UNTERSUCHUNGEN ZUR FORMENERKENNUNG DURCH AUSGLEICHUNG NACH MAXIMALER KORRELATION

Transkript

1 UNTERSUCHUNGEN ZUR FORMENERKENNUNG DURCH AUSGLEICHUNG NACH MAXIMALER KORRELATION F. Netzel Isttut für Geodäse ud Geoformatostechk Techsche Uverstät Berl Zusammefassug: Be ahezu alle geodätsche Aufgabestelluge werde de afallede Berechuge ud de Dateaalyse mt Hlfe vo Ausglechugsalgorthme mt dem Zel pvv m. durchgeführt. We hläglch bekat, führt dese Vorgeheswese ur da zu eem svolle Ergebs, we de bldug bs auf de zufällge Fehler m Datemateral vollstädg st. Führt ma be uvollstädger bldug ee Ausglechug ach der Methode der kleste Quadrate durch, köe de Ubekate ud de ausgeglchee Beobachtuge urealstsch werde. Zudem lasse sch de fehlede atele be der Iterpretato der Resdueblder oftmals cht erkee. Be uvollstädge e st es svoll, zuächst ee Ausglechug ach mamaler Korrelato (Petrovc, 99) mt dem Zel de Korrelatoskoeffzete r (, l f( )) zu mamere, durchzuführe. Herbe hadelt es sch um ee Formeverglech zwsche eer Puktmege (Beobachtuge) ud dem agesetzte fuktoale. Ahad der Resdueblder eer Ausglechug ach mamaler Korrelato besteht de Möglchket, fehlerhafte atele zu erkee. Dese Vorgeheswese soll ahad der Auswertug ees sythetsche Datesatzes mt fehlerhafter bldug gezegt werde. Der Datesatz oretert sch a der Aufgabestellug Rekostrukto vo Trasserugselemete. Be deser Aufgabe besteht das Problem Forme zu erkee, ohe daß ma dere geaue Afags- ud Edpukt ket, was zu fehlerhafter bldug führe ka. I deser Arbet hadelt es sch um de przpelle Klärug der Möglchket, ee derartge Rekostrukto mt Hlfe eer Ausglechug ach mamaler Korrelato durchzuführe. Aus desem Grud werde cht alle be Trasserugsaufgabe vorkommede Elemete de Utersuchuge ebezoge.. Ausglechug ach mamaler Korrelato Be fast alle geodätsche Aufgabestelluge ka ma de Zelgröße cht drekt bestmme. Als Egagswert steht der Beobachtugsvektor l zur Verfügug. Uter der Voraussetzug, daß der fuktoale Zusammehag F (zwsche l ud ) vollstädg bekat st ud kee grobe ud zufällge Fehler m Datemateral vorhade sd, glt l = F( ). () I der Realtät stellt sch de bldug jedoch der Form l = ( f ( ) 4 + sf ) 43 + ( g 4 + z) () 34 fuktoales stochastsches dar, mt f( ) fuktoales (uvollstädg), s f systematsche Fehler ud g, z grobe bzw. zufällge Fehler. De Utersuchuge der vorlegede Arbet werde mt eem sythetsche Datesatz, der kee grobe Fehler ethält, durchgeführt, so daß sch de bldug auf l = f( ) + s + z (3) reduzert. Führt ma so eem Falle ee Ausglechug mt dem Zel pvv m. durch, köe de errechete parameter urealstsch werde. Zudem st der fehlede bzw. fehlerhafte atel aus dem Resduebld oftmals cht zu erkee. Möchte ma de Date de Forme des uvollstädge s detfzere, so ka ma mt der Forderug f

2 r (, l f ()) ma. (4) zuerst ee Ausglechug ach mamaler Korrelato durchführe. Grudlage eer Ausglechug ach mamaler Korrelato st das Aufstelle des Korrelatoskoeffzete. Im vorlegede Fall gescheht des zwsche eer gegebee Puktmege P (, z ) ud eer Fukto y = f ( ) ud ma erhält r ( y y)( z z) = = ( y y) ( z z) = = y = mt y = z = ud z =. (5), (6) De Lösug eer Ausglechug ach mamaler Korrelato wrd folgedermaße defert (Petrovc, 997): We eer gegebee Klasse vo reelle Fuktoe F e Elemet f F estert, derart, daß der Korrelatoskoeffzet (quadrert) r see mamal möglche Wert bezüglch der Klasse F ammt, da st de Fukto f de Lösug ees Ausglechugsproblems ach mamaler Korrelato. Dese Ausglechug hat folgede Egeschaft: Ist f F ee Lösug ach mamaler Korrelato ud glt c + c f F mt c, c R, da st c + c f ebefalls ee Lösug, ämlch r (l, c + c f ) = r (l, f ).. Resdueaalyse Im Falle daß de Lösug cht edeutg st, erhält ma für de Resdue ausgehed vo = f l (7) durch Esetze der Klasse aller Lösuge ach mamaler Korrelato { f f = c + c f ; c, c R; f ee Lösug} F (8) de Ausdruck = c + c f l. (9) Um ee aschaulchere Darstellug zu erhalte, ka ma f durch de Ausdruck l ( ausgeglchee Beobachtuge ) ersetze ud erhält für de Resduevektor = c + c l l. () De Resdueblder glt es zu terpretere, um da ee Lösug auszuwähle. Krtere für de Auswahl eer Lösug köe Aahme für e bestmmtes Verhalte vo (z.b. glatter Verlauf, achsparalleler Verlauf) se. Darauf folgt de Idetfzerug der Form vo systematsche Eflüsse. We ma der Lage st, das fehlerhafte bzw. uvollstädge zu korrgere, ka ma m Aschluß dara ee Ausglechug ach kleste Quadrate durchführe. 3. bldug für das ausgewählte Bespel Das ausgewählte Bespel besteht aus Gerade ud Ellpse, be dee de Ellpseachse parallel zu de Koordateachse lege. Des wetere werde de Ellpseparameter so gewählt, daß ma das Trasserugselemet Kres erhält. We ma de Kres als Spezalfall eer Ellpse betrachtet, lasse sch aufgrud der Struktur der Formel wetere Utersuchuge ( deser Arbet cht ethalte) durchführe.

3 Das Aufstelle des Korrelatoskoeffzete (quadrert) r = S für de Ellpse gescheht durch Esetze der Ellpseglechug y = ym ± a r ( m) (5). Verefacht ma de dabe etstehede Ausdruck, so ergbt sch z r ( m) z r ( m) = = S = ( r m ) r ( ) m z z ( ) = = =. () Ma beachte, daß der Korrelatoskoeffzet uabhägg vo de Parameter a ud y m st. Für de Gerade st es cht svoll ee Korrelatoskoeffzete aufzustelle, da se kee charakterstsche Forme aufwest. Geometrsch aschaulch bedeutet des, daß ma belebge Forme durch dehe oder stauche ee Gerade überführe ka. I eer Ausglechug ach mamaler Korrelato soll de Lösug derart bestmmt werde, daß der obge Ausdruck () mamal wrd. Be eer Fukto vo zwe Veräderlche S = f (r, m ) werde durch Lösug des chtleare Glechugssystems () S F = = r S F = = m de statoäre Pukte bestmmt, de da auf hre Etremwertegeschafte zu überprüfe sd. De Lösug des chtleare Glechugssystems erfolgt auf üblche Wese durch Learserug ud Iterato. 4. Praktsche Berechuge Grudlage für de umersche Utersuchuge st e sythetscher Datesatz, der kee grobe Fehler ethält. Aufgrud vo festgelegte Trasserugsparameter wurde dskrete Pukte berechet, de de stetge Verlauf eer Trasse bestehed aus eer Gerade ud zwe Ellpse (egetlch Kresböge) beschrebe. De berechete Pukte wurde auf dre Stelle ach dem Komma gerudet, was zur Folge hat, daß dadurch klee zufällge Fehler m Date materal etstehe. Zudem hat der Datesatz de Egeschaft, daß sch de Trasserugs elemete der Form y = f () darstelle lasse ud daß de erste Abletug stetg st. Folgede Trasserugsparameter lege der Berechug der Pukte zugrude: Berech Elemet Mttelpuktkoordate Radus Faktor Stegug Achsabvo - bs m y m r a m schtt b - 43 Ellpse 4,475,45 9,, (Kres) Gerade -,5 3, Ellpse 4,65 5,63 3,5, (Kres) Nu wrd der Ausglechug für de Berech vo Pukt bs 6 ee Ellpse agesetzt, d.h. daß das ab Pukt 43 bs Pukt 6 falsch st. Für de Berech ab Pukt 6 bs Pukt 37 wrd ee Gerade agesetzt, was zur Folge hat, daß das für de Berech ab Pukt 78 bs 37 falsch st. Ab Pukt 37 bs zum Ede der Trasse wrd rchtgerwese ee Ellpse agesetzt. Der Trasseverlauf des Testdatesatzes ud de fehler sd Abb. dargestellt. ()

4 y Abb. : Testdatesatz ud fehler 4. Ausglechug des fehlerhafte s ach der Methode der kleste Quadrate Führt ma mt der obe geate fehlerhafte bldug ee Ausglechug ach der Methode der kleste Quadrate durch, erhält ma zemlch verfälschte parameter (z.b. für de erste Ellpse a =.488, m = 4.477, y m = -.49 ud r = ) ud das Resduebld (Abb. ), dem der fehler m rechte Tel der Trasse deutlch erschtlch st, währed der fehler m lke Tel cht mehr zu detfzere st. Obwohl e fehler m rechte Tel des Resduebldes (Abb.) deutlch erkebar st, lefert de Darstellug kee Iformato über Art ud Größe deses Fehlers. Azumerke st, daß de Forderug der Stetgket desem Ausglechugsasatz cht formulert wurde, so daß sch ach der Ausglechug de Trasserugselemete als Ezeltele ergebe. Um ohe umfagreche Erweteruge des Ausglechugsasatzes ee stetge Fuktosverlauf zu erhalte, werde u cht de Geradeparameter aus der Ausglechug verwedet, soder de Gerade wrd als Verbdugsgerade zwsche de ausgeglchee Ellpse berechet. Somt werde de Geradeparameter gergfügg verädert ud ma erhält das Resduebld (Abb. 3). So hat ma ee stetge Verlauf der Elemete erzwuge. Qualtatv st das Resduebld jedoch verglechbar mt Abb..,5, -, , -,5 -, -,5 -, Ellpse Gerade Ellpse als Ellpse agesetzt als Gerade agesetzt als Ellpse agesetzt fehler,35,3,5,,5,,5 fehler, -, Abb. : Resduebld ach der Ausglechug ach kleste Quadrate Abb. 3: Resduebld der ausgeglchee Ellpse ud der Verbdugsgerade

5 4. Ausglechug des fehlerhafte s ach mamaler Korrelato Ausgagspukt für de Ausglechug ach mamaler Korrelato st weder de am Afag des Kaptels 4 beschrebee fehlerhafte bldug. Ma erhält für de Berech vo Pukt bs 6 (asatz Ellpse) folgedes Ergebs: r = 98.84, m = ud für de Berech vo Pukt 38 bs 39 (asatz Ellpse): r = 3.498, m = Es se a deser Stelle och emal ausdrücklch erwäht, daß de Lösug ach mamaler Korrelato uabhägg vo a ud y m st. Aus Grüde der Aschaulchket werde a ud y m so gewählt, daß alle Trasserugselemete eem gemesame Resduebld dargestellt werde köe. Mt de Parameter r ud m aus der Ausglechug ach mamaler Korrelato ud de fre wählbare Parameter a ud y m köe de Fuktoswerte y = f( ) berechet werde. Aus () ka ma u de Resduevektor der Klasse aller Lösuge ach mamaler Korrelato erzeuge. I Bereche, dee das gewählte zu de Date paßt, st e parallel zur -Achse verlaufedes Resduebld zu erwarte. Das folgede Resduebld (Abb. 4) ethält ee Auswahl a Lösuge, de be der Suche vo fehler hlfrech se köe; de jewelge Parameter c ud c sd a de Graphe abzulese. c =, c =, 3,5 c =, c =,3 o.k.,8 34,,4,7 38 o.k o.k. c =, c =,3 -,7 Abb. 4: Resduebld ach der erste Ausglechug ach mamaler Korrelato Ahad des glatte, achsparallele Verlaufs der Resduekurve st zu erkee, daß de bldug vo Pukt bs 34 (Ellpse), vo Pukt 6 bs 78 (Gerade) ud vo Pukt 38 bs 39 (Ellpse) rchtg st. Aus dese Telbereche werde u für das jewelge Elemet eue parameter bestmmt. Für de zwete Ellpse sd de Parameter aus der zwete Ausglechug mt dee aus der erste detsch. Das bedeutet, daß der Berech dem das Ellpse glt, cht über de m erste Iteratosschrtt ermttelte Berech vo Pukt 38 bs 39 ausgedeht werde ka. Für de erste Ellpse ergebe sch aus dem geäderte Berech eue Parameter: r = 8.395, m = Nu werde eue Fuktoswerte berechet. Daach erfolgt aalog zum erste Iteratosschrtt de Varato der Resdue. I dem Resduebld (Abb. 5), das ur de Ausschtt mt der erste Ellpse ethält, ka ma erkee, daß mt de eue Parameter der Verlauf der Resdue vo Pukt bs 43 glatt ud achsparallel st.

6 Aus desem Berech werde ereut de Ellpseparameter berechet ud ma erhält m drtte Iteratosschrtt: r = 9.45, m = Nach Berechug der Fuktoswerte ud Varato der Resdue erhält ma Abb. 6, aus der erschtlch st, daß der berech der erste Ellpse cht mehr erwetert werde ka. 5, ,4 5,4 5, 5, c =, c =,34 43 o.k. -,44 -,48 c =, c =,6 43 o.k. 4,8 -,5 4,6 4, ,56 -,6 Abb. 5: Resduebld ach der zwete Ausglechug ach mamaler Korrelato Abb. 6: Resduebld ach der drtte Ausglechug ach mamaler Korrelato Für de gesamte Trasseverlauf ergbt sch mt de Parameter Ellpse Ellpse Radus r (aus Ausglechug) 9, Koordate m (aus Ausglechug) Faktor a (fre gewählt),, Koordate y m (fre gewählt),9 5,65 das Resduebld Abb. 7.,3,,9,7 c =, c =,6 78,5 38,3, 39 -, ,3 -,5 -,7 c =, c =, Ellpse o.k Ellpse falsch Gerade o.k. Gerade falsch Ellpse o.k. Abb. 7: Resduebld ach der Ausglechug ach mamaler Korrelato De mt Hlfe eer Ausglechug ach mamaler Korrelato gefudee fehlerhafte bereche etspreche geau dee, de - we am Afag des Kaptels 4 beschrebe - bewußt de bldug egebaut worde sd.

7 4.3 Iterpretato ud Besetgug der fehler Nachdem ma de fehlerhafte bereche aufgedeckt hat, stellt sch de Frage, we das agesetzte zu verbesser bzw. gege e aderes auszutausche st. Für de Resdueverlauf vo Pukt bs 43 bzw. vo Pukt 78 bs 38 wrd jewels der Mttelwert agesetzt. De fehlede atele m ergebe sch zu m ud lasse sch als Vektor der verbesseruge = für =...6, bzw (3) m = [ + L ] T (4) darstelle. Somt ergbt sch das verbesserte zu l = A + m. (5) I der graphsche Darstellug (Abb. 8) st zu erkee, daß das korrekte für de Berech vo Pukt 43 bs 6 ee Gerade (Pukt 43 bs 6 ) ud für de Berech vo Pukt 78 bs 38 ee Kurve (Pukt 78 bs 38 ) st (de Werte l ud l sd auf der y- Achse aufgetrage), wobe m vorlegede Fall ur ee Ellpse Frage kommt. y 9, 43 verbessertes 43 8,9 l = A + m 3 8,7 fehlerhaftes ,5 l = A 5 6 8,3 8,3 8,5 8,7 8,9 9, 9,3 9,5 9,7 y 3, verbessertes 78,8 3 l =A + m , ,4 34 fehlerhaftes 35 36, l = A 37 38,,4,7 3, 3,3 3,6 3,9 4, Abb. 8: De verbesseruge De mt Hlfe eer Ausglechug ach mamaler Korrelato gefudee fehler etspreche qualtatv geau dee, de - we am Afag des Kaptels 4 beschrebe - bewußt de bldug egebaut worde sd. Da ma u sowohl de Berech als auch de Art der fehler ket, ka ma das etspreched erweter bzw. veräder, was desem Fall zu Berech [Puktummer vo - bs] Elemet - 43 Ellpse Gerade Ellpse führt ud m Aschluß dara de edgültge Trasserugsparameter mt Hlfe eer Ausglechug ach kleste Quadrate bestmme. Ma erhält für de erste Ellpse: a =.5, m = 4.475, y m =.355, r = 9.45, für de Gerade: m = -.5, b = 3.75, für de zwete Ellpse: a =.999, m = 4.66, y m = 5.65, r = ud damt das Resduebld Abb. 9.,,5, -,5 -, Abb. 9: Resduebld ach der Ausglechug des fehlerfree s

8 De Oszllato der Kurve Abb. 9 st durch klee zufällge Fehler begrüdet, de de Ausgagsdate ethalte sd. Da her de Parameter vo Trasserugselemete, de de Ausgagsdate ee stetge Verlauf aufwese, ohe fehler ausgeglche wurde, etsprcht deses Resduebld dem ees stetge Trasseverlaufes. Verglecht ma de parameter mt de Ausgagsdate aus Kap. 4, so fällt auf, daß dese wetestgehed überestmme. Be der erste Ellpse fällt ledglch ee größere Abwechug y m auf. Der Grud dafür dürfte der Efluß vo Rudugsugeaugkete be de Ausgagsdate se. 5. Schlußbetrachtug I deser Arbet kote gezegt werde, daß ma mt Hlfe eer Ausglechug ach mamaler Korrelato sowohl de Berech als auch de Art vo fehler auffde ka. Je ach Natur des Problems ka es erforderlch se, de erweterug teratv durchzuführe, bs der Berech, dem de Resduekurve das gewüschte Verhalte zegt, mamal geworde st. De Auswahl der geegete Kurveabschtte aus der Klasse aller Lösuge erfolgte cht automatsert, was de Vortel eer hohe Aschaulchket der Lösugsauswahl betet. Nach ege Iteratoe kote eakt de egebaute fehler gefude werde. Selbstverstädlch ka ma de Auswahl der geegete Kurve auch be der Programmerug ebezehe. Somt ka ma sch u ee Rehe vo Aweduge vorstelle. So ware z.b. ach der Wederveregug Deutschlads für ege Autobahabschtte de eue Budesläder kee Trasserugsuterlage mehr vorhade. Aufgrud terrestrscher Messuge mußte de Trasserugselemete rekostruert werde, was z.t. mauell geschehe st. Her hätte ma mt de etsprechede asätze (Krese, Klotode) versuche köe, sowohl Afags- ud Edpukte als auch de Trasserugsparameter zu rekostruere. Azumerke st, daß für kokrete Aweduge be Trasserugsaufgabe de Darstellug vo Elemete der Form y = f () cht geeget st ud der Übergag zur Parameterdarstellug erforderlch wrd. E weteres Awedugsgebet köte m Berech der Überwachug vo Glesalage bestehe. Dese werde regelmäßge Abstäde durch Befahrug mt eem Glesmeßwage überprüft. Neuerdgs wrd versucht, de Ist-Geometre mt Hlfe vo GPS- Meßtechke zu erfasse. Am Ede deser Überprüfuge steht jewels de Aufgabe de Ist- Geometre ud damt de Glestrasserugsparameter für ee Soll-Ist-Verglech zu ermttel. Kahme ud Retscher (997) schlage für dese Aufgabe ee bldug mt dem Weer-Flter bzw. ee bldug mt dem Kalma-Flter vor. A deser Stelle wäre es sehr teressat, de Rekostrukto vo Trasserugsparameter ahad vo reale Meßwerte mt Hlfe eer Ausglechug ach mamaler Korrelato durchzuführe. 6. Lteratur. KAHMEN, H.; RETSCHER, G.: Glesvermessug mt eem Mult-Sesorsystem ud leare Flterverfahre, ZfV /997, S , Wttwer Verlag, Stuttgart 997. PETROVIC, S.: Geometry of the Correlato Coeffcet ad ts Applkato Geodesy, Mtteluge der geodätsche Isttute der Techsche Uverstät Graz, Folge 7, Graz PETROVIC, S.: Mamum Correlato Adjustmet ad complete Models, Proceedgs of the Secod Turksh-Germa Jot Geodetc Days, Berl 997, S