Semantik: Es muss fü x bzgl. de Relation ein geneisches Individuum y geben, das in C liegt. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-184

6 Tableau-Vefahen fü Bescheibungslogiken: Regeln (2) Univ.-Qualif.-Regel ( ): Enthält ein Knoten eine univeselle Quantifikation de At.C es existiet eine Kante zu y, dann füge die Einschänkung C zu y hinzu. [y : {C}] Semantik: Hinzunahme de Restiktion C fü alle Fülle von. Minimum-Regel ( ): Enthält ein Knoten eine Kadinalitätseinschänkung ( n ) es existieen nicht mindestens n gen. Individuen y 1,..., y n mit (x, y i ) fü (1 i n) y i y j fü (1 i < j n), dann füge solche Individuen hinzu. Semantik: Es müssen mindestens n unteschiedliche geneische Individuen als Fülle von existieen. Maximum-Regel ( ): Enthält ein Knoten eine Kadinalitätseinschänkung ( n ) es existieen n + 1 paaweise veschiedene gen. Individuen y 1,..., y n+1 mit (x, y i ) fü alle (1 i n + 1), abe fü ein Paa i j ist y i y j nicht im Tableau enthalten, dann veschmelze ein y i mit einem y j duch systematisches Esetzen von y i duch y j. Semantik: Es düfen maximal n unteschiedliche geneische Individuen als Fülle von existieen. Tableau-Vefahen fü Bescheibungslogiken: Regeln (3) Die Regeln sind nicht-deteministische Regeln. D. h. sie können einen Baum in unteschiedliche Weise expandieen. Alle andeen Regeln sind deteministische Regeln. Die Regeln weden als geneieende Regeln bezeichnet, da sie neue geneische Individuen ezeugen. Alle andeen Regeln bezeichnet man als nicht-geneieende Regeln. Eine Regel kann nu dann angewendet weden, wenn das entspechende Konstukt im Knoten vohanden ist. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Tableau-Vefahen fü Bescheibungslogiken: Einfaches Beispiel Tableau als Constaint-System Fagestellung: Sind hat-kind.mann hat-kind. Mann disjunkt? Reduktion: Ist (( hat-kind.mann) ( hat-kind. Mann)) unefüllba? -Regel -Regel x : {( hat-kind.mann) ( hat-kind. Mann)} x : {( hat-kind.mann)} x : {( hat-kind. Mann)} Ein Constaint ist ein syntaktisches Objekt de At x : C ode x z, mit C ein Begiff in NNF, eine atomaen Relation x, y Vaiablen. Sei I eine Intepetation. Eine I-Belegung α ist eine Funktion, die jede Vaiable auf ein Objekt des Univesums D abbildet. Ein Constaint c = x : C (ode c = x z) wid von eine I-Belegung α efüllt, falls α(c) C I (ode (α(x), α(z)) I ). -Regel -Regel -Regel y : { Mann} y : {Mann} x hat-kind y Ein System von Constaints S ist eine nicht-leee, endliche Menge von Constaints. Eine I-Belegung α efüllt S, falls α jedes Constaint in S efüllt. S ist efüllba, falls es I α gibt, so dass α S efüllt. Theoem. Ein ALC-Begiff C in NNF ist efüllba, gdw. das System x : C efüllba ist. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-188

7 Tableau-Vefahen: Theoeme Theoem (Invaianz). Seien S T Constaint-Systeme: 1. Falls T aus S duch Anwendung eine deteministischen Regel gewonnen wude, dann ist S efüllba, gdw. T efüllba ist. 2. Falls T aus S duch Anwendung eine nicht-deteministischen Regel gewonnen wude, dann ist S efüllba, falls T efüllba ist. Weitehin gilt, dass falls eine nicht-deteministische Regel auf S anwendba ist, dann kann sie so angewendet weden, dass S efüllba ist, gdw. T efüllba ist. Theoem (Teminieung). Sei C ein ALC-Begiff in NNF. Dann gibt es keine unendlichen Ketten von Tansfomationsschitten ausgehend von x : {C}. Ein Constaint-System ist abgeschlossen, falls keine weiteen Tansfomationsegeln angewendet weden können. Theoem (Abgeschlossenheit). Ein abgeschlossenes Constaint-System ist efüllba, gdw. es keinen elementaen Widespuch, d. h. Paa de Fom x : A x : A wobei A atoma, enthält. Tableau-Vefahen zu Bescheibungslogiken: Eigenschaften Aufg nicht-deteministische Regeln können exponentiell viele geschlossene Constaint-Systeme entstehen. Selbst ein einzelnes Constaint-System kann exponentielle Göße haben. Beispiel:.A.B.(.A.B.(.A.B.(...) )) Ezeugt 2 n viele Vaiablen bei eine Veschachtelungstiefe von n. De Speicheplatzbedaf kann jedoch polynomiell begenzt weden, indem jeweils nu eine Vaiable fü ein.c ezeugt wid Tiefenexpansion angewendet wid: Pfade in einem Tableau sind voneinande unabhängig Ein Widespuch in einem Pfad hängt nu von Regeln/Knoten in diesem Pfad ab Ein Pfad hat lediglich polynomielle Tiefe SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Tableau-Vefahen: Spacheweiteungen De Tableau-Algoithmus kann um folgende Konstukte eweitet weden (PSpace): ALC mit qualifizieende Kadinalitätseinschänkung (( n C) ( n C)) ALC mit invesen Relationen (z. B. hat-kind ) ALC mit Relationskonjunktion ( ( s).c ( s).c) TBox mit azyklischen abgeleiteten Konzeptdefinitionen A = C Nomales Auffalten kann jedoch zu exponentiellem Aufblähen fühen. Auffalten nach Bedaf (lazy unfolding) elaubt Konsistenzübepüfung in PSpace. Poblematische sind: TBox mit GCI s C i D i. Zu jedem Knoten muss C i D i hinzugefügt weden. Tansitive Abschluss von Relationen. Z. B..C füht zu C in allen -Nachfolgen Zyklische TBoxen ( Temininieungspoblem) SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-191