Geometrie in der Mathematik-Olympiade

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1 34 Klhos eye Geomeie in de hemik-olympide De uo h beeis in seine bhndlung [7] eweisideen in de Geomeie (hemikinfomion N. 55) u.. uf die Poblemik de Geomeieufgben im Rhmen de hemik-olympiden hingewiesen, d e glub, dss hie duchus eine Weieenwicklung möglich is. Im Folgenden geh es bemls vo llem dum, dss llein de Weiblick, ds Geschick des eweise-scheibens bei einem Püfling nich fü die gesellen ufgben useichen, die Pobleme zu lösen, wenn nich ein geziele Egänzungsuneich ds Nomlcuiculum m Gymnsium und däquen Schulen die O begleien. Hie solle mn endlich die Ken uf den Tisch legen und sgen, welche Kennnisse de Jugendliche hben solle, dmi sich zukünfig wiede lle Gymnsisen de Püfung zuwenden können und nich nu diejenigen, die die Finnzen hben, sich zusäzlich Infomion bzw. Uneich zu beschffen. uch in de O gil die Geomeie ls schwe, ws wenige duch die gesellen ufgben ls duch lückenhfe Lehpläne veusch wid. eduelicheweise sind z.. in de undesunde de O 00 nu 6 Geomeieufgben bei 6 sonsigen zu finden sind. Ds enspich zw den Hochschulendenzen, be nich dem Sellenwe de Geomeie wede im Uneich noch in de nwendung.. Tngenen n Keise Wi gehen dvon us, dss jede Schüle die gegenseiige Lge eine Geden zu einem Keis kenn, lso bezüglich eines Keises zwischen meidenden, beühenden und schneidenden Geden unescheiden knn, dss e die Tngenen von einem Punk ußehlb n einen Keis legen be uch konsuieen knn und bei Sehnen und Tngenen Symmeien uszunuzen veseh. ufgbe : Skizziee lle möglichen Lgen von zwei Keisen mi ihen (evenuellen) gemeinsmen Tngenen. Konsukion de gemeinsmen Tngenen n Keise Gundidee: n knn Figuen us Keisen und Geden um eine Länge schumpfen ode ufblsen, ohne dss sich ih Schnivehlen ände. Hiebei weden die Geden um pllel veschoben und de Keisdius um vegöße ode vekleine. n möge bechen, ds gil uch dnn, wenn mn einen Keis um schumpfen läss und einen ndeen um ufbläs. Einen eweis liefe die komplexe pojekive Geomeie, die leh, dss bei den gennnen bbildungen die Fenpunke ehlen bleiben. Hiezu: Odne mn dem Punk (x y) die pojekiven Koodinen (x 0 x x ) (0 0 0) mi = und = zu, so ehäl mn die Fenpunke fü x 0 = 0. De Keis x + y = h die pojekive Gleichung + + = 0, seine Fenpunke ehäl mn duch + = 0, weiee gib es nich. Nu wenn mindesens eine Koodine x ode x komplex is, ehäl mn eine Lösung. n sg, de Keis h komplexe Fenpunke, die unbhängig vom Rdius sind. Die Pllelveschiebung de Geden ände uch nichs n ihem Fenpunkvehlen. Diese Übelegung benöig mn zum Finden von Lösungssegien, nich be zu egündung de nwendung, d in jedem Einzelfll elemengeomeisch ein eweis esell weden knn. eim Folgenden wid diese in beiden Fällen duch ein Recheck, n dem die Tngene und die veschobene Gede beeilig sind, ebch. Hie ungelöse ufgben hben ihe Lösungen in Kpiel 5. hemikinfomion N. 56

2 35 ufgbe : Ws ände sich m Fenpunkvehlen de Keise, wenn mn die ielpunke veschieb? Fll : Die äußeen Tngenen zweie punkfemde Keise n läss den kleineen Keis mi Rdius zu einem Punk schumpfen, d mn von einem Punk us die Tngenen n einen Keis legen knn. De gößee Keis schumpf gleichzeiig zu einem Keis mi Rdius!. Nch Konsukion de Tngenen von n lezeen Keis wid wiede zu len Konfiguion ufgeblsen und die Tngenen migenommen. Die zweie Tngene muss zu Zenlen symmeisch liegen. - ' Den eweis finde mn übe ds konsuiee Recheck. Kooll: In beiden Fällen gil =. Fll : Die inneen Tngenen zweie punkfemde Keise Hie läss mn den kleineen Keis zu einem Punk schumpfen, wähend de gößee Keis ufgeblsen wid. ' ufgbe 3 (nch [4] ennpunk Geomeie 8, Seie 4): Ein Keisbogen eheb sich übe eine Sehne de Länge 3,5 m um 0,50 m. Emile konsukiv den Rdius des ogens im ßsb :50 und beechne den bsnd des Keismielpunkes von de Sehne. ufgbe 4 (nch [4] ennpunk Geomeie 8, Seie 5): Ein Riemennieb beseh us eine eibenden Scheibe S und eine geiebenen Scheibe S g. De Rdius de niebsscheibe beäg = 6,0 cm, hemikinfomion N. 56

3 36 de chsenbsnd 35,0 cm und ds Übesezungsvehälnis : g = : 5. Die chsen liegen hoizonl in deselben Höhe. ) Konsuiee jeweils im ßsb :0 den Riemennieb, wenn de nieb in gleiche Richung, in Gegenichung efolgen soll. b) eechne die Länge des Teibiemens in beiden Fällen. c) Weshlb knn mn nu eine indeslänge ngeben? Welche weieen Kennnisse müsse mn hben, um die Länge genu besimmen zu können? ufgbe 5 (nch [4] ennpunk Geomeie 8): Ein Gen wid n den Ecken und duch Keisbögen usgeunde. Die Keisbögen bezüglich bzw. sezen in n. Es sind = 4,0 m und = 65,0 m. ) Konsuiee die usundung im ßsb :000. b) eechne die Rdien de usundungen. o 0 30 o ufgbe 6 ([] O 494): n beche zwei Keise k und l, die zwei Schnipunke hben mögen. Eine gemeinsme Tngene beide Keise beühe k in K; ihe ndee gemeinsme Tngene beühe l in L (vgl. die Zeichnung, in die beeis weiee Punke fü den eweis eingezeichne sind). n beweise, dss die Gede KL us den Keisen Sehnen deselben Länge heusschneide. ehupung: = Y K L P Q X k l Voübelegung: Es geh um gemeinsme Tngenen n zwei sich schneidende Keise. n einne sich n kennen gelene Zusmmenhänge, lso ws mn übe Keise efhen h: Sehnenvieeck und Sehnensz sm Umkehung, Tngenenvieeck und Tngenen-Seknensz sm Umkehung, Symmeie, gleich lnge Sehnen im Keis, Sz des POLLONIUS sm Umkehung, Peipheiewinkelsz (im Spezilfll THLESkeis) sm Umkehungen. eweis zu ufgbe 6: KL is Sekne und KX Tngene n den gößeen Keis. LK is Sekne und LY Tngene n den kleineen Keis. Wende mn hieuf jeweils den Tngenen-Seknensz n, so ehäl mn: = bzw. = D nch obigem Kooll = gil, folg = und deshlb =. ddie mn uf beiden Seien,so ehäl mn die ehupung.. Weiee O-ufgben Nich imme velngen O-ufgben so viele Kennnisse, of geh es nu dum, einen lückenlosen eweis zu scheiben, wie ew bei ufgbe 7 ([] O ): Es sei D ein konvexes Vieeck. Die ielpunke de Seien und - bezeichnen wi mi bzw. N. ) Wenn D ein Pllelogmm is, dnn gil D N und N. b) Wenn D N und N sind, dnn is D ein Pllelogmm. hemikinfomion N. 56

4 37 ufgbe 8 ([] O 49043): Es sei D ein konvexes Vieeck. Die ielpunke de Seien,, - und - bezeichnen wi mi K, L, bzw. N. n beweise: c) Wenn D ein Pllelogmm is, dnn gil N LD und K. d) Wenn N LD und K, dnn is D ein Pllelogmm. ufgbe 9 ([] O ): Es sei D ein Qud und k de Keis um duch. Von einem Punk P wid gefode, dss e im Inneen dieses Quds und uf dem Keis k lieg. Duch P sei die Tngene n k geleg. De Fußpunk des Loes von uf sei mi E und de Fußpunk des Loes von D uf sei mi F bezeichne. eweise: Die Summe de Seckenlängen von -.,./ und / is gleich dem hlben Umfng des Quds D. Es gib be uch schwieigee ufgben, bei denen mn Zusmmenhänge ekennen muss, die zunächs nich beschieben sind. Hiebei kommen imme wiede eispiele vo, die mn elegn lösen knn, wenn mn einen THLESkeis ekenn. n solle deshlb gundsäzlich beim mehfchen Loefällen bzw. -eichen ode mehfch gegebenen echen Winkeln nchfoschen, ob THLESkeise gefunden weden können (nloges gil fü gleich goße Winkel mi dem Peipheiewinkelsz): ufgbe 0 ([] O ): Gegeben is ein spizwinkliges Deieck mi >. Die ielsenkeche de Secke schneide die Gede in P und die Gede in Q. R sei de Fußpunk des Loes von P uf, S Fußpunk des Loes von Q uf. sei die ie von. n zeige: R, S und liegen uf eine Geden. Voübelegung: n übeleg sich, wnn dei Punke, die in eine deige Konfiguion eingebee sind, uf eine Geden liegen, z.. wenn gil: 0 = n feig zunächs eine pssende Figu. Dnn denk mn n die echen Winkel bei R und S, die nch Konsukion uf THLES-Keisen zu den Duchmessen und liegen. Q eweis: 0 = RSP, weil, P, S uf eine Geden liegen. RSP = RQP, weil S und Q uf dem Peipheiewinkelkeis übe 0 liegen. RQP = Q, weil Q ielseneche is. Q = S, weil S und Q uf einem Peipheiewinkelkeis übe liegen. Dmi gil 0 = S und S, R und liegen uf eine Geden. S R P 3. Hinzunhme weiee Geomeie Die folgende ufgbe läss sich nheliegend lösen, wenn mn die Keiseue de Seeogphischen Pojekion kenn (siehe [6] hemikinfomion N. 9). Die ufgbe is nichs ndees ls de Schließungssz von IQUEL (siehe [5] hemikinfomion N. 6). In beiden Fällen muss mn zumindes wissen, dss jede ebene, nich leee Schni eine Kugel ein Keis is. hemikinfomion N. 56

5 38 Es wäe ineessn zu efhen, ob es Kndiden gb, die nchweisb beide Theoien nich knnen und dnn elemengeomeisch ds so gennne Lemm de Lösung finden konnen; denn mn knn in beiden Theoien kum Feihndzeichnungen ohne weiees Wissen nfeigen, geschweige denn Konsukionszeichnungen. ufgbe ([] O nch 4946): uf eine Kugel liegen die Punke,,, D, E, F, G und H, so dss D, FE, GF, DHG und DEH jeweils eine Ebene besimmen. n zeige: Dnn liegen E, F, G, H uch uf eine Ebene. Wissen: Die nwendung de Seeogphischen Pojekion is z.. sinnvoll, wenn mn duch die Pojekion einige Keise uf de Kugel in Geden in de Pojekionsebene vewndeln knn: D lle Kugelkeise duch den Pojekionspol zu solchen Geden weden, geh es lso bei de ufgbe zunächs um uswhl eines Punkes des gesuchen Sehnenvieecks ls Pol; im Folgenden wid de Punk H gewähl: eweis zu ufgbe : n mch eine seeogphische Pojekion von H uf die D' Tngenilebene duch den zu H liegenden dimelen Punk. Die ilde de Punke ', uf de Kugel bei seeogphische Pojekion von H uf diese Tngenilebene weden mi,.. bezeichne. uf ' ' Gund de Keiseue diese Pojekion sind die ilde de beknnen 5 Schniebenen mi de Kugel Keise, wobei Ge- F' G' den uch Keise gennn weden. Die Ebenen duch H weden in de ildebene zu E' Geden E D bzw. G D. Die ilde de 4 Punke eine Schniebene mi de Kugel liegen lso jeweils uf einem Keis und bilden deshlb ein Sehnenvieeck. In de ildebene egib sich obige Zeichnung. Die Punke E, F, G und H liegen uf einem Kugelkeis, wenn die Punke E, F und G uf eine Geden sind. Hiezu beche mn die gegebenen Sehnenvieecke in de Pojekionsebene. Dnn gil: = 80 o 4, weil diese Winkel im Sehnenvieeck F G gegenübe liegen. 80 o 4 = -, weil G,, D uf eine Geden liegen. - = 80 o -, weil die Winkel im Sehnenvieeck D gegenübe liegen. 80 o = /, weil D,, E uf eine Geden liegen. / = 80 o. /, weil die Winkel im Sehnenvieeck E, F,, gegenübe liegen. lso gil = 80 o 3. 3 / 3 und E, F und G liegen uf eine Geden. Deshlb gil nch Obigem E, F, G und H liegen uf einem Kugelkeis. Wie oben gezeig wid, hndel es sich um Dinge, die begben Schüleinnen und Schülen in ngemessene Zei geleh weden können. n ewe seiens des O-Veeins j uch z.. im eeich lgeb Zuszuneich im Konguenzechnen, in de Polynomdivision, Zhlenheoie u. v. m. Feilich, d is noch ein ndees Poblem. Leheinnen und Lehe vemissen in den O-ufgben den Soff de bundesdeuschen Lehpläne b Klsse 0. Einml fäll es den 8-Jähigen schwe, sich übe Dinge püfen zu lssen, die dei Jhe ode länge zuückliegen. Zum ndeen wüden sie sich feuen, wenn uch Inhle gefg weden, die sie in diesen dei Jhen gelen hben. Um im eeich Geomeie zu bleiben hndel es sich hiebei vo llem um die Koodinengeomeie, Vekogeomeie, Tigonomeie u. ä. n knn uch nich weiehin behupen, dies läge vo llem n de IO, d sich mileweile viele Nionen den Lehplänen ieleuops ngepss hben. 4. Lösungen Flls es sich im Folgenden um ufgben de hemik-olympide 009 hndel, finde mn Lösungen in nlehnung n die uselösungen de O. Die uselösungen de O geben häufig Pllellösungen, uf die hie nich eingegngen wid. hemikinfomion N. 56

6 39 Zu ufgbe :. Fll:. Fll: 3. Fll Keine gemeinsme Tngene Genu eine gemeinsme Tngene Genu zwei gemeinsme Tngenen 4. Fll 5. Fll Genu dei gemeinsme Tngenen Genu vie gemeinsme Tngenen Zu ufgbe : Veschieb mn so geh de Keis + + = 0 übe in : 8 ; +: 8 ; +: 8 ; = 0. Fü die Fenpunke ehäl mn dnn die esimmungsgleichung :8 ; +: 8 ; +: 8 ; = 0, lso ndee Fenpunke, u. U. sog eelle. Zu ufgbe 3: ) Die nebensehende Zeichnung is im ßsb :50. b) eechnung: Die ie von < sei D. Wegen Winkel, deen Schenkel pweise ufeinnde senkech sehen, gil DH =. i den ngegebenen ßen gil dnn =>? =,@ 9,@ = 9,@, -< = = D9,@ E. F = G = 9,@ E =,89065,898, weil gil HIJ F sin = PQJ DEPQJ. De bsnd des Keismielpunkes von de Sehne beäg lso geunde,39 m. H Zu ufgbe 4: Wenn = 6,0 cm is, dnn beechne sich de Rdius des geiebenen Rdes bei : g = : 5 zu g = 5 cm. Die folgenden Zeichnungen sind ew im ßsb : 0. ) Gleichsinnige nieb: ) Gegensinnige nieb: - g g g g hemikinfomion N. 56

7 40 b) Die indeslänge des Teibiemens sei U. Ds Teil, ds ds Teibd beüh, hbe die Länge b. Ds geiebene Rd beüh den Teibiemen längs b g. b ) Rechnung fü die gleichsinnige ewegung de Räde: = = R> 6 S P 7 = 33, cm 33,8 cm. U = + b + b g ei de eechnung von b und b g spiel eine Rolle bei beiden Räden. eechnung von : sin = 6 S P 7:. Hieus folg 4 o 54 5 o. Dmi ehäl mn b = π U V :WX Y; 9Z X 5.7 cm und b g = π U [ :WX E; 9Z X 55 cm. Hieus folg U 38,3 cm. b ) Rechnung fü die gegensinnige ewegung de Räde: = = R> 6 S + P 7 = 8, cm 8,0 cm. eechnung von : sin = 6 S + P 7:. Hieus folg 36 o 5 37 o. Dmi ehäl mn b = π U V :WX E; 6,6 cm und b 9Z X g = π U [ :WX E; 66,5 cm. Hieus folg U 49, cm 9Z X c) Die Riemen hängen wie in obigen Zeichnungen duch, dmi die chsen nich einseiig benspuch weden. Wolle mn den Duchhng genue besimmen, müsse mn ews übe die ufeenden Reibungskoeffizienen wissen. β Zu ufgbe 5: ) Siehe die nebensehende Konsukion. b) = =>? 34,3 m = =>? β 87,9 m Zu ufgbe 7: ) Wenn D ein Pllelogmm is, sind - und pllel und gleich lng, dmi gil ds D Gleiche fü die hlben Secken ^ und. P Deshlb is N ein Pllelogmm und es gil N. Enspechend finde mn D N. N b) Nch Voussezung is QPN ein Pllelogmm und dmi sind ^ und Q pllel und gleich lng; lso sind N und D pllel. eche mn die Shlenszfigu QND, von de mn nch Voussezung weiß ^ = -^ ; lso folg nch dem Shlensz =. Enspechend finde mn ^ =. Hieus folg: Die Secken und N sind pllel und gleich lng, lso is N ein Pllelogmm. Hieus schließ mn, dss uch die Secken und N gleich lng und pllel sind. Nch Voussezung folg dnn, dss uch die Secken D und gleich lng und pllel sind, lso D ein Pllelogmm is. Zu ufgbe 8: ) Wenn D ein Pllelogmm is, sind die Secken D und gleich lng und pllel, lso D T c uch ihe Hälfen. Deshlb sind im Pllelogmm S LDN die Secken N und LD gleich lng und b N Q L pllel. nlog folg dies fü die Secken und d K. R b) Fü die Nmengebung K, L,, N, Q, R, S, T,, b, c, d siehe die nebensehende Zeichnung. K Weil nch Voussezung K und K de ielpunk de Secke is, egib sich in de Figu KRQ nch dem Shlensz =. n finde in QTND mi dem Shlensz = _ =. nlog ehäl mn 0 = 0 = b, = 0 = c und -_ = _ = d. D nch Voussezung QRST ein Pllelogmm is, folg = c und b = d. () hemikinfomion N. 56

8 4 Nch dem Scheielwinkelsz und de Gleichhei gegenübe liegende Winkel im Pllelogmm ehäl mn ^ =. Wegen () sind dnn die Deiecke SL und QN konguen. Deshlb sind die Secken N und L gleich lng und pllel, lso uch die doppel so lngen Secken D und. lso is D ein Pllelogmm. F Zu ufgbe 9: Die Konfiguion DEF sm Keis is gegeben. n benöig noch einige Hilfslinien, die es emöglichen, Secken des usgngsquds uf zu übegen. D mn siche den Sz übe die Tngenenbschnie benöig, wid mn die Loe D H I P K G von P us uf die Qudseien D und fällen und ehäl die Fußpunke I und F. PKI is lso ein E Recheck. Scheielwinkel bei H, Loe bei F und I und die gleich lngen Tngenenbschnie -< = < () egeben konguene Deiecke DHF und PHI nch dem Konguenzsz Sww, d de eche Winkel de gößeen Seie gegenübe lieg. In Folge gil: -. = ` = () nlog finde mn: 4 = 4 (3) und / = = ` (4) (), (), (3) und (4) egeben: -. +./ + / = -. +.< + < / + / = = + <` + -< ` = = Lieu ufgbenusschuss des hemik- Olympiden e. V. [] 49. hemik-olympide 009/00, 4. Sufe undesunde ufgben und Lösungen Klssen 8 3,. Tg und. Tg, Selbsvelg Rosock 00 Häusle, eye, Ulizk [] ufgben zu Seeogphischen Pojekion, hemikinfomion N. 9, Seien 0 36, 998 eenbche, Richd [3] echungen zu Kogphie une besondee eücksichigung de Seeogphischen Pojekion, hemikinfomion N. 9, Seien 37 44, 998 eye, Klhos u.. [4] ennpunk Geomeie 8, Schoedel-Schulbuchvelg, Hnnove 99 eye, Klhos [5] Keisgeomeie, hemikinfomion N. 6, Seien 3 4, 996 [6] Seeogphische Pojekion, hemikinfomion N. 9, Seien 3 9, 998 [7] eweisideen in de Geomeie, hemikinfomion N. 55, Seien 4! 4, 0 desse des uos: D. Klhos eye Kyffhäusesße Neubibeg e-mil: klhos@meye-muc.de Diese bei wude m ngenommen. hemikinfomion N. 56