Fast Fourier Transformation

Transkript

1 Wetfälche WlhelmUvertät Müter Auarbetug Fat Fourer Traformato m Rahme de Semar Parallele Algorthme Dmtr Lte Themeteller: Prof. Dr. Herbert Kuche Ittut für Wrtchaftformat Pratche Iformat der Wrtchaft

2 Ihaltverzech Eletug... Grudlage.... Komlee Zahle.... Ehetwurzel... Fourer Traformato.... Drete Fourer Traformato.... Ivere Fourer Traformato... Schelle Fourer Traformato.... FFT.... Parallele Imlemeterug auf eem Huercube Multcomuter... Fazt... Lteraturverzech... II

3 Katel : Eletug Eletug Der auf vele wechaftlche Gebete wet verbretete arthmetche Algorthmu, Fourer Traformato, tellt e effzete Verfahre zur Auführug weetlcher Oeratoe be der Sgal ud Bldverarbetug, Stemtheore ud Ot, owe grudlegede mathematche Berechuge, we z.b. Polommultlato ud adere techche Aweduge dar. Da Zel de vorlegede Betrag t e, am Beel der Multlato zweer Polome zu bechrebe, we deer Algorthmu auf arallele Recherarchteture agewadt werde a. Da de omlee Zahle am bete für de Berechug geeget d, folgt zuächt ee urze Eführug de omlee Zahle ud Ehetwurzel. De Grudlage der chelle Fourer Traformato FFT t de drete Fourer Traformato DFT. De FFT t e Algorthmu, der de DFT verefacht ud dadurch de Recheaufwad tar reduzert. De Theme DFT ud FFT werde de Katel ud behadelt. De Abbldug tellt ee grahche Umr eer effzete Polommultlato dar: de Polome werde au der Koeffzete Dartellug de Stütztelledartellug traformert, multlzert ud zurüc traformert. Außerdem wrd der Aufwad der Berechug mt traformerte Werte dem der drete Multlato gegeübergetellt. Da Verfahre der chelle Fourer Traformato hat ee Zetomletät vo O. Dadurch t de Polommultlato ogar echleßlch Traformato de Stütztelledartellug ud Rüctraformato och cheller al de drete Multlato wel O OO<O

4 Katel : Eletug Koeffzete dartellug Multlato Ο Koeffzete dartellug Traformato Ο Traformato Ο Stütztelle dartellug Multlato Ο Stütztelle dartellug Abb. : Polommultlato [Co9, S. ] Grudlage. Komlee Zahle Bem Zahleberech der omlee Zahle hadelt e ch um ee Erweterug der reelle Zahle. Im Zahleberech der reelle Zahle gbt e ee Löug für ². Alo mu der Zahleberech erwetert werde: magäre Zahle. De wchtgte deer magäre Zahle t, e t defert al Löug der Glechug ². Imagäre ud reelle Zahle veregt et ma omlee Zahle. Ee omlee Zahl etzt ch au eem reelle ud eem magäre Tel zuamme. Ma chrebt e gewöhlch der Form d. Dartellug m Koordatetem: z a * b, wobe a ud b reelle Zahle Auf der Ache trägt ma de Realtel auf ud auf der Ache de Imagärtel.

5 Katel : Grudlage Imagäre Ache Realltel a r θ z Imagärtel *b Reelle Ache Ee adere Dartellugform: Abb. : Grahche Dartellug eer omlee Zahl θ z r e rco θ θ Für de Multlato omleer Zahle gelte de üblche Regel, wobe jedoch durch zu eretze t. E gbt omlee Zahle, de bem Potezere ergebe. Da d de Ehetwurzel.. Ehetwurzel E e C der Körer der omlee Zahle. E Elemet Ehetwurzel, we t. C heßt te Für jede gbt e geau olche Ehetwurzel, de de Bedgug erfülle. Ee vo he, de mt bezechet wrd, wrd de te Hautehetwurzel geat. De adere erhält ma, dem de te Potez erhebt wrd für,,,. Für lae ch z.b. de te Ehetwurzel we folgt am Ehetre auftrage:

6 Katel : Grudlage Imagäre Ache o,,, Reelle Ache, Abb. : Ehetre mt te ud te Ehetwurzel [La] heßt rmtve te Ehetwurzel, we t, aber für alle {,..., }. Allgeme lät ch ee Ehetwurzel we folgt bereche: π co π Beel: Alle te Ehetwurzel: Alle te Ehetwurzel:

7 Katel : Fourer Traformato Fourer Traformato. Drete Fourer Traformato Se N ud rmtve te Ehetwurzel C. De F, j j Matr F mt für alle, j {,, }, heßt Fourermatr. De DFT ee Vetor,..., t da f F De jte Komoete de Ergebvetor f ergbt ch omt al Produt der jte Zele der Matr mt dem Egabevetor : j f für j j Beel:, e π π π co Ehetwurzel:,, ², ³ Fourermatr: F z.b. F, f f f f

8 Katel : Fourer Traformato De Matr VetorMultlato F f lät ch al Polomauwertug a de Stelle,..., auffae, wobe der Vetor de Koeffzete de Polom ethält. Der Ergebvetor f t de Stütztelledartellug de Polom. Beel: Multlato vo zwe Polome: a ud b q Her z.b.: ud q Egabevetor Koeffzete de Polom : Amerug: obwohl de bede Polome vom Grad d, müe e für de wetere Berechuge al Polome vom Grad betrachtet werde. Da t aber e Problem: ma a e Polom vom Grad al e Polom vom Grad betrachte, be dem Koeffzete de Wert Null habe. De DFT de Egabevetor: Geauo für de Koeffzete de Polom q:

9 Katel : Fourer Traformato Nachdem de Vetore traformert wurde, öe e multlzert werde: Um u de Koeffzete de Ergebolom q zu bereche, mu der letzte Vetor deer Multlato ur och zurüc traformert werde [Qu9, S. ]. De wrd mt Hlfe der vere FourerTraformato gemacht.. Ivere Fourer Traformato De vere Fourermatr F ethält de zu de Elemete der Fourermatr vere Elemete, dvdert durch. Jeder Etrag deer Matr lät ch we folgt bechrebe: F j j /, für alle, j {,, }. De IDFT ee Vetor t da f F z.b. für : F

10 Katel : Fourer Traformato Beel fortgeetzt: Deer Vetor behaltet u de Koeffzete de Ergebolom q : q Komletät De Fourer Traformato wrd häufg auf ee große Azahl vo Dateätze agewedet. Daher bechrät ma ch be der Abchätzug de Recheaufwade auf de egetlche Traformatoformel ud verachlägt de Berechug vo Hlfgröße, we z.b. der Ehetwurzel, da dee eer Tabelle geechert werde öe ud be wederholter Auführug der Traformato ur au dem Secher augelee werde müe. Damt der Aufwad eer DFT: We e Dateatz vom Umfag gegebe t, müe Koeffzete berechet werde, de jewel au eer Summe vo omlee Terme betehe. Alo t der Aufwad roortoal zu [Ne99]. De Berechug eer DFT hat de Komletät Ο. De lät ch bechleuge. Schelle Fourer Traformato. FFT De Berechug der DFT F f

11 Katel : Schelle Fourer Traformato erfordert Multlatoe ud Addtoe, da heßt Ο arthmetche Oeratoe. Warum ollte ma we obe bechrebe ee omlee Vorberetug durchführe, um zwe Polome zu multlzere, we e dret cheller gge? Wel ma für de DFT cht ubedgt de MatrVetorMultlato braucht. Im Jahre 9 veröffetlchte J.W. Coole ud J.W. Tue hrem Artel "A Algorthm For The Mache Calculato Of Comle Fourer Sere" de vo he voeader uabhägg etwcelte Algorthmu für de Berechug der DFT, der ur och Ο arthmetche Oeratoe brauchte. De FFT t e Algorthmu, der de Berechug der DFT tar verefacht ud dadurch de Recheaufwad erheblch reduzert. De FFT utzt de Smmetreegechafte au ud et de Azahl der erforderlche Multlatoe. Her wrd ee efache Stratege vom T Tele ud Herrche agewadt. De Idee t, de ezele Berechuge der MatrVetorMultlato f F eer ezelle Rehefolge auzuführe, o da jewel auf cho berechete Zwcheergebe zurücgegrffe werde a. Dabe werde folgede Egechafte der rmtve Ehetwurzel augeutzt: ud Al erte werde de Komoete vo f mt geradem Ide berechet, dem de etrechede Zele der Fourermatr mt dem Vetor multlzert werde. [ ] f a a a a... a Da berechet ma de Komoete mt ugeradem Ide: [ ] f a a a a... a De FourerTraformato de Vetor t da: [ ] [ ] f f f De te Ehetwurzel d für dee Zerlegug geeget, da ma be Quadrerug eer te Ehetwurzel ee / te Ehetwurzel erhält. De wrd beötgt, damt de Tele ud Herrche Stratege agewadt werde a. Um e Polom mt Koeffzete zu bereche, zerlegt ma e zwe Polome mt / 9

12 Katel : Schelle Fourer Traformato Koeffzete. Dee Polome brauche ur / Pute de /te Ehetwurzel berechet zu werde, um de Werte zu ermttel, de für de volltädge Berechug beötgt werde [Qu9, S. ]. Da Problem der Berechug vo f a de Stelle Berechug vo [ ] f ud ud da de Berechug vo f [ ], ledglch a de Stelle [ ] [ ],,, wrd o auf de,, f f f reduzert wel. Dee Verfahre wrd u weter auf de bede Polome [ ] f ud f agewedet. So wrd jede der bede eue Polome weder aufgetelt, b e chleßlch ur och Paare vo Polome mt jewel eem Koeffzete gbt: [ ] a, a, a, a, a, a, a, a a, a, a, a a, a, a, a a a, a, a, a, a a a a a a a a a a a Abb. : Reurve Auftelug de Iutvetor [Co9, S.9] Nu wrd für jede Paar de DFT berechet ud ach obe gerecht. Komletät Um de FFT ee Dateatze der Größe zu bereche, mu ma laut der Glechug [ ] [ ] f f f zuert de Dateatz auftele: Dateute mt geradem ud ugeradem Ide. De Auftelug fdet / mal tatt. Se T de Zet für de Berechug der FFT ee Dateatze der Größe. T Θ [Qu9, S. ] T Θ

13 Katel : Schelle Fourer Traformato. Parallele Imlemeterug auf eem Huercube Multcomuter FFT a, Global {Azahl vo Koeffzete} {Azahl vo Prozeore} Local a[ /] {Iut} o {Power} t[ /] {Temorar value} u[ /] {Temorar value} [ /] {Outut} m {comle root of ut} {ower of comle root of ut} {Autauche vo Iutelemete zwche Prozeore} for all P, where < do for to / do d / det.roceor REVERSE d / / det.offet REVERSE d mod / [det.roceor][det.offet] a [] {Auführe vo Iteratoe, für de ee Kommuato zwche Prozeore beötgt wrd} for to / do m e m π / m for all P, where < do for j to m / do for j to / te m do q [ m / ] r [ ] [ ] r q [ m / ] r q m {Auführe vo Iteratoe, für de Kommuato zwche Prozeore beötgt wrd} for to do m m e π / / m for all P, where < do f / odd the

14 Katel : Schelle Fourer Traformato o / mod m / o π / m e for to / do t [ ] [ ] m hft arter hft {Ecluve or} f / odd the [ arter] u t ele [ arter] u for all P, where < do f / odd the for to / do [ ] u[ ] t[ ] ele for to / do [ ] [ ] u[ ] Abb. : Parallele FFT [Qu9, S. ] Jeder Prozeor arbetet vo Afag a mt zwe Arra: e Arra mt Egabewerte her Koeffzete ee Polom ud e Arra mt Zwchewerte, da zum Schlu der Berechug de traformerte Werte behaltet. I deem Algorthmu werde bem Zuammefae der zwe Telrobleme folgede zwe Berechuge durchgeführt: ud [] [] [] [] / De a ma grahch al ee Butterfl Oerato dartelle. [] [] [] [] [] [] Abb. : Butterfl Oerato [Hü9, S. 9] Au olche Bautee a ma u e ButterflNetz etwerfe, da zur Löug der FFT beträgt. Da ächttehede Beel zegt ee Aufbau für ud Azahl der Prozeore.

15 Katel : Schelle Fourer Traformato Abb. : ButterflGrah eer Put FFT [Co9, S. 9] Der Algorthmu beteht au dre Phae: Phae: Her werde de Egabewerte vo de Prozeore augetaucht. Dabe berechet jeder Prozeor für jede eer Egabewerte de Betmmugort Form vo Prozeorummer ud Ide vo m Algorthmu det.roceor ud det.offet ud chct e dorth I der Phae a jeder Prozeor uabhägg vo de adere de erte Iteratochrtte der FFT auführe. Da her ee Kommuato zwche de Prozeore tattfdet, öe de Berechuge durch de Prozeore arallel augeführt werde. I der Phae werde de letzte Iteratochrtte augeführt. Herbe müe weder de Zwchewerte uter de Prozeore augetaucht werde. a a a a a a a a P P

16 Katel : Schelle Fourer Traformato Komletät I der erte Phae werde de Egabewerte auf de Prozeore vertelt. Her t der Aufwad roortoal zu /. Aufwad für de zwete Phae t roortoal zu / / / / / j j j j j j j / / Ο O / / Der Aufwad der drtte Phae t roortoal zu O Der Geamtaufwad für de Berechug vo FFT ee Egabevetor der Größe auf eem Huercube Multcomuter mt Prozeore: O We u für jede Zele, de ee ButterflOerato ethält e Prozeor egeetzt wrd, beötgt ma / Prozeore. Geau da würde ee FFT mt deer Butterfl Tech ee Recheaufwad vo O betze [Hü9, S. 9]. Fazt De Awedugmöglchete der chelle Fourer Traformato d wet größer al her bechrebe wurde. Jedoch de rzelle Arbetwee t de gleche we de her bechrebee Polommultlato. De Fourer Traformato elt ee wchtge Rolle vele Eatzgebete, dehalb t e wchtg herfür ee chelle Algorthmu zu verwede. We deem Betrag gezegt wurde, a ma durch gechcte Auutzug vo Egechafte der

17 Katel : Fazt Ehetwurzel de Aufwad vo ach zu reduzere. I der Abbldug wrd für tegede Werte vo der Aufwad der FFT dem der DFT gegeübergetellt. 9 9 Abb. : Aufwadverglech Der adere Vortel dee Algorthmu t, da er ch voll der arallele Programmerug eetze lät: der zwete Phae de FFTAlgorthmu fdet ee Kommuato zwche de Prozeore tatt, d.h. her öe de Prozeore Tele der Berechug arallel durchführe.

18 Lteraturverzech Lteraturverzech [Co9] [Hü9] Thoma H. Corme, Charle E. Leero, Roald L. Rvet: Itroducto to Algorthm, McGrowHll, 99 Maru Hübel: Fat Fourer Traformato, htt:// [Abrufdatum Arl ] [La] H. W. Lag: Algorthme Java, Oldeburg, [Ne99] [Qu9] Mart Neuma: Comutatoal Phc Vorleugrt, htt:// [Abrufdatum: Arl ] Mchael J. Qu: Parallel Comutg Theor ad Practe,. Aufl., McGrawHll, 99.