Einführung zur Fehlerrechnung im Praktikum

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1 UIVERSITÄT KARLSRUHE (TH) 768 Karlsruhe Fakultät für Phsk Egesser-Str. 7 Phskalsches Praktkum Letug: Dr. Peter Blüm emal: peter.blum@cer.ch Motag, 9. August Eführug zur Fehlerrechug m Praktkum Dese Abhadlug st ee Eführug de Fehleraalse zur Veredug m phskalsche Afägerpraktkum. Se soll de grudlegede Werkzeuge für de Fehlerrechug, e se de Versuchsprotokolle durchgeführt erde soll, beretstelle. Ee Begrüdug der veredete Formel rd für ormalvertelte Messerte durchgeführt. De für de Fehlerberechug m Praktkum relevate Formel sd ummerert ud köe m Praktkumsprotokoll uter Veres auf dese ummer ztert erde.

2 Ihaltsverzechs DARSTELLUG VO MESSERGEBISSE SIGIFIKATE STELLE EIES MESSERGEBISSES...3 ZUFÄLLIGE MESSABWEICHUGE FEHLERQUELLE FÜR ZUFÄLLIGE MESSABWEICHUGE...4. SCHÄTZUG VO USICHERHEITE SYSTEMATISCHE MESSABWEICHUGE FEHLERQUELLE FÜR SYSTEMATISCHE MESSABWEICHUGE ERMITTLUG SYSTEMATISCHER FEHLER FEHLERFORTPFLAZUG STATISTISCHE AALYSE ZUFÄLLIGER USICHERHEITE HÄUFIGKEITSVERTEILUG WAHRSCHEILICHKEITSVERTEILUGE ormalvertelug Bomal- oder Beroull-Vertelug Possovertelug RECHFERTIGUG DER WAHL DER BESTWERTE STADARDABWEICHUG DES MITTELWERTS VERWERFE VO DATE DISKREPAZ VO MESSERGEBISSE AUSGLEICHSRECHUG DER GEWICHTETE MITTELWERT LIEARE REGRESSIO GEWICHTETE LIEARE REGRESSIO DER LIEARE KORRELATIOSKOEFFIZIET LIEARE REGRESSIO - GRAPHISCHE LÖSUG... 7 DER χ TEST FÜR EIE VERTEILUG EMPFEHLESWERTE BÜCHER ZUR FEHLERRECHUG

3 EILEITUG Im Rahme des Praktkums soll der Studet das Epermetere erlere. Dazu zählt zum ee das Keelere der Messtechk ud der Techk des Messes ud zum ader aber auch das Erlere der Beertug ees Messergebsses. De um aus de Ergebsse ees Epermetes schlesse zu köe, ob e theoretsches Modell gültg st oder cht, muss de Qualtät ud Aussagekraft der Messug bekat se. Alle Messuge, e sorgfältg ud sseschaftlch se geplat ud durchgeführt erde, uterlege Messuscherhete. Se zu utersuche, hre Grösse ud Ursache zu bestmme, sd Gegestad der Fehleraalse. Ma vermedet ger das Wort Fehler ud beützt de Begrff Messuscherhet (gemäss deutscher Idustreorm (DI39) erde alle Fehler be eer Messug als Messabechug bezechet). Des uterstrecht, dass mt dem Wort Fehler m Zusammehag mt Messergebsse cht e falsches Ergebs gemet st soder de Streuug der Messerte um de "ahre" Wert der Messgrösse, der leder ubekat st. Der ahre Wert legt mt eer gesse Wahrschelchket erhalb des durch de Messuscherhet deferte Berechs. Grobe Fehler bz. Irrtümer, e se sch aus Mssverstädsse oder Fehlüberleguge be der Bedeug der Messapparatur, aus falscher Protokollerug vo Messdate oder auch aus Programmfehler Auserteprogramme ergebe, erde cht als Messuscherhete betrachtet. I desem Fall sd de Messuge oder Ausertuge falsch ud müsse ederholt erde. Das Vorhadese grober Fehler erket ma ur durch krtsches Überprüfe ud Kotrollere der Ergebsse. Vermede ka ma se durch sorgfältges Epermetere. We chtg es st, de Messabechuge zu kee, zegt das folgede Bespel. Bespel: Ee Messug der Lchtgeschdgket ergbt c (3.9 ±.5) 8 m/s. Deses Ergebs st Überestmmug mt dem "ahre" Wert, für de r de Lteraturert c m/s betrachte. Hätte ma bem gleche Messert ee Messfehler vo. 8 m/s bestmmt, so äre das Ergebs zar als präzser zu beerte aber m Wderspruch zum "ahre" Wert. Ma hätte da zu folger, dass ma eteder ee sesatoelle Etdeckug gemacht hat oder, as ahrschelch eher zutrfft, dass de Messug falsch st oder de Fehleraalse ee chtge Fehlerquelle cht berückschtgt. Ma seht, de Agabe ees Messertes alle recht cht aus. De Agabe der Messuscherhet st ubedgt otedg, um auf de Aussagekraft der Messug zu schlesse. Provokatv ka ma sage: De Messug eer phskalsche Grösse ohe Agabe der Messuscherhet st ertlos. Das Bespel beleuchtet ze grudlegede, ubedgt zu uterschedede Begrffe bem Beerte vo Messergebsse: Präzso ud Geaugket. Der erste Begrff beschrebt, e gut ee Messug durchgeführt urde bz. e reproduzerbar der Messert st, der zete gbt dagege a, e ahe der Messert dem "ahre" Wert st. Es st eschtg, dass ma be eer Messug soohl ach Präzso als auch ach Geaugket strebe muss. Abbldug demostrert de bede Egeschafte präzse ud geau. upräzse ud ugeau präzse ud geau ahrer Wert ahrer Wert Abbldug : Demostrato der Begrffe geau ud präzs (De Pukte gebe de ezele Messerte a) Dese bede Egeschafte erde durch ze uterschedlche Arte vo Messabechuge bestmmt. Zum ee beeflusse sstematsche Effekte, hervorgerufe z.b. durch uberückschtgte Umelte-

4 flüsse oder fehlerhaft geechte Messstrumete, etc. de Geaugket eer Messug ud zum ader begreze zufällge Effekte, e se sch als Summe veler, kleer ud varereder Störuge estelle köe, de Präzso ees Epermetes. Um dese uterschedlche Aussage be eem Messergebs erkee zu köe, erde m allgemee de statstsche ud sstematsche Fehler getret agegebe. De folgede kurze Abhadlug über Fehlerrechug ka atürlch cht alle Aspekte der Fehleraalse erschöpfed behadel, se hat zum Zel, de Studete de Lage zu versetze, de otedge Aufgabe m Praktkum zu beältge ud h dazu azurege, spezelle Frage der Lteratur geauer zu studere. Darstellug vo Messergebsse Messug eer phskalsche Grösse bedeutet, epermetell für dese Grösse de Masszahl zu eer gegebee Ehet zu ermttel. Ee vollstädge Agabe vo Messergebsse behaltet daher Messert, Messuscherhet ud Massehet. Ma uterschedet ze Schrebese. Beützt ma de absolute Messuscherhet, so schrebt ma de beste Schätzert (Bestert) der Messgrösse, der, e später och gezegt rd, durch de arthmetsche Mttelert der gemessee Werte gegebe st ud de Messabechug, de de Berech kezechet, dem der "ahre" Wert mt eer Wahrschelchket vo 68% legt. Dese Berech et ma auch Vertrauesberech. Messert (Bestert ± Uscherhet) [Massehet] ( ± δ ) [Massehet]] De Agabe der Uscherhet δ zegt zar de Zuverlässgket des Messergebsses a, doch lässt sch de Qualtät der Messug scheller ud edeutger a dem Quotete aus Uscherhet ud Bestert, relatve Messuscherhet, erkee. Dese Grösse et ma häufg auch de Präzso der Messug. Messert (Bestert) [Massehet] ± δ [%] Währed ma Messuge mt eem relatve Fehler vo % als grob betrachtet, kezeche relatve Fehler vo -% zemlch geaue Messuge. De beste Ergebsse m Praktkum lege so zsche 5- %.. Sgfkate Stelle ees Messergebsses Für de Agabe der Messuscherhet m Praktkum rd folgede Regel ageadt. Messuscherhete erde auf ee sgfkate Stelle gerudet. Das folgede Bespel verdeutlcht dese Forderug. Bespel: Ee Messug der Erdbeschleugug lefert das rechersche Ergebs m/s ud de Berechug der Messuscherhet ±.385m/s. Das Ergebs für de Messuscherhet rd auf ±. m/s gerudet. Ee Ausahme vo deser Regel macht ma m allgemee, e de erste sgfkate Stelle ee st, da ma da ee relatv grosse Rudugsfehler begehe ürde. Für de Agabe des Messertes rd ee ählche Regel ageadt. De letzte sgfkate Stelle ees agegebee Messertes sollte deselbe Grösseordug bestze e de Messuscherhet. 3

5 Das hesst, de Messuscherhet bestmmt de Agabe ees Messergebsses. Für das obge Bespel bedeutet des: g (9.8±.) m/s Wäre de Messuscherhet. m/s, so lautete de svolle Agabe des Messergebsses: g (9.8 ±.) m/s Werde allerdgs Messerte beützt, um de gesuchte Grösse zu bereche, so müsse mdestes ze sgfkate Stelle der Messuscherhet mtgeführt erde, um Rudugsfehler möglchst kle zu halte. Zufällge Messabechuge Wr habe gesagt: Messug eer phskalsche Grösse bedeutet, epermetell für dese Grösse de Masszahl zu eer gegebee Ehet zu ermttel. De "ahre" Wert deser Masszahl ka ma cht ermttel, da bem Messvorgag mmer Fehlerquelle, sstematscher ud/oder zufällger Art, vorhade sd. Daher führe Messederholuge, selbst e se uter detsche Bedguge durchgeführt erde, cht mmer zu demselbe Messert, soder es trete Abechuge auf. Sd dese Abechuge uterschedlch Grösse ud Rchtug, so bezechet ma se als zufällge Messabechuge. Se sd "zufällg" dem S, dass ma hre Ursache cht m Ezele verfolge ka. Aufgrud deses stochastsche Verhaltes der Messergebsse schrebt ma de gemessee Werte ee Wahrschelchketscharakter zu. Aus de Messerte ka ma ee beste Schätzert für de "ahre" Wert der Messgrösse ermttel. Der "ahre" Wert st mt eer bestmmte Wahrschelchket dem durch de Messabechug deferte Berech. Üblcherese ählt ma der Phsk de Berech, dem der ahre Wert mt eer Wahrschelchket vo 68% legt.. Fehlerquelle für zufällge Messabechuge Verschedee Effekte köe Ursache für zufällge Fehler se: Statstsche Messgrösse: De Messgrösse selbst bestzt ee stochastsche Charakter, z.b. der radoaktve Zerfall vo Atomkere. Uzuläglchket des Epermetators: Schätzuge ud Iterpolatoe auf Messskale (Parallaefehler) verursache statstsch schakede Abechuge. Bem Messe eer Zetdfferez mt der Stoppuhr führt z.b. de Reaktoszet des Epermetators zu zufällge Abechuge, oder be der Lägemessug mt eem Massbad rd vo Messug zu Messug e Rollmassbad mt uterschedlcher Kraft gezoge, so dass es sch uterschedlch durchbegt. Äussere Eflüsse: Zufällge ud uvorhersehbare äussere Eflüsse z.b. echselde Luftströmuge, kurzzetge Temperaturschakuge, etc.. Schätzug vo Uscherhete De Bestmmug vo Messabechuge ka sch als zemlch komplzert erese. Be vele Messuge lasse sch jedoch recht efach Abschätzuge für Uscherhete durchführe. Bem Ablese eer Skala, zum Bespel, verglecht ma de Lage ees Messpukts oder ees Zegers mt de Telstrche der Skala. Hadelt es sch um ee fe utertelte Skala, z.b. Mllmeterutertelug ees Leals, so mmt ma de ächst gelegee Telstrch als Bestert ud schätzt de Uscherhet mt ± (halbe Itervallbrete) ab. Be eer grob getelte Skala rd ma de Lage des Zegers zsche ze Telstrche terpolere, dem ma de Zetelbruchtele abschätzt ud als Dezmalstelle agbt. De Uscherhet rd zu ± (e Zetelbruchtel) ageomme. 4

6 Be Dgtalazege beträgt der Schätzfehler aufgrud des ubekate Rudugsverfahres ± der letzte Stelle der Azege. Be Messuge, be dee Uscherhete scherger zu schätze sd, helfe Messederholuge de Messuscherhet zu bestmme. Das folgede Bespel erklärt de Methode: Bespel: Zu messe se de Schgugsdauer ees Pedels mt der Stoppuhr. Ifolge der Reaktoszet bem Starte ud Stoppe der Uhr kommt es zu zufällge Messabechuge. Folgede Messrehe urde gemesse: t s Es bete sch verschedee Möglchkete a, ee beste Schätzert zu ermttel. Ma köte, zum Bespel, de Merda (.5) verede. Dabe hadelt es sch um de Wert be dem geau de Hälfte der Messerte uterhalb bz. oberhalb lege. Ee bessere Wahl für de gesuchte Grösse st aber, de arthmetsche Mttelert der Messerte azuehme: () I Kaptel 5.3 rd beese, dass für ormalvertelte Messerte der arthmetsche Mttelert der Tat de beste Schätzert dergbt..48 s Auch be der Abschätzug der Messuscherhet sd verschedee Lösugsege vorstellbar. So köte ma etas av argumetere, dass der "ahre" Wert mt grosser Wahrschelchket zsche dem höchste (.8 s) ud dem edrgste Wert (. s) legt: ±.3 s Ee bessere Beschrebug der Messuscherhet für de Messerte rd auch her durch ee Art Mttelertbldug gelefert. Dabe muss ma aber berückschtge, dass de Abechuge postv ud egatv se köe, eshalb ma de Quadraturzel aus der mttlere quadratsche Abechug veredet (m Eglsche et ma des root mea square devato). Ma sprcht auch vom mttlere quadratsche Messfehler bz. Stadardabechug s. ( ).7 s.7 s Be eer korrekte statstsche Behadlug muss ma berückschtge, dass deselbe Date auch de Mttelert bestmme, d.h. de Azahl der Frehetsgrade um reduzert st. s ( ) ( ) () s.79 s s.8 s Ierhalb des Bereches s ud +s legt mt 68% Scherhet der ächste Messert der gesuchte Grösse. Ma beachte, dass das bedeutet, dass 3% der Messuge ausserhalb lege köe. Der Mttelert st geauer bestmmt. De Abechug rd gegebe durch: s s (3) Für das Bespel : s.79 s s.5 s 3 Das edgültge Ergebs für das Bespel lautet also: best (.48 ±.5) s 5

7 d.h. der ahre Wert legt mt 68% Scherhet erhalb vo s ud + s Auch her beträgt de Irrtumsahrschelchket 3%. Ma beachte, dass sch folge vo Messederholuge de Messabechug des Ezeleregsses s cht verädert (bs auf Schakuge), de Geaugket vo aber mt sch verbessert. We ma ee Aussage mt eer grössere statstsche Scherhet mache möchte, so muss ma als Messuscherhet de doppelte oder gar drefache Stadardabechug verede. Da beträgt de statstsche Scherhet 95,5% bz. 99,7%. 3 Sstematsche Messabechuge Sstematsche Messabechuge zege be detsche Messbedguge mmer um de gleche Betrag de gleche Rchtug. Se köe deshalb auch cht durch Messederholuge erkat oder besetgt erde. De be Messederholug beobachtete Schakuge erde durch zufällge Effekte verursacht, de sch sstematsche Fehler überlager. ur ee krtsche Aalse des Messvorgags ka helfe, solche sstematsche Eflüsse zu erkee. 3. Fehlerquelle für sstematsche Messabechuge Es estere ee Rehe vo möglche Verursacher, de ma so et als möglch ausschalte oder zumdest mmere muss. Umelteflüsse: Um solche Effekte zu elmere, sollte das zu utersuchede Sstem möglchst vo alle störede äussere Eflüsse solert erde. Ist es aus epermetelle Grüde cht möglch, de Eflüsse auszuschalte, so muss ma darauf rechersch korrgere. Uvollkommehet der Messstrumete: Dese köe verschedee Ursache habe. Ee fehlerhafte Produkto z.b. cht leare Lealtelug oder Fehljusterug bz. Fehlechug ees Messstrumetes führt mmer zu eer Messabechug ee Rchtug. Rückrkug vo Messstrumete auf de Messug: Dese Effekte lasse sch e gaz ausschlesse. E bekates Bespel st de Bestmmug des ohmsche Wderstades als Quotet eer Strom- ud Spaugsmessug. Her müsse de Iederstäde der Messstrumete rechersch berückschtgt erde. Uzuläglchket des Epermetators: Auch der Epermetator ka Ursache sstematscher Fehlerquelle se. So köe ugeüged verstadee Messvorgäge oder stark vorgeprägte Erartuge für de Messert ee ukrtsche Haltug dem Messergebs gegeüber berke (z.b. be otedger Iterpolato vo Skale). Auch de Veredug vo äherugsformel (z.b. Feld eer 'lage Spule' be edlcher Spuleläge oder s() für klee ) führe zu sstematsche Abechuge, sofer se cht rechersch berückschtgt erde. Ee häufge Quelle für Messfehler sd Beobachtugsfehler. Dese köe sch ebefalls zu sstematsche Messfehler etckel. Bespel: Bem Messe der Schgugsdauer ees Pedels veredet ma das Durchschge der Ruhelage als Zetmarke ud markert se als Strch a der Wad. Es hägt u vo der Lage des Kopfs des Epermetators ab, a der Pedel ud der Strch fluchte. Das st e Parallaefehler, der sch als sstematscher Fehler ausrke ka, e der Epermetator schräg zur Schgugsebee steht. Ählches ka bem Ablese vo Zegerstrumete ohe Spegelskala auftrete. 3. Ermttlug sstematscher Fehler Ee Methode zur Erkeug sstematscher Messabechuge besteht eer gezelte Abäderug der Messbedguge. Herbe sollte stets de Parameter geädert erde, de kee Efluss auf de ubekate Messgrösse bestze. Als Bespel dee de Bestmmug des ohmsche Wderstads als Quotet eer Strom- ud Spaugsmessug. Her ka ma sstematsche Messabechuge erkee durch: 6

8 Veredug aderer Messstrumete (Iederstäde der Messgeräte, Überprüfug der Echug) Messug be verschedee Ströme ud Spauge (Kotaktderstad) Umpolug oder Veredug vo Wechselstrom (thermoelektrsche Störpotetale) Ee och rkugsvollere Methode st de Wahl eer grudsätzlch adere Messmethode. E Bespel aus dem Praktkum: Bestmmug der spezfsche Ladug e/m des Elektros mt dem Fadestrahlrohr ud der Methode ach Busch. Zege de Messergebsse kee Dskrepaz, d.h. stmme se erhalb der Messgeaugket übere, so ka ma davo ausgehe, dass mt grosser Wahrschelchket kee oder verachlässgbare sstematsche Messfehler vorlege. Besoders geegetet st de Wahl ees Messverfahres, das sstematsche Fehler vermedet, z.b. Messug elektrscher Spauge durch Kompesato (Verglech der ubekate Spaug mt eem geechte Spaugsormal). Der Efluss eer erkate sstematsche Fehlerquelle ka der Regel mmalsert erde. Oft ka ma de sstematsche Fehler durch achträglche rechersche Korrektur elmere. Dazu sd eteder spezelle Hlfsepermete (Echmessuge) ötg oder de Korrekturfukto st theoretsch bekat (z.b. Zählrateverlust durch Totzet oder Korrektur für Wärmeübertragug be Temperaturmessuge, etc.). 4 Fehlerfortpflazug We ee zu messede Grösse q cht drekt gemesse erde ka, soder als Fukto vo adere Messgrösse {,,...} berechet erde muss, so pflaze sch de Messfehler der drekt gemessee Grösse das Ergebs q fort. Das bedeutet, ma msst astelle der gesuchte Grösse q(,,..) de Grösse q( +h, +h,..). Geht ma davo aus, dass de Messfehler kle sd m Verglech zu de Messerte, so ka de Fukto ee Talorrehe etckelt ud de Rehe ach dem leare Gled h k abgebroche erde. q q( + h, + h,...) q(,,...) + h! k k k Sd de Fehler h k Grösse ud Vorzeche bekat, so erhält ma ee ach Vorzeche ud Grösse deferte Gesamtfehler q q q q( + h, + h,...) q(,,...) h k k k Im allgemee sd aber de Fehler cht bekat, soder ma hat bestefalls Schätzerte für de gemessee Grösse (Mttelert, Stadardabechug). We ka ma aus de Messabechuge der Messerte de Uscherhet der Grösse q abschätze? Wr gehe davo aus, dass der beste Wert für q gegebe st durch: q q(,,..) Ee Abschätzug für q erhält ma aus der Streuug der q, de ma aus de ezele Messuge berechet. Im Grezfall uedlch veler Messuge gbt da de Varaz der Vertelug der q ee Schätzert für q. q lm ( q q) Beützt ma u q q q q ( ) + ( ) +... so erhält ma für de Varaz vo q 7

9 q q q q q lm ( ) + ( ) + ( ) ( ) +... Mt lm ( ) ud lm ( ) so e der Kovaraz lm ( )( ) folgt da de allgemee Fehlerfortpflazugsglechug: q q + q + q q +... De erste bede Terme sd de mttlere quadratsche Abechuge der. Se blde de Hauptbetrag zu der Varaz vo q. Der drtte Term deser Glechug berückschtgt evetuell vorhadee Korrelatoe zsche de. Im allgemee sd de Messgrösse jedoch cht korrelert ud da ka der drtte Term verachlässgt erde ud ma fdet das bekate Gausssche Fehlerfortpflazugsgesetz: q + q q +... (4) Ahad deser allgemee Formel lasse sch vele spezelle Formel zu Summe, Produkte, Epoetalausdrücke etc. bereche. Bespel: a b ± c + a b c d.h. be Addto oder Subtrakto addere sch de absolute Fehler. f oder f / f + f be Multplkato oder Dvso addere sch de relatve Fehler. f r r f f be Poteze vervelfache sch de relatve Fehler um de Epoete. Ka ma ee statstsche Uabhäggket der Messabechuge cht voraussetze, so veredet ma das arthmetsche Fehlerfortpflazugsgesetz: q q q (5) Es etsprcht eer Grösstfehlerabschätzug der Messug. 8

10 5 Statstsche Aalse zufällger Uscherhete I Kaptel 3 urde behauptet, dass durch Messederholug de Präzso ees Messergebsses verbessert erde ka. I desem Abschtt olle r de theoretsche Begrüdug für dese Egeschaft behadel. Währed ma sch be klee Datemege durch de Darstellug der Messergebsse Tabelleform och lecht ee Überblck verschaffe ud de Berechug des Mttelerts ud der Stadardabechug durchführe ka, muss ma be grosse Datemege adere Verfahre beütze. E geegetes Verfahre st de Darstellug der Date eem Hstogramm als Häufgketsvertelug. Dese rd mt der zugrudelegede Grezvertelug/Stammvertelug verglche. Uter Grezvertelug versteht ma de Vertelugsfukto, de durch ee uedlch grosse Datesatz uabhägger Messergebsse {,.., } beobachtet ürde. I deser äherug gehe da de Parameter der Vertelug des Datesamples über de Parameter der Grezvertelug. 5. Häufgketsvertelug Zur Darstellug eer grosse Mege vo Messergebsse Form eer Häufgketsvertelug rd de Azahl der eem Itervall gefudee Messerte k über de Messerte k aufgetrage. Dese Methode vermttelt ee drekte vsuelle Überblck über de Messergebsse. Der Scherpukt der Vertelug gbt de beste Schätzert ud de Brete der Vertelug st e Mass für de Streuug des gesuchte Wertes. I velerle Hscht st es zeckmässg, mt relatve Häufgkete zu arbete. Dazu bestmmt ma zuächst de Gesamtzahl der Messerte k ud erhält da de relatve Häufgket f ( ) k k k Da de Summe über alle f k glech st, sprcht ma auch vo eer ormerte Vertelug. De Eführug des Begrffs der relatve Häufgket führt auch zaglos zu der Wahrschelchketsterpretato vo Messergebsse. f k () Wahrschelchket e Messergebs zu fde Bem Übergag zum Grezfall uedlch veler Beobachtuge köe de Itervalle ftesmal kle erde ud de dskrete Vertelug f k () geht ee stetge Fukto f() über, elche de Grezvertelug beschrebt. Ist f() bekat, so lasse sch Mttelert ud Stadardabechug relatv lecht als Momete der Vertelug bereche. Das erste Momet, das de Lage der Vertelug charaktersert, gbt de Mttelert a. + f ( ) d (6) Das zete Momet kezechet de Brete der Vertelug ud gbt hre Varaz a + s ( ) f ( ) d (7) De Wurzel aus der Varaz rd Stadardabechug s geat. Se st e drektes Mass für de Brete der Vertelug, d.h. für de Streuug der Messerte. Aus der Glechug für de Varaz ka de folgede chtge Bezehug hergeletet erde. s f ( ) d f ( ) d + f ( ) d 9

11 I der Statstk bezechet ma de Gesamthet aller uter gleche Bedguge möglche Messuge als Grudgesamthet. Se rd durch de Grezvertelug beschrebe. Da de erforderlche Datemege uedlch gross st, ka ma e ee Realserug der Grezvertelug erreche, soder ma muss se durch ee Stchprobe vom Umfag aäher. 5. Wahrschelchketsverteluge Uterschedlche Messgrösse habe auch uterschedlche Grezverteluge. So erde z.b. Messuge, de vele klee ud zufällge Abechuge uterlege, durch ee Gauss- oder ormalvertelug beschrebe. De ormalvertelug st e Grezfall der Bomalvertelug. Adere Bespele für phskalsche Verteluge sd der Theore der Wärme de Maell'sche Geschdgketsvertelug oder bem Zähle vo Eregsse aus dem radoaktve Zerfall de Possovertelug. 5.. ormalvertelug De Gaussvertelug hat ee grosse Bedeutug, da vele phskalsche Messuge eakt oder ageähert ee Wahrschelchketsdchte deser Form habe. Das Mamum der Gausskurve gbt de beste Schätzert des "ahre" Wertes der gesuchte Grösse a. De Kurve st smmetrsch um das Mamum. Mathematsch st de Gausskurve beschrebe durch e ( ) / ; mt Breteparameter Der Begrff "Breteparameter" rd aus der Abbldug, de ze Gausskurve mt uterschedlche Parameter zegt, umttelbar klar. Je kleer der Breteparameter st, desto schmaler rd de Kurve ud umso präzser st de Messug.,. 3,.4 Abbldug : Ze ormalverteluge mt uterschedlche Brete ud Lage Um als Stammvertelug veredbar zu se, sollte de Vertelug ormert erde. + ( ) / ormerug : e d - Substtuto : ud d d + e d / 4 34 π π Damt erhalte r de ormerte Gaussfukto: f e ( ) π ( ) / (8)

12 Da m eer des ormerugsfaktors der Gausskurve steht, rd das Mamum be kleer erdedem grösser. Mt der ormalserte Gaussfukto ka u der Mttelert als erstes Momet der Vertelug berechet erde: + ( ) / e d π mt der Substtuto - ud d d folgt / / e d + e d π π (e erartet) Eakt rchtg st deses Ergebs allerdgs ur für uedlch vele Messerte, doch auch be eer hreched grosse Azahl vo Messuge (3 ud mehr) legt der Mttelert scho recht ahe be. Etspreched ka ma de Stadardabechug beese. s ( ) e d ( ) / π - mt der Substtuto ud d d / s e d π + Das Itegral löst ma mt parteller Itegrato: udv uv vdu + + / / s e + e d π π s Der Brete Parameter der Gaussvertelug st glech der Stadardabechug, de ma ach uedlch vele Messuge erzele ürde. Auch her fägt de "Uedlchket" be eta 3 Messerte a. Auch de Vertrauesgreze, de durch de Stadardabechug gegebe st, ka ma u bereche. ( ) / P( ) e d π + (9) - Substtuto : ; d d; -; u o / P( ) e d 68% π Das Itegral (9) st e Stadardtegral der mathematsche Phsk ud rd häufg als Fehlerfukto erf() bezechet. Es lässt sch allerdgs cht aaltsch löse. Abbldug 3 zegt de umersch berechete Wahrschelchket als Fukto des Abstades vom " ahre" Wert.

13 Wahrschelchket P(erhalb t s),,8,6,4,,5,5,5 3 3,5 4 4,5 t Abbldug 3: De Wahrschelchket P, dass e Messert erhalb t legt. De Wahrschelchket, dass ee Messug e Ergebs erhalb vo lefert, beträgt 68%. Aus der Abbldug 3 st auch zu erkee, dass de statstsche Scherhet mt der Wahl der Messuscherhet vo ± be 95,5% ud vo ±3 be 99,7% legt. Be eem edlche Umfag der Stchprobe {,,...,<3} glt für de Vertrauesberech S der Messrehe: s ± t (), S Der Korrekturfaktor t folgt aus der Studetvertelug. Ud ka aus der achfolgede Tabelle etomme erde. \S 68,3% 95,5% 99,7%,84,7 35,8 3,3 4,3 9, 4, 3,8 9, 5,5,78 6,6 6,,57 5,5 8,8,37 4,53,6,6 4,9,3,9 3,45 3,,5 3,8 5.. Bomal- oder Beroull-Vertelug Herbe hadelt es sch um de chtgste dskrete Vertelug. Se beschrebt de Wahrschelchket, be Versuche erfolgreche Ergebsse zu fde, obe jeder Versuch ee Erfolgschace p bestzt. Se st gegebe durch: B( ;, p) p ( p) ()

14 !!( )! ( )... ( + )... Bespel: Wr erfe 4 Müze ud frage, e oft fde r -, -, -, 3-, 4-mal Kopf obe. p st desem Fall /. Wr ederhole de Versuch 4 mal, d.h B( ; 4, ) 4 Erfolgsahrschelchket [%] ,5 5 6,5 für 3 4 We erartetet fdet ma, dass de ahrschelchste Azahl vo Kopf obe st. De Smmetre der Vertelug legt p / begrüdet. Ege Egeschafte deser Vertelug: B(;,p) st ormert. Der Mttelert berechet sch folgedermasse: B ( ;, p ) p Bees: ( p + q) p q / p ( p + q) p q / p ud p + q p p q Ählch ka ma de Ausdruck für de Stadardabechug herlete: ( ) B( ;, p) p ( p) Bees: ( p + q) p q / p zemal aede ( ) ( p + q) ( ) p q / p ud p + q ( ) p ( ) B( ;, p) mt p ( -) p + p Esetze : ( ) p + p p p( p) p( p) Zum Schluss se och bemerkt, dass de Bomalvertelug für ud cht zu klee p de Gaussvertelug übergeht (>3 ud p>.5). 3

15 5..3 Possovertelug Wrd der Bomalvertelug de Wahrschelchket p sehr kle (<.5) ud de Azahl der Versuche st gross, so geht de Vertelug ee Possovertelug über. P( ) e ()! Bees: P( ) p q für ud p aber p cost!!( - )! ( )... ( + )!...! 4 34 e { für für { De Possovertelug st ur durch ee Parameter, de Mttelert, bestmmt. Se eget sch besoders zur Beschrebug der Zerfälle stabler Kere. Auch de Possovertelug st ormert. Das erste Momet lefert de Mttelert: P ( ) e! e ( )! e 4 43 Das zete Momet lefert de Varaz der Vertelug: P ( ) ( ) Für de Stadardabechug gehe r eder vo der Bezehug aus. Ählch e m Fall des Mttelertes ka ma bereche ud fdet: bz. (3) d.h. be der Possovertelug st auch de Stadardabechug durch de Mttelert bestmmt. Für grosse Werte vo ähert sch de Possovertelug der ormalvertelug a. 4

16 5.3 Rechtfertgug der Wahl der Besterte Im allgemee behaltet ee Messug ur edlch vele Messerte ud ma muss aus de Messerte, de beste Schätzerte für ud fde. Ket ma de Grezvertelug, so lasse sch dese Werte relatv efach bestmme. Wr ehme a, dass r es mt Messuge zu tu habe, de vele klee, zufällge Abechuge uterlege. Da st de Grezvertelug durch de Gauss-Vertelug gegebe. De Wahrschelchket, ee Messert zu fde, st gegebe durch P( ) e ( ) / De Wahrschelchket, dass ma geau das Datesample {,..., } fdet, st für uabhägge Messuge gegebe durch das Produkt der Ezelahrschelchkete. P(,.., ) e ( ) / e ( ) / ud, der "ahre" Wert vo ud der Breteparameter der Vertelug, sd leder ubekat. De beste Schätzerte für ud erhält ma ach dem Przp der grösste Wahrschelchket (Mamum Lkelhood Przp). Für de gegebee Fall bedeutet das: "Für de beobachtete Werte sd de beste Schätzuge für ud dejege Werte, für de{,..., } de ahrschelchste Messerte sd". Das bedeutet P(,.., ) muss mamal bz. ( ) / muss mmal erde. ( ) / ( ) Wr fde als beste Schätzert de arthmetsche Mttelert der Messerte. Ählch ka ma auch de Bestert für de Breteparameter fde: P ( ) / ( ) / ( ) e + + e [ ( ) ] e + 3 ( ) / bz. ( ) ( ) s Ersetzt ma durch see beste Schätzert, so geht e Frehetsgrad verlore ud ma fdet als Stadardabechug: s ( ) 5

17 5.4 Stadardabechug des Mttelerts Wr habe gesehe, dass der Mttelert ees Datesamples{,..., } de beste Schätzert lefert De Uscherhet deses Schätzertes rd durch de Stadardabechug des Mttelertes gegebe. Wr ehme a, de sd ormalvertelt um de "ahre" Wert ud de Vertelug hat de Brete s. De Messuscherhet des Mttelerts berechet sch da ach der Fehlerfortpflazug: s s s mt s... s s ud folgt : s s s s s 5.5 Vererfe vo Date E hekles Thema st de Frage, ob ma auffällge Messerte vererfe darf. Eersets köte se zu falsche Ergebsse führe, aderersets verchtet ma evetuell ee chtge, bsher ubekate Effekt. Geerell sollte de Mapulato vo Messerte so restrktv e möglch gehadhabt erde. Folgedes Bespel soll das Problem verdeutlche. Bespel: Ma msst de Schgugsdauer ees Pedels ud fdet: T sec 3.8, 3.7, 3.5, 3.9, 3.7 ud.8 Zugegebeermasse st der Wert.8 sec sehr auffällg. Darf ma h aber vererfe? See Ausrkug rd durch de Verglech der Mttelerte ud Stadardabechuge deutlch: 3. 4 sec s ±. 8 sec m Verglech zu de Werte ohe de verdächtge Messert: 3.7 sec ud s ±. sec. De ehrlchste Methode eem solche Fall st scherlch, de Messug sehr vele Male zu ederhole, so dass sch e Ausresser cht soderlch stark ausrkt. We das cht geht, hlft eem das Chauveetsche Krterum, ee achvollzehbare Etschedug bzgl. der Veredug ees Messertes zu treffe. Es besagt: E verdächtger Messert eem Datesatz {,..., } st da zu vererfe, e de Wahrschelchket vo Messerte, de mdestes so schlecht sd e der verdächtgewert, kleer als.5 st Ma berechet also zuächst, evele Stadardabechuge legt der verdächtge Wert vom Mttelert eg: t verd verd s Für das obge Zahlebespel berechet ma t verd. De Wahrschelchket für ee Messert ausserhalb t verd s st: P(ausserhalb ).5. Dese Wert multplzert ma mt der Azahl vo Messerte ud erhält das Krterum: P( ausserhalb t s ) ch verd 6

18 I userem Bespel fdet ma ch.3. Deser Wert st kleer als.5 ud ma darf daher de Wert.8 ausschlesse. Das korrekte Ergebs für de Schgugsdauer des Pedels st also: ( 3. 7 ±. )sec 5.6 Dskrepaz vo Messergebsse Falls ze Messerte derselbe Grösse cht überestmme, sprcht ma vo Dskrepaz. Zahlemässg st Dskrepaz de Dfferez der bede Messerte. Zur Beurtelug hrer Sgfkaz muss ma de Messuscherhete betrachte. Im allgemee beertet ma ee Dskrepaz als sgfkat, e de Messerte mehr als das -fache der Messuscherhet auseader lege. Ma sprcht auch vo der Greze. De Wahrschelchket, dass e Messert ausserhalb der Greze legt, beträgt 4.5%. Das Auftrete eer solch grosse Abechug deutet oft auf ee cht etdeckte Quelle sstematscher Abechug h. Es st da de Aufgabe des Epermetators, durch sorgfältge Überprüfug der Messapparatur ud des Messverfahres dese Quelle zu fde ud zu elmere. 6 Ausglechsrechug Be Ausglechsrechuge uterschedet ma ze grudlegede Fälle: Ausglech drekter Beobachtuge: Herbe rd für ee fehlerhafte Grösse, de uterschedlche Messuge mt uterschedlcher Geaugket bestmmt urde, der beste Schätzert ermttelt. Ausglech vo vermttelde Beobachtuge: Herbe st de gesuchte Grösse durch ee fuktoale Zusammehag aus de fehlerbehaftete Messerte zu bestmme. 6. Der gechtete Mttelert De Gauss'sche Vertelugsfukto gestattet de Berechug der Wahrschelchket, dass e Messert erhalb ees gegebee Itervalls legt. Jedem Messert st ee Varaz zugeordet. I der Regel sd se für de ezele Messergebsse uterschedlch, da es sch um vo eader uabhägge Messuge hadelt (Veredug ees adere Messverfahres oder eer adere Messrehe). De Wahrschelchket, gerade de beobachtete Satz vo Messergebsse zu erhalte, st da gegebe durch: P(,..., ) e... ( π) ( ) / De beste Schätzert für erhält ma ach der Methode der mamale Wahrschelchket, d.h. P(,..., ) muss mamal se bz. der Epoet mmal. χ ( ) χ ( ) best Deses Ergebs schrebt sch elegater, e ma de rezproke Varaz als Gecht eführt. mt best (4) Falls de glech gross sd, verefacht sch der gechtete Mttelert auf de arthmetsche Mttelert. Da das Gecht eer Ezelmessug glech der rezproke Varaz st, trägt e eger präzs 7

19 gemesseer Messert vel eger zum Edergebs be. Um de Uscherhet dem gechtete Mttelert zu bestmme, beützt ma das Fehlerfortpflazugsgesetz. best d best mt best ud best (5) 6. Leare Regresso Im folgede geht es darum, ubekate Parameter eer als bekat vorausgesetzte Fukto, de mehrere gemessee Grösse mt eader verküpft, zu bestmme. De Messfehler der gemessee Grösse übertrage sch auf de Ubekate. Der fuktoale Zusammehag ka eteder aus der Theore folge oder aber als zu prüfede Hpothese aufgestellt erde. Auch her rd das Przp der mamale Wahrschelchket der Form der kleste Fehlerquadrate (least square ft) veredet, um de ubekate Parameter zu bestmme. De folgede Dskusso beschräkt sch auf ee leare Zusammehag. Gegebeefalls muss ee Learserug der Fukto vorgeomme erde. Zum Bespel: Leare Fukto, elastsche Deformato Fk ; dargestellt erde {F,} Efach logarthmscher Zusammehag, Temperaturabhäggket der Letfähgket ees Halbleters E E kt e l l ; dargestellt erde {l, /T} kt Auch e ma fest etschlosse st, ee rechersche Ausglech durchzuführe, st ee graphsche Darstellug der Messerte mmer hlfrech, da se ee schelle Überblck über de Qualtät der Messuge (etage Ausresser) gbt. Für ee leare Zusammehag A+B lasse sch efache Formel für de Parameter ud hre Stadardabechuge agebe. Wr ehme a, dass ur de -Werte zu berückschtgede Messuscherhete aufese ud dese alle glech gross sd. Da beträgt de Wahrschelchket, ee Messert zu beobachte: P( ) e A B ( ) / De Wahrschelchket, de gegebee Satz vo -Messerte zu fde, st das Produkt der Ezelahrschelchkete. P tot e A B ( ) / De beste Schätzerte für A, B erhält ma ach der mamum lkelhood Methode. Dazu muss der Epoet mmalsert erde. ( A B ) χ 8

20 χ A ( A B ) χ B ( A B ) Dese Glechuge lasse sch e Glechugssstem umforme, aus dem A, B lecht zu bestmme st. A + B A + B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mt ( ) ( ) (6) Als ächstes solle u de Uscherhete de Parameter A ud B bestmmt erde. Betrachte r zuächst de Stadardabechug der -Werte. Wr gehe davo aus, dass de Abechuge ( -A-B ) ormalvertelt sd ud (A+B ) de "ahre" Wert beschrebt. Da ergbt sch de Varaz: ( ) A B De gleche Argumete, de be der Eführug der Varaz Kaptel 3 ageführt urde, müsse her ederholt erde. Durch de ze zu bestmmede Parameter st de Azahl der Frehetsgrade um reduzert ud r müsse de Faktor / durch de Faktor /(-) ersetze, d.h. ( A B ) u köe r de Uscherhete de Parameter A ud B mt Hlfe der Fehlerfortpflazugsgesetz bereche: A A ( ) j [ j ] ( ) ( ) ( ) + j ( ) j [ ] ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) A (7) Gaz etspreched lässt sch de Varaz vo B bereche: 9

21 B (8) 6.3 Gechtete leare Regresso Bsher urde stllscheged ageomme, dass jedes Wertepaar de gleche Bedeutug für de Apassug hat. Möchte ma aber eger geau gemessee Werte mt gergerer Wertug berückschtge, so muss ma ee gechtete Regresso durchführe. Als Wchtugsfaktore erde de rezproke Varaze veredet. ( ) ( ) ( ) ( ) A ( ) ( ) ( ) B (9) mt ud für de Varaze der Parameter fdet ma: ( ) ( ) bz. A B () 6.4 Der leare Korrelatoskoeffzet De Qualtät der Apassug A+b a de Wertepaare {, },{, },...{, } ka mt Hlfe des leare Korrelatoskoeffzete getestet erde. Er st defert als: r () mt de Deftoe ( ), ( ) ud ( ) ( ) r ( ) ( ) ( ) ( ) () Deser Wert legt zsche - ud. Legt er sehr ahe be ±, so bedeutet das, dass de Gerade de Wertepaare sehr gut beschrebt. R >,9 ka als Bes ees leare Zusammehag agesehe erde. Legt r ahe be, so sd, cht korrelert. 6.5 Leare Regresso - graphsche Lösug De graphsche Darstellug eer Messrehe {(, ),..., (, )} det cht ur dazu, ee Veraschaulchug des fuktoelle Zusammehags zeer Messgrösse zu vermttel, soder ka auch zur quattatve Ausertug veredet erde. Bem Zeche der graphsche Darstellug beachte ma: Veredug vo Mllmeterpaper ud eem mttelharte Blestft. Wahl eer geegete Skalerug, de de gesamte Werteberech ausützt. Beschrftug der Achse ud Efüge ees Ttels. Sorgfältge Etragug der Messpukte als klee Kreuze. Be bekate Messabechuge erde de Messpukte mt Fehlerbalke versehe.

22 Ma zechet da ee Gerade, de am beste de Messpukte beschrebt. Zur quattatve Ausertug ählt ma da ze Pukte P (, ) ud P (, ) auf der Ausglechsgerade eta auf der Höhe des erste bz. des letzte Messpuktes. Da ergbt sch de Stegug zu m ud de Achseabschtte a ud a bereche sch aus a bz. a - m m. Für de Agabe der Uscherhet de Grösse m, a, a beötgt ma zuächst ee Abschätzug des absolute Fehlers der Ezelmessug. Ma ka dazu de grösste Abechug ees Messpuktes bz. vo der gezechete Gerade verede. mmt ma a, dass alle Messpukte mt der gleche Uscherhet behaftet sd, da ergebe sch de folgede Uscherhete. δm m δm bz. m bz. a + δm ud a + m δm 7 Der χ Test für ee Vertelug Be der Ausertug vo Epermete stösst ma häufg auf das Problem, de epermetelle Messpukte theoretsche Zahleerte bz. geschlossee Kurve zuzuorde. Auf Grud der statstsche Schakuge der gemessee Grösse sd der Regel verschedee Werte der theoretsche Parameter mt dem Epermet verträglch. Zur Etschedug, elche Kurve de epermetelle Ergebsse am beste beschrebt, bedet ma sch ees statstsche Prüfverfahres, dem χ -Test. De χ - Fukto st defert als: χ De Summato läuft über alle uabhägge Messerte. χ st ee Fukto der theoretsche Parameter. De beste Überestmmug zsche Messert ud Theore etsprcht dem Mmum vo χ. Daher erde de theoretsche Parameter solage varert, bs ma de Mmalert der χ Vertelug erhält. De zugeordete Parametererte sd da de beste Schätzerte. De Abbldug zegt ee tpsche χ - Mmalserugskurve für ee Apassugstest mt eem Parameter. ep th Abbldug: χ Mmalserug für de Wkelvertelug be eutro-eutro-streuug. Ezger Parameter st de Stärke der eutro-eutro-kraft (Streuläge a). Be der Ausertug vo Epermete teressert ebe de Schätzerte der Parameter ebefalls de möglche Uscherhet deser Schätzuge. Ma defert daher für das Prüfverfahre ee statstsche Fehler des geschätzte Parameters. Er ergbt sch aus der Erhöhug vo χ (m) auf χ (m)+.

23 Weterh vo Bedeutug st de Wahrschelchket, be eer Wederholug des Epermetes trotz detscher Versuchsbedguge ee adere χ Wert zu erhalte. I der Statstk rd gezegt, daß für ee grosse Stchprobeumfag de zu χ gehörede Wahrschelchketsvertelug de Form hat: f ( χ ) ν ν ( )! ν χ ( χ ) e De Azahl der Frehetsgrade ν st glech der Azahl der beobachtete Date mus der aus de Date zu berechede Parameter, d.h. glech der Azahl der uabhägge Bestmmugsglechuge G(c,) zsche dem Parametervektor c ud dem Beobachtugsvektor. Des se am folgede Bespel erläutert: Bespel: Es erde ee Zählrate uter detsche Bedguge belebg oft aufgeomme. Für de Streuug der Messerte erde ee Utertelug fest geählte Itervalle gemacht. Es rd de Häufgket regstrert, mt der sch de Meßerte auf de ezele Itervalle vertele. Ma sagt, für das Prüfverfahre stehe Stützpukte oder auch Klasse zur Verfügug. De theoretsche Vertelugsfukto hat p free Parameter, durch dere Varato de Apassug a de gemessee Vertelug optmal gemacht erde ka. Bestmmt ma ferer de Faktor für de ormerug der theoretsche Vertelugsfukto auf de Azahl der Meßerte, so beträgt desem Bespel de Azahl der Frehetsgrade schleßlch ν -p- 7 De Azahl der uabhägge Bestmmugsmöglchkete erhält ma also, e ma vo der Azahl der Stützstelle de Zahl der varerte uabhägge Parameter abzeht. Abbldug: Form der Wahrschelchketsvertelug f(χ ) für verschedee Frehetsgrade De Verlauf der Wahrschelchketsvertelug f(χ ) für f,, 6 ud zegt de Abbldug. De Kurve f(χ ) habe hr Mamum etas uterhalb des Wertes χ ν, d.h. e user Ergebs χ >> ν lautet, st es höchst uahrschelch, dass user vorhergesagtes theoretsches Modell rchtg st. Es st bequemer mt der Grösse F( χ ) f ( χ > χ ) dχ χƒ zuarbete. Das Itegral gbt de Wahrschelchket a, be eer Wederholug des Epermetes ee Wert χ > χ zu fde. F( ƒ ) χ st daher e drektes Maß für de Güte eer Hpothese. Sehr klee Werte, F( χ ) Theore a. Der Zusammehag χ <, deute ee schlechte Überestmmug zsche Epermet ud F( χ ) als Fukto des Frehetsgrades ν st aus eem etsprechede Tafelerk oder der folgede Abbldug zu etehme.

24 Ma sprcht be eer Wahrschelchket vo kleer,5 davo, dass de Abechug Epermet - Theore sgfkat se. Ist de Wahrschelchket sogar kleer,, da rd de Abechug als hoch sgfkat bezechet. 8 Empfehleserte Bücher zur Fehlerrechug De folgede Lste gbt ee Ausahl a empfehleserte Bücher zu desem Thema: W.H. Grächer, Messug beedet - as u?, Teuberverlag Stuttgart, 996 B.P. Roe, Probablt ad Statstcs Epermetal Phscs, Sprgerverlag Berl, 99 P.R. Bevgto ad D.K. Robso, Data Reducto ad Error Aalss for the Phscal Scece, Mc- Gra-Hll, 99 J.R. Talor, Fehleraalse, VCH-Verlag, 988 3