V. Lösungsalgorithmen für lineare Gleichungssysteme V.1 Direkte Methoden V.2 Iterative Methoden V.2.1 Unvollständige LU-Zerlegung V.2.

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1 V. Lösgsalgorthme für leare Glechgssysteme V. Drekte Methode V. Iteratve Methode V.. Uvollstädge LU-Zerlegg V.. ADI-Methode V..3 Rge-Ktta-Methode V..4 Mehrgtter-Methode V.3 Gekoppelte Glechgssysteme V.4 Nchtleare Glechge V.5 Methode für statoäre Probleme V.5. Zweschrtt-Verfahre V.5. Mehrschrtt-Verfahre V.5.3 Implzte Verfahre

2 V.5 Methode für statoäre Probleme Begrff: statoär ---- statoär

3 V.5 Methode für statoäre Probleme Begrff: statoär ---- statoär

4 V.5 Methode für statoäre Probleme Be statoäre Probleme: rämlche d zetlche Dskretserg! (FDM oder FVM) Im Gegesatz zr rämlche hat de zetlche Koordate aber e parabolsches Verhalte: es gbt kee rückwärtsgerchtete Sgaltrasport! marchg Methode. De der mersche Strömgsmechak verwedete Methode ähel dee für de Lösg vo Afagswertprobleme gewöhlcher Dfferetalglechge. De efachste Methode heße Zweschrttmethode. Ee geersche gewöhlche DGL mt eer Afagsbedgg latet da: d dt ( t) ( t, ( t) ) t f ( ) 0 Voraschrete der Zet: 0. zm Zetpkt t t 0 t bereche.. Da damt zm Zetpkt t bereche d so weter. Des ka ma drch Itegrato der obge Glechg vo t bs t t t erreche.

5 V.5 Fortsetzg Des ergbt da: t t d dt ( t) dt t t f ( t, ( t) )dt Dese Glechg st exakt. Da wr aber de rechte Sete cht exakt kee, müsse wr her approxmere. Ver efache Verfahre zsamme mt der geometrsche Darstellg sd te afgeführt. Approxmato des Zettegrals mttels (vo lks ach rechts) explzter Eler, mplzter Eler, Trapezregel d Mttelpktsregel.

6 V.5. Zweschrttverfahre a) Explzter Eler: ( ) t t f, b) Implzter Eler: ( ) t t f, d) Trapezregel: c) Mttelpktsregel: ( ) t t f, ( ) ( ) [ ] t t f t f,,

7 V.5. Fortsetzg Alle vorgestellte Methode sd stabl we der Zetschrtt kle st. Aber: der Strömgsmechak komme ach lagwellge Zetskale vor! große Zetschrtte vortelhafter. Es st also wchtg, das Verhalte vo Itegratosmethode bzw. Zetschrttwete z tersche. Des geht eher mt der Stabltät ees Verfahres. Das explzte Elerverfahre st stabl (s. ächstes Kaptel), we: f ( t, ) t < Des bedetet, dass der größtmöglche Zetschrtt begrezt st! Ma sagt das Verfahre st bedgt stabl. Im Falle vo reale Egewerte ergbt sch: t f ( t, ) < De mplzte Verfahre sd bedgt stabl, d.h. se habe (theoretsch) kee Zetschrttbegrezg.

8 V.5. Fortsetzg De Geagket der Verfahre der Zet ka mt eer Zweschrttmethode höchstes zweter Ordg se. Alle zvor agegebee mplzte Verfahre sd zweter Ordg, währed das explzte Elerverfahre r erster Ordg st. De Geagket ees Verfahres st aber cht r vo der Ordg abhägg. Se hägt vom Verfahre selbst ab. Es gbt drchas Uterschede vo eer Größeordg zwsche verschedee Verfahre. We der Zetschrtt asreched kle st, da ka ma de Dskretsergsfehler drch Berechg mt zwe verschedee Zetschrtte d der Rchardso Extrapolato (Addto der Fehlerabschätzg zr Lösg) bestmme. Vortel der explzte Verfahre (allgeme) st de lechte Implemeterg, de gte Vektorserbarket d Parallelserbarket. Nachtelg st de Zetschrttbegrezg. Be de mplzte Verfahre dagege ka ma große Zetschrtte vorgebe. Dadrch sd dese Verfahre effzeter d stabler. Dagege sd se schwerger z mplemetere, mest ach schlechter z vektorsere d parallelsere.

9 V.5. Fortsetzg E bekates Verfahre st das Prädktor-Korrektor-Verfahre. Be desem wrd zerst mt eem explzte Eler-Verfahre der folgede Zwscheschrtt drchgeführt/vorhergesagt (Prädktor): ( t ) t * f, Aschleßed wrd der Korrektorschrtt mt der Trapezregel drchgeführt. [ ( ) ( )] f t, f t, t * Das Prädktor-Korrektor-Verfahre st zweter Ordg gea, vorasgesetzt der Zetschrtt st kle geg. Es st efach z mplemetere d gt vektorserbar bzw. parallelserbar.

10 V.5. Mehrschrttverfahre Für Verfahre höherer Ordg werde mehr als zwe Schrtte beötgt. - Verwedg vo zsätzlche Zetebee - Zwscheschrtte zwsche der t d t Zwe przpelle Type vo Mehrschrttverfahre sd z terschede: Mehrschrttverfahre Rge-Ktta-Verfahre

11 V.5.. Mehrschrttverfahre Verwedet ma r zvor berechete Zetebee für dese Kostrkto, so erhält ma explzte Verfahre. E explztes Verfahre zweter bzw. drtter Ordg late da (Adams-Bashforth-Verfahre geat): ( ) ( ) [ ],, 3 t f t f t ( ) ( ) ( ) [ ], 5, 6, 3 t f t f t f t Das explzte Verfahre erster Ordg st da weder das Eler-Verfahre. Das bekateste Mehrschrttverfahre st das Adams-Verfahre. Ma erhält es, dem ma e Polyom -ter Ordg drch de verschedee Zetebee legt. Ma erhält dadrch e Verfahre ()-ter Ordg.

12 V.5.. Fortsetzg Schleßt ma ach de ee Zetebee t be der Kostrkto des Verfahres e, so erhält ma mplzte Verfahre. Solche Verfahre et ma da Adams-Moldo-Verfahre: erster Ordg mplzter Eler zweter Ordg Trapezregel-Verfahre Das Verfahre drtter Ordg latet: ( ) ( ) ( ) [ ],, 8, 5 t f t f t f t

13 V.5.. Fortsetzg Drch Kombato ees explzte Adams-Bashforth-Verfahres ((-)-ter Ord.) mt eem mplzte Adams-Moldo-Verfahre (-ter Ord.) köe Prädktor- Korrektor-Verfahre belebger Ordg kostrert werde. Vortele all deser Methode: lechte Programmerbarket efache Betzg r emalge Berechg der Abletge pro Zetebee otwedg Nachtele: bem Starte der Berechg: alte Zetschrtte ötg, de am Afag cht zr Verfügg stehe geegete Maßahme (s. folgede Fole) stable Lösge be cht sorgfältg gestaltetem Startprozess

14 V.5.. Rge-Ktta-Verfahre De Schwergkete be der Startprozedr der Mehrschrttmethode köe drch Verwedg vo Zwscheschrtte zwsche t d t vermede werde: Im efachste Fall mt eem Zwscheschrtt (He-Methode). ( ) ( ) * *,, t tf t f t Des st dem Prädktor-Korrektor-Verfahre zweter Ordg ählch.

15 V.5.. Fortsetzg Rge-Ktta-Verfahre verwede solche Zwscheschrtte. Das klasssche Verfahre 4. Ordg latet: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] * ** * ** * * ** *,,,, 6,,, t f t f t f t f t t tf t f t t f t Rge-Ktta-Verfahre höherer Ordg wrde etwckelt d werde der Nmersche Strömgsmechak oft getzt.

16 V.5. Zsammefassg Es st relatv efach Rge-Ktta-Verfahre och höherer Ordg z etwckel. Leder müsse herbe wetere Zwscheschrtte gemacht werde, welche jewels ee Berechg der Abletge erforder. Des st atürlch afwedger als e Prädktor-Korrektor-Verfahre. Dafür st das Rge- Ktta-Verfahre gegeüber dese Verfahre geaer ad stabler. E weterer Vortel der Rge-Ktta-Verfahre: drch ee füfte Schrtt ka ma ee Abschätzg des Fehlers vorehme. Des ermöglcht da de atomatsche Kotrolle des Fehlers be jedem Zetschrtt. Im Allgemee st de Verwedg ees explzte Verfahres da effzet, we soweso alle kle-skalge Äderge m Lösgsverhalte afgelöst werde müsse (z.b. Akstsche Welle be kompressble Glechge). Aderersets sd mplzte Zettegratosverfahre da svoll, we größere Zetschrtte berechet werde köe. Da wrd der Mehrafwad pro Zetebee drch de größere Zetschrttwete kompesert.

17 V.5.3 Implzte Verfahre Ee wetere Möglchket das Itegral der Asgagsglechg z approxmere besteht dar, dass Itegratostervall zwsche t -/ d t / z wähle. ( ) ( ) ( )dt t t f dt dt t d t t t t, E mplztes Dreschrttverfahre, welches zweter Ordg gea st, ka ma sch mt der Mttelpktsregel kostrere. De Zetabletg a der Stelle t erhält ma, we ma ee kbsche Parabel drch de dre Zetebee legt. t dt d 4 3 ( ) t t f, Setzt ma dese de Asgagsglechg e, so erhält ma:

18 V.5.3 Fortsetzg E sehr effzetes mplztes Verfahre, welches bedgt stabl be jeder Zetschrttwete d parallelserbar bzw. vektorserbar st, bat af de vorge Methode af. Dese der Lteratr als dal tme steppg bekate Verfahre ka ma folgedermaße herlete: d dτ d f ( t, ) dt Herbe st t de physkalsche Zet, währed τ ee fktve Zet darstellt. Approxmert ma d/dt drch das obe agegebee Dreschrttverfahre, so erhält ma: d dτ 3 4 f t 0 ( ) *( t, R ) Der Wert vo wrd drch e belebges, teratves Verfahre (z.b. mt statoäres Rge-Ktta-Verfahre) berechet. Dabe löst ma jedem physkalsche Zetschrtt t e statoäres Problem der fktve Zet τ. We das Verfahre kovergert st, da wrd d/dτ 0 d ma erhält de Asgagsglechg. Vortel deser Methode: Ma ka alle Kovergezbeschleggsmaßahme verwede, welche für statoäre Probleme etwckelt wrde (z.b. Mehrgttermethode).

19 V.5.4 Uterschge a eer geersche Trasport-Glechg Wr wolle ege der besprochee Verfahre a folgeder geersche Trasport Glechg awede: Der Überscht wege wolle wr dese Glechg r m edmesoale Ram, ohe Qellterm d für kost. ρ,γ d v bespreche. Für das explzte Eler-Verfahre erhält ma: ( ) ( ) ( ) ) (, ) ( t t f q grad dv v dv t ϕ ϕ Γ x x t Γ ρ t x x Γ ρ

20 V.5.4 Fortsetzg Dese Approxmato ka ma folgedermaße schrebe: c c ( ) d d d Wobe wr de dmesoslose Kezahle c d d egeführt habe: d Γ ρ t x d c t x De Kezahl d st das Verhälts vom Zetschrtt t zr charakterstsche Dffsoszet, währed c das Verhälts vom Zetschrtt t zr charakterstsche Kovektoszet darstellt (geat Corat-Zahl). Dese Kezahle stelle Bedgge a de max. möglche Zetschrtt. De Aalyse wrd mestes ach vo Nema vorgeomme. Im Ker latet dese: A

21 V.5.4 Fortsetzg Herbe köe de Elemete der Matrx A drch Verglech mt obger Approxmato gefde werde. Dese Glechg besagt, dass de Lösg zm ee Zetschrtt drch Mltplkato der Matrx A mt dem alte Zetschrtt gefde werde ka. Für de Dfferez der Äderge zwsche de Zetschrtte folgt da: ε ( ) De obge Dfferetalglechg fordert, dass de Äderge afgrd der Dsspato mt der Zet abehme mss. We wr m vorge Kaptel gesehe habe, mss her wederm der größte Egewert < se. De Berechg der Egewerte für komplzerte DGL-Systeme st schwerg. I desem efache Bespel jedoch, köe se lecht gefde werde. Se late: σ d (cosα ) csα Wa st s <?

22 V.5.4 Fortsetzg Wr qadrere Real- d Imagärtel d erhalte: σ ( d (cosα )) 4c s α Da ma zwe abhägge Parameter hat, wolle wr se jewels getret tersche. We d0 st, da st σ > für jede Wert vo c. Das Verfahre st da bedgt stabl. Aderersets we c0 st, da st σ < we d < / st. Das Verfahre st da bedgt stabl. De Forderg, dass alle Koeffzete der alte Kotewerte < se solle, führt da z folgede Schlssfolgerge: t < ( ) ρ x ρ x Pe cell < Γ Γ De erste Bedgg stellt ee starke Eschräkg des Zetschrttes als Fkto der Netzwete dar. De zwete Bedgg, welche wr scho be der Herletg des Zetrale-Dffereze-Schemas keegelert habe, besagt, dass de Zell-Peclet-Zahl < se mss.

23 V.5.4 Fortsetzg De starke Eschräkg der Zetschrttwete afgrd der Dffso ka ma ach eem Vorschlag vo Corat d Fredrchs (90) drch Upwd- Schemata verhder: Ma erhält, we ma de Gleder zsammefasst: x x t Γ < ρ t x x Γ ρ ( ) ( ) c d d c d Herbe ka r der Koeffzet vor egatv werde. Es folgt daher de Bedgg: Für verachlässgbare Dffso, redzert sch dese Bedgg z: CFL< oder t < x/.

24 VI. Verfahre für kompressble Naver-Stokes-Glechge VI. Egeschafte der Naver-Stokes-Glechge VI. Wahl der Varable-Aordg m Gtter VI.3 Berechg des Drckes VI.4 Implzte Drckkorrektrverfahre VI.5 Artfcal Compressblty Methode VI.6 Radbedgge VI.7 Bespele

25 VI. Egeschafte der Naver-Stokes-Glechge I desem Kaptel werde asschleßlch de kompressble Naver- Stokes-Glechge behadelt. Dese etspreche de bsher behadelte, geersche Glechge de statoäre d de kovektve Terme. De dffsve (vskose) Terme dahgege sd etwas komplexer. Ne st das Vorhadese vo Drckterme, welche etweder als Oberflächekraft de Implsglechge (koservatv) oder als Volmekraft (cht koservatv) dskretsert werde. De Dskretserg der kovektve Terme wrd aalog z de vorge Kaptel etweder hrer Dfferetalform (FDM) oder Itegralform (FVM) verwedet: (ρ ) x j oder S ρ v ds De vskose Terme late etspreched: τ x j oder S (τ j ) ds j

26 VI. Fortsetzg Der Spagstesor τ j für kompressble, Newtosche Flde mt kostate Stoffgröße latet: τ j µ x j x j De Dskretserg des Drckes ka ma af zwe Arte drchführe. Be der FVM wrd der Drckterm gewöhlch koservatver Form verwedet (Oberflächekraft). S p j ds De Formlerg als Volmekraft (cht koservatv) verrsacht ee Fehler, der mt kleer werdeder Netzwete verschwdet. Be der FDM gbt es kee Utersched zwsche de bede Dskretserge.

27 VI. Fortsetzg De Naver-Stokes-Glechge habe de Egeschaft, dass de Äderg des Implses eem Kotrollvolme r drch Äderg der Strömg über de Oberfläche, Kräfte a der Oberfläche d drch volmetrsche Kräfte etsteht. Dese wchtge Egeschaft wrd be der FVM erhalte, we ma alle Terme drch Oberflächetegrale approxmert. De Erhaltg der Eerge st be kompressble Strömge mt Wärmeübertragg domert drch thermsche Eerge m Verglech zr ketsche Eerge. So lage de Temperatrabhäggket der Strömgsgröße kle st, ka ma de Eergeglechg etkoppelt vo de Impls- bzw. Kottätsglechg löse. De Erhaltg der ketsche Eerge st be kompressble Strömge ee Koseqez der Impls- d Eergeglechg. Des macht dere Erhaltg, m Gegesatz z de kompressble Glechge, wo ee Erhaltgsglechg für de Totaleerge vorlegt, schwerger.

28 VI. Wahl der Varable-Aordg m Gtter De Aordg der Varable wrd af zwe Arte bsher praktzert: a) Ugestaffelte Aordg (collocated) b) Gestaffelte Aordg (staggered) Ugestaffelte Aordg der Lösgsvarable: Lks FDM rechts FVM. De gestaffelte Aordg st de atürlchste Form für de Dskretserg der N-S-Glechge. Se verefacht de Programmerg d de Specherverwaltg. Darüber has ka ma be der Mehrgttermethode deselbe Restrktos- bzw. Prologatosoperatore betze. Wege große mersche Probleme de Afäge der Nmerk bs etwa wrde se kam betzt. Hete wrd se fast asschleßlch betzt.

29 VI. Fortsetzg Gestaffelte Aordg der Lösgsvarable. Lks FDM rechts FVM. De gestaffelte Aordg war otwedg, m de Drckoszllatoe, welche as der gestaffelte Aordg reslterte, z terdrücke. Nach eem Vorschlag vo Harlow ad Welsh (965) wrde der Drck der Zellmtte evalert, währed de Geschwdgkete af de Zellsete abgespechert wrde. Des ermöglchte ee Approxmato (zweter Ordg) ohe Iterpolato. E großer Nachtel deser Aordg st de schwerge Formlerg be krmmlge Koordatesysteme.

30 VI.3 Berechg des Drckes De (kompressble) N-S-Glechge habe kee abhägge Glechg, m de Drck z bestmme. Darüber has hat de Glechg z Erhaltg der Masse kee asgeprägte Lösgsvarable. Des erzwgt ee Formlerg des Drckfeldes welche de Kottät des Geschwdgketsfelds schert. Da r Drckgradete de Implsglechge beötgt werde, st das Drckvea cht wchtg be kompressble Strömge. Mest wrd ee Kombato vo Kottäts- d Implsglechge zr Herletg der Drckglechg betzt. Ma mmt de Dvergez der Implsglechg: ) ( ) ( t x b x x x p x j j ρ ρ τ ρ Für kostate Dchte d Vskostät d afgrd der Kottätsglechg verefacht sch dese Glechg z: j x x x p x ) (ρ

31 VI.3 Fortsetzg Dese Drckglechg (Posso-Gl.) ka mt eem mersche Verfahre für ellptsche Glechge gelöst werde. Dabe mss ma beachte, dass de Abletge af der rechte Sete af deselbe Wese approxmert werde we be de Implsglechge. E efaches explztes Zettegratosschema latet: ( ρ ) ( ρ j ) t x j p x τ x j j H p x Wobe /x e Dskretsergsschema für de rämlche Abletge repräsetert. Für e explztes Elerverfahre ka ma da schrebe: ( ρ ) ( ρ ) t H p x Be gegebeem Drck- d Geschwdgketsfeld ka ma e ees Geschwdgketsfeld abschätze. Deses Geschwdgketsfeld erfüllt cht de Kottätsbedgg. Um dese z erfülle, ka ma de mersche Dvergez der obge Glechg blde.

32 VI.3 Fortsetzg x p H x t x x ρ ρ ) ( ) ( x H x p x Wr forder, dass der erste Term deser Glechg Nll wrd. Der zwete Term st Nll, da wr zm Zetpkt des gefordert habe. Da blebt de Posso-Glechg für de Drck übrg: Der Algorthms für deses explzte Schema stellt sch we folgt dar: Starte mt eem Geschwdgketsfeld zm Zetpkt, welches dvergezfre st Bereche d desse Dvergez Löse de Posso-Glechg für de Drck p Bereche das ee Geschwdgketsfeld zm Zetpkt. Es st da dvergezfre Fage vo vore a H

33 VI.3 Fortsetzg E efaches, mplztes Zettegratosverfahre latet: Ma seht, dass das Drckfeld zm ee Zetpkt beötgt wrd. Wr gehe weder so vor we bem explzte Verfahre. Des führt s z folgeder Glechg: ( ) ( ) j j j j x x p x t τ ρ ρ ρ ) ( j j x x x p x ρ ) ( Ma erket, dass bede Terme jewels zm ee Zetpkt beötgt werde. Des ka ma aber r drch e teratves Verfahre erzele. Deoch mss zr Lösg der Implsglechg e großes, chtleares Glechgssystem vertert werde. Des st e afwedges Uterfage, daher wrd mest e aderer Weg beschrtte. Ma learsert das Ergebs des vorge Zetschrtts:

34 VI.3 Fortsetzg Der chtleare Term der vorge Implsglechg ka da so geschrebe werde: Da für klee Zetschrtte t glt, dass st, st der letzte Term zweter Ordg gea d kle, er ka deshalb verachlässgt werde. Ma ka da de Glechg schrebe: j j j j j Des st mmer och e komplzertes leares Glechgssystem. E geegete Methode st herbe das ADI-Verfahre zr Zerlegg der Glechg ee Rehe vo edmesoale, block-trdagoale Matrze. Ma ka wederm de obge Learserg des Drckes verwede, m das ee Glechgssystem z erhalte. Ma ka we folgt Geschwdgket d Drck bereche: t t ~ j j j j j j x x x t ρ ρ ρ ρ ) ( ) ( ) ( j j j j x x x p x p τ τ

35 VI.3 Fortsetzg Bereche e Geschwdgketsfeld * drch Verwedg des alte Drckgradete. Es erfüllt cht de Kottätsbedgg. Löse ee Posso-Glechg für de Drckkorrektr x p x ( * ρ ) t x Bereche das ee (dvergezfree) Geschwdgketsfeld : * p x t Des Methode st etwa doppelt so afwedg pro Zetschrtt we das explzte Verfahre, aber se prodzert geaere Ergebsse. Wel mplzte Verfahre größere Zetschrtte als explzte erlabe, ohe dabe stabl z werde, dee se oft daz, statoäre Probleme z erzege. Verfeerte Verfahre m Verglech zm obge Bespel werde oft verwedet.

36 VI.4 Implzte Drckkorrektrverfahre Be de mplzte Drckkorrektrverfahre werde de Implsglechge mt Zetterm learsert, m de ee Geschwdgketsfelder z erhalte. Ma erhält folgedes Glechgssystem: l P l l P P x p Q A A,, Dabe werde zmest de Implsglechge seqetell berechet. Iteratve Methode müsse verwedet werde, m obge Glechg z löse, da de Koeffzete A vo dem ee Zetschrtt abhäge. We berets dsktert, geüge dese Geschwdgketsfelder cht der Kottätsglechg. Es mss daher ee Drckkorrektr d damt ee Geschwdgketskorrektr drchgeführt werde. Möchte ma ee statoäre Strömg bereche, so mss ma dese Korrektre so lage drchführe, bs ee geüged klee Fehlerschrake terschrtte st. Be statoäre Strömge geügt es, zm Ede der Berechg de Kottätsglechg z erfülle. De Glechg be jeder äßere Iterato latet: l P m m m l l m P P x p Q A A *, *,

37 VI.4 Fortsetzg Schrebt ma de e berechete Geschwdgketsfelder so: Der Zsammehag der korrgerte Geschwdgkete mt de Drckfeld latet: De rechte Sete ka ma verefacht schrebe: P m P P l m l l m m P x p A A A Q *, *, P m P m P m P x p A *, *, ~ P m P m P m P x p A ~ *, *, Drch Lösg der Possoglechg für de Drck erzwgt ma de Erfüllg der Kottät. ( ) P m P m P x x p A x ρ * ~

38 VI.4 Fortsetzg Wr habe zwar de Kottätsglechg erfüllt, aber de Implsglechge sd och cht erfüllt. Wr müsse solage ee Geschwdgketsfelder bereche, bs Kottät d Implserhaltg erfüllt sd. Be eer der am meste verwedete Methode wrd astelle des aktelle Drckes ee Drckkorrektr verwedet. Herbe werde z dem vorläfge Drck d de Geschwdgkete klee Korrektre addert: We ma des de dskretserte Implsglechge efügt, erhält ma: m m * ( ) ( ) P P m P P x x x p A x ρ ρ * p p p m m P P P P x p A ~,, Ee Glechg für de Drckkorrektre erhält ma drch Esetzg der obge Glechg de Kottätsglechg:

39 VI.4 Fortsetzg Leder sd de Geschwdgketskorrektre obger Glechg cht bekat, deshalb lässt ma se be der bekateste Methode dem SIMPLE-Algorthms efach weg. Da deser Algorthms schlecht kovergert, mss ma de Korrektre mt 0 α terrelaxere. P p m p m α P p Ee etwas bessere Methode, m de Drckkorrektre z bereche, st das SIMPLEC-Verfahre. Her werde de Geschwdgketskorrektre approxmert: A l l ~, P, P A Des führt da z ee approxmerte Bezehg zwsche d p :, P A P l P A l p x Es gbt och wetere Varate deser Methode, geat SIMPLER bzw. PISO, welche ach kommerzelle Programm verwedet werde. Gegeüber dem SIMPLE-Algorthms habe se de Vortel, dass se kee Uterrelaxato beötge. P

40 VI.5 Artfcal Compressblty Methode De Lösg vo kompressble Strömge st für techsche Awedge sehr wchtg, deshalb hat ma sehr vel Agemerk af de Etwcklg geegeter Verfahre gelegt. Es stellt sch de Frage, ob ma dese Verfahre ach zr Lösg vo kompressble Strömge herazehe ka. Da de kompressble Glechge hyperbolsche Charakter habe, mss de Kottätsglechg etspreched modfzert werde. Der offeschtlchste Weg st es, de Drck als Zetabletg ezführe. p ( ρ) 0 β t x Dabe st β e Parameter für de küstlche Kompressbltät. De Wahl ees geegete Parameters st sehr wchtg für dese Methode. Wählt ma β z groß, so werde de Glechge mersch stef, d.h. se kovergere schlecht. Wählt ma β kle, so kovergert das Verfahre sehr gt. Deoch mss ma dabe beachte, dass β cht z kle wrd, da folgeder Zsammehag glt. Der Trasport der Drckwelle st proportoal z der Psedo-Schallgeschwdgket: c β Ma mss forder, dass der Trasport der Wrbelwelle vel lagsamer als der vo Drckwelle st, da sost physkalsche Phäomee etstehe köte. Der optmaler Parameter st daher problemabhägg.

41 VI.6 Radbedgge Alles was bzgl. Radbedgge de vorge Kaptel gesagt wrde, glt ach be kompressble Strömge. Ege Besoderhete wolle wr dsktere. A der Wad sd alle Geschwdgketskompoete glech der Wadgeschwdgket (Drchlet-RB). Für de FVM ka ma aber ach forder, dass de vskose Normalspage a der Wad verschwde. As der Kottätsglechg folgt: x Wad v v 0 0 τ yy µ 0 y y Wad Ma sollte besser de Flss a der Wad z Nll setze, wel de Geschwdgkete mest der Zellmtte gespechert sd (sehe Abbldg). F d S S τ yy ds 0 Wad

42 VI.6 Fortsetzg Am Symmetrerad hgege st de Normalspag Nll, währed de Schbspag Nll st (s. vorge Abbldg): y Symm v 0; y Symm 0 De Drck a der Wad mss ma be eem gestaffelte Gtter cht setzte, währed ma h be eem gestaffelte Gtter extrapolere mss. Für de Drckkorrektrverfahre hgege müsse de Nema sche Radbedgge (Gradet glech Nll) für de Drckkorrektre vorgegebe werde. Für Elasse d Aslasse glt, dass se Verbdg zeader vorgegebe werde müsse. We z.b. der Massestrom am Elass vorgegebe st, da mss am Aslass de Geschwdgket extrapolert werde. Aders legt der Fall we r de Drckdfferez zwsche E- d Aslass bekat st. Da resltere de Geschwdgkete als Fkto der Totaldrckverlste. Mest beschrebt ma da Totaldrck am Elass d statscher Drck am Aslass.

43 VI.7 Bespele Als Bespele solle her de Strömge eem Hohlram terscht werde: emal agetrebe drch e bewegtes Bad d bem zwete Fall schwerkraftgetrebe. Schematsche Blder sd obe dargestellt. Währed für de erste Fall r de Kottäts- d de Implsglechge gelöst werde müsse, mss bem zwete Fall ee Eergeglechg mtgelöst werde.

44 VI.7 Fortsetzg Be der schbspagsgetrebee Strömg betrg de Reyoldszahl Re000. Es wrde verschede fee Rechegtter verwedet (0x0 bs 40x40). 3x3 Rechegtter (lks) d Stromle für de schbspagsgetrebee Strömg eem Hohlram Es wrde mt eem FVM-Zetrale-Dffereze-Schema. Ordg m Ram dskretsert. De Lösg wrde mt SIMPLE-Algorthms berechet.

45 VI.7 Fortsetzg Verglech des Fehlers ees typsche Rechegtters (3x3) über de Iteratoe. De exakte Lösg wrde drch Berechg mt doppelter Geagket bs h zr mersche Aflösg des Compters (4 sgfkate Stelle) erhalte.

46 VI.7 Fortsetzg Kovergez der Stärke des Prmärwrbels bzw. Sekdärwrbels mt Azahl der Gtterpkte Prozetaler Fehler mt äqdstate d cht äqdstate Gtter als Fkto der Maschewete

47 VI.7 Fortsetzg Geschwdgketsprofl be verschedee Gtteraflösge d m. Approxmatoe. Obe lks: Obe rechts: Ute lks: Ute rechts: Mttelpktsregel d Upwd-Schema Mttelpktsregel d Zetrale-Dffereze-Schema Mttelpktsregel d kbsches Polyom Smpso sche Regel d kbsches Polyom

48 VII. Verfahre für de kompressble Naver-Stokes- Glechge VII. Egeschafte der kompressble Glechge VII. Nmersche Dsspato VII.3 Artfcal Dsspato Methode VII.4 Upwd-Methode VII.5 Radbedgge VII.6 Bespel

49 VII. Egeschafte der kompressble Glechge Be vele techsch relevate Strömge sd kompressble Effekte vorhade. De wchtgste Kezahl dafür st de Machzahl. Ee grobe Abschätzg besagt, dass ab etwa Ma0. kompressbel gerechet werde mss. Be Lft st des be etwa 70m/s der Fall, währed be Wasser erst ab 300m/s Kompressbltät ee Rolle spelt. Be kompressble Strömge brete sch Störge mt verschedee Geschwdgkete as: mt der vorherrschede Kovektosgeschwdgket : Strömgswrbel, Kovektoswelle d Etropewelle mt der Schallgeschwdgket c: akstsche Welle Mathematsch drückt sch des drch de Egewerte der Naver-Stokes Glechge as. Dabe ergebe sch de füf Egewerte z -c,,, d c. Im Verglech z kompressble Verfahre müsse herbe der Zetschrtt d de Radbedgge aders formlert werde.

50 VII. Fortsetzg Der Zetschrtt wrd drch de maxmale Geschwdgket begrezt, d.h. c. Es ergbt sch daher: t < CFL x r c Uterschede z kompressble Verfahre: Schallgeschwdgket st (be edrge Strömgsgeschwdgkete) ahez kostat st kompressble Verfahre werde be sehr edrge Machzahle effzet. Mathematsche Stefgket drückt sch dabe als das Verhälts vo größtem z klestem Egewert as. Ma erket sofort, dass deses Verhälts be edrge Machzahle stark astegt. De Asbldg vo Verdchtgsstöße be Trasschall-, Über- d Hyperschallströmge führte daz, dass spezelle Verfahre für kompressble Strömge etwckelt wrde, welche dese Egeschafte Rechg trage. Im Gegesatz z kompressble Verfahre, welche mest drckbasert sd, sd kompressble Verfahre asschleßlch dchtebasert.

51 VII. Nmersche Dsspato Ee grdlegede Egeschaft vo mersche Verfahre st, dass se alle mersche Dsspato beötge, m z kovergere. Be Upwd-Verfahre st de mersche Dsspato mplzt m Abbrchfehler ethalte, währed ma be zetrale Dffereze- Schemata explzt mersche Dsspato beretstelle mss. Herletg d Defto der mersche Dsspato am Bespel der leare Welleglechg: t c x 0 Dese Glechg hat de Lösg: e k ( xct ) e kx e ωt Des stellt de Trasport ee Welle mt der Läge π/k dar.

52 VII. Fortsetzg Möchte ma ee aalytsche Lösg zm Zetpkt t t bereche, so ka ma schrebe: ( x, t t) ( x, t) e e ω t ην Mt ν c t x CFL - Zahl η k x Wellezahl Ee mersche Lösg ka ma folgedermaße schrebe: g( η, ν ) Damt ee mersche Lösg stabl blebt, mss der Amplfzergsfaktor g(η,ν) < d für de Geagket mss g(η,ν) möglchst ahe e -ην se. De Dfferez ( g(η,ν) -) et ma mersche Dsspato oder dsspatver Fehler, währed de Dfferez zwsche (arg (g(η,ν)) - (-ην) ) dspersver Fehler geat wrd.

53 VII. Fortsetzg Ee Iterpretato der Dsspato ka ma mt der Dffso- Kovektosglechg darstelle: t c x µ x De Lösg deser Glechg latet: e e k ( xct) µ k t Möchte ma herfür ee aalytsche Lösg zm Zetpkt t t bereche, so ka ma schrebe: ( x, t) µ µ k t ην c x ( x, t t) νη e kc t e e e Es ergbt sch der gleche Asdrck we zvor mltplzert mt dem Dämpfgsgled e -ηk t.

54 7. Fortsetzg Des stellt de Trasport eer Welle der x-achse dar mt eer Abschwächg der Zet. Somt ka ma de Dfferez ( g(η,ν) - ) als mersche oder küstlche Dffso/Dsspato ees Trasportprozesses terpretere.

55 VII. Fortsetzg Wa wrd mersche Dsspato otwedg? De leare Welleglechg wrd herz mt Crak-Ncolso dskretsert: [ ] 0 4 x c t Mt e h, - e -h d g wrd as deser Bezehg [ ] 0 s s 4 η η g x c t g Oder η ν η ν s s g

56 VII. Fortsetzg ν sη g ν sη Ud daras: g De Dskretserg mt dem Crak-Ncolso-Verfahre erzegt kee mersche Dsspato abhägg vo der gewählte Zet- d Netzschrttwete. Wedet ma dese Dskretserg af de chtleare Welleglechg mt Stoß a: t x 0 so erhält ma folgede mersch berechete Lösg:

57 VII. Fortsetzg Möchte ma dese Verfahre stablsere, so mss ma küstlche Dsspato zfüge. Des ka ma grdsätzlch etweder mt der Methode der Artfcal Dsspato oder mt Upwd-Methode erreche.

58 VII.3 Artfcal Dsspato Methode Be der Methode der küstlche Dsspato fügt ma de dskretserte Glechge e explztes Gled hz, desse Dskretsergsfehler etweder. oder 4. Ordg oder ee Mschg davo st. Geerell ka ma alle geradzahlge Dskretserge verwede. Das bekateste Verfahre ach Jameso/Schmdt/Trkel [98] verwedet ee Mschg as. d 4. Ordg. Dabe wrd der Nähe vo Dskottäte (Stöße, große Geschwdgketsgradete) e Flter. Ord. verwedet, währed m übrge Gebet e Flter 4. Ord. zm Esatz kommt. t [ ] R D ( ) x D ε ε () (4) (4) ( ) ε ( 3 ) () ε 3 α () ( c) p p max 0, α (4) p p ε () p p ( ) c

59 VII.4 Upwd-Verfahre Be de Upwd-Verfahre werde esetge Dffereze verwedet, wobe abhägg vo der Strömgsrchtg mmer stromafwärtssetge Dffereze verwedet werde. Am Bespel der leare Welleglechg wolle wr deses Verhalte tersche: ( ) x t c Der Amplfzergsfaktor g für rämlch perodsche Lösge latet: s s ) ( < η ν η ν ν η e g De mersche Dsspato ka ma ach as folgeder Darstellg ersehe: ( ) 0 x c x c t

60 VII.4 Fortsetzg Der Asdrck af der rechte Sete ka da als ee Dskretserg ees Dsspatosgledes zweter Ordg agesehe werde. t c c x x x Natürlch st der Dskretsergsfehler des obge Schemas r.ord. Möchte ma Verfahre höherer Ordg kostrere, so mss ma dejege Rückwärtsdffereze höherer Ordg esetze de wr m 3. Kaptel kee gelert habe. E Problem be der Übertragg deser Erketsse be Strömge m mehrdmesoale Ram etsteht dadrch, dass ma mehrere Wellefortschrttsgeschwdgkete mt terschedlche Vorzeche am Dskretsergsort habe ka. Dese erforder ee Afspltterg der Atele der dvdelle Welle. Dabe mss aber berückschtgt werde, dass das Schema koservatv blebt. De bekateste Schemata de dese Aforderge erfülle sd Roe s Flx Dfferece Splttg, Va Leer s Flx Vector Splttg d Harte s Total Varato Dmshg (TVD) Schema.

61 VII.4 Fortsetzg Roe s Flx Dfferece Splttg basert af der approxmerte Lösg des Rema-Problems. Daz wrd das cht-leare hyperbolsche System betrachtet: U t F x 0 De Itegralform deser Glechg latet d dt b a Udx F ( U ) F( U ) b a 0 Bem Fte-Volme-Verfahre betrachtet ma U cht als de Kotewert vo U, soder als Mttelwert zwsche dem Netzterval (-/) x d (/) x: U x ( / ) x Udx ( / ) x

62 VII.4 Fortsetzg Zr Berechg der Lösg zm Zetpkt as de bekate Werte zm Zetpkt wrd de koterlche Vertelg vo U drch stückwese kostate Werte ersetzt. Als Folge davo erhält ma Ustetgkete a de Zellräder welche das Rema-Problem defere. t Wr ehme a, dass de exakte Lösg deses Problems bekat se, d.h. dass wr de Wert vo U am Zellrad für t> t kee. x

63 VII.4 Fortsetzg Da erhalte wr be Awedg der Itegralform der Glechg d Itegrato der Zet: ( / ) x U ( / ) x ( / ) x [ F( U ) F( U )] t 0 ( x) dx U ( x) dx / / ( / ) x Da wr vorher U (x) U zwsche de Zellräder gesetzt habe, ergbt sch: U x ( / ) x ( / ) x U ( x) dx Deshalb ka ma de vorhergehede Zsammehag folgedermaße schrebe: ( U U ) x t( F / F / ) 0

64 VII.4 Fortsetzg Deses koservatve Upwd-Verfahre wrde erstmals vo Godov [959] vorgeschlage. Es erfordert allerdgs de Berechg der exakte Lösg des Rema-Problems (Aftrete ees Stoßes), welches sehr schwerg für chtleare Partelle Dfferetalglechgssysteme st. Be Roe s Verfahre wrd hgege, astelle der exakte, r das approxmerte Rema-Problem gelöst. Er learsert de Glechge folgedermaße: U t A U x 0 Dabe wrd de Matrx A drch de Werte U d U a jeder Sete des Zellrades berechet. Dabe müsse dese Koeffzete der Matrx A bestmmte Egeschafte habe, damt das learserte Glechgssystem das Orgal geüged gea repräsetert. De Berechg des Flsses F / verefacht sch z: F F A / ( U U ) A / U /

65 VII.5 Radbedgge Ege Radbedgge für de kompressble Glechge terschede sch cht vo dee be kompressble Strömge. Dese sd Haftbedgg a der Wad Symmetreradbedgg Drckgradet am Asströmrad Geschwdgkets- d Temperatrprofl am Etrttsrad Darüber has komme aber für kompressble Strömge och wetere Radbedgge zm Esatz. Dese sd Totaldrck- d Totaltemperatrprofl am Etrttsrad Ferfeldradbedgge für extere Strömge Statsche Drckradbedgg am Astrttsrad Nllgradete Astrttsbedgg für Überschallströmge

66 VII.5 Fortsetzg

67 VII.5 Fortsetzg De kompressble Naver-Stokes-Glechge habe hyperbolsche Charakter. Das heßt, dass se drch charakterstsche Ivarate beschrebe werde. Des spegelt sch ach de Radbedgge wder. Dabe mss grdsätzlch zwsche Uterschall- d Überschallströmge eersets, d zwsche Etrtt d Astrtt aderersets terschede werde. Da de Egewerte c,,, d -c late, müsse m Falle z.b. ees Uterschalleströmrades ver Radwerte vorgegebe werde d eer as dem Strömgsgebet extrapolert werde. Eströmrad Asströmrad Uterschall Ver RB vorgebe d ee RB extrapolere Ee RB vorgebe d ver RB extrapolere Überschall Alle füf RB vorgebe Alle füf RB extrapolere Welche der füf Lösgsvarable vorgegebe werde oder extrapolert werde st vom mathematsche Stadpkt as betrachtet glech, aber cht as merscher Scht. Ee besodere Schwergket besteht dar, dass ma cht de gleche Lösgsvarable z.b. de statsche Drck am Etrtt- d Astrttsrad glechzetg vorgebe ka. Des wäre da physkalsch kosstet.

68 VII.5 Fortsetzg Totaldrck-d Totaltemperatrprofl am Eströmrad (Uterschall) Der Totaldrck bzw. de Totaltemperatr wrd für setrope Strömge ees deale Gases drch folgede Glechge beschrebe: p t p γ Ma γ γ T t γ T Ma Dabe wrd de Machzahl am Etrttsrad as der Lösg berechet (extrapolert). As de obge Glechge wrd der statsche Drck p d de statsche Temperatr T bestmmt. Mt Hlfe der Gasglechg prrt wrd de statsche Dchte berechet. Dese dre Varable p,t d r zsamme mt der Strömgswkel a blde da de ver vorgegebee RB, währed de Strömgsgeschwdgket extrapolert wrd.

69 VII.5 Fortsetzg Ferfeldradbedgge Da sch das Strömgsgebet theoretsch bs s Uedlche erstreckt, mss ma atürlch as praktsche Grüde de Ferfeldrad möglchst ahe zm wrbelbehaftete Gebet platzere. Dabe st z beachte, dass sch akstsche Welle sehr wet vom egetlche Strömgsgeschehe asbrete, ohe gedämpft z werde. Des st der Hapttersched z kompressble Strömge. As der Gasdyamk st bekat, dass sch dese Welle etlag der Rema sche Ivarate asbrete. De edmesoale Theore lefert herfür: R R v v c cost. etlag γ c cost. etlag γ r v r c r c De erste Bezehg korrespodert mt akommede Welle, währed de zwete Bezehg sch folglch af de sch etferede Welle bezeht. Be der akommede Rema sche Ivarate ka ma da schrebe: R cb γ r v c γ vb v

70 VII.5 Fortsetzg De zwete Rema sche Ivarate ka ma we folgt bereche (wobe der Idex sch af das ere Strömgsgebet bezeht): R v B cb γ v γ c De Strömgsgeschwdgket v B d de Schallgeschwdgket c B köe drch Sbtrakto d Addto der bede Glechge berechet werde. v B R B R c B ( R R ) B γ 4 Für ee Eströmrad ka ma daras de Dchte drch de Bezehg der Etrope d Drck bestmme. ρ ρ p γ B cb B γ γ

71 VII.5 Fortsetzg Nchtreflekterede Drckradbedgge Spezell be statoäre Strömge besteht e Bedarf am E- bzw. Asströmrad astretede Drckwelle passere z lasse, ohe dass dese reflektert werde. Be der gewöhlche Drckradbedgg wrd e kostater Drck am Astrttsrad vorgegebe. Kommt ee Drckwelle a, so wrd dese zm Tel (0-0%) reflektert d wadert s Strömgsgebet zrück. Des verrsacht da chtphyskalsche Wechselwrkge m Strömgsgebet. Es wrde bsher ee Rehe vo chtreflekterede Radbedgge vorgeschlage. Mest bae dese af de mehrdmesoale charakterstsche Glechge af. Dese late: w t k r ( a ) w b k,...,5 k r k Ee sehr efache RB wrde vo Rdy d Strckwerda [980] as obge Glechge hergeletet: k v t p α * ρc t ρc v ( ) l p p c ormal, l tagetal l

72 VII.6 Bespel Als Testfälle werde be kompressble Strömge gere Stoßrohrlösge verwedet. De dabe aftretede Ustetgkete de prmtve Varable r,,p d dere abgeletete Größe Ma d s dee zr Bertelg der Verfahre. Wr wolle her das Bespel vo Sod tersche. Deses besteht as eer Afagsvertelg eem Rohr der Läge m, welches der erste Hälfte mt eem Gas der Dchte ρ dem Drck p d der Geschwdgket 0. I der rechte Hälfte befdet sch dasselbe Gas aber mt eer Dchte ρ dem Drck p 4 0. d der Geschwdgket 4 0. Zm Zetpkt t0 wrd de Membra zwsche bede Kammer etfert, d es blde sch e ach rechts waderder Stoß mt Kotaktstetgket sowe e ach lks lafeder Expasosfächer. Im x-t-dagramm seht des we folgt as:

73 VII.6 Fortsetzg De aalytsche Lösg deses Problems st e spezelles Rema-Problem d ka mt Hlfe der Gasdyamk gelöst werde.

74 VII.6 Fortsetzg De mersche Lösg mt Hlfe des Roe-Schemas. Ordg lefert gte Überestmmg mt der aalytsche Lösg.

75 VII.6 Fortsetzg De mersche Lösg mt Hlfe des Jameso-Schmdt-Trkel Schema. Ordg lefert etwas schlechtere Überestmmg mt der aalytsche Lösg.

76 VIII. Fallbespele VIII.0 Vorbemerkge VIII. Strömg etlag eer ebee Platte VIII. Umströmg ees NACA-00 Profls be Ma0.9 VIII.3 Istatoäre Umströmg ees Zylders be Re00 VIII.4 Trblete Drchströmg eer Trbeschafel VIII.5 Strömg m ee geersche Propeller (evtl. Kofgrato ees Italstoßproblems)

77 VIII.0 Vorbemerkge Begrffe: Pre- d Postrprocessg Aspekte zr Netzgeererg De Größe y Aspekte zr Aswahl der Berechgsmethode

78 Preprocessg: VIII.0 Fortsetzg - De Vorarbet, de vor der egetlche Berechg z leste st. - Egeschlosse st: Überlegge zr Kofgrato (z.b. Abstrakto, Radbedgge) d de Netzgeererg - egestädge Programme oder m Solver tegrert Postprocessg: - De Nacharbet, de ach der egetlche Berechg erfolge mss. - Egeschlosse st: Datevsalserg d Dateaswertg (Plasbltätsprüfg!) - mest egestädge Programme

79 Aspekte zr Netzgeererg Przpelle Vorgeheswese: VIII.0 Fortsetzg - erzege Rohgeometre d ggf. Hlfsgeometre - defere ahad der Geometre de Berech (de Topologe) des mersche Netzes d see Dmeso (D, D, 3D) - defere de Logk des mersche Netzes, d.h. verschedee Geometre werde z eer Ehet zsammegefasst: as Le werde Fläche d Volma defert, gerade Le d Kresle werde z eer logsche Kate, ebee d ebee Fläche werde z Ober- d Projektosfläche zsammegefasst, Oreterge werde festgelegt - erzege e Netz

80 Aspekte zr Netzgeererg VIII.0 Fortsetzg De Kozepto der Rohgeometre basert af Überlegge zr Kofgrato d Abstrakto des Strömgsproblems. Es müsse asreched geometrsche Date erzegt werde, m der Phase der Defto der Logk edetge Zordge z erzege. Solche Überlegge sd: - Wo sd de Räder der Berechgsdomäe hzlege be asrecheder Abstrakto der gewüschte Berechg? - Wrd e (block-)strktrertes oder e strktrertes Netz beötgt? (Aforderg des Solvers) - Welche Geometre sd zsätzlch als Hlfsgeometre ötg? (z.b. zr Projekto vo Blockgreze be (block-) strktrerte Solver)

81 Aspekte zr Netzgeererg VIII.0 Fortsetzg Geometrscher Abstraktosgrad: - D/D/3D? - Geometrsche Perodztät vorhade? Begrff: Perodsche Radbedgge - ter werde perodsche Räder mteader verküpft - de Ergebsse des ee Rades werde af de adere kopert - besodere Bedgge für de Aordg der Zelle a de Räder: m efachste Fall mss se detsch se

82 Aspekte zr Netzgeererg VIII.0 Fortsetzg Besoders be (block-)strktrerte Solver lässt sch m Nachhe de spätere Aflösg schwerer äder, we cht vo vorhere de rchtge Roh- d vor allem Hlfsgeometre erzegt wrde. Daher mss her vorab überlegt werde: - Wo sd Blocktertelge/dchtere Blockvertelge/bessere Aflösg ötg? De mplzert de Fragestellge: - Wo trete Scher-/Grezschchte af? - Wo trete starke Gradete der Strömg af? - Wrd statoäre/statoär gerechet? - Wrd trblet/lamar o.a. gerechet?

83 Aspekte zr Netzgeererg VIII.0 Fortsetzg De Netzgeererg wrd ach der Defto der Logk drch de Vorgabe eer gewüschte Pkte- oder Zelleazahl af de deferte Kate bzw. Oberfläche drchgeführt. Dabe sollte abgeschätzt werde: - We vel dyamscher Specher (RAM) steht zr Verfügg? - Steht e paralleles Rechesystem zr Verfügg? - Ist mee Zell- d Blockvertelg glechmäßg m Hblck af de Verwedg ees parallele Rechesystems? - Ka de gewüschte Gesamtzellezahl mt meem Compter(system) überhapt verüftger Zet berechet werde?

84 VIII.0 Fortsetzg Aspekte zr Netzgeererg De Pktevertelg wrd vo folgede Überlegge geletet: - Welche Vertelg st adäqat: kostat, lear wachsed, expoetell wachsed, Gass-Vertelg, etc.? - Mt welchem Faktor wachse/schrmpfe Zelle? - besoders be Mltgrd-Verfahre (blockstrktrert): Azahl der Pkte af eer Kate: (a* ) wobe a,,3,... - m (block-)strktrerte Netz: Ethält das sch ergebede Netz starke Kcke? Ggf. Glättg - Ist das Setelägeverhälts akzeptabel?

85 Aspekte zr Netzgeererg VIII. Fortsetzg Das Verhälts vo zwe beachbarte Zelle fl /L sollte. cht überschrete. Gt st we f <.05 gewählt wrd. Der Scherwkel a zwsche zwe beachbarte Zelle sollte max o betrage. Das Verhälts vo Läge z Brete L /B eer Zelle sollte 00 cht überschrete. B L L α

86 VIII.0 Fortsetzg Ee wchtge Größe be der Pktevertelg zr Wad: y y st der dmesoslose Wadabstad. Der Begrff stammt as der Trbleztheore: Asatz für trblete Schwakge: ( x, y, z, t) ( x, y, z) ( x, y, z, t) Im zetlche Mttel glt: Alle Schwakge werde Nll! ( x, y, z, t) T T 0 ( x, y, z, t) dt Esetze des trblete Asatzes de Naver-Stokes-Glechge d aschleßede zetlche Mttelg aller Glechge führt be de Implsglechge z Terme der folgede Art, de cht Nll werde: ρ ρ v ρ w

87 VIII.0 Fortsetzg De Größe y Dese Terme sd bekat. Der Asatz für trblete Schwakge st e Modellasatz, der z Größe führt, de sch cht as reale Strömge ermttel lasse. Daher müsse ach se mt eem geegete Modell gesetzt (modellert) werde. E efaches Modell st bespelswese der Pradtl sche Mschgswegasatz mt der Mschgsläge l, wordrch ee schebare, zsätzlche Schbspag, de trblete Spag, erzegt wrd: d ρ v ρl : τ dy trb Für D d ee Haptströmg x-rchtg glt: τ ges µ d dy ρl d dy

88 VIII.0 Fortsetzg De Größe y Für de Aahme l 0 führt de Itegrato der vorge Glechg af de dmesoslose Asdrck: ( y) y τ τ y ν wobe τ y < 5 τw ρ Aßerhalb deser Schcht wrd l als lear mt y ageomme: lky mt kcost. I desem Fall führt ee Itegrato af ee logarthmsche Asdrck we der folgede Grafk: ( ) y τ k l y C Dabe st k0,4 d C5,5.

89 VIII.0 Fortsetzg De Größe y Trblete Grezschcht: Geschwdgketsprofl als Fkto des Abstads sekrecht zr Wad; y etsprcht der Grafk Wchtg: Deser Modellasatz st ach de Grdlage der Trblezmodellerg!

90 VIII.0 Fortsetzg De Größe y Es gbt zwe Asätze, de Iformato der Nähe der Wad z ermttel: - (Fe-)Aflösg zr Wad h - Modellerg drch das logarthmsche Wadgesetz Je achdem, welche Asatz ma verwedet, ka de Aflösg zr Wad h gröber oder mss se feer se. D.h. be der Netzgeererg sd bestmmte Werte für y ezhalte! Feaflösg: y Wadgesetz: y 30

91 VIII.0 Fortsetzg Aspekte zr Aswahl der Berechgsmethode () Wa mss statoär, wa ka statoär gerechet werde? () Wa mss kompressbel, wa ka kompressbel gerechet werde? (3) Wa mss trblet, wa ka lamar gerechet werde? ad () statoär/statoär: Welches Verfahre st geschckt? Implzt oder explzt? ad () kompressbel/kompressbel: Welcher Parameter st maßgeblch? ad (3) trblet/lamar: Welcher Parameter st maßgeblch?

92 VIII.0 Fortsetzg Aspekte zr Aswahl der Berechgsmethode () Istatoär/statoär: hägt eersets vom Abstraktosgrad (vorgegebe drch das Zel der Uterschg) ab; aderersets gbt es Strömge, de kee svolle Lösg zege, we se statoär berechet werde (weshalb der Abstraktosgrad cht völlg belebg se ka) () Kompressbel/kompressbel: Ma > 0, bzw. Ma < 0, (3) Trblet/lamar: Re, Größeordg st strömgsproblemabhägg

93 VIII. Strömg etlag eer ebee Platte Es soll ee efache Strömg terscht werde, m e Gefühl z etwckel was ma be eer mersche Rechg beachte mss. Es soll asgehed vo der reale Stato bem Expermet e etsprechedes Recheetz kostrert werde mt de dazgehörge Radbedgge. De Messge solle a folgeder Geometre drchgeführt werde. De Zströmbedgge sd: U 00 m/s, r.4 kg/m 3, p 047 N/m. De Platte st 0.5m lag d m bret.

94 VIII. Fortsetzg Daras ergbt sch ee Ma» 0,3 d ee Reyoldszahl Re» gebldet mt der Platteläge. Frage: Ka ma dese Strömg mt de kompressble Glechge löse? Ne. Ikompressbel ka ma max. bs Ma < 0, reche. Frage: Ist dese Strömg trblet? Ja. Ab eer Re-Zahl vo ca. Re abhägg vom Trblezgrad. Ka ma de Symmetre astze? Egetlch st de Strömg lecht symmetrsch, aber her ka ma mt gter Näherg symmetrsch reche. Mss ma statoär reche? Ne. Alle trblete Strömge sd zwar statoär. Aber dese Strömg st m Mttel statoär. D.h. ma ka de Trblez mt eem statstsche Trblezmodell bereche. Ist de Strömg dredmesoal? Ne m Mttel st de Strömg zwedmesoal.

95 VIII. Fortsetzg We wet weg mss ma de Begrezgsräder lege? De obere Rad H? Obwohl de Grezschcht r ca. cm dck st, mss H0. bs 0.5m wet weg lege De vordere Rad X? Afgrd der Rückwrkg der Grezschcht sollte deser X0. bs 0.m vor dem Platterad lege X? H? L0.5m

96 VIII. Fortsetzg We vele Netzpkte de ezele Blöcke sd otwedg? Bs zm obere Rad N H? I der Grezschcht sollte gefähr 5-30 Pkte lege, bs zm Rad so vele, dass e glatter Übergag schergestellt st. Bs zm vordere Rad N X bzw. af der Platte N L? Af der Platte sollte Pkte betzt werde. Vor der Platte geüge 0-30 Pkte. N X? N H? N L?

97 VIII. Fortsetzg E mersches Netz, das de obe besprochee Aforderge erfüllt, st te dargestellt

98 VIII. Fortsetzg Welche Radbedgge ka ma für de ebee Platte betze? A der Wad de Haftbedgg Am vordere Rad Rb d Rb 4? Ugestörte Aströmg (Ferfeldradbedgg) Am tere Rad Rb? Symmetreradbedgg Am htere Rad Rb 3? Drckradbedgg Rb 4 Rb Rb 3 Rb

99 VIII. Fortsetzg Blder zr Aswertg der lamare ebee Platte: z.b. Blass-Vertelg; cf

100 VIII. Umströmg ees NACA-00 Profls be Ma0.9 Es soll ee trassosche Strömg m e NACA-00 Profl terscht werde, welches ter ee Astellwkel vo α3 o ageströmt wrd. E geegetes Recheetz soll kostrert werde mt de dazgehörge Radbedgge. De Zströmbedgge sd: Ma 0.9, Re.3 0 6, T 70 Κ. Das Profle st m lag.

101 VIII. Fortsetzg Als erstes mss ma de Topologe des Recheetzes festlege. I desem Falle ka ma verschedee Topologe wähle. Dese sd H-Netz, C-Netz d O-Netz. H-Netz O-Netz C-Netz Welche st für dese Geometre am geegetste d warm? Das C-Netz st am beste geeget, wel de Netzqaltät a der Hterkate damt am beste wrd.

102 VIII. Fortsetzg Als ächstes mss ma de Abstad des Ferfeldrads zm Profl festlege. L x? L y? L N? Welche Abstäde müsse z de Ferfeldräder mdestes egehalte werde? Be Verwedg vo chtreflekterede Radbedgge ka ma L X L y 0-5L P wähle. L N 5-30 L P mss etwas größer gewählt werde wege der Nachlafdelle. Hat ma reflekterede Radbedgge so mss ma das zwe bs drefache der obe geate Werte wähle

103 VIII. Fortsetzg N y? N p? N N? We vele Pkte sollte ma zwsche dem Profl d dem Ferfeldrad N y vorsehe? I der Grezschcht ca. 30 d wetere Pkte darüber. We vele Pkte sollte ma af dem Profl N p verwede? Ca. 00 m de Drck- d Geschwdgketsgradete afzlöse. We vele Pkte sollte ma m Nachlaf N N verwede? Ca Pkte sollte geüge. Wobe de meste der Nähe der Hterkate verwedet werde sollte.

104 VIII. Fortsetzg N müsse de Radbedgge festgelegt werde. RB? RB? RB 3? Welche Radbedgge ka für RB gewählt werde? Für RB ka Ferfeldradbedgg gewählt werde. Welche Radbedgge ka für RB gewählt werde? Für RB ka etweder Ferfeldradbedgg gewählt werde oder Drckradbedgg. Welche Radbedgge ka für RB 3 gewählt werde? Für RB 3 ka r Drckradbedgg gewählt werde. Für Ferfeldrad müsste L N >> L P gewählt werde.

105 VIII. Fortsetzg Her st e typsches C-Netz dargestellt, das für de Berechg vo exterer Umströmg ees Profls geeget st. Es st symmetrsch afgebat, m für verschedee Astellwkel etwa glech gt geeget z se. De Grezschcht st afgelöst bs y, m Low- Reyolds-Nmber Trblezmodelle verwede z köe.

106 VIII. Fortsetzg Her sd typsche Lösge dargestellt verschede fee Netze. Obe seht ma ee grobe Lösg (N700). Ute ee Lösg af dem feste Netz (N8000). Ma erket, dass sch de Machzahl- Vertelg detlch ädert. Allerdgs ädert se sch zwsche mttlerem Netz (cht dargestellt) d festem Netz kam mehr, so das ma vo eer etzabhägge Lösg spreche ka.

107 VIII. Fortsetzg Blder zr Aswertg des NACA00-Profls (cp, cf-verläfe)

108 VIII. Fortsetzg Blder zr Aswertg des Nakayama-Profls krtsch

109 VIII.3 Istatoäre Umströmg ees Zylders be Re00 N soll ee statoäre Umströmg ees Zylders terscht werde. Dabe solle de bem Expermet beobachtete Karma sche Wrbelstrasse afgelöst werde. De Reyoldszahl soll so kle gewählt werde, dass de Strömg lamar blebt. As dem Expermet weß ma, dass des be Re< 300 der Fall st. Wr wähle Re00 be Umgebgsbedgge. Dabe mss der Drchmesser des Zylders Dmm gewählt werde. U

110 VIII.3 Fortsetzg Als erstes mss ee Netztopologe gewählt werde. Ka ma be desem Fall de Symmetre der Geometre astze? Ne, da wr statoär reche wolle. Welcher Netztyp st herfür geeget? E hybrdes Netz bestehed as C-Netz d eem egebettete O-Netz. We wet mss her der Ferfeldrad weg gelegt werde? We be NACA 00 etwa 0-5 Drchmesser. U

111 VIII.3 Fortsetzg Als ächstes müsse Radbedgge gewählt werde. Welche Radbedgge mss ma für RB wähle? Ferfeldradbedgg Welche Radbedgge mss ma für RB wähle? Ebefalls Ferfeldradbedgg. Welche Radbedgge mss ma für RB 3 wähle? Ncht-reflekterede Drckradbedgg. Rb Rb Rb 3

112 VIII.3 Fortsetzg Be der Geererg ees Netzes mss ma ach her wederm beachte, dass de Verhältsse zwsche beachbarte Zelle <.05 sd. Spezell mss ma be blockstrktrerte Netze beachte, dass zwsche de Blöcke de Übergäge glechmäßg sd. Da de Wrbelstrasse sch sehr wet stromab erstreckt, mss das Netz m Nachlaf ee hohe Aflösg habe. E geegetes Netz ka da so assehe.

113 VIII.3 Fortsetzg De Berechg ees statoäre Problems erfordert de Vorgabe vo Afagsbedgge. Dabe mss dese physkalsch korrekt se. Welche Afagslösg köe wr her vorgebe? Ma köte her zerst ee askovergerte statoäre Lösg erzege d als Startlösg verwede. I desem spezelle Fall ka ma sch des spare, da de statoäre Lösg zetlch perodsch st. Das heßt ma ka her mt rgedeer Afagslösg starte d da über eer physkalsche trasete Phase zr physkalsch korrekte statoäre Phase komme. Welche Zetschrtt ka ma vorgebe? Be Verwedg vo explzte Verfahre st der Zetschrtt drch de CFL-Zahl festgelegt. Oftmals st deser aber so kle, dass ma z mplzte Verfahre grefe mss, m wrtschaftlch reche z köe. Be dese st der Zetschrtt mest belebg wählbar. Deser mss aber kle geg se, m alle physkalsche Effekte aflöse z köe, welche für de Lösg relevat sd. We ka ma de Zetschrtt für de vo Karma sche Wrbelstrasse abschätze? De Strohal-Zahl für Uterschallströmge st mest der Größeordg S*t/D 0., daras lässt sch de Perodedaer t abschätze. Um dese Perode mersch afzlöse, müsse geüge Zetschrtte (30-50) vorgegebe werde.

114 VIII.3 Fortsetzg Asgehed vo der obe beschrebee Tatsache, dass de trasete Phase her physkalsch falsch st, ka ma dese mt möglchst große Zetschrtte überbrücke. Ist dese errecht, so mmt ma de Zetschrtt af de korrekte Wert zrück, m de zetlch perodsche Lösg z bereche. Hat ma e Mehrgtterverfahre zr Verfügg, so ka ma de trasete Phase de grobe Gtter scheller überbrücke. Es geügt da m feste Gtter mt dem korrekte Zetschrtt z reche. Ee typsche, zetabhägge Lösg (Mometabld oder Sap Shot) seht da so as:

115 VIII.3 Fortsetzg Natürlch ka ma ach be statoäre Lösge ee Netzabhäggket feststelle. Des st aber häfg schwerger z sehe, als be statoäre Lösge. Her ka ma zsätzlch zm Verglech der zetlche Mttelwert ach de Äderg der tegrale Größe we z.b. de Strohal-Zahl, de Wderstadsbewert oder de Aftrebsbewert herazehe. Be der Zyldermströmg ka ma ach de Läge der vo Karma sche Wrbelstrasse vergleche. Obe: Grobe Lösg (3 00 Pkte) Mtte: Mttleres Lösg ( 500 Pkte) Ute: Fee Lösg ( Pkte)

116 VIII. Fortsetzg Blder zr Aswertg des Zylders; Flmche mt LES

117 VIII.4 Trblete Drchströmg eer Trbeschafel Be deser Strömg hadelt es sch m ee zwedmesoale,statoäre Drchströmg ees Letradschafelgtters. Vergleche vo statoäre Berechge mt de Messge habe gezegt, dass dese de Totaldrckverlste cht gea geg erfasse köe. De Zströmg soll be eem Totaldrck vo p t N/m d Totaltemperatr T t 94K erfolge. De Astrttsmachzahl wrde mt Ma0.6 m Expermet ermttelt.

118 VIII.4 Fortsetzg L z L trb Als erstes müsse wr das Strömgsgebet festlege. Da de Telg as dem Expermet bekat st, lege de perodsche Räder fest. Aber der Zströmrad bzw. der Abströmrad mss och festgelegt werde. We groß mss L ab gewählt werde? L ab L ab sollte.5 - L trb gewählt werde. We allerdgs chtreflekterede Radbedgge verwedet werde, da ka ma sehr vel äher a de Hterkate gehe. L ab ka da 0.5L trb gewählt werde We groß mss L z gewählt werde? L z sollte L trb gewählt werde. Be chtreflekterede RB sehe obe.

119 VIII.4 Fortsetzg RB Als ächstes müsse wr de Radbedgge festlege Rb Welche Radbedgg mss stromaf vorgegebe werde? Es mss Totaldrck, Totaltemperatr d Eströmwkel vorgegebe werde. Welche Radbedgg mss stromab vorgegebe werde? Rb 3 Es mss e statscher Drck vorgegebe werde. As dem bekate Totaldrck d der Machzahl Ma0.6 ka deser mt der Bezehg für das Verhälts as der Gasdyamk berechet werde.

120 VIII.4 Fortsetzg Be der Netzgeererg müsse de Verhältsse be der statoäre Strömg berückschtg werde. We ka ma y a der Wad ehalte? Ma mss de Reyoldszahl a der Schafel grob abschätze. Da daras mt Hlfe eer mttlere Rebgsbewertes vo c f 0.00 de Wadabstad abschätze. Deser mss da ach eer Berechg überprüft werde, d gegebeefalls e berechet werde. Was mss e Netz be eer statoäre Strömg m Nachlaf assehe verglche mt ee Netz für statoärer Strömg? Es mss sowohl Strömgsrchtg als ach ormal daz über der gesamte Läge fe afgelöst se, m de Wrbel mersch aflöse z köe. Währed e Netz für statoäre Berechge zm Astrttsrad h stark vergröbert werde ka. Was mss ma be de perodsche Räder beachte? De Pktvertelg der bede Räder mss detsch se, da sost küstlche mersche Flüsse geerert werde, de de Lösg verfälsche.

121 VIII.4 Fortsetzg E geegetes Recheetz köte da so assehe.

122 Blder z eem schlechte Netz VIII. Fortsetzg

123 VIII.4 Fortsetzg E Mometabld der Geschwdgketskompoete x-rchtg seht da so as (m feste Netz mt Pkte).

124 VIII. Fortsetzg Seqez zm Propeller: - Kofgrato des Berechgsproblems - Berechgsdomäe - e paar asgewertete Mometablder - ochmal de drehede Propeller

125 IX. Trblezmodellerg IX. Eführg de Trblez IX. Drekte Nmersche Smlato IX.3 Large Eddy Smlato IX.4 RANS Smlato

126 IX. Eführg de Trblez Trbleter Nachlaf hter eem Zylder Trbleter Nachlaf hter eem Körper Trblez st mmer dredmesoal d statoär Trblez besteht wetgehed as Wrbel Trblez setzt sch as terschedlche Läge- d Zetskale zsamme